Ensembles et Nombres

1. Les ensembles de nombres§

Les nombres que l’on utilise en mathématiques sont organisés en ensembles emboîtés. Chaque ensemble étend le précédent pour répondre à de nouveaux besoins.

1.1 Les grands ensembles§

Ensemble	Notation	Description	Exemples
Entiers naturels	$\mathbb{N}$	Nombres pour compter	$0, 1, 2, 3, \ldots$
Entiers relatifs	$\mathbb{Z}$	Ajout des négatifs	$\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$
Rationnels	$\mathbb{Q}$	Fractions $\frac{p}{q}$ avec $q \neq 0$	$\frac{1}{2},; -\frac{3}{7},; 0{,}75$
Réels	$\mathbb{R}$	Tous les nombres sur la droite	$\sqrt{2},; \pi,; e$

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

Tout entier naturel est un entier relatif, tout entier relatif est un rationnel, et tout rationnel est un réel.

1.2 Diagramme d’inclusion§

graph TB
    subgraph R["R - Réels"]
        direction TB
        irr["Irrationnels : sqrt(2), pi, e"]
        subgraph Q["Q - Rationnels"]
            direction TB
            frac["Fractions : 1/2, -3/7, 0.75"]
            subgraph Z["Z - Entiers relatifs"]
                direction TB
                neg["Négatifs : -1, -2, -3..."]
                subgraph N["N - Entiers naturels"]
                    nat["0, 1, 2, 3, 4..."]
                end
            end
        end
    end

    style R fill:#f9f0ff,stroke:#7b2d8e
    style Q fill:#e0f0ff,stroke:#2d5f8e
    style Z fill:#e0ffe0,stroke:#2d8e3b
    style N fill:#fffde0,stroke:#8e842d

1.3 Notations complémentaires§

• $\mathbb{N}^*$ : entiers naturels sans le zéro, c’est-à-dire ${1, 2, 3, \ldots}$
• $\mathbb{Z}^*$ : entiers relatifs sans le zéro
• $\mathbb{R}^+$ : réels positifs ou nuls
• $\mathbb{R}^-$ : réels négatifs ou nuls
• $\mathbb{R}^*$ : réels non nuls

2. Intervalles et notation§

Un intervalle est une partie de $\mathbb{R}$ contenant tous les réels compris entre deux bornes.

2.1 Types d’intervalles§

Notation	Ensemble	Description
$[a;, b]$	${x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b}$	Intervalle fermé
$]a;, b[$	${x \in \mathbb{R} \mid a < x < b}$	Intervalle ouvert
$[a;, b[$	${x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b}$	Fermé à gauche, ouvert à droite
$]a;, b]$	${x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b}$	Ouvert à gauche, fermé à droite
$[a;, +\infty[$	${x \in \mathbb{R} \mid x \geq a}$	Semi-droite fermée
$]-\infty;, b]$	${x \in \mathbb{R} \mid x \leq b}$	Semi-droite fermée
$]-\infty;, +\infty[$	$\mathbb{R}$	La droite réelle entière

2.2 Opérations sur les intervalles§

• Réunion : $[1;, 3] \cup [5;, 7]$ = ensemble des $x$ dans $[1;, 3]$ ou dans $[5;, 7]$
• Intersection : $[1;, 5] \cap [3;, 7] = [3;, 5]$

3. Valeur absolue§

3.1 Définition§

$$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$

Géométriquement, $|x|$ est la distance de $x$ à l’origine $0$ sur la droite réelle.

3.2 Propriétés fondamentales§

Pour tous réels $x, y$ et pour $a > 0$ :

1. $|x| \geq 0$ et $|x| = 0 \iff x = 0$
2. $|xy| = |x| \cdot |y|$
3. $\left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|}$ pour $y \neq 0$
4. Inégalité triangulaire : $|x + y| \leq |x| + |y|$

3.3 Résolution d’équations et inéquations avec valeur absolue§

Condition	Équivalence
$|x| = a$	$x = a$ ou $x = -a$
$|x| \leq a$	$-a \leq x \leq a$
$|x| \geq a$	$x \leq -a$ ou $x \geq a$
$|x - c| \leq a$	$c - a \leq x \leq c + a$

4. Puissances et racines carrées§

4.1 Puissances entières§

Pour $a \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{N}^*$ :

$$a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ fois}}$$

Conventions : $a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$) et $a^1 = a$.

4.2 Règles de calcul sur les puissances§

Pour $a, b \in \mathbb{R}$ non nuls et $m, n \in \mathbb{Z}$ :

Règle	Formule
Produit de même base	$a^m \times a^n = a^{m+n}$
Quotient de même base	$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
Puissance de puissance	$(a^m)^n = a^{m \times n}$
Puissance d’un produit	$(ab)^n = a^n \cdot b^n$
Puissance d’un quotient	$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$
Exposant négatif	$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

$$\frac{2^5 \times 2^3}{2^4} = \frac{2^{5+3}}{2^4} = \frac{2^8}{2^4} = 2^{8-4} = 2^4 = 16$$

4.3 Racines carrées§

$$\sqrt{a} \geq 0 \quad \text{et} \quad (\sqrt{a})^2 = a$$

Propriétés (pour $a \geq 0$ et $b > 0$) :

• $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$
• $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
• $\sqrt{a^2} = |a|$ (valeur absolue de $a$, car $a$ peut être négatif)

$$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$$

5. Nombres premiers§

5.1 Définition§

Les premiers nombres premiers sont : $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, \ldots$

5.2 Théorème fondamental de l’arithmétique§

$$360 = 2 \times 180 = 2 \times 2 \times 90 = 2^2 \times 2 \times 45 = 2^3 \times 45 = 2^3 \times 9 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5$$

5.3 Crible d’Ératosthène§

Pour trouver tous les nombres premiers jusqu’à $n$ :

1. Écrire tous les entiers de $2$ à $n$.
2. Le premier nombre non barré ($2$) est premier. Barrer tous ses multiples.
3. Passer au nombre suivant non barré ($3$) et barrer ses multiples.
4. Répéter jusqu’à avoir traité tous les nombres $\leq \sqrt{n}$.

6. Divisibilité§

6.1 Définition§

$$a = k \times b$$

On dit alors que $a$ est un multiple de $b$, ou que $b$ est un diviseur de $a$.

6.2 Critères de divisibilité§

Diviseur	Critère
$2$	Le chiffre des unités est pair ($0, 2, 4, 6, 8$)
$3$	La somme des chiffres est divisible par $3$
$4$	Le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par $4$
$5$	Le chiffre des unités est $0$ ou $5$
$9$	La somme des chiffres est divisible par $9$
$10$	Le chiffre des unités est $0$

6.3 Division euclidienne§

$$a = b \times q + r \quad \text{avec} \quad 0 \leq r < b$$

$q$ est le quotient et $r$ le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$.

$$157 = 12 \times 13 + 1$$

Donc $q = 13$ et $r = 1$. On a bien $0 \leq 1 < 12$.

6.4 PGCD et PPCM§

• Le PGCD (plus grand commun diviseur) de $a$ et $b$ est le plus grand entier qui divise à la fois $a$ et $b$.
• Le PPCM (plus petit commun multiple) de $a$ et $b$ est le plus petit entier positif qui est multiple de $a$ et de $b$.

Relation fondamentale : pour $a, b \in \mathbb{N}^*$ :

$$\text{PGCD}(a, b) \times \text{PPCM}(a, b) = a \times b$$ $$\text{PGCD}(24, 36) = 2^2 \times 3 = 12$$

$$\text{PPCM}(24, 36) = 2^3 \times 3^2 = 72$$

Vérification : $12 \times 72 = 864 = 24 \times 36$

7. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Appartenance aux ensembles§

Énoncé : Indiquer le plus petit ensemble de nombres auquel appartiennent les nombres suivants : $7$ ; $-3$ ; $\frac{2}{5}$ ; $\sqrt{9}$ ; $\sqrt{5}$ ; $\pi$

Exercice 2 : Intervalles§

Énoncé : Résoudre $|2x - 3| \leq 5$ et exprimer la solution sous forme d’intervalle.

$$-5 + 3 \leq 2x \leq 5 + 3$$

$$-2 \leq 2x \leq 8$$

On divise par $2$ :

$$-1 \leq x \leq 4$$

L’ensemble solution est $S = [-1;, 4]$.

Exercice 3 : Simplification de racines carrées§

Énoncé : Simplifier $A = 3\sqrt{50} - 2\sqrt{18} + \sqrt{8}$.

$$A = 3 \times 5\sqrt{2} - 2 \times 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 15\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 11\sqrt{2}$$

Exercice 4 : Décomposition en facteurs premiers§

Énoncé : Décomposer $2,520$ en produit de facteurs premiers, puis en déduire le nombre de diviseurs de $2,520$.

$$2,520 = 2 \times 1,260 = 2^2 \times 630 = 2^3 \times 315 = 2^3 \times 3 \times 105 = 2^3 \times 3^2 \times 35 = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7$$

Le nombre de diviseurs d’un entier $n = p_1^{\alpha_1} \times \cdots \times p_k^{\alpha_k}$ est :

$$d(n) = (\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1) \cdots (\alpha_k + 1)$$

Donc le nombre de diviseurs de $2,520$ est :

$$d(2,520) = (3+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 4 \times 3 \times 2 \times 2 = 48$$

Exercice 5 : PGCD par l’algorithme d’Euclide§

Énoncé : Calculer $\text{PGCD}(252, 198)$ par l’algorithme d’Euclide.

$$252 = 198 \times 1 + 54$$

$$198 = 54 \times 3 + 36$$

$$54 = 36 \times 1 + 18$$

$$36 = 18 \times 2 + 0$$

Le dernier reste non nul est $18$, donc $\text{PGCD}(252, 198) = 18$.

8. À retenir§

Voir aussi : Calcul Algébrique | Fonctions | Second Degré