Limites et Continuité

L’étude des limites et de la continuité constitue le coeur de l’analyse mathématique en Terminale. Ces notions formalisent l’idée intuitive de “tendre vers” et permettent de décrire le comportement des fonctions aux bornes de leur domaine. Elles s’appuient sur les bases posées en Suites et en Trigonométrie, et préparent l’étude des fonctions exponentielle et logarithme ainsi que des intégrales.

1. Limite d’une fonction en un point§

Limite finie en un point§

En termes plus concrets : $f(x)$ peut être rendu aussi proche de $\ell$ qu’on le souhaite, pourvu que $x$ soit suffisamment proche de $a$.

Limite infinie en un point§

$$0 < |x - a| < \delta \implies f(x) > M$$

Limites à gauche et à droite§

On distingue :

• Limite à gauche : $\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x)$ (on s’approche par les valeurs inférieures à $a$)
• Limite à droite : $\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x)$ (on s’approche par les valeurs supérieures à $a$)

2. Limite d’une fonction en l’infini§

Limite finie en $+\infty$§

Limite infinie en $+\infty$§

Limites de référence§

Fonction	$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}$	$\displaystyle\lim_{x \to -\infty}$
$x^n$ ($n$ pair)	$+\infty$	$+\infty$
$x^n$ ($n$ impair)	$+\infty$	$-\infty$
$\dfrac{1}{x}$	$0^+$	$0^-$
$\dfrac{1}{x^n}$	$0$	$0$
$\sqrt{x}$	$+\infty$	—

3. Opérations sur les limites§

Somme :

$\lim f$	$\ell$	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim g$	$\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$\lim(f+g)$	$\ell + \ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	FI

Produit :

$\lim f$	$\ell$	$\ell > 0$	$\ell < 0$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$0$
$\lim g$	$\ell'$	$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$\pm\infty$
$\lim(fg)$	$\ell\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	FI

Quotient ($g \neq 0$) :

$\lim f$	$\ell$	$\ell \neq 0$	$+\infty$	$\pm\infty$
$\lim g$	$\ell' \neq 0$	$0$	$\ell'$	$\pm\infty$
$\lim(f/g)$	$\ell/\ell'$	$\pm\infty$	$\pm\infty$	FI

$$\frac{0}{0} \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad +\infty - \infty \qquad 0 \times \infty$$

Une forme indéterminée signifie qu’on ne peut pas conclure sans calcul supplémentaire.

4. Lever une forme indéterminée§

flowchart TD
    A["Forme indéterminée détectée"] --> B{"Quel type ?"}

    B -->|"∞ - ∞<br/>(polynômes/racines)"| C["Factoriser par<br/>le terme dominant"]
    B -->|"0/0<br/>(fractions)"| D["Factoriser et<br/>simplifier"]
    B -->|"∞/∞<br/>(fractions rationnelles)"| E["Diviser numérateur<br/>et dénominateur<br/>par le terme dominant"]
    B -->|"0 × ∞"| F["Réécrire comme<br/>un quotient 0/0<br/>ou ∞/∞"]
    B -->|"Avec racines carrées"| G["Multiplier par<br/>l'expression conjuguée"]

    C --> H["Calculer la limite"]
    D --> H
    E --> H
    F --> H
    G --> H

    style A fill:#FFCCBC,stroke:#E64A19,color:#000
    style H fill:#C8E6C9,stroke:#388E3C,color:#000

5. Théorèmes de comparaison§

Théorème des gendarmes§

$$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$$

et si $\displaystyle\lim g(x) = \lim h(x) = \ell$, alors $\displaystyle\lim f(x) = \ell$.

Théorème de comparaison (minoration/majoration)§

6. Asymptotes§

Asymptote horizontale§

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell \quad \left(\text{resp. } \lim_{x \to -\infty} f(x) = \ell\right)$$

Asymptote verticale§

$$\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$$

Asymptote oblique§

$$\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (mx + p)] = 0$$

Pour la trouver :

1. $m = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$
2. $p = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} [f(x) - mx]$

7. Continuité§

Définition§

$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$

Cela suppose trois conditions :

1. $f$ est définie en $a$,
2. $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ existe,
3. cette limite vaut $f(a)$.

Fonctions continues classiques§

8. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)§

$$f(c) = k$$

Corollaire : version avec unicité§

flowchart TD
    A["On cherche une solution<br/>de f(x) = k sur [a,b]"] --> B{"f continue sur [a,b] ?"}
    B -->|Non| Z["Le TVI ne<br/>s'applique pas"]
    B -->|Oui| C{"k est entre<br/>f(a) et f(b) ?"}
    C -->|Non| Y["Pas de conclusion<br/>par le TVI"]
    C -->|Oui| D["Il existe au moins<br/>un c ∈ [a,b]<br/>tel que f(c) = k"]
    D --> E{"f strictement<br/>monotone sur [a,b] ?"}
    E -->|Oui| F["Ce c est UNIQUE"]
    E -->|Non| G["Il peut y avoir<br/>plusieurs solutions"]

    style D fill:#C8E6C9,stroke:#388E3C,color:#000
    style F fill:#BBDEFB,stroke:#1565C0,color:#000
    style Z fill:#FFCCBC,stroke:#E64A19,color:#000

9. Application du TVI : existence de solutions§

10. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Calcul de limites§

Correction :

1. Forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$. On factorise par $x^3$ :

$$\frac{3x^3 - 2x + 1}{5x^3 + x^2 - 4} = \frac{x^3(3 - 2/x^2 + 1/x^3)}{x^3(5 + 1/x - 4/x^3)} \xrightarrow[x \to +\infty]{} \frac{3}{5}$$

2. Forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$. On factorise :

$$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2 \xrightarrow[x \to 2]{} 4$$

3. Forme indéterminée $\infty - \infty$. On multiplie par l’expression conjuguée :

$$\sqrt{x^2 + x} - x = \frac{(\sqrt{x^2+x} - x)(\sqrt{x^2+x} + x)}{\sqrt{x^2+x} + x} = \frac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2+x} + x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x} + x}$$

Pour $x > 0$ : $\sqrt{x^2 + x} = x\sqrt{1 + 1/x}$, donc :

$$\frac{x}{x\sqrt{1+1/x} + x} = \frac{1}{\sqrt{1+1/x} + 1} \xrightarrow[x \to +\infty]{} \frac{1}{2}$$

Exercice 2 : Asymptotes§

Correction :

Asymptote verticale : $f$ n’est pas définie en $x = -1$.

$\displaystyle\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{2-3-1}{0^+} = \frac{-2}{0^+} = -\infty$

$\displaystyle\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty$

Donc $x = -1$ est asymptote verticale.

Asymptote oblique : On effectue la division euclidienne :

$2x^2 + 3x - 1 = (x+1)(2x+1) - 2$

Donc $f(x) = 2x + 1 - \dfrac{2}{x+1}$.

$\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (2x+1)] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-2}{x+1} = 0$

Donc $y = 2x + 1$ est asymptote oblique en $+\infty$ et en $-\infty$.

Exercice 3 : Théorème des gendarmes§

Correction :

Pour tout $x > 0$ : $-1 \leq \cos x \leq 1$, donc :

$$\frac{x - 1}{x} \leq \frac{x + \cos x}{x} \leq \frac{x + 1}{x}$$ $$1 - \frac{1}{x} \leq \frac{x + \cos x}{x} \leq 1 + \frac{1}{x}$$

Or $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right) = 1$.

Par le théorème des gendarmes : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x + \cos x}{x} = 1$.

Exercice 4 : Application du TVI§

Correction :

Soit $g(x) = \cos(x) - x$, définie et continue sur $[0, \pi/2]$.

• $g(0) = \cos(0) - 0 = 1 > 0$
• $g(\pi/2) = \cos(\pi/2) - \pi/2 = -\pi/2 < 0$

De plus, $g'(x) = -\sin(x) - 1 < 0$ pour tout $x \in [0, \pi/2]$, donc $g$ est strictement décroissante.

Par le corollaire du TVI, il existe un unique $c \in ]0, \pi/2[$ tel que $g(c) = 0$, c’est-à-dire $\cos(c) = c$.