Fonctions
La notion de fonction est au coeur de l’analyse mathématique. Une fonction modélise une relation de dépendance entre deux grandeurs.
1. Notion de fonction§
1.1 Définition§
[!important] Définition Une fonction $f$ définie sur un ensemble $D_f \subset \mathbb{R}$ est un procédé qui, à chaque nombre $x$ de $D_f$, associe un unique nombre réel noté $f(x)$.
On note : $f : D_f \to \mathbb{R},\quad x \mapsto f(x)$
- $D_f$ est l’ensemble de définition de $f$.
- $f(x)$ est l’image de $x$ par $f$.
- Si $f(x) = y$, on dit que $x$ est un antécédent de $y$ par $f$.
[!warning] Attention Un élément $y$ peut avoir plusieurs antécédents (ou aucun), mais chaque $x$ de $D_f$ a une seule image.
1.2 Ensemble de définition§
Pour déterminer $D_f$, il faut exclure les valeurs de $x$ qui rendent l’expression impossible :
- Dénominateur nul : si $f(x) = \frac{A(x)}{B(x)}$, on exclut $B(x) = 0$.
- Racine d’un nombre négatif : si $f(x) = \sqrt{A(x)}$, on impose $A(x) \geq 0$.
[!example] Exemple : déterminer $D_f$ pour $f(x) = \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 3}$
- Il faut $x - 1 \geq 0$, soit $x \geq 1$.
- Il faut $x - 3 \neq 0$, soit $x \neq 3$.
Donc $D_f = [1;, 3[ \cup ]3;, +\infty[$.
2. Courbe représentative et lecture graphique§
2.1 Courbe représentative§
[!important] Définition La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d’une fonction $f$ est l’ensemble des points $M(x;, f(x))$ pour $x \in D_f$.
Un point $M(a;, b)$ appartient à $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $b = f(a)$.
2.2 Lecture graphique§
Sur la courbe de $f$, on peut lire :
- L’image de $a$ : on se place en $x = a$, on lit l’ordonnée du point correspondant.
- Les antécédents de $b$ : on trace la droite $y = b$ et on lit les abscisses des points d’intersection.
2.3 Résolutions graphiques§
- $f(x) = k$ : les abscisses des points d’intersection de $\mathcal{C}_f$ avec la droite $y = k$.
- $f(x) > k$ : les intervalles où la courbe est au-dessus de la droite $y = k$.
- $f(x) = g(x)$ : les abscisses des points d’intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
- $f(x) > g(x)$ : les intervalles où $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$.
3. Fonctions de référence§
3.1 Vue d’ensemble§
graph TD
FR["Fonctions de référence"] --> AFF["Fonction affine<br/>f(x) = mx + p"]
FR --> CAR["Fonction carrée<br/>f(x) = x²"]
FR --> CUB["Fonction cube<br/>f(x) = x³"]
FR --> INV["Fonction inverse<br/>f(x) = 1/x"]
FR --> RAC["Fonction racine<br/>f(x) = sqrt(x)"]
FR --> ABS["Valeur absolue<br/>f(x) = |x|"]
AFF --> |"Droite"| P1["Croissante si m > 0<br/>Décroissante si m < 0"]
CAR --> |"Parabole"| P2["Décroissante sur ]-inf, 0]<br/>Croissante sur [0, +inf["]
CUB --> |"Courbe en S"| P3["Croissante sur R"]
INV --> |"Hyperbole"| P4["Décroissante sur ]-inf, 0[<br/>Décroissante sur ]0, +inf["]
RAC --> |"Demi-parabole"| P5["Croissante sur [0, +inf["]
ABS --> |"V"| P6["Décroissante sur ]-inf, 0]<br/>Croissante sur [0, +inf["]
3.2 Fonction affine : $f(x) = mx + p$§
- Ensemble de définition : $\mathbb{R}$
- Courbe : droite de pente $m$ et d’ordonnée à l’origine $p$
- Si $m > 0$ : $f$ est strictement croissante
- Si $m < 0$ : $f$ est strictement décroissante
- Si $m = 0$ : $f$ est constante ($f(x) = p$)
- Cas particulier $p = 0$ : fonction linéaire $f(x) = mx$
3.3 Fonction carrée : $f(x) = x^2$§
- Ensemble de définition : $\mathbb{R}$
- Image : $[0;, +\infty[$
- Variations :
| $x$ | $-\infty$ | $0$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $f(x) = x^2$ | $\searrow$ | $0$ | $\nearrow$ |
- Courbe : parabole de sommet $O(0;, 0)$, tournée vers le haut
- Symétrie : la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (fonction paire)
3.4 Fonction cube : $f(x) = x^3$§
- Ensemble de définition : $\mathbb{R}$
- Image : $\mathbb{R}$
- Variations : strictement croissante sur $\mathbb{R}$
| $x$ | $-\infty$ | $+\infty$ | |
|---|---|---|---|
| $f(x) = x^3$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |
- Symétrie : la courbe est symétrique par rapport à l’origine (fonction impaire)
3.5 Fonction inverse : $f(x) = \frac{1}{x}$§
- Ensemble de définition : $\mathbb{R}^* = ]-\infty;, 0[ \cup ]0;, +\infty[$
- Variations : strictement décroissante sur $]-\infty;, 0[$ et sur $]0;, +\infty[$ séparément
| $x$ | $-\infty$ | $0$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $f(x) = \frac{1}{x}$ | $0^-$ | $\searrow$ | $\parallel$ | $\searrow$ | $0^+$ |
- Courbe : hyperbole, avec deux branches dans les quadrants I et III
- Asymptotes : axe des abscisses (horizontale) et axe des ordonnées (verticale)
- Symétrie : fonction impaire (symétrie par rapport à l’origine)
[!warning] Attention On ne dit pas que $f(x) = \frac{1}{x}$ est décroissante sur $\mathbb{R}^*$. Elle est décroissante sur chacun des deux intervalles séparément, mais pas sur leur réunion (car $\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \frac{1}{1}$ alors que $-1 < 1$).
3.6 Fonction racine carrée : $f(x) = \sqrt{x}$§
- Ensemble de définition : $[0;, +\infty[$
- Image : $[0;, +\infty[$
- Variations : strictement croissante sur $[0;, +\infty[$
| $x$ | $0$ | $+\infty$ | |
|---|---|---|---|
| $f(x) = \sqrt{x}$ | $0$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |
- Courbe : demi-parabole couchée, partant de l’origine
- La croissance ralentit : la courbe s’aplatit de plus en plus
4. Sens de variation§
4.1 Définitions§
[!important] Définition Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
- $f$ est croissante sur $I$ si : pour tous $a, b \in I$, $a \leq b \Rightarrow f(a) \leq f(b)$.
- $f$ est décroissante sur $I$ si : pour tous $a, b \in I$, $a \leq b \Rightarrow f(a) \geq f(b)$.
- $f$ est strictement croissante si l’implication est stricte ($<$ au lieu de $\leq$).
En termes intuitifs :
- Croissante : quand $x$ augmente, $f(x)$ augmente (ou reste constant).
- Décroissante : quand $x$ augmente, $f(x)$ diminue (ou reste constant).
4.2 Tableau de variations§
Un tableau de variations résume le comportement global de la fonction.
[!example] Exemple : tableau de variations de $f(x) = -x^2 + 4x - 1$
Cette fonction est un trinôme du second degré avec $a = -1 < 0$. Le sommet est en $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{-2} = 2$.
$f(2) = -4 + 8 - 1 = 3$.
$x$ $-\infty$ $2$ $+\infty$ $f(x)$ $-\infty$ $\nearrow$ $3$ $\searrow$ $-\infty$
4.3 Extremums§
[!important] Définition
- $f$ admet un maximum $M$ en $x_0$ si $f(x_0) = M$ et $f(x) \leq M$ pour tout $x \in D_f$.
- $f$ admet un minimum $m$ en $x_0$ si $f(x_0) = m$ et $f(x) \geq m$ pour tout $x \in D_f$.
- On parle de maximum/minimum local si la propriété n’est vérifiée que sur un voisinage de $x_0$.
5. Parité et symétries§
5.1 Fonctions paires§
[!important] Définition $f$ est paire si pour tout $x \in D_f$ : $-x \in D_f$ et $f(-x) = f(x)$.
Sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Exemples : $x \mapsto x^2$, $x \mapsto |x|$, $x \mapsto \cos(x)$.
5.2 Fonctions impaires§
[!important] Définition $f$ est impaire si pour tout $x \in D_f$ : $-x \in D_f$ et $f(-x) = -f(x)$.
Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine $O$.
Exemples : $x \mapsto x^3$, $x \mapsto \frac{1}{x}$, $x \mapsto \sin(x)$.
5.3 Vérification pratique§
flowchart TD
A["Étudier la parité de f"] --> B{"D_f est-il symétrique<br/>par rapport à 0 ?"}
B -->|Non| C["f n'est ni paire<br/>ni impaire"]
B -->|Oui| D["Calculer f(-x)"]
D --> E{"f(-x) = f(x) ?"}
E -->|Oui| F["f est paire"]
E -->|Non| G{"f(-x) = -f(x) ?"}
G -->|Oui| H["f est impaire"]
G -->|Non| I["f n'est ni paire<br/>ni impaire"]
[!example] Exemple : étudier la parité de $f(x) = x^3 + x$
- $D_f = \mathbb{R}$ qui est symétrique par rapport à $0$.
- $f(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 - x = -(x^3 + x) = -f(x)$.
- Donc $f$ est impaire.
6. Composition de fonctions§
6.1 Définition§
[!important] Définition Si $f$ et $g$ sont deux fonctions, la composée $g \circ f$ (lire « $g$ rond $f$ ») est la fonction définie par : $$(g \circ f)(x) = g(f(x))$$ On applique d’abord $f$, puis $g$ au résultat.
[!warning] Attention En général, $g \circ f \neq f \circ g$. La composition n’est pas commutative.
6.2 Ensemble de définition de $g \circ f$§
$x \in D_{g \circ f}$ si et seulement si :
- $x \in D_f$ (on peut calculer $f(x)$), et
- $f(x) \in D_g$ (on peut calculer $g(f(x))$).
[!example] Exemple Soit $f(x) = 2x + 1$ et $g(x) = x^2$.
- $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$
- $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2x^2 + 1$
On constate bien que $g \circ f \neq f \circ g$.
6.3 Variations de la composée§
| $f$ sur $I$ | $g$ sur $f(I)$ | $g \circ f$ sur $I$ |
|---|---|---|
| Croissante | Croissante | Croissante |
| Croissante | Décroissante | Décroissante |
| Décroissante | Croissante | Décroissante |
| Décroissante | Décroissante | Croissante |
[!tip] Astuce mnémotechnique Même sens de variation donne croissante, sens contraires donne décroissante. C’est la règle des signes appliquée aux variations.
7. Transformations de courbes§
7.1 Translations§
| Transformation | Nouvelle fonction | Effet sur la courbe |
|---|---|---|
| Translation de vecteur $\vec{u}(a;, 0)$ | $g(x) = f(x - a)$ | Décalage horizontal de $a$ vers la droite |
| Translation de vecteur $\vec{v}(0;, b)$ | $g(x) = f(x) + b$ | Décalage vertical de $b$ vers le haut |
7.2 Symétries§
| Transformation | Nouvelle fonction | Effet |
|---|---|---|
| Symétrie / axe Oy | $g(x) = f(-x)$ | Réflexion horizontale |
| Symétrie / axe Ox | $g(x) = -f(x)$ | Réflexion verticale |
| Symétrie / origine | $g(x) = -f(-x)$ | Rotation de $180°$ |
8. Exercices types corrigés§
Exercice 1 : Ensemble de définition§
Énoncé : Déterminer l’ensemble de définition de $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3 - 2x}}$.
[!example] Correction Il faut :
- $3 - 2x > 0$ (strictement positif car au dénominateur et sous racine)
- $3 > 2x$
- $x < \frac{3}{2}$
Donc $D_f = \left]-\infty;, \frac{3}{2}\right[$.
Exercice 2 : Lecture graphique§
Énoncé : Soit $f$ une fonction dont le tableau de variations est :
| $x$ | $-3$ | $-1$ | $2$ | $5$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $1$ | $\nearrow$ | $4$ | $\searrow$ | $-2$ | $\nearrow$ | $3$ |
a) Quel est le maximum de $f$ sur $[-3;, 5]$ ? En quelle valeur est-il atteint ? b) Combien l’équation $f(x) = 0$ admet-elle de solutions ?
[!example] Correction a) Le maximum est $f(-1) = 4$, atteint en $x = -1$.
b) La droite $y = 0$ croise la courbe :
- entre $-3$ et $-1$ : non, car $f$ va de $1$ à $4$ (toujours $> 0$)
- entre $-1$ et $2$ : oui, car $f$ passe de $4$ à $-2$ (par le théorème des valeurs intermédiaires, elle s’annule une fois)
- entre $2$ et $5$ : oui, car $f$ passe de $-2$ à $3$ (elle s’annule une fois)
L’équation $f(x) = 0$ admet deux solutions.
Exercice 3 : Parité§
Énoncé : Montrer que $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ est impaire.
[!example] Correction $D_f = \mathbb{R}$ (car $x^2 + 1 > 0$ pour tout $x$). L’ensemble est symétrique par rapport à $0$.
$$f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 + 1} = \frac{-x}{x^2 + 1} = -\frac{x}{x^2 + 1} = -f(x)$$
Donc $f$ est impaire. Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.
Exercice 4 : Composition§
Énoncé : Soit $f(x) = \sqrt{x}$ et $g(x) = 1 - 2x$. Déterminer $(f \circ g)(x)$, son ensemble de définition, et ses variations.
[!example] Correction $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(1 - 2x) = \sqrt{1 - 2x}$
Ensemble de définition : il faut $1 - 2x \geq 0$, soit $x \leq \frac{1}{2}$. Donc $D_{f \circ g} = \left]-\infty;, \frac{1}{2}\right]$.
Variations :
- $g$ est décroissante sur $\left]-\infty;, \frac{1}{2}\right]$ (fonction affine avec $m = -2 < 0$).
- $f$ est croissante sur $[0;, +\infty[$.
- Décroissante $\circ$ croissante = décroissante (sens contraires).
Donc $f \circ g$ est décroissante sur $\left]-\infty;, \frac{1}{2}\right]$.
9. À retenir§
[!tip] À retenir
- Une fonction associe à chaque $x$ de $D_f$ une unique image $f(x)$.
- Pour trouver $D_f$ : exclure les divisions par $0$ et les racines de nombres négatifs.
- Fonctions de référence : affine (droite), carrée (parabole), cube (S), inverse (hyperbole), racine (demi-parabole).
- Le tableau de variations résume la croissance/décroissance et les extremums.
- Paire : $f(-x) = f(x)$, symétrie par rapport à l’axe $Oy$.
- Impaire : $f(-x) = -f(x)$, symétrie par rapport à l’origine.
- $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ : on applique $f$ puis $g$.
- Même sens de variation donne composée croissante ; sens contraires donne composée décroissante.
Voir aussi : Ensembles et Nombres | Calcul Algébrique | Second Degré | Dérivation