Probabilités (Seconde – Terminale)

4. Notions de base (Seconde)§

4.1 Vocabulaire§

4.2 Opérations sur les événements§

Notation	Nom	Signification
$A \cup B$	Réunion	« $A$ ou $B$ » (au moins l’un des deux)
$A \cap B$	Intersection	« $A$ et $B$ » (les deux simultanément)
$\bar{A}$	Complémentaire	« non $A$ » (contraire de $A$)
$A \cap B = \varnothing$	Incompatibles	$A$ et $B$ ne peuvent pas se réaliser simultanément

4.3 Probabilité d’un événement§

Propriétés fondamentales :

• $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$
• $P(\varnothing) = 0$
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{|A|}{|\Omega|}$$

5. Probabilités conditionnelles (Première)§

5.1 Définition§

$$P_B(A) = P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

C’est la probabilité que $A$ se réalise sachant que $B$ s’est déjà réalisé.

De cette définition découle la formule de la probabilité de l’intersection :

$$P(A \cap B) = P(B) \times P_B(A) = P(A) \times P_A(B)$$

5.2 Formule des probabilités totales§

$$P(A) = \sum_{k=1}^{n} P(B_k) \times P_{B_k}(A)$$

Cas le plus fréquent (partition ${B, \bar{B}}$) :

$$P(A) = P(B) \times P_B(A) + P(\bar{B}) \times P_{\bar{B}}(A)$$

5.3 Arbres de probabilité§

Les arbres pondérés sont un outil essentiel. Les règles sont :

• La somme des probabilités des branches issues d’un même noeud vaut $1$.
• La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.
• La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.

graph LR
    R((" ")) -->|"P(B)"| B["B"]
    R -->|"P(B̄)"| Bb["B̄"]
    B -->|"P_B(A)"| BA["A"]
    B -->|"P_B(Ā)"| BAb["Ā"]
    Bb -->|"P_B̄(A)"| BbA["A"]
    Bb -->|"P_B̄(Ā)"| BbAb["Ā"]

    style BA fill:#90EE90
    style BbA fill:#90EE90

5.4 Indépendance§

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

De manière équivalente : $P_B(A) = P(A)$ (la réalisation de $B$ n’influence pas $A$).

6. Variables aléatoires discrètes (Première / Terminale)§

6.1 Définition§

6.2 Espérance§

$$E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)$$

L’espérance est linéaire :

• $E(aX + b) = aE(X) + b$

6.3 Variance et écart-type§

$$V(X) = E\left[(X - E(X))^2\right] = E(X^2) - [E(X)]^2$$

$$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$$

Propriétés :

• $V(aX + b) = a^2 V(X)$
• $\sigma(aX+b) = |a|,\sigma(X)$

7. Loi binomiale (Première / Terminale)§

7.1 Schéma de Bernoulli§

7.2 Schéma de Bernoulli§

Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

7.3 Loi binomiale§

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k \in {0, 1, \ldots, n}$$

où $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ est le coefficient binomial.

Espérance et variance :

$$E(X) = np, \quad V(X) = np(1-p), \quad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$$

8. Loi normale (Terminale)§

8.1 De la loi binomiale à la loi normale§

Lorsque $n$ est grand, la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ peut être approchée par une loi normale. C’est le théorème central limite en action.

8.2 Loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0, 1)$§

$$f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}},e^{-z^2/2}$$

La courbe en forme de cloche est symétrique par rapport à l’axe $z = 0$.

8.3 Loi normale générale $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$§

8.4 Intervalles remarquables§

Plus précisément, l’intervalle au seuil de 95% est $[\mu - 1{,}96\sigma,;,\mu + 1{,}96\sigma]$.

9. Intervalle de fluctuation et estimation (Terminale)§

9.1 Intervalle de fluctuation§

$$I_F = \left[p - 1{,}96\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}};;; p + 1{,}96\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]$$

avec une probabilité d’environ 95%.

9.2 Intervalle de confiance§

$$I_C = \left[f - \frac{1}{\sqrt{n}};;; f + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$$

La vraie valeur de $p$ appartient à cet intervalle avec un niveau de confiance d’environ 95%.

10. Arbre de décision : choisir la bonne loi§

flowchart TD
    A["Quelle loi utiliser ?"] --> B{"L'expérience a-t-elle<br/>exactement 2 issues ?"}
    B -->|"Non"| C{"Les issues sont-elles<br/>en nombre fini ?"}
    B -->|"Oui"| D{"Répète-t-on l'épreuve<br/>n fois de manière<br/>indépendante ?"}

    C -->|"Oui"| E["Variable aléatoire<br/>discrète quelconque<br/>Construire la loi"]
    C -->|"Non (continu)"| F{"Cherche-t-on à modéliser<br/>une grandeur continue<br/>symétrique ?"}

    D -->|"Oui"| G["Loi binomiale<br/>X ~ B(n, p)"]
    D -->|"Non (une seule épreuve)"| H["Loi de Bernoulli<br/>X ~ B(1, p)"]

    F -->|"Oui"| I["Loi normale<br/>X ~ N(μ, σ²)"]
    F -->|"Non"| J["Autre loi continue<br/>(exponentielle, uniforme...)"]

    G --> K{"n grand ?<br/>np ≥ 5 ?<br/>n(1-p) ≥ 5 ?"}
    K -->|"Oui"| L["Approximation par<br/>la loi normale<br/>N(np, np(1−p))"]
    K -->|"Non"| M["Rester avec la<br/>loi binomiale"]

    style A fill:#e6f3ff,stroke:#0066cc
    style G fill:#ffe6e6,stroke:#cc0000
    style H fill:#fff2e6,stroke:#cc6600
    style I fill:#e6ffe6,stroke:#009900
    style L fill:#e6ffe6,stroke:#009900

11. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Statistiques descriptives§

Solution :

Série ordonnée : 6, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17

Moyenne : $\bar{x} = \frac{6+7+8+9+10+10+11+12+13+14+15+17}{12} = \frac{132}{12} = 11$

Médiane : $N = 12$ (pair), $\text{Me} = \frac{x_6 + x_7}{2} = \frac{10+11}{2} = 10{,}5$

Quartiles : $Q_1$ : position $\frac{12}{4} = 3$, donc $Q_1 = x_3 = 8$ (3e valeur) $Q_3$ : position $\frac{3 \times 12}{4} = 9$, donc $Q_3 = x_9 = 13$ (9e valeur)

Variance : $\overline{x^2} = \frac{36+49+64+81+100+100+121+144+169+196+225+289}{12} = \frac{1574}{12} \approx 131{,}17$

$V(X) = 131{,}17 - 11^2 = 131{,}17 - 121 = 10{,}17$

Écart-type : $\sigma = \sqrt{10{,}17} \approx 3{,}19$

Exercice 2 : Probabilités conditionnelles§

Solution :

Notons $F$ = « être une femme », $S$ = « avoir suivi la formation ».

$P(F) = 0{,}6$, $P(\bar{F}) = 0{,}4$ $P_F(S) = 0{,}3$, $P_{\bar{F}}(S) = 0{,}5$

Question 1 : Formule des probabilités totales : $P(S) = P(F) \times P_F(S) + P(\bar{F}) \times P_{\bar{F}}(S)$ $P(S) = 0{,}6 \times 0{,}3 + 0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}18 + 0{,}20 = 0{,}38$

$$\boxed{P(S) = 0{,}38}$$

Question 2 : Formule de Bayes : $P_S(F) = \frac{P(F \cap S)}{P(S)} = \frac{P(F) \times P_F(S)}{P(S)} = \frac{0{,}6 \times 0{,}3}{0{,}38} = \frac{0{,}18}{0{,}38} \approx 0{,}474$

\boxed{P_S(F) \approx 0{,}474 \approx 47{,}4%}

Exercice 3 : Loi binomiale§

Solution :

L’élève répond au hasard : chaque question est une épreuve de Bernoulli indépendante avec $p = \frac{1}{4} = 0{,}25$.

Question 1 : $X \sim \mathcal{B}(8,, 0{,}25)$

Question 2 :

$P(X = 0) = \binom{8}{0} (0{,}25)^0 (0{,}75)^8 = (0{,}75)^8 \approx 0{,}1001$

$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}1001 \approx 0{,}8999$

$E(X) = np = 8 \times 0{,}25 = 2$

$$\boxed{P(X=0) \approx 0{,}10, \quad P(X \geq 1) \approx 0{,}90, \quad E(X) = 2}$$

Exercice 4 : Loi normale§

Solution :

$X \sim \mathcal{N}(170, 64)$, soit $\sigma = 8$.

Question 1 : $162 = 170 - 8 = \mu - \sigma$ et $178 = 170 + 8 = \mu + \sigma$.

D’après la règle empirique :

$$P(162 \leq X \leq 178) = P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0{,}683$$ \boxed{P(162 \leq X \leq 178) \approx 68{,}3%}

Question 2 : $186 = 170 + 16 = \mu + 2\sigma$.

Par symétrie de la loi normale : $P(X > 186) = P(X > \mu + 2\sigma) = \frac{1 - P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma)}{2} \approx \frac{1 - 0{,}954}{2} = \frac{0{,}046}{2} = 0{,}023$

\boxed{P(X > 186) \approx 2{,}3%}

Exercice 5 : Estimation§

Solution :

$f = 0{,}52$, $n = 400$

L’intervalle de confiance au seuil de 95% est :

$$I_C = \left[f - \frac{1}{\sqrt{n}};;; f + \frac{1}{\sqrt{n}}\right] = \left[0{,}52 - \frac{1}{20};;; 0{,}52 + \frac{1}{20}\right] = [0{,}47;;; 0{,}57]$$ $$\boxed{I_C = [0{,}47;;; 0{,}57]}$$