Limites et Continuité
L’étude des limites et de la continuité constitue le coeur de l’analyse mathématique en Terminale. Ces notions formalisent l’idée intuitive de “tendre vers” et permettent de décrire le comportement des fonctions aux bornes de leur domaine. Elles s’appuient sur les bases posées en Suites et en Trigonométrie, et préparent l’étude des fonctions exponentielle et logarithme ainsi que des intégrales.
[!quote] Augustin-Louis Cauchy “On doit donner une base solide et rigoureuse aux notions vagues de limite et d’infiniment petit.”
1. Limite d’une fonction en un point§
Limite finie en un point§
[!important] Définition On dit que $f$ a pour limite $\ell \in \mathbb{R}$ quand $x$ tend vers $a$ si, pour tout intervalle ouvert $I$ contenant $\ell$, il existe un intervalle ouvert $J$ contenant $a$ tel que pour tout $x \in J \cap D_f$ (avec $x \neq a$) : $f(x) \in I$.
Notation : $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \ell$
En termes plus concrets : $f(x)$ peut être rendu aussi proche de $\ell$ qu’on le souhaite, pourvu que $x$ soit suffisamment proche de $a$.
Limite infinie en un point§
[!important] Définition On dit que $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$ si, pour tout réel $M > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que : $$0 < |x - a| < \delta \implies f(x) > M$$
[!example] Exemple $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty$ : quand $x$ s’approche de $0$, $\frac{1}{x^2}$ devient aussi grand qu’on veut.
Limites à gauche et à droite§
On distingue :
- Limite à gauche : $\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x)$ (on s’approche par les valeurs inférieures à $a$)
- Limite à droite : $\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x)$ (on s’approche par les valeurs supérieures à $a$)
[!tip] Critère d’existence $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ existe si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales.
2. Limite d’une fonction en l’infini§
Limite finie en $+\infty$§
[!important] Définition $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ si $f(x)$ peut être rendu aussi proche de $\ell$ qu’on le souhaite dès que $x$ est suffisamment grand.
Limite infinie en $+\infty$§
[!important] Définition $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ si $f(x)$ dépasse tout nombre fixé d’avance dès que $x$ est suffisamment grand.
Limites de référence§
| Fonction | $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}$ | $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}$ |
|---|---|---|
| $x^n$ ($n$ pair) | $+\infty$ | $+\infty$ |
| $x^n$ ($n$ impair) | $+\infty$ | $-\infty$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $0^+$ | $0^-$ |
| $\dfrac{1}{x^n}$ | $0$ | $0$ |
| $\sqrt{x}$ | $+\infty$ | — |
3. Opérations sur les limites§
[!important] Tableau des opérations
Somme :
| $\lim f$ | $\ell$ | $\ell$ | $\ell$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\lim g$ | $\ell’$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ |
| $\lim(f+g)$ | $\ell + \ell’$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | FI |
Produit :
| $\lim f$ | $\ell$ | $\ell > 0$ | $\ell < 0$ | $+\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $0$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\lim g$ | $\ell’$ | $+\infty$ | $+\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $\pm\infty$ |
| $\lim(fg)$ | $\ell\ell’$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | FI |
Quotient ($g \neq 0$) :
| $\lim f$ | $\ell$ | $\ell \neq 0$ | $+\infty$ | $\pm\infty$ |
|---|---|---|---|---|
| $\lim g$ | $\ell’ \neq 0$ | $0$ | $\ell’$ | $\pm\infty$ |
| $\lim(f/g)$ | $\ell/\ell’$ | $\pm\infty$ | $\pm\infty$ | FI |
[!warning] Formes indéterminées (FI) Il y a quatre formes indéterminées classiques : $$\frac{0}{0} \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad +\infty - \infty \qquad 0 \times \infty$$ Une forme indéterminée signifie qu’on ne peut pas conclure sans calcul supplémentaire.
4. Lever une forme indéterminée§
flowchart TD
A["Forme indéterminée détectée"] --> B{"Quel type ?"}
B -->|"∞ - ∞<br/>(polynômes/racines)"| C["Factoriser par<br/>le terme dominant"]
B -->|"0/0<br/>(fractions)"| D["Factoriser et<br/>simplifier"]
B -->|"∞/∞<br/>(fractions rationnelles)"| E["Diviser numérateur<br/>et dénominateur<br/>par le terme dominant"]
B -->|"0 × ∞"| F["Réécrire comme<br/>un quotient 0/0<br/>ou ∞/∞"]
B -->|"Avec racines carrées"| G["Multiplier par<br/>l'expression conjuguée"]
C --> H["Calculer la limite"]
D --> H
E --> H
F --> H
G --> H
style A fill:#FFCCBC,stroke:#E64A19,color:#000
style H fill:#C8E6C9,stroke:#388E3C,color:#000
[!tip] Méthode générale pour les polynômes et fractions rationnelles En $+\infty$ ou $-\infty$ : on factorise par le terme de plus haut degré.
Exemple : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - x + 1}{2x^2 + 5} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2(3 - 1/x + 1/x^2)}{x^2(2 + 5/x^2)} = \frac{3}{2}$
5. Théorèmes de comparaison§
Théorème des gendarmes§
[!important] Théorème Si, au voisinage de $a$ (ou de $+\infty$) : $$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$$ et si $\displaystyle\lim g(x) = \lim h(x) = \ell$, alors $\displaystyle\lim f(x) = \ell$.
[!example] Exemple classique Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x} = 0$.
Pour tout $x > 0$ : $-1 \leq \sin x \leq 1$, donc $\dfrac{-1}{x} \leq \dfrac{\sin x}{x} \leq \dfrac{1}{x}$.
Comme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{-1}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$, par le théorème des gendarmes : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x} = 0$.
Théorème de comparaison (minoration/majoration)§
[!important] Théorème
- Si $f(x) \geq g(x)$ au voisinage de $a$ et $\displaystyle\lim g(x) = +\infty$, alors $\displaystyle\lim f(x) = +\infty$.
- Si $f(x) \leq g(x)$ au voisinage de $a$ et $\displaystyle\lim g(x) = -\infty$, alors $\displaystyle\lim f(x) = -\infty$.
6. Asymptotes§
Asymptote horizontale§
[!important] Définition La droite $y = \ell$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$ (resp. $-\infty$) si : $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell \quad \left(\text{resp. } \lim_{x \to -\infty} f(x) = \ell\right)$$
Asymptote verticale§
[!important] Définition La droite $x = a$ est asymptote verticale à la courbe de $f$ si : $$\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$$
Asymptote oblique§
[!important] Définition La droite $y = mx + p$ est asymptote oblique à la courbe de $f$ en $+\infty$ si : $$\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (mx + p)] = 0$$
Pour la trouver :
- $m = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$
- $p = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} [f(x) - mx]$
[!example] Exemple $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x} = x + \dfrac{1}{x}$.
- $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+1}{x^2} = 1 = m$
- $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} [f(x) - x] = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 = p$
Donc $y = x$ est asymptote oblique en $+\infty$ (et en $-\infty$ aussi). De plus, $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$ : $x = 0$ est asymptote verticale.
7. Continuité§
Définition§
[!important] Définition Une fonction $f$ est continue en $a$ si : $$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$ Cela suppose trois conditions :
- $f$ est définie en $a$,
- $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ existe,
- cette limite vaut $f(a)$.
[!important] Continuité sur un intervalle $f$ est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en tout point de $I$.
Fonctions continues classiques§
[!tip] Admis au lycée Les fonctions suivantes sont continues sur leur domaine de définition :
- Fonctions polynomiales
- Fonctions rationnelles (quotient de polynômes)
- Fonctions $\sqrt{x}$, $|x|$
- Fonctions trigonométriques ($\cos$, $\sin$, $\tan$)
- Fonctions $\exp$ et $\ln$
La somme, le produit, le quotient (si dénominateur non nul) et la composée de fonctions continues sont continues.
8. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)§
[!important] Théorème des valeurs intermédiaires Si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que : $$f(c) = k$$
Corollaire : version avec unicité§
[!important] Corollaire (TVI avec stricte monotonie) Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a, b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un unique réel $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.
flowchart TD
A["On cherche une solution<br/>de f(x) = k sur [a,b]"] --> B{"f continue sur [a,b] ?"}
B -->|Non| Z["Le TVI ne<br/>s'applique pas"]
B -->|Oui| C{"k est entre<br/>f(a) et f(b) ?"}
C -->|Non| Y["Pas de conclusion<br/>par le TVI"]
C -->|Oui| D["Il existe au moins<br/>un c ∈ [a,b]<br/>tel que f(c) = k"]
D --> E{"f strictement<br/>monotone sur [a,b] ?"}
E -->|Oui| F["Ce c est UNIQUE"]
E -->|Non| G["Il peut y avoir<br/>plusieurs solutions"]
style D fill:#C8E6C9,stroke:#388E3C,color:#000
style F fill:#BBDEFB,stroke:#1565C0,color:#000
style Z fill:#FFCCBC,stroke:#E64A19,color:#000
9. Application du TVI : existence de solutions§
[!example] Exemple fondamental Montrer que l’équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$.
Soit $f(x) = x^3 + x - 1$.
Continuité : $f$ est polynomiale, donc continue sur $\mathbb{R}$.
Stricte monotonie : $f’(x) = 3x^2 + 1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Valeurs aux bornes :
- $f(0) = -1 < 0$
- $f(1) = 1 > 0$
Conclusion : $f$ est continue et strictement croissante sur $[0, 1]$, $f(0) < 0 < f(1)$. Par le corollaire du TVI, il existe un unique $c \in ]0, 1[$ tel que $f(c) = 0$.
Par stricte monotonie sur $\mathbb{R}$ tout entier, cette solution est l’unique solution sur $\mathbb{R}$.
[!tip] Méthode de dichotomie Pour approcher la solution, on peut utiliser la dichotomie : on coupe l’intervalle en deux et on teste le signe au milieu.
- $f(0{,}5) = 0{,}125 + 0{,}5 - 1 = -0{,}375 < 0$ : la solution est dans $]0{,}5,;, 1[$
- $f(0{,}75) \approx 0{,}172 > 0$ : la solution est dans $]0{,}5,;, 0{,}75[$
- Etc.
10. Exercices types corrigés§
Exercice 1 : Calcul de limites§
[!example] Énoncé Calculer les limites suivantes :
- $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^3 - 2x + 1}{5x^3 + x^2 - 4}$
- $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$
- $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)$
Correction :
1. Forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$. On factorise par $x^3$ :
$$\frac{3x^3 - 2x + 1}{5x^3 + x^2 - 4} = \frac{x^3(3 - 2/x^2 + 1/x^3)}{x^3(5 + 1/x - 4/x^3)} \xrightarrow[x \to +\infty]{} \frac{3}{5}$$
2. Forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$. On factorise :
$$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2 \xrightarrow[x \to 2]{} 4$$
3. Forme indéterminée $\infty - \infty$. On multiplie par l’expression conjuguée :
$$\sqrt{x^2 + x} - x = \frac{(\sqrt{x^2+x} - x)(\sqrt{x^2+x} + x)}{\sqrt{x^2+x} + x} = \frac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2+x} + x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x} + x}$$
Pour $x > 0$ : $\sqrt{x^2 + x} = x\sqrt{1 + 1/x}$, donc :
$$\frac{x}{x\sqrt{1+1/x} + x} = \frac{1}{\sqrt{1+1/x} + 1} \xrightarrow[x \to +\infty]{} \frac{1}{2}$$
Exercice 2 : Asymptotes§
[!example] Énoncé Déterminer les asymptotes de $f(x) = \dfrac{2x^2 + 3x - 1}{x + 1}$.
Correction :
Asymptote verticale : $f$ n’est pas définie en $x = -1$.
$\displaystyle\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{2-3-1}{0^+} = \frac{-2}{0^+} = -\infty$
$\displaystyle\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty$
Donc $x = -1$ est asymptote verticale.
Asymptote oblique : On effectue la division euclidienne :
$2x^2 + 3x - 1 = (x+1)(2x+1) - 2$
Donc $f(x) = 2x + 1 - \dfrac{2}{x+1}$.
$\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (2x+1)] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-2}{x+1} = 0$
Donc $y = 2x + 1$ est asymptote oblique en $+\infty$ et en $-\infty$.
Exercice 3 : Théorème des gendarmes§
[!example] Énoncé Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x + \cos x}{x} = 1$.
Correction :
Pour tout $x > 0$ : $-1 \leq \cos x \leq 1$, donc :
$$\frac{x - 1}{x} \leq \frac{x + \cos x}{x} \leq \frac{x + 1}{x}$$
$$1 - \frac{1}{x} \leq \frac{x + \cos x}{x} \leq 1 + \frac{1}{x}$$
Or $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right) = 1$.
Par le théorème des gendarmes : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x + \cos x}{x} = 1$.
Exercice 4 : Application du TVI§
[!example] Énoncé Montrer que l’équation $\cos(x) = x$ admet une unique solution sur $[0, \pi/2]$.
Correction :
Soit $g(x) = \cos(x) - x$, définie et continue sur $[0, \pi/2]$.
- $g(0) = \cos(0) - 0 = 1 > 0$
- $g(\pi/2) = \cos(\pi/2) - \pi/2 = -\pi/2 < 0$
De plus, $g’(x) = -\sin(x) - 1 < 0$ pour tout $x \in [0, \pi/2]$, donc $g$ est strictement décroissante.
Par le corollaire du TVI, il existe un unique $c \in ]0, \pi/2[$ tel que $g(c) = 0$, c’est-à-dire $\cos(c) = c$.