Vue d’ensemble

Les statistiques descriptives analysent des données observées pour en dégager des tendances : position centrale (moyenne, médiane) et dispersion (variance, écart-type).

Partie I : Statistiques descriptives (Seconde)§

1. Vocabulaire et séries statistiques§

Définitions
  • Population : l’ensemble des individus étudiés.
  • Caractère (ou variable statistique) : la propriété étudiée sur chaque individu.
    • Quantitatif discret : nombre fini de valeurs (ex : nombre d’enfants).
    • Quantitatif continu : valeurs dans un intervalle (ex : taille).
    • Qualitatif : non numérique (ex : couleur des yeux).
  • Effectif nin_i : nombre d’individus prenant la valeur xix_i.
  • Fréquence fi=niNf_i = \frac{n_i}{N} où NN est l’effectif total.

2. Indicateurs de position§

2.1 Moyenne§

Définition : Moyenne

La moyenne d’une série statistique (x1,x2,…,xN)(x_1, x_2, \ldots, x_N) est :

xˉ=1N∑i=1Nxi\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i

Pour une série avec effectifs : xˉ=∑i=1pnixiN\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{p} n_i x_i}{N}

La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes.

2.2 Médiane§

Définition : Médiane

La médiane Me\text{Me} est la valeur qui partage la série ordonnée en deux parties de même effectif :

  • Si NN est impair : Me=x(N+1)/2\text{Me} = x_{(N+1)/2}
  • Si NN est pair : Me=xN/2+xN/2+12\text{Me} = \frac{x_{N/2} + x_{N/2+1}}{2}

La médiane est robuste : elle est peu influencée par les valeurs extrêmes.

2.3 Quartiles§

Définition : Quartiles
  • Premier quartile Q1Q_1 : la plus petite valeur telle qu’au moins 25% des données lui sont inférieures ou égales.
  • Troisième quartile Q3Q_3 : la plus petite valeur telle qu’au moins 75% des données lui sont inférieures ou égales.
  • Écart interquartile : Q3−Q1Q_3 - Q_1 (mesure la dispersion des 50% centraux).

3. Indicateurs de dispersion§

3.1 Étendue§

Eˊtendue=xmax⁡−xmin⁡\text{Étendue} = x_{\max} - x_{\min}

3.2 Variance et écart-type§

Définitions : Variance et écart-type

La variance mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne :

V(X)=1N∑i=1N(xi−xˉ)2=x2‾−xˉ2V(X) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \bar{x})^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2

L’écart-type est la racine carrée de la variance :

σ=V(X)\sigma = \sqrt{V(X)}
Formule de König-Huygens

La formule V(X)=x2‾−xˉ2V(X) = \overline{x^2} - \bar{x}^2 (moyenne des carrés moins carré de la moyenne) est souvent plus pratique pour le calcul.

3.3 Diagramme en boîte (boîte à moustaches)§

Le diagramme en boîte résume une série statistique avec 5 valeurs :

Min     Q1      Me      Q3      Max
 |------|========|========|------|
        |   boîte        |
Exemple

Série : 2, 3, 5, 7, 8, 8, 9, 10, 12, 15

N=10N = 10, xˉ=7,9\bar{x} = 7{,}9

Médiane : Me=8+82=8\text{Me} = \frac{8+8}{2} = 8

Q1=5Q_1 = 5 (valeur en position 3), Q3=10Q_3 = 10 (valeur en position 8)

Écart interquartile : Q3−Q1=5Q_3 - Q_1 = 5