Calcul Algébrique
Le calcul algébrique est l’outil fondamental pour transformer, simplifier et résoudre des expressions mathématiques. La maîtrise de ces techniques est essentielle pour toute la suite du programme.
1. Développer et factoriser§
1.1 Développer§
Développer, c’est transformer un produit en somme.
On utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition :
$$k(a + b) = ka + kb$$
$$k(a - b) = ka - kb$$
Pour un produit de deux facteurs à deux termes (double distributivité) :
$$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$$
[!example] Exemple : développer $(2x + 3)(x - 5)$ $$(2x + 3)(x - 5) = 2x \cdot x + 2x \cdot (-5) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-5)$$ $$= 2x^2 - 10x + 3x - 15$$ $$= 2x^2 - 7x - 15$$
1.2 Factoriser§
Factoriser, c’est transformer une somme en produit. C’est l’opération inverse du développement.
Mise en facteur commun : on identifie un facteur commun à tous les termes.
$$ka + kb = k(a + b)$$
[!example] Exemple : factoriser $6x^3 - 15x^2 + 9x$ Le facteur commun est $3x$ : $$6x^3 - 15x^2 + 9x = 3x(2x^2 - 5x + 3)$$
[!tip] Méthode pour trouver le facteur commun
- Trouver le PGCD des coefficients.
- Prendre la plus petite puissance de $x$ apparaissant dans chaque terme.
- Le facteur commun est le produit des deux.
2. Identités remarquables§
Les trois identités remarquables sont des formules incontournables. Elles fonctionnent dans les deux sens : développement et factorisation.
2.1 Carré d’une somme§
$$\boxed{(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$$
[!example] Exemple $(3x + 5)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 5 + 5^2 = 9x^2 + 30x + 25$
2.2 Carré d’une différence§
$$\boxed{(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}$$
[!example] Exemple $(2x - 7)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 7 + 7^2 = 4x^2 - 28x + 49$
2.3 Produit somme-différence§
$$\boxed{(a + b)(a - b) = a^2 - b^2}$$
[!example] Exemple (développement) $(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3}) = x^2 - (\sqrt{3})^2 = x^2 - 3$
[!example] Exemple (factorisation) $16x^2 - 9 = (4x)^2 - 3^2 = (4x + 3)(4x - 3)$
[!warning] Erreurs fréquentes
- $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$ : il manque le double produit $2ab$.
- $(a - b)^2 \neq a^2 - b^2$ : attention, $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ est la troisième identité.
2.4 Arbre de décision pour les identités remarquables§
flowchart TD
A["Expression à identifier"] --> B{"Combien de termes ?"}
B -->|"2 termes"| C{"Forme a² - b² ?"}
C -->|Oui| D["(a+b)(a-b)"]
C -->|Non| E["Pas une IR à 2 termes"]
B -->|"3 termes"| F{"Le premier et le dernier sont-ils des carrés ?"}
F -->|Oui| G{"Le terme central = ±2ab ?"}
G -->|"+2ab"| H["(a+b)²"]
G -->|"-2ab"| I["(a-b)²"]
G -->|Non| J["Pas une IR"]
F -->|Non| J
B -->|"Produit (a+b)(a-b)"| D
3. Fractions§
3.1 Règles de calcul§
Pour $b \neq 0$ et $d \neq 0$ :
| Opération | Formule |
|---|---|
| Addition (même dénominateur) | $\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}$ |
| Addition (dénominateurs différents) | $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$ |
| Multiplication | $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$ |
| Division | $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$ |
| Simplification | $\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}$ pour $k \neq 0$ |
[!tip] Méthode pour additionner des fractions
- Trouver le dénominateur commun (PPCM des dénominateurs).
- Multiplier numérateur et dénominateur de chaque fraction pour obtenir ce dénominateur.
- Additionner les numérateurs.
- Simplifier si possible.
[!example] Exemple : calculer $\frac{3}{4} + \frac{5}{6}$ Le PPCM de $4$ et $6$ est $12$. $$\frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} + \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{19}{12}$$
3.2 Fractions algébriques§
Les mêmes règles s’appliquent aux fractions contenant des variables.
[!example] Exemple : simplifier $\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}$ On factorise numérateur et dénominateur :
- Numérateur : $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$
- Dénominateur : $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$
$$\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4} = \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{x-2}{x+2} \quad (x \neq -2)$$
4. Racines carrées dans les calculs§
4.1 Simplification de radicaux§
Pour simplifier $\sqrt{n}$, on cherche le plus grand carré parfait qui divise $n$.
[!example] Exemple : simplifier $\sqrt{48}$ $48 = 16 \times 3$, donc $\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$
4.2 Rationalisation du dénominateur§
Il est d’usage d’éliminer les racines carrées au dénominateur.
Cas simple : on multiplie numérateur et dénominateur par la racine.
$$\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}$$
Cas avec somme/différence : on utilise la quantité conjuguée.
$$\frac{a}{c + \sqrt{b}} = \frac{a(c - \sqrt{b})}{(c + \sqrt{b})(c - \sqrt{b})} = \frac{a(c - \sqrt{b})}{c^2 - b}$$
[!example] Exemple : rationaliser $\frac{6}{3 + \sqrt{5}}$ $$\frac{6}{3 + \sqrt{5}} = \frac{6(3 - \sqrt{5})}{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})} = \frac{6(3 - \sqrt{5})}{9 - 5} = \frac{6(3 - \sqrt{5})}{4} = \frac{3(3 - \sqrt{5})}{2}$$
5. Systèmes d’équations à deux inconnues§
5.1 Définition§
Un système de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ s’écrit :
$$\begin{cases} ax + by = e \ cx + dy = f \end{cases}$$
Résoudre le système, c’est trouver tous les couples $(x, y)$ qui vérifient simultanément les deux équations.
5.2 Méthode par substitution§
- Isoler une inconnue dans l’une des équations.
- Remplacer dans l’autre équation.
- Résoudre l’équation à une inconnue obtenue.
- Calculer l’autre inconnue.
[!example] Exemple : résoudre par substitution $$\begin{cases} 2x + y = 7 \ x - 3y = -4 \end{cases}$$
Étape 1 : on isole $y$ dans la première équation : $y = 7 - 2x$.
Étape 2 : on substitue dans la seconde : $x - 3(7 - 2x) = -4$.
Étape 3 : $x - 21 + 6x = -4 \Rightarrow 7x = 17 \Rightarrow x = \frac{17}{7}$.
Étape 4 : $y = 7 - 2 \times \frac{17}{7} = \frac{49 - 34}{7} = \frac{15}{7}$.
Solution : $\left(\frac{17}{7},, \frac{15}{7}\right)$.
5.3 Méthode par combinaisons linéaires§
- Multiplier les équations pour obtenir des coefficients opposés pour une inconnue.
- Additionner les équations pour éliminer cette inconnue.
- Résoudre et substituer.
[!example] Exemple : résoudre par combinaisons $$\begin{cases} 3x + 2y = 12 \quad (L_1) \ 5x - 3y = 1 \quad (L_2) \end{cases}$$
Pour éliminer $y$, on calcule $3 \times (L_1) + 2 \times (L_2)$ : $$9x + 6y + 10x - 6y = 36 + 2$$ $$19x = 38 \Rightarrow x = 2$$
On substitue dans $(L_1)$ : $3 \times 2 + 2y = 12 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$.
Solution : $(2,, 3)$.
5.4 Interprétation graphique§
Chaque équation linéaire représente une droite dans le plan. Le système admet :
- une unique solution si les droites sont sécantes (cas général) ;
- aucune solution si les droites sont parallèles (non confondues) ;
- une infinité de solutions si les droites sont confondues.
flowchart TD
S["Système 2x2"] --> D{"Les droites sont-elles parallèles ?"}
D -->|Non| U["Solution unique : point d'intersection"]
D -->|Oui| P{"Confondues ?"}
P -->|Non| V["Aucune solution : système incompatible"]
P -->|Oui| I["Infinité de solutions : système indéterminé"]
6. Inéquations§
6.1 Règles fondamentales§
Pour résoudre une inéquation, on applique les mêmes opérations que pour une équation, avec une règle cruciale :
[!warning] Règle du signe Lorsqu’on multiplie ou divise les deux membres d’une inéquation par un nombre négatif, on inverse le sens de l’inégalité. $$a < b \quad \xRightarrow{\times (-1)} \quad -a > -b$$
6.2 Inéquations du premier degré§
[!example] Exemple : résoudre $3x - 7 \geq 2x + 5$ $$3x - 7 \geq 2x + 5$$ $$3x - 2x \geq 5 + 7$$ $$x \geq 12$$ L’ensemble solution est $S = [12;, +\infty[$.
[!example] Exemple avec changement de sens : résoudre $-4x + 3 > 11$ $$-4x + 3 > 11$$ $$-4x > 8$$ $$x < -2 \quad \text{(on divise par $-4$ : le sens change)}$$ L’ensemble solution est $S = ]-\infty;, -2[$.
6.3 Inéquations produit et quotient : tableau de signes§
Pour résoudre une inéquation de la forme $A(x) \times B(x) \geq 0$ ou $\frac{A(x)}{B(x)} \leq 0$, on utilise un tableau de signes.
Méthode :
- Trouver les valeurs qui annulent chaque facteur.
- Étudier le signe de chaque facteur sur chaque intervalle.
- Appliquer la règle des signes pour le produit ou le quotient.
[!example] Exemple : résoudre $(2x - 6)(x + 1) \leq 0$ Les racines sont $x = 3$ (annule $2x - 6$) et $x = -1$ (annule $x + 1$).
$x$ $-\infty$ $-1$ $3$ $+\infty$ $2x - 6$ $-$ $-$ $0$ $+$ $x + 1$ $-$ $0$ $+$ $+$ Produit $+$ $0$ $-$ $0$ $+$ $(2x - 6)(x + 1) \leq 0$ pour $x \in [-1;, 3]$.
7. Exercices types corrigés§
Exercice 1 : Identités remarquables§
Énoncé : Développer et réduire : a) $(5x - 3)^2$ b) $(2x + 1)(2x - 1)$ c) $(x + 3)^2 - (x - 3)^2$
[!example] Correction a) $(5x - 3)^2 = 25x^2 - 30x + 9$
b) $(2x + 1)(2x - 1) = 4x^2 - 1$
c) On développe chaque carré : $(x + 3)^2 - (x - 3)^2 = (x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 6x + 9) = 12x$
Ou bien par la différence de carrés avec $a = (x+3)$ et $b = (x-3)$ : $= [(x+3) + (x-3)][(x+3) - (x-3)] = 2x \cdot 6 = 12x$
Exercice 2 : Factorisation§
Énoncé : Factoriser les expressions suivantes : a) $x^2 - 6x + 9$ b) $4x^2 - 25$ c) $x^3 - x$
[!example] Correction a) $x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x - 3)^2$
b) $4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x + 5)(2x - 5)$
c) $x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x + 1)(x - 1)$
Exercice 3 : Système d’équations§
Énoncé : Deux nombres ont pour somme $53$ et pour différence $17$. Quels sont ces nombres ?
[!example] Correction Posons $x$ le plus grand et $y$ le plus petit. $$\begin{cases} x + y = 53 \ x - y = 17 \end{cases}$$
En additionnant les deux équations : $2x = 70$, donc $x = 35$. En substituant : $35 + y = 53$, donc $y = 18$.
Les deux nombres sont $35$ et $18$.
Vérification : $35 + 18 = 53$ et $35 - 18 = 17$.
Exercice 4 : Inéquation avec tableau de signes§
Énoncé : Résoudre $\frac{3x + 6}{x - 2} \leq 0$.
[!example] Correction Le numérateur $3x + 6 = 3(x + 2)$ s’annule pour $x = -2$. Le dénominateur $x - 2$ s’annule pour $x = 2$. Valeur interdite : $x \neq 2$.
Tableau de signes :
$x$ $-\infty$ $-2$ $2$ $+\infty$ $3x + 6$ $-$ $0$ $+$ $+$ $x - 2$ $-$ $-$ $0$ $+$ Quotient $+$ $0$ $-$ $+$ $\frac{3x+6}{x-2} \leq 0$ pour $x \in [-2;, 2[$.
On inclut $-2$ (le quotient y vaut $0$) mais on exclut $2$ (valeur interdite).
Exercice 5 : Rationalisation§
Énoncé : Rationaliser et simplifier $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$.
[!example] Correction On multiplie par la quantité conjuguée : $$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}$$
Numérateur : $(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$
Dénominateur : $5 - 3 = 2$
$$\frac{8 + 2\sqrt{15}}{2} = 4 + \sqrt{15}$$
8. À retenir§
[!tip] À retenir
- Trois identités remarquables : $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ et $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
- $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$ : ne jamais oublier le double produit.
- Factoriser = transformer en produit ; développer = transformer en somme.
- Pour additionner des fractions, il faut un dénominateur commun.
- Quand on multiplie/divise une inéquation par un nombre négatif, on inverse le sens.
- Pour les inéquations produit/quotient, on fait un tableau de signes.
- Les systèmes $2 \times 2$ se résolvent par substitution ou combinaisons linéaires.
Voir aussi : Ensembles et Nombres | Fonctions | Second Degré | Dérivation