Fonctions

La notion de fonction est au coeur de l’analyse mathématique. Une fonction modélise une relation de dépendance entre deux grandeurs.

1. Notion de fonction§

1.1 Définition§

Définition

Une fonction $f$ définie sur un ensemble $D_f \subset \mathbb{R}$ est un procédé qui, à chaque nombre $x$ de $D_f$ , associe un unique nombre réel noté $f(x)$ .

On note : $f : D_f \to \mathbb{R},\quad x \mapsto f(x)$

$D_f$ est l’ensemble de définition de $f$ .
$f(x)$ est l’image de $x$ par $f$ .
Si $f(x) = y$ , on dit que $x$ est un antécédent de $y$ par $f$ .

Attention

Un élément $y$ peut avoir plusieurs antécédents (ou aucun), mais chaque $x$ de $D_f$ a une seule image.

1.2 Ensemble de définition§

Pour déterminer $D_f$ , il faut exclure les valeurs de $x$ qui rendent l’expression impossible :

Dénominateur nul : si $f(x) = \frac{A(x)}{B(x)}$ , on exclut $B(x) = 0$ .
Racine d’un nombre négatif : si $f(x) = \sqrt{A(x)}$ , on impose $A(x) \geq 0$ .

Exemple : déterminer

D_f

pour

f(x) = \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 3}

Il faut $x - 1 \geq 0$ , soit $x \geq 1$ .
Il faut $x - 3 \neq 0$ , soit $x \neq 3$ .

Donc $D_f = [1;, 3[ \cup ]3;, +\infty[$ .

2. Courbe représentative et lecture graphique§

2.1 Courbe représentative§

Définition

La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d’une fonction $f$ est l’ensemble des points $M(x;, f(x))$ pour $x \in D_f$ .

Un point $M(a;, b)$ appartient à $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $b = f(a)$ .

2.2 Lecture graphique§

Sur la courbe de $f$ , on peut lire :

L’image de $a$ : on se place en $x = a$ , on lit l’ordonnée du point correspondant.
Les antécédents de $b$ : on trace la droite $y = b$ et on lit les abscisses des points d’intersection.

2.3 Résolutions graphiques§

$f(x) = k$ : les abscisses des points d’intersection de $\mathcal{C}_f$ avec la droite $y = k$ .
$f(x) > k$ : les intervalles où la courbe est au-dessus de la droite $y = k$ .
$f(x) = g(x)$ : les abscisses des points d’intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ .
$f(x) > g(x)$ : les intervalles où $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ .

3. Fonctions de référence§

3.1 Vue d’ensemble§

graph TD
    FR["Fonctions de référence"] --> AFF["Fonction affine<br/>f(x) = mx + p"]
    FR --> CAR["Fonction carrée<br/>f(x) = x²"]
    FR --> CUB["Fonction cube<br/>f(x) = x³"]
    FR --> INV["Fonction inverse<br/>f(x) = 1/x"]
    FR --> RAC["Fonction racine<br/>f(x) = sqrt(x)"]
    FR --> ABS["Valeur absolue<br/>f(x) = |x|"]

    AFF --> |"Droite"| P1["Croissante si m > 0<br/>Décroissante si m < 0"]
    CAR --> |"Parabole"| P2["Décroissante sur ]-inf, 0]<br/>Croissante sur [0, +inf["]
    CUB --> |"Courbe en S"| P3["Croissante sur R"]
    INV --> |"Hyperbole"| P4["Décroissante sur ]-inf, 0[<br/>Décroissante sur ]0, +inf["]
    RAC --> |"Demi-parabole"| P5["Croissante sur [0, +inf["]
    ABS --> |"V"| P6["Décroissante sur ]-inf, 0]<br/>Croissante sur [0, +inf["]

3.2 Fonction affine : $f(x) = mx + p$ §

Ensemble de définition : $\mathbb{R}$
Courbe : droite de pente $m$ et d’ordonnée à l’origine $p$
Si $m > 0$ : $f$ est strictement croissante
Si $m < 0$ : $f$ est strictement décroissante
Si $m = 0$ : $f$ est constante ( $f(x) = p$ )
Cas particulier $p = 0$ : fonction linéaire $f(x) = mx$

3.3 Fonction carrée : $f(x) = x^2$ §

Ensemble de définition : $\mathbb{R}$
Image : $[0;, +\infty[$
Variations :

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$f(x) = x^2$		$\searrow$	$0$	$\nearrow$

Courbe : parabole de sommet $O(0;, 0)$ , tournée vers le haut
Symétrie : la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (fonction paire)

3.4 Fonction cube : $f(x) = x^3$ §

Ensemble de définition : $\mathbb{R}$
Image : $\mathbb{R}$
Variations : strictement croissante sur $\mathbb{R}$

$x$	$-\infty$		$+\infty$
$f(x) = x^3$	$-\infty$	$\nearrow$	$+\infty$

Symétrie : la courbe est symétrique par rapport à l’origine (fonction impaire)

3.5 Fonction inverse : $f(x) = \frac{1}{x}$ §

Ensemble de définition : $\mathbb{R}^* = ]-\infty;, 0[ \cup ]0;, +\infty[$
Variations : strictement décroissante sur $]-\infty;, 0[$ et sur $]0;, +\infty[$ séparément

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$f(x) = \frac{1}{x}$	$0^-$	$\searrow$	$\parallel$	$\searrow$	$0^+$

Courbe : hyperbole, avec deux branches dans les quadrants I et III
Asymptotes : axe des abscisses (horizontale) et axe des ordonnées (verticale)
Symétrie : fonction impaire (symétrie par rapport à l’origine)

Attention

On ne dit pas que $f(x) = \frac{1}{x}$ est décroissante sur $\mathbb{R}^*$ . Elle est décroissante sur chacun des deux intervalles séparément, mais pas sur leur réunion (car $\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \frac{1}{1}$ alors que $-1 < 1$ ).

3.6 Fonction racine carrée : $f(x) = \sqrt{x}$ §

Ensemble de définition : $[0;, +\infty[$
Image : $[0;, +\infty[$
Variations : strictement croissante sur $[0;, +\infty[$

$x$	$0$		$+\infty$
$f(x) = \sqrt{x}$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$

Courbe : demi-parabole couchée, partant de l’origine
La croissance ralentit : la courbe s’aplatit de plus en plus

4. Sens de variation§

4.1 Définitions§

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ .

$f$ est croissante sur $I$ si : pour tous $a, b \in I$ , $a \leq b \Rightarrow f(a) \leq f(b)$ .
$f$ est décroissante sur $I$ si : pour tous $a, b \in I$ , $a \leq b \Rightarrow f(a) \geq f(b)$ .
$f$ est strictement croissante si l’implication est stricte ( $<$ au lieu de $\leq$ ).

En termes intuitifs :

Croissante : quand $x$ augmente, $f(x)$ augmente (ou reste constant).
Décroissante : quand $x$ augmente, $f(x)$ diminue (ou reste constant).

4.2 Tableau de variations§

Un tableau de variations résume le comportement global de la fonction.

Exemple : tableau de variations de

f(x) = -x^2 + 4x - 1

Cette fonction est un trinôme du second degré avec $a = -1 < 0$ . Le sommet est en $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{-2} = 2$ .

$f(2) = -4 + 8 - 1 = 3$ .

$x$	$-\infty$		$2$		$+\infty$
$f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$-\infty$

4.3 Extremums§

Définition

$f$ admet un maximum $M$ en $x_0$ si $f(x_0) = M$ et $f(x) \leq M$ pour tout $x \in D_f$ .
$f$ admet un minimum $m$ en $x_0$ si $f(x_0) = m$ et $f(x) \geq m$ pour tout $x \in D_f$ .
On parle de maximum/minimum local si la propriété n’est vérifiée que sur un voisinage de $x_0$ .

5. Parité et symétries§

5.1 Fonctions paires§

Définition

$f$ est paire si pour tout $x \in D_f$ : $-x \in D_f$ et $f(-x) = f(x)$ .

Sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Exemples : $x \mapsto x^2$ , $x \mapsto |x|$ , $x \mapsto \cos(x)$ .

5.2 Fonctions impaires§

Définition

$f$ est impaire si pour tout $x \in D_f$ : $-x \in D_f$ et $f(-x) = -f(x)$ .

Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine $O$ .

Exemples : $x \mapsto x^3$ , $x \mapsto \frac{1}{x}$ , $x \mapsto \sin(x)$ .

5.3 Vérification pratique§

flowchart TD
    A["Étudier la parité de f"] --> B{"D_f est-il symétrique<br/>par rapport à 0 ?"}
    B -->|Non| C["f n'est ni paire<br/>ni impaire"]
    B -->|Oui| D["Calculer f(-x)"]
    D --> E{"f(-x) = f(x) ?"}
    E -->|Oui| F["f est paire"]
    E -->|Non| G{"f(-x) = -f(x) ?"}
    G -->|Oui| H["f est impaire"]
    G -->|Non| I["f n'est ni paire<br/>ni impaire"]

Exemple : étudier la parité de

f(x) = x^3 + x

$D_f = \mathbb{R}$ qui est symétrique par rapport à $0$ .
$f(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 - x = -(x^3 + x) = -f(x)$ .
Donc $f$ est impaire.

6. Composition de fonctions§

6.1 Définition§

Définition

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions, la composée $g \circ f$ (lire « $g$ rond $f$ ») est la fonction définie par :

(g \circ f)(x) = g(f(x))

On applique d’abord $f$ , puis $g$ au résultat.

Attention

En général, $g \circ f \neq f \circ g$ . La composition n’est pas commutative.

6.2 Ensemble de définition de $g \circ f$ §

$x \in D_{g \circ f}$ si et seulement si :

$x \in D_f$ (on peut calculer $f(x)$ ), et
$f(x) \in D_g$ (on peut calculer $g(f(x))$ ).

Exemple

Soit $f(x) = 2x + 1$ et $g(x) = x^2$ .

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2x^2 + 1$

On constate bien que $g \circ f \neq f \circ g$ .

6.3 Variations de la composée§

$f$ sur $I$	$g$ sur $f(I)$	$g \circ f$ sur $I$
Croissante	Croissante	Croissante
Croissante	Décroissante	Décroissante
Décroissante	Croissante	Décroissante
Décroissante	Décroissante	Croissante

Astuce mnémotechnique

Même sens de variation donne croissante, sens contraires donne décroissante. C’est la règle des signes appliquée aux variations.

7. Transformations de courbes§

7.1 Translations§

Transformation	Nouvelle fonction	Effet sur la courbe
Translation de vecteur $\vec{u}(a;, 0)$	$g(x) = f(x - a)$	Décalage horizontal de $a$ vers la droite
Translation de vecteur $\vec{v}(0;, b)$	$g(x) = f(x) + b$	Décalage vertical de $b$ vers le haut

7.2 Symétries§

Transformation	Nouvelle fonction	Effet
Symétrie / axe Oy	$g(x) = f(-x)$	Réflexion horizontale
Symétrie / axe Ox	$g(x) = -f(x)$	Réflexion verticale
Symétrie / origine	$g(x) = -f(-x)$	Rotation de $180°$

8. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Ensemble de définition§

Énoncé : Déterminer l’ensemble de définition de $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3 - 2x}}$ .

Correction

Il faut :

$3 - 2x > 0$ (strictement positif car au dénominateur et sous racine)
$3 > 2x$
$x < \frac{3}{2}$

Donc $D_f = \left]-\infty;, \frac{3}{2}\right[$ .

Exercice 2 : Lecture graphique§

Énoncé : Soit $f$ une fonction dont le tableau de variations est :

$x$	$-3$		$-1$		$2$		$5$
$f(x)$	$1$	$\nearrow$	$4$	$\searrow$	$-2$	$\nearrow$	$3$

a) Quel est le maximum de $f$ sur $[-3;, 5]$ ? En quelle valeur est-il atteint ? b) Combien l’équation $f(x) = 0$ admet-elle de solutions ?

Correction

a) Le maximum est $f(-1) = 4$ , atteint en $x = -1$ .

b) La droite $y = 0$ croise la courbe :

entre $-3$ et $-1$ : non, car $f$ va de $1$ à $4$ (toujours $> 0$ )
entre $-1$ et $2$ : oui, car $f$ passe de $4$ à $-2$ (par le théorème des valeurs intermédiaires, elle s’annule une fois)
entre $2$ et $5$ : oui, car $f$ passe de $-2$ à $3$ (elle s’annule une fois)

L’équation $f(x) = 0$ admet deux solutions.

Exercice 3 : Parité§

Énoncé : Montrer que $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ est impaire.

Correction

$D_f = \mathbb{R}$ (car $x^2 + 1 > 0$ pour tout $x$ ). L’ensemble est symétrique par rapport à $0$ .

f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 + 1} = \frac{-x}{x^2 + 1} = -\frac{x}{x^2 + 1} = -f(x)

Donc $f$ est impaire. Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.

Exercice 4 : Composition§

Énoncé : Soit $f(x) = \sqrt{x}$ et $g(x) = 1 - 2x$ . Déterminer $(f \circ g)(x)$ , son ensemble de définition, et ses variations.

Correction

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(1 - 2x) = \sqrt{1 - 2x}$

Ensemble de définition : il faut $1 - 2x \geq 0$ , soit $x \leq \frac{1}{2}$ . Donc $D_{f \circ g} = \left]-\infty;, \frac{1}{2}\right]$ .

Variations :

$g$ est décroissante sur $\left]-\infty;, \frac{1}{2}\right]$ (fonction affine avec $m = -2 < 0$ ).
$f$ est croissante sur $[0;, +\infty[$ .
Décroissante $\circ$ croissante = décroissante (sens contraires).

Donc $f \circ g$ est décroissante sur $\left]-\infty;, \frac{1}{2}\right]$ .

9. À retenir§

À retenir

Une fonction associe à chaque $x$ de $D_f$ une unique image $f(x)$ .
Pour trouver $D_f$ : exclure les divisions par $0$ et les racines de nombres négatifs.
Fonctions de référence : affine (droite), carrée (parabole), cube (S), inverse (hyperbole), racine (demi-parabole).
Le tableau de variations résume la croissance/décroissance et les extremums.
Paire : $f(-x) = f(x)$ , symétrie par rapport à l’axe $Oy$ .
Impaire : $f(-x) = -f(x)$ , symétrie par rapport à l’origine.
$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ : on applique $f$ puis $g$ .
Même sens de variation donne composée croissante ; sens contraires donne composée décroissante.

Voir aussi : Ensembles et Nombres | Calcul Algébrique | Second Degré | Dérivation

1. Notion de fonction§

1.1 Définition§

1.2 Ensemble de définition§

2. Courbe représentative et lecture graphique§

2.1 Courbe représentative§

2.2 Lecture graphique§

2.3 Résolutions graphiques§

3. Fonctions de référence§

3.1 Vue d’ensemble§

3.2 Fonction affine : f(x)=mx+pf(x) = mx + pf(x)=mx+p§

3.3 Fonction carrée : f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2§

3.4 Fonction cube : f(x)=x3f(x) = x^3f(x)=x3§

3.5 Fonction inverse : f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}f(x)=x1​§

3.6 Fonction racine carrée : f(x)=xf(x) = \sqrt{x}f(x)=x​§

4. Sens de variation§

4.1 Définitions§

4.2 Tableau de variations§

4.3 Extremums§

5. Parité et symétries§

5.1 Fonctions paires§

5.2 Fonctions impaires§

5.3 Vérification pratique§

6. Composition de fonctions§

6.1 Définition§

6.2 Ensemble de définition de g∘fg \circ fg∘f§

6.3 Variations de la composée§

7. Transformations de courbes§

7.1 Translations§

7.2 Symétries§

8. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Ensemble de définition§

Exercice 2 : Lecture graphique§

Exercice 3 : Parité§

Exercice 4 : Composition§

9. À retenir§

Commentaires

3.2 Fonction affine : $f(x) = mx + p$ §

3.3 Fonction carrée : $f(x) = x^2$ §

3.4 Fonction cube : $f(x) = x^3$ §

3.5 Fonction inverse : $f(x) = \frac{1}{x}$ §

3.6 Fonction racine carrée : $f(x) = \sqrt{x}$ §

6.2 Ensemble de définition de $g \circ f$ §