Trigonométrie
La trigonométrie est l’étude des relations entre les angles et les longueurs. Au lycée, elle se construit autour du cercle trigonométrique et constitue un outil essentiel pour l’analyse, la géométrie et les suites numériques. Elle prépare aussi aux limites et à l’étude des fonctions en Terminale.
[!quote] Leonhard Euler “Rien ne se fait dans l’univers en quoi ne se manifeste quelque rapport de maximum ou de minimum.”
1. Le cercle trigonométrique§
[!important] Définition Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ (origine du repère) et de rayon $1$, orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d’une montre, appelé aussi sens trigonométrique).
Tout point $M$ du cercle est repéré par un angle $\theta$ (mesuré depuis le point $A(1, 0)$ sur l’axe des abscisses). Les coordonnées de $M$ sont :
$$M = (\cos\theta,; \sin\theta)$$
[!tip] Relation fondamentale Pour tout angle $\theta$ : $$\boxed{\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1}$$ C’est une conséquence directe du théorème de Pythagore appliqué au triangle $OHM$ où $H$ est le projeté de $M$ sur l’axe des abscisses.
2. Radians et degrés§
[!important] Définition Le radian est l’unité d’angle telle qu’un angle de $1$ radian intercepte un arc de longueur $1$ sur le cercle trigonométrique (de rayon $1$).
Conversion§
$$\boxed{\pi \text{ rad} = 180\degree}$$
| Degrés | $0\degree$ | $30\degree$ | $45\degree$ | $60\degree$ | $90\degree$ | $120\degree$ | $135\degree$ | $150\degree$ | $180\degree$ | $270\degree$ | $360\degree$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radians | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\dfrac{2\pi}{3}$ | $\dfrac{3\pi}{4}$ | $\dfrac{5\pi}{6}$ | $\pi$ | $\dfrac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
[!tip] Formules de conversion
- Degrés vers radians : $\alpha_{\text{rad}} = \alpha_{\text{deg}} \times \dfrac{\pi}{180}$
- Radians vers degrés : $\alpha_{\text{deg}} = \alpha_{\text{rad}} \times \dfrac{180}{\pi}$
3. Cosinus, sinus, tangente§
Définitions sur le cercle§
Pour un angle $\theta$, le point $M$ sur le cercle trigonométrique a pour coordonnées $(\cos\theta, \sin\theta)$.
- $\cos\theta$ est l’abscisse de $M$
- $\sin\theta$ est l’ordonnée de $M$
- La tangente est définie par :
$$\boxed{\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}} \quad \text{(définie si } \cos\theta \neq 0\text{)}$$
Domaines de variation§
| Fonction | Domaine de définition | Ensemble image | Période |
|---|---|---|---|
| $\cos$ | $\mathbb{R}$ | $[-1, 1]$ | $2\pi$ |
| $\sin$ | $\mathbb{R}$ | $[-1, 1]$ | $2\pi$ |
| $\tan$ | $\mathbb{R} \setminus \left{\dfrac{\pi}{2} + k\pi,; k \in \mathbb{Z}\right}$ | $\mathbb{R}$ | $\pi$ |
Parité§
- $\cos$ est paire : $\cos(-\theta) = \cos\theta$
- $\sin$ est impaire : $\sin(-\theta) = -\sin\theta$
- $\tan$ est impaire : $\tan(-\theta) = -\tan\theta$
4. Valeurs remarquables§
[!important] Tableau à connaître par coeur
| $\theta$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\cos\theta$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $-1$ |
| $\sin\theta$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $0$ |
| $\tan\theta$ | $0$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | non définie | $0$ |
[!tip] Astuce mnémotechnique Pour le cosinus, retenir la séquence des numérateurs : $\sqrt{4}, \sqrt{3}, \sqrt{2}, \sqrt{1}, \sqrt{0}$ divisés par $2$. Soit : $\dfrac{2}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{0}{2}$ Pour le sinus, c’est la même séquence dans l’ordre inverse.
5. Signes dans les quadrants§
quadrantChart
title Signes de cos et sin par quadrant
x-axis "cos < 0" --> "cos > 0"
y-axis "sin < 0" --> "sin > 0"
quadrant-1 "Quadrant I : cos + , sin +"
quadrant-2 "Quadrant II : cos - , sin +"
quadrant-3 "Quadrant III : cos - , sin -"
quadrant-4 "Quadrant IV : cos + , sin -"
| Quadrant | Intervalle de $\theta$ | $\cos\theta$ | $\sin\theta$ | $\tan\theta$ |
|---|---|---|---|---|
| I | $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| II | $\left[\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$ | $-$ | $+$ | $-$ |
| III | $\left[\pi, \dfrac{3\pi}{2}\right]$ | $-$ | $-$ | $+$ |
| IV | $\left[\dfrac{3\pi}{2}, 2\pi\right]$ | $+$ | $-$ | $-$ |
[!tip] Moyen mnémotechnique En partant du quadrant I et en tournant dans le sens trigonométrique, la tangente est positive dans les quadrants impairs (I et III).
6. Angles associés§
Les formules des angles associés permettent de se ramener au premier quadrant.
| Relation | $\cos$ | $\sin$ |
|---|---|---|
| $\pi - \theta$ | $-\cos\theta$ | $\sin\theta$ |
| $\pi + \theta$ | $-\cos\theta$ | $-\sin\theta$ |
| $-\theta$ | $\cos\theta$ | $-\sin\theta$ |
| $\dfrac{\pi}{2} - \theta$ | $\sin\theta$ | $\cos\theta$ |
| $\dfrac{\pi}{2} + \theta$ | $-\sin\theta$ | $\cos\theta$ |
[!warning] Attention $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta$ : c’est la relation de complémentarité (co-sinus = sinus du complémentaire).
7. Formules d’addition§
[!important] Formules fondamentales
$$\boxed{\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b}$$
$$\boxed{\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b}$$
$$\boxed{\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b}$$
$$\boxed{\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b}$$
$$\boxed{\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}} \quad \text{(si le dénominateur est non nul)}$$
[!tip] Démonstration de $\cos(a - b)$ On considère les points $M_1 = (\cos a, \sin a)$ et $M_2 = (\cos b, \sin b)$ sur le cercle trigonométrique. Le produit scalaire $\vec{OM_1} \cdot \vec{OM_2} = \cos a \cos b + \sin a \sin b$. Or $\vec{OM_1} \cdot \vec{OM_2} = 1 \times 1 \times \cos(a - b)$. D’où $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$.
8. Formules de duplication§
En posant $a = b$ dans les formules d’addition :
$$\boxed{\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a}$$
$$\boxed{\sin(2a) = 2 \sin a \cos a}$$
$$\boxed{\tan(2a) = \frac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}}$$
Formules de linéarisation (déduites des formules de duplication)§
$$\cos^2 a = \frac{1 + \cos(2a)}{2} \qquad \sin^2 a = \frac{1 - \cos(2a)}{2}$$
[!tip] Utilité Les formules de linéarisation sont très utiles pour le calcul de primitives de fonctions trigonométriques.
9. Équations trigonométriques§
Résolution de $\cos(x) = \cos(a)$§
[!important] Théorème $$\cos(x) = \cos(a) \iff x = a + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -a + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$
On écrit aussi : $x \equiv \pm a \pmod{2\pi}$.
Résolution de $\sin(x) = \sin(a)$§
[!important] Théorème $$\sin(x) = \sin(a) \iff x = a + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - a + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$
Résolution de $\tan(x) = \tan(a)$§
[!important] Théorème $$\tan(x) = \tan(a) \iff x = a + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$
[!warning] Attention Toujours vérifier le domaine de définition et, si l’équation est posée sur un intervalle donné, sélectionner les solutions appartenant à cet intervalle.
flowchart TD
A["Équation trigonométrique"] --> B{"Quel type ?"}
B -->|"cos(x) = cos(a)"| C["x = a + 2kπ<br/>ou x = -a + 2kπ"]
B -->|"sin(x) = sin(a)"| D["x = a + 2kπ<br/>ou x = π - a + 2kπ"]
B -->|"tan(x) = tan(a)"| E["x = a + kπ"]
C --> F["Sélectionner les solutions<br/>dans l'intervalle demandé"]
D --> F
E --> F
style C fill:#C8E6C9,stroke:#388E3C,color:#000
style D fill:#BBDEFB,stroke:#1565C0,color:#000
style E fill:#FFF9C4,stroke:#F9A825,color:#000
style F fill:#E1BEE7,stroke:#7B1FA2,color:#000
10. Exercices types corrigés§
Exercice 1 : Valeurs exactes§
[!example] Énoncé Calculer les valeurs exactes de $\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$.
Correction :
On remarque que $\dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{6}$.
En utilisant les formules d’addition :
$$\cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}$$
$$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$
$$\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} + \cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}$$
$$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$
Exercice 2 : Résoudre une équation§
[!example] Énoncé Résoudre sur $[0, 2\pi[$ l’équation $2\cos^2(x) - \cos(x) - 1 = 0$.
Correction :
On pose $X = \cos(x)$. L’équation devient :
$$2X^2 - X - 1 = 0$$
Discriminant : $\Delta = 1 + 8 = 9$. Donc :
$$X = \frac{1 + 3}{4} = 1 \quad \text{ou} \quad X = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$$
Cas 1 : $\cos(x) = 1 \Rightarrow x = 0$.
Cas 2 : $\cos(x) = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{2\pi}{3}$ ou $x = \dfrac{4\pi}{3}$.
L’ensemble des solutions sur $[0, 2\pi[$ est : $\left{0,; \dfrac{2\pi}{3},; \dfrac{4\pi}{3}\right}$.
Exercice 3 : Simplification avec les formules de duplication§
[!example] Énoncé Simplifier $A = \cos^2(x) - \sin^2(x) + 2\sin(x)\cos(x)$.
Correction :
On reconnaît les formules de duplication :
- $\cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x)$
- $2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)$
Donc :
$$A = \cos(2x) + \sin(2x)$$
On peut aussi mettre sous la forme $R\cos(2x - \varphi)$ :
$$A = \sqrt{2}\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$$
(car $\cos(2x) + \sin(2x) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(2x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(2x)\right) = \sqrt{2}\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$)
Exercice 4 : Résoudre une équation en sinus§
[!example] Énoncé Résoudre sur $\mathbb{R}$ l’équation $\sin(3x) = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$.
Correction :
D’après le formulaire :
$\sin(\alpha) = \sin(\beta) \iff \alpha = \beta + 2k\pi$ ou $\alpha = \pi - \beta + 2k\pi$.
Cas 1 : $3x = x + \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$
$2x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$, donc $x = \dfrac{\pi}{8} + k\pi$.
Cas 2 : $3x = \pi - x - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$
$4x = \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$, donc $x = \dfrac{3\pi}{16} + \dfrac{k\pi}{2}$.
L’ensemble des solutions est :
$$\mathcal{S} = \left{\frac{\pi}{8} + k\pi,; k \in \mathbb{Z}\right} \cup \left{\frac{3\pi}{16} + \frac{k\pi}{2},; k \in \mathbb{Z}\right}$$
Exercice 5 : Prouver une identité§
[!example] Énoncé Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $$\cos(x) + \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) + \cos\left(x + \frac{4\pi}{3}\right) = 0$$
Correction :
En utilisant la formule d’addition $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ :
$$\cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = \cos x \cos\frac{2\pi}{3} - \sin x \sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$$
$$\cos\left(x + \frac{4\pi}{3}\right) = \cos x \cos\frac{4\pi}{3} - \sin x \sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$$
Somme :
$$\cos x + \left(-\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right) + \left(-\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)$$
$$= \cos x - \frac{1}{2}\cos x - \frac{1}{2}\cos x = 0$$