Formulaire de Mathématiques

Toutes les formules essentielles en une page. Pour les détails et démonstrations, suivre les liens vers les notes complètes.

Identités remarquables§

$$\begin{aligned} (a+b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \ (a-b)^2 &= a^2 - 2ab + b^2 \ (a+b)(a-b) &= a^2 - b^2 \ (a+b)^3 &= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \ a^3 - b^3 &= (a-b)(a^2 + ab + b^2) \ a^n - b^n &= (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \cdots + b^{n-1}) \end{aligned}$$

Voir Calcul Algébrique

Trigonométrie§

Valeurs remarquables§

$\theta$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$
$\cos\theta$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-1$
$\sin\theta$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$
$\tan\theta$	$0$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	$\nexists$	$0$

Formules fondamentales§

$$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$$

Addition :

$$\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b$$ $$\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$$ $$\tan(a \pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}$$

Duplication :

$$\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$$ $$\sin 2a = 2\sin a \cos a$$

Linéarisation :

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}, \qquad \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$$

Produit → Somme :

$$\cos a \cos b = \frac{1}{2}[\cos(a-b) + \cos(a+b)]$$ $$\sin a \sin b = \frac{1}{2}[\cos(a-b) - \cos(a+b)]$$ $$\sin a \cos b = \frac{1}{2}[\sin(a+b) + \sin(a-b)]$$

Voir Trigonométrie

Dérivées§

$f(x)$	$f'(x)$	Conditions
$k$ (constante)	$0$
$x^n$	$nx^{n-1}$	$n \in \mathbb{Z}$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$x > 0$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$	$x \neq 0$
$e^x$	$e^x$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$	$x > 0$
$a^x$	$a^x \ln a$	$a > 0$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$|x| < 1$
$\arccos x$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$|x| < 1$
$\arctan x$	$\frac{1}{1+x^2}$
$\sinh x$	$\cosh x$
$\cosh x$	$\sinh x$

Opérations :

Opération	Formule
$(\lambda f + \mu g)'$	$\lambda f' + \mu g'$
$(fg)'$	$f'g + fg'$
$(f/g)'$	$\frac{f'g - fg'}{g^2}$
$(g \circ f)'$	$(g' \circ f) \cdot f'$
$(f^{-1})'(y)$	$\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$

Voir Dérivation

Primitives§

$f(x)$	$F(x)$	Conditions
$x^n$ ($n \neq -1$)	$\frac{x^{n+1}}{n+1}$
$\frac{1}{x}$	$\ln|x|$	$x \neq 0$
$e^x$	$e^x$
$e^{ax}$	$\frac{1}{a}e^{ax}$
$\cos x$	$\sin x$
$\sin x$	$-\cos x$
$\frac{1}{\cos^2 x}$	$\tan x$
$\frac{1}{1+x^2}$	$\arctan x$
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin x$
$\frac{1}{x^2+a^2}$	$\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}$	$a > 0$
$\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}$	$\ln(x + \sqrt{x^2+a^2})$
$\frac{u'}{u}$	$\ln|u|$
$u' u^n$	$\frac{u^{n+1}}{n+1}$	$n \neq -1$
$u' e^u$	$e^u$

Voir Primitives et Intégrales

Développements limités en 0§

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$$ $$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2})$$ $$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1})$$ $$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n)$$ $$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + o(x^n)$$ $$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - \cdots + (-1)^n x^n + o(x^n)$$ $$(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + \cdots + \binom{\alpha}{n}x^n + o(x^n)$$ $$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(x^6)$$ $$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + o(x^{2n+2})$$

Voir Développements Limités

Suites§

Type	Terme général	Somme des $n+1$ premiers termes
Arithmétique ($u_{k+1} = u_k + r$)	$u_n = u_0 + nr$	$S = (n+1) \cdot \frac{u_0 + u_n}{2}$
Géométrique ($u_{k+1} = q \cdot u_k$)	$u_n = u_0 \cdot q^n$	$S = u_0 \cdot \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ ($q \neq 1$)

Voir Suites

Limites de référence§

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$$ $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^\alpha} = 0 \quad (\alpha > 0)$$ $$\lim_{x \to 0^+} x^\alpha \ln x = 0 \quad (\alpha > 0)$$

Voir Limites et Continuité

Combinatoire§

$$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1 \qquad 0! = 1$$ $$\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!} \qquad \binom{n}{p} = \binom{n}{n-p} \qquad \binom{n}{p} = \binom{n-1}{p-1} + \binom{n-1}{p}$$ $$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$$

Voir Dénombrement

Probabilités§

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \qquad P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B)$$

Formule des probabilités totales : si $(B_i)$ partition de $\Omega$ :

$$P(A) = \sum_i P(A|B_i) \cdot P(B_i)$$

Loi	Paramètres	$E(X)$	$V(X)$
Bernoulli	$p$	$p$	$p(1-p)$
Binomiale	$n, p$	$np$	$np(1-p)$
Poisson	$\lambda$	$\lambda$	$\lambda$
Géométrique	$p$	$1/p$	$(1-p)/p^2$
Uniforme $[a,b]$	$a, b$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a)^2}{12}$
Exponentielle	$\lambda$	$1/\lambda$	$1/\lambda^2$
Normale	$\mu, \sigma^2$	$\mu$	$\sigma^2$

Voir Probabilités, Probabilités Prépa

Séries de référence§

Série	Nature	Somme (si convergente)
$\sum q^n$ ($|q| < 1$)	Converge	$\frac{1}{1-q}$
$\sum \frac{1}{n^\alpha}$	CV ssi $\alpha > 1$	$\frac{\pi^2}{6}$ pour $\alpha = 2$
$\sum \frac{1}{n}$	Diverge	—
$\sum \frac{(-1)^n}{n}$	Converge (Leibniz)	$\ln 2$
$\sum \frac{1}{n!}$	Converge	$e$

Voir Suites et Séries Numériques

Intégration — Techniques§

IPP : $\int_a^b f'g = [fg]_a^b - \int_a^b fg'$

Changement de variable : $\int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t) , dt = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u) , du$

Voir Intégration

Algèbre linéaire — Formules clés§

Théorème du rang : $\dim E = \dim \ker f + \dim \text{Im} f$

Déterminant : $\det(AB) = \det A \cdot \det B$, $\det(A^{-1}) = 1/\det A$

Polynôme caractéristique : $\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)$

Cayley-Hamilton : $\chi_A(A) = 0$

Voir Algèbre Linéaire, Matrices et Déterminants, Réduction des Endomorphismes