Partie II : Géométrie dans l'espace (Terminale)
5. Repère de l’espace§
5.1 Repère cartésien§
[!important] Définition : Repère de l’espace Un repère de l’espace est constitué d’un point $O$ et de trois vecteurs $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ non coplanaires.
- Si les trois vecteurs sont deux à deux orthogonaux et de norme 1 : repère orthonormé.
- On note le repère $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.
Tout point $M$ de l’espace est repéré par trois coordonnées $(x, y, z)$ :
$$\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$$
5.2 Distance et milieu dans l’espace§
Distance : $$AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}$$
Milieu : $$I\left(\frac{x_A+x_B}{2};;;\frac{y_A+y_B}{2};;;\frac{z_A+z_B}{2}\right)$$
6. Vecteurs dans l’espace§
6.1 Coordonnées§
$$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \ y_B - y_A \ z_B - z_A \end{pmatrix}$$
6.2 Opérations§
Les opérations (addition, multiplication par un scalaire, relation de Chasles) se généralisent composante par composante.
6.3 Colinéarité et coplanarité§
[!important] Colinéarité et coplanarité
- $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si $\vec{u} = k\vec{v}$ pour un certain $k \in \mathbb{R}$ (ou $\vec{v} = \vec{0}$).
- Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont coplanaires s’il existe $a, b \in \mathbb{R}$ tels que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$.
Quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ sont coplanaires si et seulement si $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ sont coplanaires.
7. Droites dans l’espace§
7.1 Représentation paramétrique§
[!important] Définition : Représentation paramétrique d’une droite Une droite $(d)$ passant par $A(x_A, y_A, z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$ admet la représentation paramétrique : $$\begin{cases} x = x_A + at \ y = y_A + bt \ z = z_A + ct \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$
[!example] Exemple Droite passant par $A(1, 2, -1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3, -1, 2)$ : $$\begin{cases} x = 1 + 3t \ y = 2 - t \ z = -1 + 2t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$
7.2 Droite définie par deux points§
Si la droite passe par $A$ et $B$, on prend $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ comme vecteur directeur.
8. Plans dans l’espace§
8.1 Équation cartésienne d’un plan§
[!important] Définition : Équation cartésienne d’un plan Un plan $(\mathcal{P})$ admet une équation de la forme : $$ax + by + cz + d = 0$$ où $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$.
Le vecteur $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \ b \ c \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan.
[!tip] Déterminer l’équation d’un plan Connaissant un point $A$ et un vecteur normal $\vec{n}(a,b,c)$ :
$M(x,y,z) \in (\mathcal{P}) \iff \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0$
Soit : $a(x-x_A) + b(y-y_A) + c(z-z_A) = 0$
[!example] Exemple Plan passant par $A(1, 0, 2)$ de vecteur normal $\vec{n}(2, -3, 1)$ :
$2(x-1) - 3(y-0) + 1(z-2) = 0$
$2x - 3y + z - 4 = 0$
8.2 Représentation paramétrique d’un plan§
Un plan passant par $A$ et dirigé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (non colinéaires) :
$$\begin{cases} x = x_A + su_1 + tv_1 \ y = y_A + su_2 + tv_2 \ z = z_A + su_3 + tv_3 \end{cases}, \quad (s, t) \in \mathbb{R}^2$$
9. Positions relatives§
9.1 Positions relatives de deux droites§
flowchart TD
A["Deux droites (d₁) et (d₂)"] --> B{"Vecteurs directeurs<br/>colinéaires ?"}
B -->|"Oui"| C{"Point commun ?"}
B -->|"Non"| D{"Point commun ?"}
C -->|"Oui"| E["Droites<br/>CONFONDUES"]
C -->|"Non"| F["Droites<br/>PARALLÈLES<br/>strictement"]
D -->|"Oui"| G["Droites<br/>SÉCANTES"]
D -->|"Non"| H["Droites<br/>NON COPLANAIRES"]
style E fill:#e6ffe6,stroke:#009900
style F fill:#ffe6e6,stroke:#cc0000
style G fill:#fff2e6,stroke:#cc6600
style H fill:#e6f3ff,stroke:#0066cc
[!warning] Attention Dans l’espace (contrairement au plan), deux droites non parallèles peuvent ne pas se couper : elles sont alors non coplanaires (on dit parfois « gauches »).
9.2 Positions relatives d’une droite et d’un plan§
flowchart TD
A["Droite (d) et plan (P)"] --> B{"Le vecteur directeur ū<br/>de (d) est-il orthogonal<br/>au vecteur normal n̄<br/>de (P) ?<br/>ū · n̄ = 0 ?"}
B -->|"Non (ū · n̄ ≠ 0)"| C["La droite est<br/>SÉCANTE au plan<br/>(1 point d'intersection)"]
B -->|"Oui (ū · n̄ = 0)"| D{"Un point de (d)<br/>appartient-il à (P) ?"}
D -->|"Oui"| E["La droite est<br/>INCLUSE dans le plan"]
D -->|"Non"| F["La droite est<br/>PARALLÈLE au plan"]
style C fill:#fff2e6,stroke:#cc6600
style E fill:#e6ffe6,stroke:#009900
style F fill:#ffe6e6,stroke:#cc0000
9.3 Positions relatives de deux plans§
flowchart TD
A["Deux plans (P₁) et (P₂)"] --> B{"Vecteurs normaux<br/>n̄₁ et n̄₂<br/>colinéaires ?"}
B -->|"Non"| C["Plans<br/>SÉCANTS<br/>(intersection = droite)"]
B -->|"Oui"| D{"Même plan ?<br/>(un point commun ?)"}
D -->|"Oui"| E["Plans<br/>CONFONDUS"]
D -->|"Non"| F["Plans<br/>PARALLÈLES<br/>strictement"]
style C fill:#fff2e6,stroke:#cc6600
style E fill:#e6ffe6,stroke:#009900
style F fill:#ffe6e6,stroke:#cc0000
10. Produit scalaire dans l’espace§
10.1 Définition§
[!important] Produit scalaire dans l’espace Dans un repère orthonormé, si $\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} x’ \ y’ \ z’ \end{pmatrix}$ : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx’ + yy’ + zz’$$
La formule avec l’angle reste valable : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \times |\vec{v}| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})$$
10.2 Norme§
$$|\vec{u}| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$
10.3 Orthogonalité§
$$\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff xx’ + yy’ + zz’ = 0$$
11. Orthogonalité dans l’espace§
11.1 Droite orthogonale à un plan§
[!important] Définition Une droite $(d)$ est orthogonale à un plan $(\mathcal{P})$ si elle est orthogonale à toutes les droites de $(\mathcal{P})$.
En pratique : $(d) \perp (\mathcal{P}) \iff$ le vecteur directeur de $(d)$ est un vecteur normal de $(\mathcal{P})$.
[!tip] Critère pratique Il suffit de vérifier que le vecteur directeur de $(d)$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.
11.2 Plans orthogonaux§
Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont perpendiculaires :
$$(\mathcal{P}_1) \perp (\mathcal{P}_2) \iff \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$$
12. Distances§
12.1 Distance d’un point à un plan§
[!important] Formule : Distance point-plan La distance du point $M_0(x_0, y_0, z_0)$ au plan $(\mathcal{P}) : ax + by + cz + d = 0$ est : $$d(M_0, \mathcal{P}) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$
[!example] Exemple Distance du point $A(1, 2, 3)$ au plan $(\mathcal{P}) : 2x - y + 2z - 1 = 0$ :
$d(A, \mathcal{P}) = \frac{|2(1) - 1(2) + 2(3) - 1|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{|2-2+6-1|}{\sqrt{9}} = \frac{5}{3}$
12.2 Distance d’un point à une droite§
[!important] Formule : Distance point-droite (dans l’espace) La distance du point $M$ à la droite $(d)$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ est : $$d(M, d) = \frac{|\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u}|}{|\vec{u}|}$$ (où $\wedge$ désigne le produit vectoriel, hors programme strict mais utilisable en exercice).
Méthode alternative (au programme) : on calcule le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $(d)$, puis $d(M, d) = MH$.
Calcul du projeté orthogonal $H$ :
$H$ est le point de $(d)$ tel que $\overrightarrow{AH} = t\vec{u}$ avec :
$$t = \frac{\overrightarrow{AM} \cdot \vec{u}}{|\vec{u}|^2}$$
Puis $d(M, d) = MH = |\overrightarrow{MH}|$.
[!example] Exemple Soit la droite $(d)$ passant par $A(0,0,0)$ de vecteur $\vec{u}(1,0,0)$ et le point $M(2,3,4)$.
$\overrightarrow{AM} = (2,3,4)$
$t = \frac{(2,3,4) \cdot (1,0,0)}{1} = 2$
$H = A + 2\vec{u} = (2, 0, 0)$
$d(M, d) = MH = \sqrt{0+9+16} = \sqrt{25} = 5$
12.3 Distance entre deux droites parallèles§
Si $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles, on prend un point $A$ de $(d_1)$ et on calcule $d(A, d_2)$.
12.4 Distance entre deux droites non coplanaires§
Si $(d_1)$ et $(d_2)$ sont non coplanaires, la distance entre elles est la distance entre les deux plans parallèles qui les contiennent respectivement.
On peut aussi utiliser la formule avec le projeté commun perpendiculaire.