Probabilités (Seconde – Terminale)

4. Notions de base (Seconde)§

4.1 Vocabulaire§

[!important] Définitions fondamentales

• Expérience aléatoire : expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude, mais dont on connaît l’ensemble des résultats possibles.
• Univers $\Omega$ : l’ensemble de tous les résultats possibles (issues).
• Événement : partie (sous-ensemble) de $\Omega$.
• Événement élémentaire : événement constitué d’une seule issue.
• Événement certain : $\Omega$ lui-même.
• Événement impossible : $\varnothing$.

[!example] Exemple : Lancer d’un dé $\Omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$

$A$ = « obtenir un nombre pair » = ${2, 4, 6}$

$B$ = « obtenir un nombre supérieur à 4 » = ${5, 6}$

4.2 Opérations sur les événements§

4.3 Probabilité d’un événement§

[!important] Définition : Probabilité Une probabilité sur $\Omega$ est une fonction $P$ qui à chaque événement $A$ associe un réel $P(A)$ vérifiant :

1. $0 \leq P(A) \leq 1$
2. $P(\Omega) = 1$
3. Si $A \cap B = \varnothing$, alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Propriétés fondamentales :

• $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$
• $P(\varnothing) = 0$
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

[!tip] Équiprobabilité Si toutes les issues de $\Omega$ ont la même probabilité (situation d’équiprobabilité) : $$P(A) = \frac{\text{nombre d’issues favorables}}{\text{nombre total d’issues}} = \frac{|A|}{|\Omega|}$$

5. Probabilités conditionnelles (Première)§

5.1 Définition§

[!important] Définition : Probabilité conditionnelle Soit $B$ un événement de probabilité non nulle. La probabilité de $A$ sachant $B$ est : $$P_B(A) = P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ C’est la probabilité que $A$ se réalise sachant que $B$ s’est déjà réalisé.

De cette définition découle la formule de la probabilité de l’intersection :

$$P(A \cap B) = P(B) \times P_B(A) = P(A) \times P_A(B)$$

5.2 Formule des probabilités totales§

[!important] Théorème : Probabilités totales Si $B_1, B_2, \ldots, B_n$ forment une partition de $\Omega$ (c’est-à-dire : ils sont deux à deux incompatibles et leur réunion est $\Omega$), alors pour tout événement $A$ : $$P(A) = \sum_{k=1}^{n} P(B_k) \times P_{B_k}(A)$$

Cas le plus fréquent (partition ${B, \bar{B}}$) : $$P(A) = P(B) \times P_B(A) + P(\bar{B}) \times P_{\bar{B}}(A)$$

5.3 Arbres de probabilité§

Les arbres pondérés sont un outil essentiel. Les règles sont :

• La somme des probabilités des branches issues d’un même noeud vaut $1$.
• La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.
• La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.

graph LR
    R((" ")) -->|"P(B)"| B["B"]
    R -->|"P(B̄)"| Bb["B̄"]
    B -->|"P_B(A)"| BA["A"]
    B -->|"P_B(Ā)"| BAb["Ā"]
    Bb -->|"P_B̄(A)"| BbA["A"]
    Bb -->|"P_B̄(Ā)"| BbAb["Ā"]

    style BA fill:#90EE90
    style BbA fill:#90EE90

[!example] Exemple : Urne et tirage Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire une boule, puis une deuxième sans remise.

$P(R_1) = \frac{3}{5}$, $P(B_1) = \frac{2}{5}$

$P_{R_1}(R_2) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $P_{R_1}(B_2) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$P_{B_1}(R_2) = \frac{3}{4}$, $P_{B_1}(B_2) = \frac{1}{4}$

$P(\text{2 rouges}) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$

$P(R_2) = P(R_1) \times P_{R_1}(R_2) + P(B_1) \times P_{B_1}(R_2) = \frac{3}{5}\times\frac{1}{2} + \frac{2}{5}\times\frac{3}{4} = \frac{3}{10} + \frac{6}{20} = \frac{3}{10}+\frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

5.4 Indépendance§

[!important] Définition : Événements indépendants Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si : $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$ De manière équivalente : $P_B(A) = P(A)$ (la réalisation de $B$ n’influence pas $A$).

[!warning] Attention Indépendant $\neq$ incompatible !

• Deux événements incompatibles non vides ne sont jamais indépendants (si l’un se réalise, l’autre ne se réalise pas).

6. Variables aléatoires discrètes (Première / Terminale)§

6.1 Définition§

[!important] Définition : Variable aléatoire discrète Une variable aléatoire discrète $X$ est une fonction qui à chaque issue de $\Omega$ associe un nombre réel. La loi de probabilité de $X$ est la donnée de toutes les valeurs $x_i$ prises par $X$ et de leurs probabilités $P(X = x_i)$.

6.2 Espérance§

[!important] Définition : Espérance L’espérance de $X$ est la valeur moyenne attendue : $$E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)$$

L’espérance est linéaire :

• $E(aX + b) = aE(X) + b$

6.3 Variance et écart-type§

[!important] Définitions $$V(X) = E\left[(X - E(X))^2\right] = E(X^2) - [E(X)]^2$$ $$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$$

Propriétés :

• $V(aX + b) = a^2 V(X)$
• $\sigma(aX+b) = |a|,\sigma(X)$

[!example] Exemple On lance un dé équilibré. $X$ = numéro obtenu.

$x_i$	1	2	3	4	5	6
$P(X=x_i)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

$E(X) = \frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6) = \frac{21}{6} = 3{,}5$

$E(X^2) = \frac{1}{6}(1+4+9+16+25+36) = \frac{91}{6}$

$V(X) = \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12} \approx 2{,}92$

$\sigma(X) = \sqrt{\frac{35}{12}} \approx 1{,}71$

7. Loi binomiale (Première / Terminale)§

7.1 Schéma de Bernoulli§

[!important] Épreuve de Bernoulli Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ est une expérience aléatoire à deux issues :

• Succès avec probabilité $p$
• Échec avec probabilité $q = 1 - p$

7.2 Schéma de Bernoulli§

Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

7.3 Loi binomiale§

[!important] Définition : Loi binomiale Soit $X$ le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$. Alors $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ : $$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k \in {0, 1, \ldots, n}$$

où $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ est le coefficient binomial.

Espérance et variance :

$$E(X) = np, \quad V(X) = np(1-p), \quad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$$

[!example] Exemple On lance 10 fois une pièce équilibrée. Soit $X$ le nombre de « pile ». $X \sim \mathcal{B}(10, 0{,}5)$.

$P(X = 3) = \binom{10}{3} (0{,}5)^3 (0{,}5)^7 = 120 \times \frac{1}{1024} = \frac{120}{1024} \approx 0{,}117$

$E(X) = 10 \times 0{,}5 = 5$

$\sigma(X) = \sqrt{10 \times 0{,}5 \times 0{,}5} = \sqrt{2{,}5} \approx 1{,}58$

8. Loi normale (Terminale)§

8.1 De la loi binomiale à la loi normale§

Lorsque $n$ est grand, la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ peut être approchée par une loi normale. C’est le théorème central limite en action.

8.2 Loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0, 1)$§

[!important] Définition : Loi normale centrée réduite Une variable aléatoire $Z$ suit la loi $\mathcal{N}(0, 1)$ si sa densité de probabilité est : $$f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}},e^{-z^2/2}$$ La courbe en forme de cloche est symétrique par rapport à l’axe $z = 0$.

8.3 Loi normale générale $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$§

[!important] Définition : Loi normale $X$ suit la loi $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ si $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ suit $\mathcal{N}(0,1)$.

• $E(X) = \mu$ (centre de la courbe)
• $V(X) = \sigma^2$, $\sigma(X) = \sigma$

8.4 Intervalles remarquables§

[!tip] Règle empirique (règle des 68-95-99,7) Si $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ :

Intervalle	Probabilité
$P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma)$	$\approx 0{,}683$ (68,3%)
$P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma)$	$\approx 0{,}954$ (95,4%)
$P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma)$	$\approx 0{,}997$ (99,7%)

Plus précisément, l’intervalle au seuil de 95% est $[\mu - 1{,}96\sigma,;,\mu + 1{,}96\sigma]$.

9. Intervalle de fluctuation et estimation (Terminale)§

9.1 Intervalle de fluctuation§

[!important] Intervalle de fluctuation au seuil de 95% Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ et si $n$ est assez grand ($n \geq 25$, $np \geq 5$, $n(1-p) \geq 5$), la fréquence observée $F = \frac{X}{n}$ fluctue dans l’intervalle : $$I_F = \left[p - 1{,}96\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}};;; p + 1{,}96\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]$$ avec une probabilité d’environ 95%.

9.2 Intervalle de confiance§

[!important] Intervalle de confiance au seuil de 95% Après avoir observé une fréquence $f$ sur un échantillon de taille $n$ (assez grand), un intervalle de confiance pour la proportion inconnue $p$ est : $$I_C = \left[f - \frac{1}{\sqrt{n}};;; f + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$$ La vraie valeur de $p$ appartient à cet intervalle avec un niveau de confiance d’environ 95%.

[!warning] Attention L’intervalle de fluctuation part d’un $p$ connu pour prédire $f$. L’intervalle de confiance part d’un $f$ observé pour estimer $p$. Ne pas les confondre.

10. Arbre de décision : choisir la bonne loi§

flowchart TD
    A["Quelle loi utiliser ?"] --> B{"L'expérience a-t-elle<br/>exactement 2 issues ?"}
    B -->|"Non"| C{"Les issues sont-elles<br/>en nombre fini ?"}
    B -->|"Oui"| D{"Répète-t-on l'épreuve<br/>n fois de manière<br/>indépendante ?"}

    C -->|"Oui"| E["Variable aléatoire<br/>discrète quelconque<br/>Construire la loi"]
    C -->|"Non (continu)"| F{"Cherche-t-on à modéliser<br/>une grandeur continue<br/>symétrique ?"}

    D -->|"Oui"| G["Loi binomiale<br/>X ~ B(n, p)"]
    D -->|"Non (une seule épreuve)"| H["Loi de Bernoulli<br/>X ~ B(1, p)"]

    F -->|"Oui"| I["Loi normale<br/>X ~ N(μ, σ²)"]
    F -->|"Non"| J["Autre loi continue<br/>(exponentielle, uniforme...)"]

    G --> K{"n grand ?<br/>np ≥ 5 ?<br/>n(1-p) ≥ 5 ?"}
    K -->|"Oui"| L["Approximation par<br/>la loi normale<br/>N(np, np(1−p))"]
    K -->|"Non"| M["Rester avec la<br/>loi binomiale"]

    style A fill:#e6f3ff,stroke:#0066cc
    style G fill:#ffe6e6,stroke:#cc0000
    style H fill:#fff2e6,stroke:#cc6600
    style I fill:#e6ffe6,stroke:#009900
    style L fill:#e6ffe6,stroke:#009900

11. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Statistiques descriptives§

[!example] Énoncé Les notes (sur 20) d’un groupe de 12 élèves sont : 8, 10, 12, 7, 15, 11, 9, 14, 13, 6, 10, 17

Calculer la moyenne, la médiane, les quartiles et l’écart-type.

Solution :

Série ordonnée : 6, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17

Moyenne : $\bar{x} = \frac{6+7+8+9+10+10+11+12+13+14+15+17}{12} = \frac{132}{12} = 11$

Médiane : $N = 12$ (pair), $\text{Me} = \frac{x_6 + x_7}{2} = \frac{10+11}{2} = 10{,}5$

Quartiles : $Q_1$ : position $\frac{12}{4} = 3$, donc $Q_1 = x_3 = 8$ (3e valeur) $Q_3$ : position $\frac{3 \times 12}{4} = 9$, donc $Q_3 = x_9 = 13$ (9e valeur)

Variance : $\overline{x^2} = \frac{36+49+64+81+100+100+121+144+169+196+225+289}{12} = \frac{1574}{12} \approx 131{,}17$

$V(X) = 131{,}17 - 11^2 = 131{,}17 - 121 = 10{,}17$

Écart-type : $\sigma = \sqrt{10{,}17} \approx 3{,}19$

Exercice 2 : Probabilités conditionnelles§

[!example] Énoncé Dans une entreprise, 60% des employés sont des femmes. Parmi les femmes, 30% ont suivi une formation spécialisée. Parmi les hommes, 50% l’ont suivie. On choisit un employé au hasard.

1. Quelle est la probabilité qu’il ait suivi la formation ?
2. Sachant qu’il a suivi la formation, quelle est la probabilité que ce soit une femme ?

Solution :

Notons $F$ = « être une femme », $S$ = « avoir suivi la formation ».

$P(F) = 0{,}6$, $P(\bar{F}) = 0{,}4$ $P_F(S) = 0{,}3$, $P_{\bar{F}}(S) = 0{,}5$

Question 1 : Formule des probabilités totales : $P(S) = P(F) \times P_F(S) + P(\bar{F}) \times P_{\bar{F}}(S)$ $P(S) = 0{,}6 \times 0{,}3 + 0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}18 + 0{,}20 = 0{,}38$

$$\boxed{P(S) = 0{,}38}$$

Question 2 : Formule de Bayes : $P_S(F) = \frac{P(F \cap S)}{P(S)} = \frac{P(F) \times P_F(S)}{P(S)} = \frac{0{,}6 \times 0{,}3}{0{,}38} = \frac{0{,}18}{0{,}38} \approx 0{,}474$

$$\boxed{P_S(F) \approx 0{,}474 \approx 47{,}4%}$$

Exercice 3 : Loi binomiale§

[!example] Énoncé Un QCM comporte 8 questions. Pour chaque question, 4 réponses sont proposées dont une seule est correcte. Un élève répond au hasard.

1. Quelle est la loi suivie par $X$, le nombre de bonnes réponses ?
2. Calculer $P(X = 0)$, $P(X \geq 1)$, et $E(X)$.

Solution :

L’élève répond au hasard : chaque question est une épreuve de Bernoulli indépendante avec $p = \frac{1}{4} = 0{,}25$.

Question 1 : $X \sim \mathcal{B}(8,, 0{,}25)$

Question 2 :

$P(X = 0) = \binom{8}{0} (0{,}25)^0 (0{,}75)^8 = (0{,}75)^8 \approx 0{,}1001$

$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}1001 \approx 0{,}8999$

$E(X) = np = 8 \times 0{,}25 = 2$

$$\boxed{P(X=0) \approx 0{,}10, \quad P(X \geq 1) \approx 0{,}90, \quad E(X) = 2}$$

[!tip] Interprétation En répondant au hasard, l’élève peut s’attendre en moyenne à 2 bonnes réponses sur 8. La probabilité de n’en avoir aucune est d’environ 10%.

Exercice 4 : Loi normale§

[!example] Énoncé La taille (en cm) des élèves de Terminale d’un lycée suit une loi normale $\mathcal{N}(170, 64)$ (donc $\mu = 170$ cm, $\sigma = 8$ cm).

1. Quelle est la probabilité qu’un élève choisi au hasard mesure entre 162 cm et 178 cm ?
2. Quelle est la probabilité qu’il mesure plus de 186 cm ?

Solution :

$X \sim \mathcal{N}(170, 64)$, soit $\sigma = 8$.

Question 1 : $162 = 170 - 8 = \mu - \sigma$ et $178 = 170 + 8 = \mu + \sigma$.

D’après la règle empirique : $$P(162 \leq X \leq 178) = P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0{,}683$$

$$\boxed{P(162 \leq X \leq 178) \approx 68{,}3%}$$

Question 2 : $186 = 170 + 16 = \mu + 2\sigma$.

Par symétrie de la loi normale : $P(X > 186) = P(X > \mu + 2\sigma) = \frac{1 - P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma)}{2} \approx \frac{1 - 0{,}954}{2} = \frac{0{,}046}{2} = 0{,}023$

$$\boxed{P(X > 186) \approx 2{,}3%}$$

Exercice 5 : Estimation§

[!example] Énoncé Un sondage auprès de 400 personnes révèle que 52% d’entre elles sont favorables à une mesure. Donner un intervalle de confiance à 95% pour la proportion réelle $p$.

Solution :

$f = 0{,}52$, $n = 400$

L’intervalle de confiance au seuil de 95% est :

$$I_C = \left[f - \frac{1}{\sqrt{n}};;; f + \frac{1}{\sqrt{n}}\right] = \left[0{,}52 - \frac{1}{20};;; 0{,}52 + \frac{1}{20}\right] = [0{,}47;;; 0{,}57]$$

$$\boxed{I_C = [0{,}47;;; 0{,}57]}$$

[!tip] Interprétation On estime avec 95% de confiance que la proportion réelle de personnes favorables est comprise entre 47% et 57%. L’échantillon ne permet pas de conclure qu’il y a une majorité.