Ensembles et Nombres
1. Les ensembles de nombres§
Les nombres que l’on utilise en mathématiques sont organisés en ensembles emboîtés. Chaque ensemble étend le précédent pour répondre à de nouveaux besoins.
1.1 Les grands ensembles§
| Ensemble | Notation | Description | Exemples |
|---|---|---|---|
| Entiers naturels | $\mathbb{N}$ | Nombres pour compter | $0, 1, 2, 3, \ldots$ |
| Entiers relatifs | $\mathbb{Z}$ | Ajout des négatifs | $\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$ |
| Rationnels | $\mathbb{Q}$ | Fractions $\frac{p}{q}$ avec $q \neq 0$ | $\frac{1}{2},; -\frac{3}{7},; 0{,}75$ |
| Réels | $\mathbb{R}$ | Tous les nombres sur la droite | $\sqrt{2},; \pi,; e$ |
[!important] Inclusions des ensembles $$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$ Tout entier naturel est un entier relatif, tout entier relatif est un rationnel, et tout rationnel est un réel.
1.2 Diagramme d’inclusion§
graph TB
subgraph R["R - Réels"]
direction TB
irr["Irrationnels : sqrt(2), pi, e"]
subgraph Q["Q - Rationnels"]
direction TB
frac["Fractions : 1/2, -3/7, 0.75"]
subgraph Z["Z - Entiers relatifs"]
direction TB
neg["Négatifs : -1, -2, -3..."]
subgraph N["N - Entiers naturels"]
nat["0, 1, 2, 3, 4..."]
end
end
end
end
style R fill:#f9f0ff,stroke:#7b2d8e
style Q fill:#e0f0ff,stroke:#2d5f8e
style Z fill:#e0ffe0,stroke:#2d8e3b
style N fill:#fffde0,stroke:#8e842d
1.3 Notations complémentaires§
- $\mathbb{N}^*$ : entiers naturels sans le zéro, c’est-à-dire ${1, 2, 3, \ldots}$
- $\mathbb{Z}^*$ : entiers relatifs sans le zéro
- $\mathbb{R}^+$ : réels positifs ou nuls
- $\mathbb{R}^-$ : réels négatifs ou nuls
- $\mathbb{R}^*$ : réels non nuls
[!tip] Comment savoir si un nombre est rationnel ? Un nombre est rationnel si et seulement si son écriture décimale est finie ou périodique.
- $0{,}333\ldots = \frac{1}{3}$ est rationnel (période 3)
- $\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$ est irrationnel (pas de période)
2. Intervalles et notation§
Un intervalle est une partie de $\mathbb{R}$ contenant tous les réels compris entre deux bornes.
2.1 Types d’intervalles§
| Notation | Ensemble | Description |
|---|---|---|
| $[a;, b]$ | ${x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b}$ | Intervalle fermé |
| $]a;, b[$ | ${x \in \mathbb{R} \mid a < x < b}$ | Intervalle ouvert |
| $[a;, b[$ | ${x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b}$ | Fermé à gauche, ouvert à droite |
| $]a;, b]$ | ${x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b}$ | Ouvert à gauche, fermé à droite |
| $[a;, +\infty[$ | ${x \in \mathbb{R} \mid x \geq a}$ | Semi-droite fermée |
| $]-\infty;, b]$ | ${x \in \mathbb{R} \mid x \leq b}$ | Semi-droite fermée |
| $]-\infty;, +\infty[$ | $\mathbb{R}$ | La droite réelle entière |
[!warning] Attention Les bornes $+\infty$ et $-\infty$ ne sont jamais incluses : on utilise toujours un crochet ouvert de leur côté.
2.2 Opérations sur les intervalles§
- Réunion : $[1;, 3] \cup [5;, 7]$ = ensemble des $x$ dans $[1;, 3]$ ou dans $[5;, 7]$
- Intersection : $[1;, 5] \cap [3;, 7] = [3;, 5]$
3. Valeur absolue§
3.1 Définition§
[!important] Définition La valeur absolue d’un réel $x$, notée $|x|$, est définie par : $$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$ Géométriquement, $|x|$ est la distance de $x$ à l’origine $0$ sur la droite réelle.
3.2 Propriétés fondamentales§
Pour tous réels $x, y$ et pour $a > 0$ :
- $|x| \geq 0$ et $|x| = 0 \iff x = 0$
- $|xy| = |x| \cdot |y|$
- $\left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|}$ pour $y \neq 0$
- Inégalité triangulaire : $|x + y| \leq |x| + |y|$
3.3 Résolution d’équations et inéquations avec valeur absolue§
| Condition | Équivalence |
|---|---|
| $|x| = a$ | $x = a$ ou $x = -a$ |
| $|x| \leq a$ | $-a \leq x \leq a$ |
| $|x| \geq a$ | $x \leq -a$ ou $x \geq a$ |
| $|x - c| \leq a$ | $c - a \leq x \leq c + a$ |
[!tip] Interprétation géométrique $|x - c| \leq a$ signifie que la distance entre $x$ et $c$ est au plus $a$. L’ensemble solution est l’intervalle $[c - a;, c + a]$, centré en $c$ et de rayon $a$.
4. Puissances et racines carrées§
4.1 Puissances entières§
Pour $a \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{N}^*$ :
$$a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ fois}}$$
Conventions : $a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$) et $a^1 = a$.
4.2 Règles de calcul sur les puissances§
Pour $a, b \in \mathbb{R}$ non nuls et $m, n \in \mathbb{Z}$ :
| Règle | Formule |
|---|---|
| Produit de même base | $a^m \times a^n = a^{m+n}$ |
| Quotient de même base | $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ |
| Puissance de puissance | $(a^m)^n = a^{m \times n}$ |
| Puissance d’un produit | $(ab)^n = a^n \cdot b^n$ |
| Puissance d’un quotient | $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ |
| Exposant négatif | $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ |
[!example] Exemple : simplifier $\frac{2^5 \times 2^3}{2^4}$ $$\frac{2^5 \times 2^3}{2^4} = \frac{2^{5+3}}{2^4} = \frac{2^8}{2^4} = 2^{8-4} = 2^4 = 16$$
4.3 Racines carrées§
[!important] Définition Pour tout réel $a \geq 0$, la racine carrée de $a$, notée $\sqrt{a}$, est l’unique réel positif dont le carré vaut $a$ : $$\sqrt{a} \geq 0 \quad \text{et} \quad (\sqrt{a})^2 = a$$
Propriétés (pour $a \geq 0$ et $b > 0$) :
- $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$
- $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
- $\sqrt{a^2} = |a|$ (valeur absolue de $a$, car $a$ peut être négatif)
[!warning] Erreurs fréquentes
- $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ en général. Contre-exemple : $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \neq 3 + 4 = 7$.
- $\sqrt{a^2} = |a|$ et non pas $a$. Par exemple $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|$.
[!example] Exemple : simplifier $\sqrt{72}$ $$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$$
5. Nombres premiers§
5.1 Définition§
[!important] Définition Un entier naturel $p \geq 2$ est dit premier s’il n’admet exactement que deux diviseurs : $1$ et lui-même.
Les premiers nombres premiers sont : $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, \ldots$
[!tip] Remarque $2$ est le seul nombre premier pair. Tout nombre premier supérieur à $2$ est impair. $1$ n’est pas un nombre premier (il n’a qu’un seul diviseur).
5.2 Théorème fondamental de l’arithmétique§
[!important] Théorème Tout entier naturel $n \geq 2$ se décompose de manière unique (à l’ordre près) en un produit de facteurs premiers.
[!example] Exemple : décomposer $360$ $$360 = 2 \times 180 = 2 \times 2 \times 90 = 2^2 \times 2 \times 45 = 2^3 \times 45 = 2^3 \times 9 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5$$
5.3 Crible d’Ératosthène§
Pour trouver tous les nombres premiers jusqu’à $n$ :
- Écrire tous les entiers de $2$ à $n$.
- Le premier nombre non barré ($2$) est premier. Barrer tous ses multiples.
- Passer au nombre suivant non barré ($3$) et barrer ses multiples.
- Répéter jusqu’à avoir traité tous les nombres $\leq \sqrt{n}$.
6. Divisibilité§
6.1 Définition§
[!important] Définition Soient $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{Z}^*$. On dit que $b$ divise $a$ (noté $b \mid a$) s’il existe un entier $k \in \mathbb{Z}$ tel que : $$a = k \times b$$ On dit alors que $a$ est un multiple de $b$, ou que $b$ est un diviseur de $a$.
6.2 Critères de divisibilité§
| Diviseur | Critère |
|---|---|
| $2$ | Le chiffre des unités est pair ($0, 2, 4, 6, 8$) |
| $3$ | La somme des chiffres est divisible par $3$ |
| $4$ | Le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par $4$ |
| $5$ | Le chiffre des unités est $0$ ou $5$ |
| $9$ | La somme des chiffres est divisible par $9$ |
| $10$ | Le chiffre des unités est $0$ |
[!example] Exemple : $1,764$ est-il divisible par $3$ ? par $4$ ?
- Somme des chiffres : $1 + 7 + 6 + 4 = 18$. Or $18$ est divisible par $3$, donc $1,764$ est divisible par $3$.
- Deux derniers chiffres : $64$. Or $64 = 16 \times 4$, donc $1,764$ est divisible par $4$.
6.3 Division euclidienne§
[!important] Théorème de la division euclidienne Pour tout entier $a \in \mathbb{Z}$ et tout entier $b \in \mathbb{N}^*$, il existe un unique couple $(q, r) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}$ tel que : $$a = b \times q + r \quad \text{avec} \quad 0 \leq r < b$$ $q$ est le quotient et $r$ le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$.
[!example] Exemple : division euclidienne de $157$ par $12$ $$157 = 12 \times 13 + 1$$ Donc $q = 13$ et $r = 1$. On a bien $0 \leq 1 < 12$.
6.4 PGCD et PPCM§
- Le PGCD (plus grand commun diviseur) de $a$ et $b$ est le plus grand entier qui divise à la fois $a$ et $b$.
- Le PPCM (plus petit commun multiple) de $a$ et $b$ est le plus petit entier positif qui est multiple de $a$ et de $b$.
Relation fondamentale : pour $a, b \in \mathbb{N}^*$ :
$$\text{PGCD}(a, b) \times \text{PPCM}(a, b) = a \times b$$
[!example] Exemple : PGCD(24, 36) Décompositions : $24 = 2^3 \times 3$ et $36 = 2^2 \times 3^2$. On prend les puissances minimales des facteurs communs : $$\text{PGCD}(24, 36) = 2^2 \times 3 = 12$$ $$\text{PPCM}(24, 36) = 2^3 \times 3^2 = 72$$ Vérification : $12 \times 72 = 864 = 24 \times 36$
7. Exercices types corrigés§
Exercice 1 : Appartenance aux ensembles§
Énoncé : Indiquer le plus petit ensemble de nombres auquel appartiennent les nombres suivants : $7$ ; $-3$ ; $\frac{2}{5}$ ; $\sqrt{9}$ ; $\sqrt{5}$ ; $\pi$
[!example] Correction
- $7 \in \mathbb{N}$ (entier naturel)
- $-3 \in \mathbb{Z}$ (entier relatif, pas naturel car négatif)
- $\frac{2}{5} = 0{,}4 \in \mathbb{Q}$ (rationnel, pas entier)
- $\sqrt{9} = 3 \in \mathbb{N}$ (entier naturel)
- $\sqrt{5} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ (irrationnel)
- $\pi \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ (irrationnel)
Exercice 2 : Intervalles§
Énoncé : Résoudre $|2x - 3| \leq 5$ et exprimer la solution sous forme d’intervalle.
[!example] Correction $|2x - 3| \leq 5$ équivaut à $-5 \leq 2x - 3 \leq 5$.
On ajoute $3$ partout : $$-5 + 3 \leq 2x \leq 5 + 3$$ $$-2 \leq 2x \leq 8$$
On divise par $2$ : $$-1 \leq x \leq 4$$
L’ensemble solution est $S = [-1;, 4]$.
Exercice 3 : Simplification de racines carrées§
Énoncé : Simplifier $A = 3\sqrt{50} - 2\sqrt{18} + \sqrt{8}$.
[!example] Correction On décompose chaque radicande :
- $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$
- $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$
- $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$
Donc : $$A = 3 \times 5\sqrt{2} - 2 \times 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 15\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 11\sqrt{2}$$
Exercice 4 : Décomposition en facteurs premiers§
Énoncé : Décomposer $2,520$ en produit de facteurs premiers, puis en déduire le nombre de diviseurs de $2,520$.
[!example] Correction Décomposition : $$2,520 = 2 \times 1,260 = 2^2 \times 630 = 2^3 \times 315 = 2^3 \times 3 \times 105 = 2^3 \times 3^2 \times 35 = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7$$
Le nombre de diviseurs d’un entier $n = p_1^{\alpha_1} \times \cdots \times p_k^{\alpha_k}$ est : $$d(n) = (\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1) \cdots (\alpha_k + 1)$$
Donc le nombre de diviseurs de $2,520$ est : $$d(2,520) = (3+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 4 \times 3 \times 2 \times 2 = 48$$
Exercice 5 : PGCD par l’algorithme d’Euclide§
Énoncé : Calculer $\text{PGCD}(252, 198)$ par l’algorithme d’Euclide.
[!example] Correction On applique des divisions euclidiennes successives : $$252 = 198 \times 1 + 54$$ $$198 = 54 \times 3 + 36$$ $$54 = 36 \times 1 + 18$$ $$36 = 18 \times 2 + 0$$
Le dernier reste non nul est $18$, donc $\text{PGCD}(252, 198) = 18$.
8. À retenir§
[!tip] À retenir
- Les ensembles de nombres sont emboîtés : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
- Un nombre est rationnel si et seulement si son développement décimal est fini ou périodique.
- $|x - a| \leq r$ signifie $x \in [a - r;, a + r]$.
- $\sqrt{a^2} = |a|$ (et non pas $a$).
- $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
- Tout entier $\geq 2$ se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers.
- L’algorithme d’Euclide permet de calculer le PGCD de deux entiers.
Voir aussi : Calcul Algébrique | Fonctions | Second Degré