Garden of KnowledgeApplied Sciences › Mathematics › Lycée › Probabilités & Stats
February 22, 2026

Suites Numériques

Les suites numériques sont l’un des piliers de l’analyse. Elles permettent de modéliser des phénomènes discrets (évolution d’une population, intérêts composés, algorithmes itératifs) et constituent le fondement de la notion de limite, centrale en Limites et Continuité.

[!quote] Henri Poincaré “Les mathématiques sont l’art de donner le même nom à des choses différentes.”

1. Définition d’une suite§

[!important] Définition Une suite numérique est une application de $\mathbb{N}$ (ou d’une partie de $\mathbb{N}$) dans $\mathbb{R}$. On la note $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou simplement $(u_n)$. Pour chaque entier $n$, le réel $u_n$ est appelé le terme de rang $n$ (ou terme général).

Deux modes de génération§

Une suite peut être définie de deux manières fondamentales :

a) Définition explicite§

Le terme $u_n$ est donné directement en fonction de $n$.

[!example] Exemple $u_n = 3n + 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

b) Définition par récurrence§

Le terme $u_n$ est défini en fonction du ou des termes précédents, avec un premier terme donné.

[!example] Exemple $\begin{cases} u_0 = 1 \ u_{n+1} = 2u_n + 3 \end{cases}$

[!warning] Attention Pour une suite définie par récurrence, on ne peut pas calculer directement $u_{100}$ sans avoir calculé tous les termes précédents (sauf si on trouve une formule explicite équivalente).

2. Suites arithmétiques§

[!important] Définition Une suite $(u_n)$ est arithmétique s’il existe un réel $r$ (appelé raison) tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$u_{n+1} = u_n + r$$

Terme général§

$$\boxed{u_n = u_0 + n \cdot r}$$

Plus généralement, si on connaît $u_p$ :

$$u_n = u_p + (n - p) \cdot r$$

Somme des termes consécutifs§

La somme des $n+1$ premiers termes ($u_0$ à $u_n$) vaut :

$$\boxed{S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1) \times \frac{u_0 + u_n}{2}}$$

[!tip] Astuce mnémotechnique Nombre de termes $\times$ moyenne du premier et du dernier terme. En particulier : $1 + 2 + 3 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$

[!example] Exemple complet Soit $(u_n)$ arithmétique avec $u_0 = 3$ et $r = 4$.

Représentation graphique§

Les points $(n, u_n)$ d’une suite arithmétique sont alignés sur une droite de pente $r$.

3. Suites géométriques§

[!important] Définition Une suite $(u_n)$ est géométrique s’il existe un réel $q \neq 0$ (appelé raison) tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$u_{n+1} = q \cdot u_n$$

Terme général§

$$\boxed{u_n = u_0 \cdot q^n}$$

Plus généralement, si on connaît $u_p$ :

$$u_n = u_p \cdot q^{n-p}$$

Somme des termes consécutifs§

Pour $q \neq 1$, la somme des $n+1$ premiers termes vaut :

$$\boxed{S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 \cdot \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}}$$

[!tip] Formule à retenir $$1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$$ Cette formule est la somme géométrique fondamentale.

[!example] Exemple complet Soit $(u_n)$ géométrique avec $u_0 = 5$ et $q = 2$.

Comportement selon la raison§

ConditionComportement de $(u_n)$ avec $u_0 > 0$
$q > 1$Croissante, diverge vers $+\infty$
$q = 1$Constante
$0 < q < 1$Décroissante, converge vers $0$
$q = 0$Non définie (convention)
$-1 < q < 0$Alternée, converge vers $0$
$q = -1$Alternée, ne converge pas
$q < -1$Alternée, diverge

4. Comment identifier le type de suite§

flowchart TD
    A["On dispose d'une suite (u_n)"] --> B{"Calculer u_{n+1} - u_n"}
    B -->|"Résultat = constante r"| C["Suite arithmétique<br/>de raison r"]
    B -->|"Résultat non constant"| D{"u_0 ≠ 0 ?<br/>Calculer u_{n+1} / u_n"}
    D -->|"Résultat = constante q"| E["Suite géométrique<br/>de raison q"]
    D -->|"Résultat non constant"| F{"Poser v_n = f(u_n)<br/>et tester v_n"}
    F -->|"v_n arithmétique<br/>ou géométrique"| G["Suite arithmético-<br/>géométrique<br/>ou autre transformation"]
    F -->|"Aucun résultat"| H["Suite quelconque :<br/>étudier directement<br/>monotonie et limites"]

    style C fill:#C8E6C9,stroke:#388E3C,color:#000
    style E fill:#BBDEFB,stroke:#1565C0,color:#000
    style G fill:#FFF9C4,stroke:#F9A825,color:#000
    style H fill:#FFCCBC,stroke:#E64A19,color:#000

5. Sens de variation§

[!important] Définitions Soit $(u_n)$ une suite :

Méthodes pour étudier la monotonie§

Méthode 1 : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$.

Méthode 2 : Si tous les termes sont strictement positifs, comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$.

Méthode 3 : Si $u_n = f(n)$, étudier les variations de la fonction $f$.

[!example] Exemple Soit $u_n = n^2 - 5n$. Étudier la monotonie.

$u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 5(n+1) - n^2 + 5n$ $= n^2 + 2n + 1 - 5n - 5 - n^2 + 5n = 2n - 4$

La suite n’est pas monotone sur $\mathbb{N}$ mais elle est croissante à partir du rang 2.

6. Suites bornées§

[!important] Définitions

[!tip] Propriété fondamentale Toute suite convergente est bornée. Attention : la réciproque est fausse ! Exemple : $u_n = (-1)^n$ est bornée mais ne converge pas.

7. Convergence§

Notion intuitive (Première)§

[!important] Définition intuitive On dit que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ si les termes $u_n$ se rapprochent indéfiniment de $\ell$ quand $n$ devient arbitrairement grand. On note : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$

Définition formelle (Terminale)§

[!important] Définition rigoureuse ($\varepsilon$-$N$) La suite $(u_n)$ converge vers $\ell \in \mathbb{R}$ si : $$\forall \varepsilon > 0, ; \exists N \in \mathbb{N}, ; \forall n \geq N : ; |u_n - \ell| < \varepsilon$$ Cela signifie que tous les termes de la suite finissent par être aussi proches de $\ell$ qu’on le souhaite.

Limites de référence§

SuiteLimite
$\dfrac{1}{n}$$0$
$\dfrac{1}{n^2}$$0$
$\dfrac{1}{\sqrt{n}}$$0$
$q^n$ avec $|q| < 1$$0$
$q^n$ avec $q > 1$$+\infty$
$\sqrt{n}$$+\infty$
$n^k$ avec $k \geq 1$$+\infty$

8. Théorème de convergence monotone§

[!important] Théorème

[!warning] Attention Ce théorème affirme l’existence de la limite mais ne donne pas sa valeur. Pour trouver la limite, il faut souvent utiliser d’autres techniques (passage à la limite dans une relation de récurrence, par exemple).

[!example] Exemple d’application Soit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$.

1) La suite est majorée par 2 : Si $u_n \leq 2$, alors $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n} \leq \sqrt{2 + 2} = 2$. Par récurrence, $u_n \leq 2$ pour tout $n$.

2) La suite est croissante : $u_{n+1} - u_n = \sqrt{2 + u_n} - u_n$. On pose $f(x) = \sqrt{2+x} - x$, et on montre que $f(x) \geq 0$ pour $x \in [1, 2]$.

3) Conclusion : $(u_n)$ est croissante et majorée, donc elle converge.

4) Calcul de la limite : Si $\ell = \lim u_n$, alors par passage à la limite : $\ell = \sqrt{2 + \ell}$, donc $\ell^2 = 2 + \ell$, soit $\ell^2 - \ell - 2 = 0$. $(\ell - 2)(\ell + 1) = 0$. Comme $u_n \geq 1$, on a $\ell = 2$.

9. Suites adjacentes§

[!important] Définition Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si :

  1. $(u_n)$ est croissante,
  2. $(v_n)$ est décroissante,
  3. $\lim_{n \to +\infty} (v_n - u_n) = 0$.

[!important] Théorème des suites adjacentes Si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes, alors elles convergent vers la même limite $\ell$, et pour tout $n$ : $$u_n \leq \ell \leq v_n$$

[!tip] Application classique Ce théorème est souvent utilisé pour encadrer une limite. Par exemple, on peut construire des suites adjacentes qui encadrent $\sqrt{2}$, $\pi$, ou $e$.

10. Raisonnement par récurrence§

[!important] Principe Pour démontrer qu’une propriété $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ :

  1. Initialisation : Vérifier que $P(n_0)$ est vraie.
  2. Hérédité : Supposer $P(n)$ vraie pour un certain $n \geq n_0$ (hypothèse de récurrence) et montrer que $P(n+1)$ est vraie.
  3. Conclusion : Par le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$.
flowchart LR
    A["Initialisation<br/>Vérifier P(n₀)"] --> B["Hérédité<br/>P(n) ⟹ P(n+1)"]
    B --> C["Conclusion<br/>P(n) vraie ∀ n ≥ n₀"]

    style A fill:#C8E6C9,stroke:#388E3C,color:#000
    style B fill:#BBDEFB,stroke:#1565C0,color:#000
    style C fill:#E1BEE7,stroke:#7B1FA2,color:#000

[!example] Exemple Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Initialisation ($n = 1$) : $\sum_{k=1}^{1} k^2 = 1$ et $\dfrac{1 \times 2 \times 3}{6} = 1$. OK.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. Alors : $$\sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2 + (n+1)^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2$$ $$= \frac{n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)^2}{6} = \frac{(n+1)[n(2n+1) + 6(n+1)]}{6}$$ $$= \frac{(n+1)(2n^2 + 7n + 6)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$$ C’est bien la formule au rang $n+1$.

Conclusion : Par récurrence, la formule est vraie pour tout $n \geq 1$.

11. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Identifier une suite§

[!example] Énoncé La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = u_n + 7$.

  1. Quelle est la nature de cette suite ?
  2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
  3. Calculer $S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{20}$.

Correction :

  1. $u_{n+1} - u_n = 7$ (constante) donc $(u_n)$ est arithmétique de raison $r = 7$.

  2. $u_n = u_0 + nr = 5 + 7n$.

  3. $S = \displaystyle\sum_{k=0}^{20} u_k = 21 \times \dfrac{u_0 + u_{20}}{2} = 21 \times \dfrac{5 + 145}{2} = 21 \times 75 = 1575$.

Exercice 2 : Suite géométrique et placement financier§

[!example] Énoncé On place $1000$ euros sur un compte à intérêts composés de $3%$ par an. Soit $C_n$ le capital après $n$ années.

  1. Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$.
  2. En déduire la nature et le terme général de $(C_n)$.
  3. Au bout de combien d’années le capital dépasse-t-il $1500$ euros ?

Correction :

  1. Chaque année, le capital est multiplié par $1{,}03$ : $C_{n+1} = 1{,}03 \times C_n$.

  2. $(C_n)$ est géométrique de raison $q = 1{,}03$ et de premier terme $C_0 = 1000$. $C_n = 1000 \times 1{,}03^n$.

  3. On cherche $n$ tel que $C_n > 1500$ : $1000 \times 1{,}03^n > 1500$ $1{,}03^n > 1{,}5$ $n \ln(1{,}03) > \ln(1{,}5)$ $n > \dfrac{\ln(1{,}5)}{\ln(1{,}03)} \approx \dfrac{0{,}405}{0{,}0296} \approx 13{,}7$

    Le capital dépasse $1500$ euros au bout de 14 ans.

Exercice 3 : Récurrence et convergence§

[!example] Énoncé Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n + 2$.

  1. Conjecturer la limite de $(u_n)$.
  2. Montrer par récurrence que $0 \leq u_n \leq 3$ pour tout $n$.
  3. Montrer que $(u_n)$ est croissante.
  4. En déduire que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

Correction :

  1. Premiers termes : $u_0 = 0$, $u_1 = 2$, $u_2 = \frac{8}{3} \approx 2{,}67$, $u_3 = \frac{26}{9} \approx 2{,}89$. Conjecture : $\ell = 3$.

  2. Récurrence :

    • Initialisation : $u_0 = 0 \in [0, 3]$. OK.
    • Hérédité : Si $0 \leq u_n \leq 3$, alors $0 \leq \frac{1}{3}u_n \leq 1$, donc $2 \leq \frac{1}{3}u_n + 2 \leq 3$, soit $0 \leq u_{n+1} \leq 3$. OK.

  3. $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{3}u_n + 2 - u_n = -\frac{2}{3}u_n + 2 = \frac{2}{3}(3 - u_n)$. Comme $u_n \leq 3$, on a $u_{n+1} - u_n \geq 0$. Donc $(u_n)$ est croissante.

  4. $(u_n)$ est croissante et majorée par $3$, donc elle converge (théorème de convergence monotone). Soit $\ell$ sa limite. Par passage à la limite : $\ell = \frac{1}{3}\ell + 2$, donc $\frac{2}{3}\ell = 2$, d’où $\ell = 3$.

Exercice 4 : Suite auxiliaire§

[!example] Énoncé Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 4$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$. On pose $v_n = u_n - 2$.

  1. Montrer que $(v_n)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
  2. En déduire $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
  3. Déterminer la limite de $(u_n)$.

Correction :

  1. $v_{n+1} = u_{n+1} - 2 = \frac{1}{2}u_n + 1 - 2 = \frac{1}{2}u_n - 1 = \frac{1}{2}(u_n - 2) = \frac{1}{2}v_n$. Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 2 = 2$.

  2. $v_n = 2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{2}{2^n} = \frac{1}{2^{n-1}}$. Donc $u_n = v_n + 2 = \dfrac{1}{2^{n-1}} + 2$.

  3. $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2^{n-1}} = 0$, donc $\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$.

—The Gardener