Trigonométrie

La trigonométrie est l’étude des relations entre les angles et les longueurs. Au lycée, elle se construit autour du cercle trigonométrique et constitue un outil essentiel pour l’analyse, la géométrie et les suites numériques. Elle prépare aussi aux limites et à l’étude des fonctions en Terminale.

1. Le cercle trigonométrique§

Tout point $M$ du cercle est repéré par un angle $\theta$ (mesuré depuis le point $A(1, 0)$ sur l’axe des abscisses). Les coordonnées de $M$ sont :

$$M = (\cos\theta,; \sin\theta)$$ $$\boxed{\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1}$$

C’est une conséquence directe du théorème de Pythagore appliqué au triangle $OHM$ où $H$ est le projeté de $M$ sur l’axe des abscisses.

2. Radians et degrés§

Conversion§

$$\boxed{\pi \text{ rad} = 180\degree}$$

Degrés	$0\degree$	$30\degree$	$45\degree$	$60\degree$	$90\degree$	$120\degree$	$135\degree$	$150\degree$	$180\degree$	$270\degree$	$360\degree$
Radians	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{2\pi}{3}$	$\dfrac{3\pi}{4}$	$\dfrac{5\pi}{6}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$2\pi$

3. Cosinus, sinus, tangente§

Définitions sur le cercle§

Pour un angle $\theta$, le point $M$ sur le cercle trigonométrique a pour coordonnées $(\cos\theta, \sin\theta)$.

• $\cos\theta$ est l’abscisse de $M$
• $\sin\theta$ est l’ordonnée de $M$
• La tangente est définie par :

$$\boxed{\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}} \quad \text{(définie si } \cos\theta \neq 0\text{)}$$

Domaines de variation§

Fonction	Domaine de définition	Ensemble image	Période
$\cos$	$\mathbb{R}$	$[-1, 1]$	$2\pi$
$\sin$	$\mathbb{R}$	$[-1, 1]$	$2\pi$
$\tan$	\mathbb{R} \setminus \left{\dfrac{\pi}{2} + k\pi,; k \in \mathbb{Z}\right}	$\mathbb{R}$	$\pi$

Parité§

• $\cos$ est paire : $\cos(-\theta) = \cos\theta$
• $\sin$ est impaire : $\sin(-\theta) = -\sin\theta$
• $\tan$ est impaire : $\tan(-\theta) = -\tan\theta$

4. Valeurs remarquables§

$\theta$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$
$\cos\theta$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$	$-1$
$\sin\theta$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$
$\tan\theta$	$0$	$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	non définie	$0$

5. Signes dans les quadrants§

quadrantChart
    title Signes de cos et sin par quadrant
    x-axis "cos < 0" --> "cos > 0"
    y-axis "sin < 0" --> "sin > 0"
    quadrant-1 "Quadrant I : cos + , sin +"
    quadrant-2 "Quadrant II : cos - , sin +"
    quadrant-3 "Quadrant III : cos - , sin -"
    quadrant-4 "Quadrant IV : cos + , sin -"

Quadrant	Intervalle de $\theta$	$\cos\theta$	$\sin\theta$	$\tan\theta$
I	$\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$	$+$	$+$	$+$
II	$\left[\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$	$-$	$+$	$-$
III	$\left[\pi, \dfrac{3\pi}{2}\right]$	$-$	$-$	$+$
IV	$\left[\dfrac{3\pi}{2}, 2\pi\right]$	$+$	$-$	$-$

6. Angles associés§

Les formules des angles associés permettent de se ramener au premier quadrant.

Relation	$\cos$	$\sin$
$\pi - \theta$	$-\cos\theta$	$\sin\theta$
$\pi + \theta$	$-\cos\theta$	$-\sin\theta$
$-\theta$	$\cos\theta$	$-\sin\theta$
$\dfrac{\pi}{2} - \theta$	$\sin\theta$	$\cos\theta$
$\dfrac{\pi}{2} + \theta$	$-\sin\theta$	$\cos\theta$

7. Formules d’addition§

$$\boxed{\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b}$$ $$\boxed{\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b}$$ $$\boxed{\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b}$$ $$\boxed{\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b}$$ $$\boxed{\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}} \quad \text{(si le dénominateur est non nul)}$$

8. Formules de duplication§

En posant $a = b$ dans les formules d’addition :

$$\boxed{\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a}$$ $$\boxed{\sin(2a) = 2 \sin a \cos a}$$ $$\boxed{\tan(2a) = \frac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}}$$

Formules de linéarisation (déduites des formules de duplication)§

$$\cos^2 a = \frac{1 + \cos(2a)}{2} \qquad \sin^2 a = \frac{1 - \cos(2a)}{2}$$

9. Équations trigonométriques§

Résolution de $\cos(x) = \cos(a)$§

$$\cos(x) = \cos(a) \iff x = a + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -a + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

On écrit aussi : $x \equiv \pm a \pmod{2\pi}$.

Résolution de $\sin(x) = \sin(a)$§

$$\sin(x) = \sin(a) \iff x = a + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - a + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Résolution de $\tan(x) = \tan(a)$§

$$\tan(x) = \tan(a) \iff x = a + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

flowchart TD
    A["Équation trigonométrique"] --> B{"Quel type ?"}
    B -->|"cos(x) = cos(a)"| C["x = a + 2kπ<br/>ou x = -a + 2kπ"]
    B -->|"sin(x) = sin(a)"| D["x = a + 2kπ<br/>ou x = π - a + 2kπ"]
    B -->|"tan(x) = tan(a)"| E["x = a + kπ"]
    C --> F["Sélectionner les solutions<br/>dans l'intervalle demandé"]
    D --> F
    E --> F

    style C fill:#C8E6C9,stroke:#388E3C,color:#000
    style D fill:#BBDEFB,stroke:#1565C0,color:#000
    style E fill:#FFF9C4,stroke:#F9A825,color:#000
    style F fill:#E1BEE7,stroke:#7B1FA2,color:#000

10. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Valeurs exactes§

Correction :

On remarque que $\dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{6}$.

En utilisant les formules d’addition :

$$\cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}$$ $$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$ $$\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} + \cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}$$ $$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

Exercice 2 : Résoudre une équation§

Correction :

On pose $X = \cos(x)$. L’équation devient :

$$2X^2 - X - 1 = 0$$

Discriminant : $\Delta = 1 + 8 = 9$. Donc :

$$X = \frac{1 + 3}{4} = 1 \quad \text{ou} \quad X = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$$

Cas 1 : $\cos(x) = 1 \Rightarrow x = 0$.

Cas 2 : $\cos(x) = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{2\pi}{3}$ ou $x = \dfrac{4\pi}{3}$.

L’ensemble des solutions sur $[0, 2\pi[$ est : \left{0,; \dfrac{2\pi}{3},; \dfrac{4\pi}{3}\right}.

Exercice 3 : Simplification avec les formules de duplication§

Correction :

On reconnaît les formules de duplication :

• $\cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x)$
• $2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)$

Donc :

$$A = \cos(2x) + \sin(2x)$$

On peut aussi mettre sous la forme $R\cos(2x - \varphi)$ :

$$A = \sqrt{2}\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$$

(car $\cos(2x) + \sin(2x) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(2x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(2x)\right) = \sqrt{2}\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$)

Exercice 4 : Résoudre une équation en sinus§

Correction :

D’après le formulaire :

$\sin(\alpha) = \sin(\beta) \iff \alpha = \beta + 2k\pi$ ou $\alpha = \pi - \beta + 2k\pi$.

Cas 1 : $3x = x + \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$

$2x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$, donc $x = \dfrac{\pi}{8} + k\pi$.

Cas 2 : $3x = \pi - x - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$

$4x = \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$, donc $x = \dfrac{3\pi}{16} + \dfrac{k\pi}{2}$.

L’ensemble des solutions est :

\mathcal{S} = \left{\frac{\pi}{8} + k\pi,; k \in \mathbb{Z}\right} \cup \left{\frac{3\pi}{16} + \frac{k\pi}{2},; k \in \mathbb{Z}\right}

Exercice 5 : Prouver une identité§

$$\cos(x) + \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) + \cos\left(x + \frac{4\pi}{3}\right) = 0$$

Correction :

En utilisant la formule d’addition $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ :

$$\cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = \cos x \cos\frac{2\pi}{3} - \sin x \sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$$ $$\cos\left(x + \frac{4\pi}{3}\right) = \cos x \cos\frac{4\pi}{3} - \sin x \sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$$

Somme :

$$\cos x + \left(-\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right) + \left(-\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)$$ $$= \cos x - \frac{1}{2}\cos x - \frac{1}{2}\cos x = 0$$