Suites Numériques

Les suites numériques sont l’un des piliers de l’analyse. Elles permettent de modéliser des phénomènes discrets (évolution d’une population, intérêts composés, algorithmes itératifs) et constituent le fondement de la notion de limite, centrale en Limites et Continuité.

Henri Poincaré

“Les mathématiques sont l’art de donner le même nom à des choses différentes.”

1. Définition d’une suite§

Définition

Une suite numérique est une application de $\mathbb{N}$ (ou d’une partie de $\mathbb{N}$ ) dans $\mathbb{R}$ . On la note $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou simplement $(u_n)$ . Pour chaque entier $n$ , le réel $u_n$ est appelé le terme de rang $n$ (ou terme général).

Deux modes de génération§

Une suite peut être définie de deux manières fondamentales :

a) Définition explicite§

Le terme $u_n$ est donné directement en fonction de $n$ .

Exemple

$u_n = 3n + 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

$u_0 = 2$ , $u_1 = 5$ , $u_2 = 8$ , $u_3 = 11$ , …

b) Définition par récurrence§

Le terme $u_n$ est défini en fonction du ou des termes précédents, avec un premier terme donné.

Exemple

$\begin{cases} u_0 = 1 \ u_{n+1} = 2u_n + 3 \end{cases}$

$u_0 = 1$ , $u_1 = 5$ , $u_2 = 13$ , $u_3 = 29$ , …

Attention

Pour une suite définie par récurrence, on ne peut pas calculer directement $u_{100}$ sans avoir calculé tous les termes précédents (sauf si on trouve une formule explicite équivalente).

2. Suites arithmétiques§

Définition

Une suite $(u_n)$ est arithmétique s’il existe un réel $r$ (appelé raison) tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

u_{n+1} = u_n + r

Terme général§

\boxed{u_n = u_0 + n \cdot r}

Plus généralement, si on connaît $u_p$ :

u_n = u_p + (n - p) \cdot r

Somme des termes consécutifs§

La somme des $n+1$ premiers termes ( $u_0$ à $u_n$ ) vaut :

\boxed{S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1) \times \frac{u_0 + u_n}{2}}

Astuce mnémotechnique

Nombre de termes $\times$ moyenne du premier et du dernier terme. En particulier : $1 + 2 + 3 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$

Exemple complet

Soit $(u_n)$ arithmétique avec $u_0 = 3$ et $r = 4$ .

Terme général : $u_n = 3 + 4n$
$u_{10} = 3 + 40 = 43$
Somme $S_{10} = \sum_{k=0}^{10} u_k = 11 \times \dfrac{3 + 43}{2} = 11 \times 23 = 253$

Représentation graphique§

Les points $(n, u_n)$ d’une suite arithmétique sont alignés sur une droite de pente $r$ .

Si $r > 0$ : la suite est strictement croissante.
Si $r < 0$ : la suite est strictement décroissante.
Si $r = 0$ : la suite est constante.

3. Suites géométriques§

Définition

Une suite $(u_n)$ est géométrique s’il existe un réel $q \neq 0$ (appelé raison) tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

u_{n+1} = q \cdot u_n

Terme général§

\boxed{u_n = u_0 \cdot q^n}

Plus généralement, si on connaît $u_p$ :

u_n = u_p \cdot q^{n-p}

Somme des termes consécutifs§

Pour $q \neq 1$ , la somme des $n+1$ premiers termes vaut :

\boxed{S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 \cdot \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}}

Formule à retenir

1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}

Cette formule est la somme géométrique fondamentale.

Exemple complet

Soit $(u_n)$ géométrique avec $u_0 = 5$ et $q = 2$ .

Terme général : $u_n = 5 \times 2^n$
$u_6 = 5 \times 64 = 320$
Somme $S_6 = 5 \times \dfrac{1 - 2^7}{1 - 2} = 5 \times \dfrac{1 - 128}{-1} = 5 \times 127 = 635$

Comportement selon la raison§

Condition	Comportement de $(u_n)$ avec $u_0 > 0$
$q > 1$	Croissante, diverge vers $+\infty$
$q = 1$	Constante
$0 < q < 1$	Décroissante, converge vers $0$
$q = 0$	Non définie (convention)
$-1 < q < 0$	Alternée, converge vers $0$
$q = -1$	Alternée, ne converge pas
$q < -1$	Alternée, diverge

4. Comment identifier le type de suite§

flowchart TD
    A["On dispose d'une suite (u_n)"] --> B{"Calculer u_{n+1} - u_n"}
    B -->|"Résultat = constante r"| C["Suite arithmétique<br/>de raison r"]
    B -->|"Résultat non constant"| D{"u_0 ≠ 0 ?<br/>Calculer u_{n+1} / u_n"}
    D -->|"Résultat = constante q"| E["Suite géométrique<br/>de raison q"]
    D -->|"Résultat non constant"| F{"Poser v_n = f(u_n)<br/>et tester v_n"}
    F -->|"v_n arithmétique<br/>ou géométrique"| G["Suite arithmético-<br/>géométrique<br/>ou autre transformation"]
    F -->|"Aucun résultat"| H["Suite quelconque :<br/>étudier directement<br/>monotonie et limites"]

    style C fill:#C8E6C9,stroke:#388E3C,color:#000
    style E fill:#BBDEFB,stroke:#1565C0,color:#000
    style G fill:#FFF9C4,stroke:#F9A825,color:#000
    style H fill:#FFCCBC,stroke:#E64A19,color:#000

5. Sens de variation§

Définitions

Soit $(u_n)$ une suite :

$(u_n)$ est croissante si pour tout $n$ : $u_{n+1} \geq u_n$
$(u_n)$ est strictement croissante si pour tout $n$ : $u_{n+1} > u_n$
$(u_n)$ est décroissante si pour tout $n$ : $u_{n+1} \leq u_n$
$(u_n)$ est monotone si elle est croissante ou décroissante.

Méthodes pour étudier la monotonie§

Méthode 1 : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ .

Méthode 2 : Si tous les termes sont strictement positifs, comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ .

Méthode 3 : Si $u_n = f(n)$ , étudier les variations de la fonction $f$ .

Exemple

Soit $u_n = n^2 - 5n$ . Étudier la monotonie.

$u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 5(n+1) - n^2 + 5n$ $= n^2 + 2n + 1 - 5n - 5 - n^2 + 5n = 2n - 4$

Si $n \geq 2$ : $u_{n+1} - u_n \geq 0$ donc $(u_n)$ est croissante.
Si $n \leq 1$ : $u_{n+1} - u_n \leq 0$ donc $(u_n)$ est décroissante.

La suite n’est pas monotone sur $\mathbb{N}$ mais elle est croissante à partir du rang 2.

6. Suites bornées§

Définitions

$(u_n)$ est majorée s’il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $n$ : $u_n \leq M$ .
$(u_n)$ est minorée s’il existe $m \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $n$ : $u_n \geq m$ .
$(u_n)$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Propriété fondamentale

Toute suite convergente est bornée. Attention : la réciproque est fausse ! Exemple : $u_n = (-1)^n$ est bornée mais ne converge pas.

7. Convergence§

Notion intuitive (Première)§

Définition intuitive

On dit que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ si les termes $u_n$ se rapprochent indéfiniment de $\ell$ quand $n$ devient arbitrairement grand. On note : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$

Définition formelle (Terminale)§

Définition rigoureuse (

\varepsilon

N

)

La suite $(u_n)$ converge vers $\ell \in \mathbb{R}$ si :

\forall \varepsilon > 0, ; \exists N \in \mathbb{N}, ; \forall n \geq N : ; |u_n - \ell| < \varepsilon

Cela signifie que tous les termes de la suite finissent par être aussi proches de $\ell$ qu’on le souhaite.

Limites de référence§

Suite	Limite
$\dfrac{1}{n}$	$0$
$\dfrac{1}{n^2}$	$0$
$\dfrac{1}{\sqrt{n}}$	$0$
$q^n$ avec $\|q\| < 1$	$0$
$q^n$ avec $q > 1$	$+\infty$
$\sqrt{n}$	$+\infty$
$n^k$ avec $k \geq 1$	$+\infty$

8. Théorème de convergence monotone§

Théorème

Toute suite croissante et majorée converge.
Toute suite décroissante et minorée converge.

Attention

Ce théorème affirme l’existence de la limite mais ne donne pas sa valeur. Pour trouver la limite, il faut souvent utiliser d’autres techniques (passage à la limite dans une relation de récurrence, par exemple).

Exemple d’application

Soit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$ .

1) La suite est majorée par 2 : Si $u_n \leq 2$ , alors $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n} \leq \sqrt{2 + 2} = 2$ . Par récurrence, $u_n \leq 2$ pour tout $n$ .

2) La suite est croissante : $u_{n+1} - u_n = \sqrt{2 + u_n} - u_n$ . On pose $f(x) = \sqrt{2+x} - x$ , et on montre que $f(x) \geq 0$ pour $x \in [1, 2]$ .

3) Conclusion : $(u_n)$ est croissante et majorée, donc elle converge.

4) Calcul de la limite : Si $\ell = \lim u_n$ , alors par passage à la limite : $\ell = \sqrt{2 + \ell}$ , donc $\ell^2 = 2 + \ell$ , soit $\ell^2 - \ell - 2 = 0$ . $(\ell - 2)(\ell + 1) = 0$ . Comme $u_n \geq 1$ , on a $\ell = 2$ .

9. Suites adjacentes§

Définition

Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si :

$(u_n)$ est croissante,
$(v_n)$ est décroissante,
$\lim_{n \to +\infty} (v_n - u_n) = 0$ .

Théorème des suites adjacentes

Si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes, alors elles convergent vers la même limite $\ell$ , et pour tout $n$ :

u_n \leq \ell \leq v_n

Application classique

Ce théorème est souvent utilisé pour encadrer une limite. Par exemple, on peut construire des suites adjacentes qui encadrent $\sqrt{2}$ , $\pi$ , ou $e$ .

10. Raisonnement par récurrence§

Principe

Pour démontrer qu’une propriété $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ :

Initialisation : Vérifier que $P(n_0)$ est vraie.
Hérédité : Supposer $P(n)$ vraie pour un certain $n \geq n_0$ (hypothèse de récurrence) et montrer que $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion : Par le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ .

flowchart LR
    A["Initialisation<br/>Vérifier P(n₀)"] --> B["Hérédité<br/>P(n) ⟹ P(n+1)"]
    B --> C["Conclusion<br/>P(n) vraie ∀ n ≥ n₀"]

    style A fill:#C8E6C9,stroke:#388E3C,color:#000
    style B fill:#BBDEFB,stroke:#1565C0,color:#000
    style C fill:#E1BEE7,stroke:#7B1FA2,color:#000

Exemple

Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Initialisation ( $n = 1$ ) : $\sum_{k=1}^{1} k^2 = 1$ et $\dfrac{1 \times 2 \times 3}{6} = 1$ . OK.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ . Alors :

\sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2 + (n+1)^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2

= \frac{n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)^2}{6} = \frac{(n+1)[n(2n+1) + 6(n+1)]}{6}

= \frac{(n+1)(2n^2 + 7n + 6)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}

C’est bien la formule au rang $n+1$ .

Conclusion : Par récurrence, la formule est vraie pour tout $n \geq 1$ .

11. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Identifier une suite§

Énoncé

La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = u_n + 7$ .

Quelle est la nature de cette suite ?
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
Calculer $S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{20}$ .

Correction :

$u_{n+1} - u_n = 7$ (constante) donc $(u_n)$ est arithmétique de raison $r = 7$ .
$u_n = u_0 + nr = 5 + 7n$ .
$S = \displaystyle\sum_{k=0}^{20} u_k = 21 \times \dfrac{u_0 + u_{20}}{2} = 21 \times \dfrac{5 + 145}{2} = 21 \times 75 = 1575$ .

Exercice 2 : Suite géométrique et placement financier§

Énoncé

On place $1000$ euros sur un compte à intérêts composés de $3%$ par an. Soit $C_n$ le capital après $n$ années.

Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$ .
En déduire la nature et le terme général de $(C_n)$ .
Au bout de combien d’années le capital dépasse-t-il $1500$ euros ?

Correction :

Chaque année, le capital est multiplié par $1{,}03$ : $C_{n+1} = 1{,}03 \times C_n$ .
$(C_n)$ est géométrique de raison $q = 1{,}03$ et de premier terme $C_0 = 1000$ . $C_n = 1000 \times 1{,}03^n$ .
On cherche $n$ tel que $C_n > 1500$ : $1000 \times 1{,}03^n > 1500$ $1{,}03^n > 1{,}5$ $n \ln(1{,}03) > \ln(1{,}5)$ $n > \dfrac{\ln(1{,}5)}{\ln(1{,}03)} \approx \dfrac{0{,}405}{0{,}0296} \approx 13{,}7$

Le capital dépasse $1500$ euros au bout de 14 ans.

Exercice 3 : Récurrence et convergence§

Énoncé

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n + 2$ .

Conjecturer la limite de $(u_n)$ .
Montrer par récurrence que $0 \leq u_n \leq 3$ pour tout $n$ .
Montrer que $(u_n)$ est croissante.
En déduire que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

Correction :

Premiers termes : $u_0 = 0$ , $u_1 = 2$ , $u_2 = \frac{8}{3} \approx 2{,}67$ , $u_3 = \frac{26}{9} \approx 2{,}89$ . Conjecture : $\ell = 3$ .
Récurrence :
- Initialisation : $u_0 = 0 \in [0, 3]$ . OK.
- Hérédité : Si $0 \leq u_n \leq 3$ , alors $0 \leq \frac{1}{3}u_n \leq 1$ , donc $2 \leq \frac{1}{3}u_n + 2 \leq 3$ , soit $0 \leq u_{n+1} \leq 3$ . OK.
$u_{n+1} - u_n = \frac{1}{3}u_n + 2 - u_n = -\frac{2}{3}u_n + 2 = \frac{2}{3}(3 - u_n)$ . Comme $u_n \leq 3$ , on a $u_{n+1} - u_n \geq 0$ . Donc $(u_n)$ est croissante.
$(u_n)$ est croissante et majorée par $3$ , donc elle converge (théorème de convergence monotone). Soit $\ell$ sa limite. Par passage à la limite : $\ell = \frac{1}{3}\ell + 2$ , donc $\frac{2}{3}\ell = 2$ , d’où $\ell = 3$ .

Exercice 4 : Suite auxiliaire§

Énoncé

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 4$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$ . On pose $v_n = u_n - 2$ .

Montrer que $(v_n)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
En déduire $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$ .
Déterminer la limite de $(u_n)$ .

Correction :

$v_{n+1} = u_{n+1} - 2 = \frac{1}{2}u_n + 1 - 2 = \frac{1}{2}u_n - 1 = \frac{1}{2}(u_n - 2) = \frac{1}{2}v_n$ . Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 2 = 2$ .
$v_n = 2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{2}{2^n} = \frac{1}{2^{n-1}}$ . Donc $u_n = v_n + 2 = \dfrac{1}{2^{n-1}} + 2$ .
$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2^{n-1}} = 0$ , donc $\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$ .

1. Définition d’une suite§

Deux modes de génération§

a) Définition explicite§

b) Définition par récurrence§

2. Suites arithmétiques§

Terme général§

Somme des termes consécutifs§

Représentation graphique§

3. Suites géométriques§

Terme général§

Somme des termes consécutifs§

Comportement selon la raison§

4. Comment identifier le type de suite§

5. Sens de variation§

Méthodes pour étudier la monotonie§

6. Suites bornées§

7. Convergence§

Notion intuitive (Première)§

Définition formelle (Terminale)§

Limites de référence§

8. Théorème de convergence monotone§

9. Suites adjacentes§

10. Raisonnement par récurrence§

11. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Identifier une suite§

Exercice 2 : Suite géométrique et placement financier§

Exercice 3 : Récurrence et convergence§

Exercice 4 : Suite auxiliaire§

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