Statistiques Descriptives (Seconde)
[!tip] Vue d’ensemble Les statistiques descriptives analysent des données observées pour en dégager des tendances : position centrale (moyenne, médiane) et dispersion (variance, écart-type).
Partie I : Statistiques descriptives (Seconde)§
1. Vocabulaire et séries statistiques§
[!important] Définitions
- Population : l’ensemble des individus étudiés.
- Caractère (ou variable statistique) : la propriété étudiée sur chaque individu.
- Quantitatif discret : nombre fini de valeurs (ex : nombre d’enfants).
- Quantitatif continu : valeurs dans un intervalle (ex : taille).
- Qualitatif : non numérique (ex : couleur des yeux).
- Effectif $n_i$ : nombre d’individus prenant la valeur $x_i$.
- Fréquence $f_i = \frac{n_i}{N}$ où $N$ est l’effectif total.
2. Indicateurs de position§
2.1 Moyenne§
[!important] Définition : Moyenne La moyenne d’une série statistique $(x_1, x_2, \ldots, x_N)$ est : $$\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i$$ Pour une série avec effectifs : $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{p} n_i x_i}{N}$
La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes.
2.2 Médiane§
[!important] Définition : Médiane La médiane $\text{Me}$ est la valeur qui partage la série ordonnée en deux parties de même effectif :
- Si $N$ est impair : $\text{Me} = x_{(N+1)/2}$
- Si $N$ est pair : $\text{Me} = \frac{x_{N/2} + x_{N/2+1}}{2}$
La médiane est robuste : elle est peu influencée par les valeurs extrêmes.
2.3 Quartiles§
[!important] Définition : Quartiles
- Premier quartile $Q_1$ : la plus petite valeur telle qu’au moins 25% des données lui sont inférieures ou égales.
- Troisième quartile $Q_3$ : la plus petite valeur telle qu’au moins 75% des données lui sont inférieures ou égales.
- Écart interquartile : $Q_3 - Q_1$ (mesure la dispersion des 50% centraux).
3. Indicateurs de dispersion§
3.1 Étendue§
$$\text{Étendue} = x_{\max} - x_{\min}$$
3.2 Variance et écart-type§
[!important] Définitions : Variance et écart-type La variance mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne : $$V(X) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \bar{x})^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2$$
L’écart-type est la racine carrée de la variance : $$\sigma = \sqrt{V(X)}$$
[!tip] Formule de König-Huygens La formule $V(X) = \overline{x^2} - \bar{x}^2$ (moyenne des carrés moins carré de la moyenne) est souvent plus pratique pour le calcul.
3.3 Diagramme en boîte (boîte à moustaches)§
Le diagramme en boîte résume une série statistique avec 5 valeurs :
Min Q1 Me Q3 Max
|------|========|========|------|
| boîte |- Les « moustaches » vont de $x_{\min}$ à $Q_1$ et de $Q_3$ à $x_{\max}$.
- La boîte va de $Q_1$ à $Q_3$ (contient 50% des données).
- Un trait dans la boîte marque la médiane.
[!example] Exemple Série : 2, 3, 5, 7, 8, 8, 9, 10, 12, 15
$N = 10$, $\bar{x} = 7{,}9$
Médiane : $\text{Me} = \frac{8+8}{2} = 8$
$Q_1 = 5$ (valeur en position 3), $Q_3 = 10$ (valeur en position 8)
Écart interquartile : $Q_3 - Q_1 = 5$