5. Repère de l’espace§

5.1 Repère cartésien§

Définition : Repère de l’espace

Un repère de l’espace est constitué d’un point OO et de trois vecteurs i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j}, k⃗\vec{k} non coplanaires.

  • Si les trois vecteurs sont deux à deux orthogonaux et de norme 1 : repère orthonormé.
  • On note le repère (O,i⃗,j⃗,k⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}).

Tout point MM de l’espace est repéré par trois coordonnées (x,y,z)(x, y, z) :

OM→=xi⃗+yj⃗+zk⃗\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}

5.2 Distance et milieu dans l’espace§

Distance :

AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}

Milieu :

I(xA+xB2;;;yA+yB2;;;zA+zB2)I\left(\frac{x_A+x_B}{2};;;\frac{y_A+y_B}{2};;;\frac{z_A+z_B}{2}\right)

6. Vecteurs dans l’espace§

6.1 Coordonnées§

AB→=(xB−xA yB−yA zB−zA)\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \ y_B - y_A \ z_B - z_A \end{pmatrix}

6.2 Opérations§

Les opérations (addition, multiplication par un scalaire, relation de Chasles) se généralisent composante par composante.

6.3 Colinéarité et coplanarité§

Colinéarité et coplanarité
  • u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires si u⃗=kv⃗\vec{u} = k\vec{v} pour un certain k∈Rk \in \mathbb{R} (ou v⃗=0⃗\vec{v} = \vec{0}).
  • Trois vecteurs u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v}, w⃗\vec{w} sont coplanaires s’il existe a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} tels que w⃗=au⃗+bv⃗\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}.

Quatre points AA, BB, CC, DD sont coplanaires si et seulement si AB→\overrightarrow{AB}, AC→\overrightarrow{AC}, AD→\overrightarrow{AD} sont coplanaires.

7. Droites dans l’espace§

7.1 Représentation paramétrique§

Définition : Représentation paramétrique d’une droite

Une droite (d)(d) passant par A(xA,yA,zA)A(x_A, y_A, z_A) et de vecteur directeur u⃗(a,b,c)\vec{u}(a, b, c) admet la représentation paramétrique :

{x=xA+at y=yA+bt z=zA+ct,t∈R\begin{cases} x = x_A + at \ y = y_A + bt \ z = z_A + ct \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}
Exemple

Droite passant par A(1,2,−1)A(1, 2, -1) et de vecteur directeur u⃗(3,−1,2)\vec{u}(3, -1, 2) :

{x=1+3t y=2−t z=−1+2t,t∈R\begin{cases} x = 1 + 3t \ y = 2 - t \ z = -1 + 2t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}

7.2 Droite définie par deux points§

Si la droite passe par AA et BB, on prend u⃗=AB→\vec{u} = \overrightarrow{AB} comme vecteur directeur.

8. Plans dans l’espace§

8.1 Équation cartésienne d’un plan§

Définition : Équation cartésienne d’un plan

Un plan (P)(\mathcal{P}) admet une équation de la forme :

ax+by+cz+d=0ax + by + cz + d = 0

où (a,b,c)≠(0,0,0)(a, b, c) \neq (0, 0, 0).

Le vecteur n⃗=(a b c)\vec{n} = \begin{pmatrix} a \ b \ c \end{pmatrix} est un vecteur normal au plan.

Déterminer l’équation d’un plan

Connaissant un point AA et un vecteur normal n⃗(a,b,c)\vec{n}(a,b,c) :

M(x,y,z)∈(P)  ⟺  AM→⋅n⃗=0M(x,y,z) \in (\mathcal{P}) \iff \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0

Soit : a(x−xA)+b(y−yA)+c(z−zA)=0a(x-x_A) + b(y-y_A) + c(z-z_A) = 0

Exemple

Plan passant par A(1,0,2)A(1, 0, 2) de vecteur normal n⃗(2,−3,1)\vec{n}(2, -3, 1) :

2(x−1)−3(y−0)+1(z−2)=02(x-1) - 3(y-0) + 1(z-2) = 0

2x−3y+z−4=02x - 3y + z - 4 = 0

8.2 Représentation paramétrique d’un plan§

Un plan passant par AA et dirigé par u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} (non colinéaires) :

{x=xA+su1+tv1 y=yA+su2+tv2 z=zA+su3+tv3,(s,t)∈R2\begin{cases} x = x_A + su_1 + tv_1 \ y = y_A + su_2 + tv_2 \ z = z_A + su_3 + tv_3 \end{cases}, \quad (s, t) \in \mathbb{R}^2

9. Positions relatives§

9.1 Positions relatives de deux droites§

flowchart TD
    A["Deux droites (d₁) et (d₂)"] --> B{"Vecteurs directeurs<br/>colinéaires ?"}
    B -->|"Oui"| C{"Point commun ?"}
    B -->|"Non"| D{"Point commun ?"}
    C -->|"Oui"| E["Droites<br/>CONFONDUES"]
    C -->|"Non"| F["Droites<br/>PARALLÈLES<br/>strictement"]
    D -->|"Oui"| G["Droites<br/>SÉCANTES"]
    D -->|"Non"| H["Droites<br/>NON COPLANAIRES"]

    style E fill:#e6ffe6,stroke:#009900
    style F fill:#ffe6e6,stroke:#cc0000
    style G fill:#fff2e6,stroke:#cc6600
    style H fill:#e6f3ff,stroke:#0066cc
Attention

Dans l’espace (contrairement au plan), deux droites non parallèles peuvent ne pas se couper : elles sont alors non coplanaires (on dit parfois « gauches »).

9.2 Positions relatives d’une droite et d’un plan§

flowchart TD
    A["Droite (d) et plan (P)"] --> B{"Le vecteur directeur ū<br/>de (d) est-il orthogonal<br/>au vecteur normal n̄<br/>de (P) ?<br/>ū · n̄ = 0 ?"}
    B -->|"Non (ū · n̄ ≠ 0)"| C["La droite est<br/>SÉCANTE au plan<br/>(1 point d'intersection)"]
    B -->|"Oui (ū · n̄ = 0)"| D{"Un point de (d)<br/>appartient-il à (P) ?"}
    D -->|"Oui"| E["La droite est<br/>INCLUSE dans le plan"]
    D -->|"Non"| F["La droite est<br/>PARALLÈLE au plan"]

    style C fill:#fff2e6,stroke:#cc6600
    style E fill:#e6ffe6,stroke:#009900
    style F fill:#ffe6e6,stroke:#cc0000

9.3 Positions relatives de deux plans§

flowchart TD
    A["Deux plans (P₁) et (P₂)"] --> B{"Vecteurs normaux<br/>n̄₁ et n̄₂<br/>colinéaires ?"}
    B -->|"Non"| C["Plans<br/>SÉCANTS<br/>(intersection = droite)"]
    B -->|"Oui"| D{"Même plan ?<br/>(un point commun ?)"}
    D -->|"Oui"| E["Plans<br/>CONFONDUS"]
    D -->|"Non"| F["Plans<br/>PARALLÈLES<br/>strictement"]

    style C fill:#fff2e6,stroke:#cc6600
    style E fill:#e6ffe6,stroke:#009900
    style F fill:#ffe6e6,stroke:#cc0000

10. Produit scalaire dans l’espace§

10.1 Définition§

Produit scalaire dans l’espace

Dans un repère orthonormé, si u⃗=(x y z)\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} et v⃗=(x′ y′ z′)\vec{v} = \begin{pmatrix} x' \ y' \ z' \end{pmatrix} :

u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'

La formule avec l’angle reste valable :

u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣×∣v⃗∣×cos⁡(u⃗,v⃗)\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \times |\vec{v}| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})

10.2 Norme§

∣u⃗∣=u⃗⋅u⃗=x2+y2+z2|\vec{u}| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

10.3 Orthogonalité§

u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0  ⟺  xx′+yy′+zz′=0\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff xx' + yy' + zz' = 0

11. Orthogonalité dans l’espace§

11.1 Droite orthogonale à un plan§

Définition

Une droite (d)(d) est orthogonale à un plan (P)(\mathcal{P}) si elle est orthogonale à toutes les droites de (P)(\mathcal{P}).

En pratique : (d)⊥(P)  ⟺  (d) \perp (\mathcal{P}) \iff le vecteur directeur de (d)(d) est un vecteur normal de (P)(\mathcal{P}).

Critère pratique

Il suffit de vérifier que le vecteur directeur de (d)(d) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.

11.2 Plans orthogonaux§

Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont perpendiculaires :

(P1)⊥(P2)  ⟺  n1⃗⋅n2⃗=0(\mathcal{P}_1) \perp (\mathcal{P}_2) \iff \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0

12. Distances§

12.1 Distance d’un point à un plan§

Formule : Distance point-plan

La distance du point M0(x0,y0,z0)M_0(x_0, y_0, z_0) au plan (P):ax+by+cz+d=0(\mathcal{P}) : ax + by + cz + d = 0 est :

d(M0,P)=∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2d(M_0, \mathcal{P}) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}
Exemple

Distance du point A(1,2,3)A(1, 2, 3) au plan (P):2x−y+2z−1=0(\mathcal{P}) : 2x - y + 2z - 1 = 0 :

d(A,P)=∣2(1)−1(2)+2(3)−1∣4+1+4=∣2−2+6−1∣9=53d(A, \mathcal{P}) = \frac{|2(1) - 1(2) + 2(3) - 1|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{|2-2+6-1|}{\sqrt{9}} = \frac{5}{3}

12.2 Distance d’un point à une droite§

Formule : Distance point-droite (dans l’espace)

La distance du point MM à la droite (d)(d) passant par AA et de vecteur directeur u⃗\vec{u} est :

d(M,d)=∣AM→∧u⃗∣∣u⃗∣d(M, d) = \frac{|\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u}|}{|\vec{u}|}

(où ∧\wedge désigne le produit vectoriel, hors programme strict mais utilisable en exercice).

Méthode alternative (au programme) : on calcule le projeté orthogonal HH de MM sur (d)(d), puis d(M,d)=MHd(M, d) = MH.

Calcul du projeté orthogonal HH :

HH est le point de (d)(d) tel que AH→=tu⃗\overrightarrow{AH} = t\vec{u} avec :

t=AM→⋅u⃗∣u⃗∣2t = \frac{\overrightarrow{AM} \cdot \vec{u}}{|\vec{u}|^2}

Puis d(M,d)=MH=∣MH→∣d(M, d) = MH = |\overrightarrow{MH}|.

Exemple

Soit la droite (d)(d) passant par A(0,0,0)A(0,0,0) de vecteur u⃗(1,0,0)\vec{u}(1,0,0) et le point M(2,3,4)M(2,3,4).

AM→=(2,3,4)\overrightarrow{AM} = (2,3,4)

t=(2,3,4)⋅(1,0,0)1=2t = \frac{(2,3,4) \cdot (1,0,0)}{1} = 2

H=A+2u⃗=(2,0,0)H = A + 2\vec{u} = (2, 0, 0)

d(M,d)=MH=0+9+16=25=5d(M, d) = MH = \sqrt{0+9+16} = \sqrt{25} = 5

12.3 Distance entre deux droites parallèles§

Si (d1)(d_1) et (d2)(d_2) sont parallèles, on prend un point AA de (d1)(d_1) et on calcule d(A,d2)d(A, d_2).

12.4 Distance entre deux droites non coplanaires§

Si (d1)(d_1) et (d2)(d_2) sont non coplanaires, la distance entre elles est la distance entre les deux plans parallèles qui les contiennent respectivement.

On peut aussi utiliser la formule avec le projeté commun perpendiculaire.