Les fonctions exponentielle et logarithme népérien sont deux des fonctions les plus importantes de l’analyse. Réciproques l’une de l’autre, elles interviennent dans la modélisation de phénomènes naturels (croissance, décroissance radioactive, intérêts composés) et sont omniprésentes en physique, chimie, biologie et économie. Cette fiche s’appuie sur les notions de Limites et Continuité et prépare l’étude des Primitives et Intégrales .
“L’exponentielle est la fonction la plus importante de toutes les mathématiques.”
1. La fonction exponentielle§
Définition§
La fonction exponentielle , notée exp \exp exp x ↦ e x x \mapsto e^x x ↦ e x f f f R \mathbb{R} R
f ′ = f et f ( 0 ) = 1 \boxed{f' = f \quad \text{et} \quad f(0) = 1} f ′ = f et f ( 0 ) = 1 Valeurs fondamentales§
exp ( 0 ) = 1 exp ( 1 ) = e ≈ 2,718 , 28 \exp(0) = 1 \qquad \exp(1) = e \approx 2{,}718,28 exp ( 0 ) = 1 exp ( 1 ) = e ≈ 2 , 718 , 28 Le nombre e e e irrationnel (et même transcendant).
Propriété fondamentale§
Propriété algébrique fondamentale Pour tous réels a a a b b b
e a + b = e a ⋅ e b \boxed{e^{a+b} = e^a \cdot e^b} e a + b = e a ⋅ e b
C’est cette propriété qui transforme les sommes en produits .
Propriétés algébriques complètes§
De la propriété fondamentale, on déduit :
Propriété Formule Produit e a + b = e a ⋅ e b e^{a+b} = e^a \cdot e^b e a + b = e a ⋅ e b Quotient e a − b = e a e b e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b} e a − b = e b e a Inverse e − a = 1 e a e^{-a} = \dfrac{1}{e^a} e − a = e a 1 Puissance ( e a ) n = e n a (e^a)^n = e^{na} ( e a ) n = e na Positivité e x > 0 e^x > 0 e x > 0 x ∈ R x \in \mathbb{R} x ∈ R Neutralité e 0 = 1 e^0 = 1 e 0 = 1
e a ⋅ b ≠ e a ⋅ e b e^{a \cdot b} \neq e^a \cdot e^b e a ⋅ b = e a ⋅ e b somme des exposants, pas le produit.
Par exemple : e 2 × 3 = e 6 e^{2 \times 3} = e^6 e 2 × 3 = e 6 e 2 ⋅ e 3 = e 5 e^2 \cdot e^3 = e^5 e 2 ⋅ e 3 = e 5
Signe de l’exponentielle§
Pour tout x ∈ R x \in \mathbb{R} x ∈ R e x > 0 e^x > 0 e x > 0 toujours strictement positive . Elle ne s’annule jamais.
2. Étude de la fonction exponentielle§
Dérivée§
( e x ) ′ = e x \boxed{\left(e^x\right)' = e^x} ( e x ) ′ = e x Plus généralement, par composition :
( e u ( x ) ) ′ = u ′ ( x ) ⋅ e u ( x ) \boxed{\left(e^{u(x)}\right)' = u'(x) \cdot e^{u(x)}} ( e u ( x ) ) ′ = u ′ ( x ) ⋅ e u ( x ) Variations§
Comme e x > 0 e^x > 0 e x > 0 x x x strictement croissante sur R \mathbb{R} R
Limites§
lim x → + ∞ e x = + ∞ lim x → − ∞ e x = 0 \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 x → + ∞ lim e x = + ∞ x → − ∞ lim e x = 0 Tableau de variations§
x x x − ∞ -\infty − ∞ + ∞ +\infty + ∞ e x e^x e x 0 + 0^+ 0 + ↗ \nearrow ↗ + ∞ +\infty + ∞
Équation et inéquation§
e a = e b ⟺ a = b e^a = e^b \iff a = b e a = e b ⟺ a = b injective )e a < e b ⟺ a < b e^a < e^b \iff a < b e a < e b ⟺ a < b strictement croissante )
3. Croissances comparées (exponentielle vs polynômes)§
Théorème de croissance comparée Pour tout entier n ≥ 1 n \geq 1 n ≥ 1
lim x → + ∞ e x x n = + ∞ \boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty} x → + ∞ lim x n e x = + ∞
L’exponentielle domine toute puissance de x x x + ∞ +\infty + ∞
Corollaires utiles :
lim x → + ∞ x n e − x = 0 lim x → − ∞ x n e x = 0 \lim_{x \to +\infty} x^n e^{-x} = 0 \qquad \lim_{x \to -\infty} x^n e^{x} = 0 x → + ∞ lim x n e − x = 0 x → − ∞ lim x n e x = 0 “L’exponentielle l’emporte toujours sur les polynômes.” En cas de forme indéterminée 0 × ∞ 0 \times \infty 0 × ∞
4. La fonction logarithme népérien§
Définition§
La fonction logarithme népérien , notée ln \ln ln réciproque de la fonction exponentielle.
y = ln ( x ) ⟺ x = e y pour x > 0 \boxed{y = \ln(x) \iff x = e^y} \qquad \text{pour } x > 0 y = ln ( x ) ⟺ x = e y pour x > 0
Son domaine de définition est ] 0 , + ∞ [ ]0, +\infty[ ] 0 , + ∞ [
Relation fondamentale exp/ln§
flowchart LR
A["x > 0"] -->|"ln"| B["ln(x)"]
B -->|"exp"| A
C["x ∈ ℝ"] -->|"exp"| D["eˣ > 0"]
D -->|"ln"| C
style A fill:#BBDEFB,stroke:#1565C0,color:#000
style B fill:#C8E6C9,stroke:#388E3C,color:#000
style C fill:#C8E6C9,stroke:#388E3C,color:#000
style D fill:#BBDEFB,stroke:#1565C0,color:#000
e ln x = x ( x > 0 ) ln ( e x ) = x ( x ∈ R ) \boxed{e^{\ln x} = x \quad (x > 0)} \qquad \boxed{\ln(e^x) = x \quad (x \in \mathbb{R})} e l n x = x ( x > 0 ) ln ( e x ) = x ( x ∈ R ) Valeurs fondamentales§
ln ( 1 ) = 0 ln ( e ) = 1 \ln(1) = 0 \qquad \ln(e) = 1 ln ( 1 ) = 0 ln ( e ) = 1 Propriétés algébriques de ln§
Pour tous réels a > 0 a > 0 a > 0 b > 0 b > 0 b > 0 n n n
Propriété Formule Produit ln ( a b ) = ln ( a ) + ln ( b ) \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) ln ( ab ) = ln ( a ) + ln ( b ) Quotient ln ( a b ) = ln ( a ) − ln ( b ) \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b) ln ( b a ) = ln ( a ) − ln ( b ) Inverse ln ( 1 a ) = − ln ( a ) \ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln(a) ln ( a 1 ) = − ln ( a ) Puissance ln ( a n ) = n ln ( a ) \ln(a^n) = n\ln(a) ln ( a n ) = n ln ( a ) Racine carrée ln ( a ) = 1 2 ln ( a ) \ln(\sqrt{a}) = \dfrac{1}{2}\ln(a) ln ( a ) = 2 1 ln ( a )
Le logarithme transforme les produits en sommes C’est la propriété qui rend le logarithme si utile : il “descend” les opérations d’un cran de complexité.
Multiplications deviennent additions
Divisions deviennent soustractions
Puissances deviennent multiplications
ln ( a + b ) ≠ ln ( a ) + ln ( b ) \ln(a + b) \neq \ln(a) + \ln(b) ln ( a + b ) = ln ( a ) + ln ( b ) produit , pas la somme.
5. Étude de la fonction logarithme népérien§
Dérivée§
( ln x ) ′ = 1 x pour x > 0 \boxed{(\ln x)' = \frac{1}{x}} \quad \text{pour } x > 0 ( ln x ) ′ = x 1 pour x > 0 Plus généralement, par composition :
( ln u ( x ) ) ′ = u ′ ( x ) u ( x ) pour u ( x ) > 0 \boxed{(\ln u(x))' = \frac{u'(x)}{u(x)}} \quad \text{pour } u(x) > 0 ( ln u ( x ) ) ′ = u ( x ) u ′ ( x ) pour u ( x ) > 0 Variations§
Comme 1 x > 0 \dfrac{1}{x} > 0 x 1 > 0 x > 0 x > 0 x > 0 ln \ln ln strictement croissante sur ] 0 , + ∞ [ ]0, +\infty[ ] 0 , + ∞ [
Limites§
lim x → + ∞ ln ( x ) = + ∞ lim x → 0 + ln ( x ) = − ∞ \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \qquad \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty x → + ∞ lim ln ( x ) = + ∞ x → 0 + lim ln ( x ) = − ∞ Tableau de variations§
x x x 0 + 0^+ 0 + + ∞ +\infty + ∞ ln ( x ) \ln(x) ln ( x ) − ∞ -\infty − ∞ ↗ \nearrow ↗ + ∞ +\infty + ∞
Équation et inéquation§
ln ( a ) = ln ( b ) ⟺ a = b \ln(a) = \ln(b) \iff a = b ln ( a ) = ln ( b ) ⟺ a = b a , b > 0 a, b > 0 a , b > 0 ln ( a ) < ln ( b ) ⟺ a < b \ln(a) < \ln(b) \iff a < b ln ( a ) < ln ( b ) ⟺ a < b a , b > 0 a, b > 0 a , b > 0
6. Croissances comparées (ln vs puissances)§
Théorème de croissance comparée Pour tout entier n ≥ 1 n \geq 1 n ≥ 1
lim x → + ∞ ln ( x ) x n = 0 \boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0} x → + ∞ lim x n ln ( x ) = 0
Le logarithme croît moins vite que toute puissance positive de x x x
Limite associée en 0 + 0^+ 0 +
lim x → 0 + x n ln ( x ) = 0 \lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0 x → 0 + lim x n ln ( x ) = 0 ln ( x ) ≪ x n ≪ e x \ln(x) \ll x^n \ll e^x ln ( x ) ≪ x n ≪ e x
Le logarithme est “dominé” par les puissances, qui sont elles-mêmes “dominées” par l’exponentielle.
7. Relation graphique entre exp et ln§
Les courbes de exp \exp exp ln \ln ln symétriques par rapport à la droite y = x y = x y = x
La courbe de exp \exp exp ( 0 , 1 ) (0, 1) ( 0 , 1 ) ln \ln ln ( 1 , 0 ) (1, 0) ( 1 , 0 )
La tangente à exp \exp exp x = 0 x = 0 x = 0 1 1 1 ln \ln ln x = 1 x = 1 x = 1 1 1 1
exp \exp exp y = 0 y = 0 y = 0 − ∞ -\infty − ∞ ln \ln ln x = 0 x = 0 x = 0
8. Fonction exponentielle de base a a a §
Pour a > 0 a > 0 a > 0 a a a
a x = e x ln a \boxed{a^x = e^{x \ln a}} a x = e x l n a Cas particuliers selon la valeur de a a a §
Condition Comportement de a x a^x a x a > 1 a > 1 a > 1 Strictement croissante, lim x → + ∞ a x = + ∞ \lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty lim x → + ∞ a x = + ∞ a = 1 a = 1 a = 1 Constante égale à 1 1 1 0 < a < 1 0 < a < 1 0 < a < 1 Strictement décroissante, lim x → + ∞ a x = 0 \lim_{x \to +\infty} a^x = 0 lim x → + ∞ a x = 0
Dérivée§
( a x ) ′ = ln ( a ) ⋅ a x (a^x)' = \ln(a) \cdot a^x ( a x ) ′ = ln ( a ) ⋅ a x Application : modèle de croissance Une population double tous les 5 ans. Si P 0 P_0 P 0 P ( t ) = P 0 ⋅ 2 t / 5 = P 0 ⋅ e ( t ln 2 ) / 5 P(t) = P_0 \cdot 2^{t/5} = P_0 \cdot e^{(t \ln 2)/5} P ( t ) = P 0 ⋅ 2 t /5 = P 0 ⋅ e ( t l n 2 ) /5 ln 2 5 ≈ 0,139 \dfrac{\ln 2}{5} \approx 0{,}139 5 ln 2 ≈ 0 , 139 13,9 13{,}9% 13 , 9
9. Logarithme décimal§
Le logarithme décimal (ou logarithme en base 10 10 10 log \log log log 10 \log_{10} log 10
log ( x ) = ln ( x ) ln ( 10 ) \boxed{\log(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}} log ( x ) = ln ( 10 ) ln ( x ) Propriété caractéristique§
log ( 10 ) = 1 log ( 10 n ) = n \log(10) = 1 \qquad \log(10^n) = n log ( 10 ) = 1 log ( 1 0 n ) = n Le logarithme décimal donne l’ordre de grandeur d’un nombre : log ( x ) \log(x) log ( x ) x x x 1 1 1 x x x
Applications§
Échelle de Richter (séismes) : magnitude = log \log log Décibels (son) : L = 10 log ( I I 0 ) L = 10\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right) L = 10 log ( I 0 I ) pH (chimie) : pH = − log [ H + ] \text{pH} = -\log[\text{H}^+] pH = − log [ H + ]
10. Exercices types corrigés§
Exercice 1 : Simplifications§
Simplifier les expressions suivantes :
e 2 ln 3 e^{2\ln 3} e 2 l n 3 ln ( e 5 ⋅ e − 2 ) \ln(e^5 \cdot e^{-2}) ln ( e 5 ⋅ e − 2 ) e ln 4 + ln 5 e^{\ln 4 + \ln 5} e l n 4 + l n 5
Correction :
e 2 ln 3 = e ln ( 3 2 ) = e ln 9 = 9 e^{2\ln 3} = e^{\ln(3^2)} = e^{\ln 9} = 9 e 2 l n 3 = e l n ( 3 2 ) = e l n 9 = 9
ln ( e 5 ⋅ e − 2 ) = ln ( e 5 − 2 ) = ln ( e 3 ) = 3 \ln(e^5 \cdot e^{-2}) = \ln(e^{5-2}) = \ln(e^3) = 3 ln ( e 5 ⋅ e − 2 ) = ln ( e 5 − 2 ) = ln ( e 3 ) = 3
e ln 4 + ln 5 = e ln ( 4 × 5 ) = e ln 20 = 20 e^{\ln 4 + \ln 5} = e^{\ln(4 \times 5)} = e^{\ln 20} = 20 e l n 4 + l n 5 = e l n ( 4 × 5 ) = e l n 20 = 20
Exercice 2 : Résolution d’équations§
Résoudre dans R \mathbb{R} R
e 2 x − 1 = e x + 3 e^{2x-1} = e^{x+3} e 2 x − 1 = e x + 3 ln ( x 2 − 3 ) = ln ( 2 x ) \ln(x^2 - 3) = \ln(2x) ln ( x 2 − 3 ) = ln ( 2 x ) 2 x = 5 2^x = 5 2 x = 5
Correction :
1. e 2 x − 1 = e x + 3 ⟺ 2 x − 1 = x + 3 ⟺ x = 4 e^{2x-1} = e^{x+3} \iff 2x - 1 = x + 3 \iff x = 4 e 2 x − 1 = e x + 3 ⟺ 2 x − 1 = x + 3 ⟺ x = 4
2. Conditions d’existence : x 2 − 3 > 0 x^2 - 3 > 0 x 2 − 3 > 0 2 x > 0 2x > 0 2 x > 0 x > 3 x > \sqrt{3} x > 3
ln ( x 2 − 3 ) = ln ( 2 x ) ⟺ x 2 − 3 = 2 x ⟺ x 2 − 2 x − 3 = 0 \ln(x^2 - 3) = \ln(2x) \iff x^2 - 3 = 2x \iff x^2 - 2x - 3 = 0 ln ( x 2 − 3 ) = ln ( 2 x ) ⟺ x 2 − 3 = 2 x ⟺ x 2 − 2 x − 3 = 0
( x − 3 ) ( x + 1 ) = 0 (x-3)(x+1) = 0 ( x − 3 ) ( x + 1 ) = 0 x = 3 x = 3 x = 3 x = − 1 x = -1 x = − 1
Comme x > 3 x > \sqrt{3} x > 3 x = 3 x = 3 x = 3
3. 2 x = 5 ⟺ e x ln 2 = 5 ⟺ x ln 2 = ln 5 ⟺ x = ln 5 ln 2 ≈ 2,322 2^x = 5 \iff e^{x\ln 2} = 5 \iff x\ln 2 = \ln 5 \iff x = \dfrac{\ln 5}{\ln 2} \approx 2{,}322 2 x = 5 ⟺ e x l n 2 = 5 ⟺ x ln 2 = ln 5 ⟺ x = ln 2 ln 5 ≈ 2 , 322
Exercice 3 : Étude de fonction§
Soit f ( x ) = x e − x f(x) = xe^{-x} f ( x ) = x e − x
Déterminer le domaine de définition.
Calculer les limites aux bornes.
Calculer f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x )
Dresser le tableau de variations.
Correction :
1. f f f R \mathbb{R} R R \mathbb{R} R
2. Limites :
lim x → + ∞ x e − x = lim x → + ∞ x e x = 0 \displaystyle\lim_{x \to +\infty} xe^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0 x → + ∞ lim x e − x = x → + ∞ lim e x x = 0 e x e^x e x x x x lim x → − ∞ x e − x \displaystyle\lim_{x \to -\infty} xe^{-x} x → − ∞ lim x e − x x → − ∞ x \to -\infty x → − ∞ e − x → + ∞ e^{-x} \to +\infty e − x → + ∞ x → − ∞ x \to -\infty x → − ∞ x e − x → − ∞ xe^{-x} \to -\infty x e − x → − ∞
3. f ′ ( x ) = 1 ⋅ e − x + x ⋅ ( − 1 ) ⋅ e − x = e − x ( 1 − x ) f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-1) \cdot e^{-x} = e^{-x}(1 - x) f ′ ( x ) = 1 ⋅ e − x + x ⋅ ( − 1 ) ⋅ e − x = e − x ( 1 − x )
Comme e − x > 0 e^{-x} > 0 e − x > 0 f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) ( 1 − x ) (1-x) ( 1 − x )
f ′ ( x ) > 0 f'(x) > 0 f ′ ( x ) > 0 x < 1 x < 1 x < 1 f f f f ′ ( x ) < 0 f'(x) < 0 f ′ ( x ) < 0 x > 1 x > 1 x > 1 f f f
Maximum en x = 1 x = 1 x = 1 f ( 1 ) = 1 ⋅ e − 1 = 1 e f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \dfrac{1}{e} f ( 1 ) = 1 ⋅ e − 1 = e 1
4. Tableau de variations :
x x x − ∞ -\infty − ∞ 1 1 1 + ∞ +\infty + ∞ f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) + + + 0 0 0 − - − f ( x ) f(x) f ( x ) − ∞ -\infty − ∞ ↗ \nearrow ↗ 1 e \dfrac{1}{e} e 1 ↘ \searrow ↘ 0 0 0
Exercice 4 : Résolution d’inéquation§
Résoudre ln ( x + 1 ) ≥ 2 \ln(x+1) \geq 2 ln ( x + 1 ) ≥ 2
Correction :
Condition d’existence : x + 1 > 0 ⟺ x > − 1 x + 1 > 0 \iff x > -1 x + 1 > 0 ⟺ x > − 1
ln ( x + 1 ) ≥ 2 ⟺ x + 1 ≥ e 2 ⟺ x ≥ e 2 − 1 \ln(x+1) \geq 2 \iff x+1 \geq e^2 \iff x \geq e^2 - 1 ln ( x + 1 ) ≥ 2 ⟺ x + 1 ≥ e 2 ⟺ x ≥ e 2 − 1
L’ensemble des solutions est [ e 2 − 1 , + ∞ [ [e^2 - 1, +\infty[ [ e 2 − 1 , + ∞ [
Numériquement : e 2 − 1 ≈ 6,389 e^2 - 1 \approx 6{,}389 e 2 − 1 ≈ 6 , 389
Exercice 5 : Dérivation composée§
Calculer la dérivée de g ( x ) = ln ( x 2 + 1 ) g(x) = \ln(x^2 + 1) g ( x ) = ln ( x 2 + 1 )
Correction :
On utilise la formule ( ln u ) ′ = u ′ u (\ln u)' = \dfrac{u'}{u} ( ln u ) ′ = u u ′ u ( x ) = x 2 + 1 u(x) = x^2 + 1 u ( x ) = x 2 + 1
g ′ ( x ) = 2 x x 2 + 1 g'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} g ′ ( x ) = x 2 + 1 2 x On peut vérifier : g ′ ( 0 ) = 0 g'(0) = 0 g ′ ( 0 ) = 0 x = 0 x = 0 x = 0 g g g 0 0 0
Exercice 6 : Croissances comparées§
Calculer lim x → + ∞ e x − x 3 e x + x 2 \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x - x^3}{e^x + x^2} x → + ∞ lim e x + x 2 e x − x 3
Correction :
On factorise numérateur et dénominateur par e x e^x e x
e x − x 3 e x + x 2 = e x ( 1 − x 3 e x ) e x ( 1 + x 2 e x ) = 1 − x 3 e x 1 + x 2 e x \frac{e^x - x^3}{e^x + x^2} = \frac{e^x\left(1 - \dfrac{x^3}{e^x}\right)}{e^x\left(1 + \dfrac{x^2}{e^x}\right)} = \frac{1 - \dfrac{x^3}{e^x}}{1 + \dfrac{x^2}{e^x}} e x + x 2 e x − x 3 = e x ( 1 + e x x 2 ) e x ( 1 − e x x 3 ) = 1 + e x x 2 1 − e x x 3 Par les croissances comparées : x 3 e x → 0 \dfrac{x^3}{e^x} \to 0 e x x 3 → 0 x 2 e x → 0 \dfrac{x^2}{e^x} \to 0 e x x 2 → 0 x → + ∞ x \to +\infty x → + ∞
Donc la limite vaut 1 − 0 1 + 0 = 1 \dfrac{1 - 0}{1 + 0} = 1 1 + 0 1 − 0 = 1
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