Dérivation

La dérivation est l’outil fondamental de l’analyse pour étudier les variations d’une fonction. Elle repose sur la notion de taux d’accroissement et fournit une interprétation géométrique puissante via la tangente.

1. Taux d’accroissement et nombre dérivé§

1.1 Taux d’accroissement§

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$ . Pour tout $h \neq 0$ tel que $a + h \in I$ , le taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $a + h$ est :

\tau(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

Géométriquement, $\tau(h)$ est la pente de la sécante passant par les points $A(a;, f(a))$ et $M(a+h;, f(a+h))$ de la courbe.

1.2 Nombre dérivé§

Définition

Si le taux d’accroissement $\tau(h)$ admet une limite finie quand $h \to 0$ , on dit que $f$ est dérivable en $a$ , et cette limite est le nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté $f'(a)$ :

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

Exemple : calculer

f'(2)

pour

f(x) = x^2

\tau(h) = \frac{(2 + h)^2 - 2^2}{h} = \frac{4 + 4h + h^2 - 4}{h} = \frac{4h + h^2}{h} = 4 + h

f'(2) = \lim_{h \to 0} (4 + h) = 4

Exemple : calculer

f'(a)

pour

f(x) = x^3

\tau(h) = \frac{(a+h)^3 - a^3}{h} = \frac{a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3 - a^3}{h}

= \frac{3a^2h + 3ah^2 + h^3}{h} = 3a^2 + 3ah + h^2

f'(a) = \lim_{h \to 0} (3a^2 + 3ah + h^2) = 3a^2

2. Interprétation géométrique : la tangente§

2.1 Équation de la tangente§

Théorème

Si $f$ est dérivable en $a$ , alors la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A(a;, f(a))$ a pour équation :

\boxed{y = f'(a)(x - a) + f(a)}

Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur (la pente) de la tangente au point d’abscisse $a$ .

2.2 Interprétation§

Quand $h \to 0$ , la sécante passant par $A$ et $M$ tend vers la tangente en $A$ . Le nombre dérivé est donc la pente limite de cette sécante.

Exemple : tangente à

f(x) = x^2 - 3x + 1

x = 2

Étape 1 : calculer $f(2) = 4 - 6 + 1 = -1$ .

Étape 2 : calculer $f'(x) = 2x - 3$ , puis $f'(2) = 4 - 3 = 1$ .

Étape 3 : l’équation de la tangente est :

y = 1 \times (x - 2) + (-1) = x - 3

2.3 Cas particuliers§

Si $f'(a) = 0$ : la tangente est horizontale (parallèle à l’axe des abscisses).
Si $f'(a) > 0$ : la tangente est ascendante (de gauche à droite).
Si $f'(a) < 0$ : la tangente est descendante (de gauche à droite).

3. Fonction dérivée§

3.1 Définition§

Définition

Si $f$ est dérivable en tout point d’un intervalle $I$ , la fonction dérivée $f'$ est la fonction qui à tout $x \in I$ associe le nombre dérivé $f'(x)$ .

3.2 Tableau des dérivées des fonctions de référence§

Fonction $f(x)$	Dérivée $f'(x)$	Ensemble de dérivabilité
$k$ (constante)	$0$	$\mathbb{R}$
$x$	$1$	$\mathbb{R}$
$x^2$	$2x$	$\mathbb{R}$
$x^3$	$3x^2$	$\mathbb{R}$
$x^n$ ( $n \in \mathbb{N}^*$ )	$nx^{n-1}$	$\mathbb{R}$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$	$\mathbb{R}^*$
$\frac{1}{x^n}$ ( $n \in \mathbb{N}^*$ )	$-\frac{n}{x^{n+1}}$	$\mathbb{R}^*$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$]0;, +\infty[$

Formule clé à retenir

La dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$ : on « descend » l’exposant comme coefficient et on diminue l’exposant de $1$ .

4. Opérations sur les dérivées§

4.1 Somme et produit par un scalaire§

Règles de dérivation (somme et scalaire)

Soient $f$ et $g$ dérivables sur $I$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ .

(f + g)' = f' + g'

(\lambda f)' = \lambda f'

Exemple : dériver

f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2

f'(x) = 3 \times 4x^3 - 5 \times 2x + 7 = 12x^3 - 10x + 7

4.2 Produit§

Dérivée d’un produit

(fg)' = f'g + fg'

« dérivée du premier fois le second, plus le premier fois dérivée du second »

Exemple : dériver

f(x) = (2x + 1)(x^2 - 3)

On pose $u(x) = 2x + 1$ et $v(x) = x^2 - 3$ .

$u'(x) = 2$ et $v'(x) = 2x$ .

f'(x) = u'v + uv' = 2(x^2 - 3) + (2x + 1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6

4.3 Quotient§

Dérivée d’un quotient

Pour $g(x) \neq 0$ :

\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}

Attention

L’ordre compte dans la formule du quotient. Retenir « dérivée du numérateur fois dénominateur moins numérateur fois dérivée du dénominateur, le tout divisé par le carré du dénominateur ».

Exemple : dériver

f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}

$u(x) = x + 1$ , $u'(x) = 1$ , $v(x) = x - 2$ , $v'(x) = 1$ .

f'(x) = \frac{1 \times (x - 2) - (x + 1) \times 1}{(x - 2)^2} = \frac{x - 2 - x - 1}{(x - 2)^2} = \frac{-3}{(x - 2)^2}

4.4 Composée (dérivation en chaîne)§

Dérivée d’une composée

Si $f = g \circ u$ , c’est-à-dire $f(x) = g(u(x))$ , alors :

f'(x) = u'(x) \times g'(u(x))

On dérive la fonction « extérieure » appliquée à $u(x)$ , et on multiplie par la dérivée de $u$ .

Cas fréquents :

Fonction	Dérivée
$[u(x)]^n$	$n \cdot u'(x) \cdot [u(x)]^{n-1}$
$\frac{1}{u(x)}$	$-\frac{u'(x)}{[u(x)]^2}$
$\sqrt{u(x)}$	$\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$

Exemple : dériver

f(x) = (3x^2 - 1)^4

On pose $u(x) = 3x^2 - 1$ , donc $u'(x) = 6x$ et $g(t) = t^4$ , donc $g'(t) = 4t^3$ .

f'(x) = 6x \times 4(3x^2 - 1)^3 = 24x(3x^2 - 1)^3

Exemple : dériver

f(x) = \sqrt{2x + 5}

On pose $u(x) = 2x + 5$ , $u'(x) = 2$ .

f'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x + 5}} = \frac{1}{\sqrt{2x + 5}}

4.5 Résumé des formules§

graph TD
    A["Opérations sur les dérivées"] --> B["Somme : (f+g)' = f' + g'"]
    A --> C["Scalaire : (λf)' = λf'"]
    A --> D["Produit : (fg)' = f'g + fg'"]
    A --> E["Quotient : (f/g)' = (f'g - fg') / g²"]
    A --> F["Composée : (g∘u)' = u' × g'(u)"]

5. Lien dérivée-variations§

5.1 Théorème fondamental§

Théorème (lien dérivée-variations)

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

Si $f'(x) > 0$ pour tout $x \in I$ , alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .
Si $f'(x) < 0$ pour tout $x \in I$ , alors $f$ est strictement décroissante sur $I$ .
Si $f'(x) = 0$ pour tout $x \in I$ , alors $f$ est constante sur $I$ .

Attention à la réciproque

Si $f$ est croissante sur $I$ , on peut seulement affirmer que $f'(x) \geq 0$ (avec un $\geq$ , pas un $>$ ). La dérivée peut s’annuler en des points isolés sans que la fonction cesse d’être strictement croissante (exemple : $f(x) = x^3$ en $x = 0$ ).

5.2 Méthode pour étudier les variations§

Calculer $f'(x)$ .
Résoudre $f'(x) = 0$ pour trouver les valeurs critiques.
Étudier le signe de $f'(x)$ sur chaque intervalle.
En déduire le tableau de variations de $f$ .

6. Tableau de variations à partir de la dérivée§

6.1 Méthode complète§

Exemple complet :

f(x) = x^3 - 3x + 1

Étape 1 : $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)$

Étape 2 : $f'(x) = 0 \iff x = -1$ ou $x = 1$ .

Étape 3 : signe de $f'(x)$ :

$x$	$-\infty$	$-1$		$1$
$x + 1$	$-$	$0$	$+$		$+$
$x - 1$	$-$	$-$		$0$	$+$
$f'(x) = 3(x+1)(x-1)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Étape 4 : valeurs de $f$ aux points critiques :

$f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$
$f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$

Tableau de variations :

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$	$+$		$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$+\infty$

6.2 Autre exemple avec un quotient§

Exemple :

f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}

sur

]0;, +\infty[

On réécrit : $f(x) = x + \frac{1}{x}$ .

$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$ .

Sur $]0;, +\infty[$ , le dénominateur $x^2 > 0$ toujours. Le signe de $f'$ est celui du numérateur $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ .

Sur $]0;, +\infty[$ , $x + 1 > 0$ toujours, donc le signe est celui de $x - 1$ .

$f'(x) < 0$ pour $x \in ]0;, 1[$
$f'(x) = 0$ pour $x = 1$
$f'(x) > 0$ pour $x \in ]1;, +\infty[$

$f(1) = 1 + 1 = 2$ .

$x$	$0$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$+\infty$	$\searrow$	$2$	$\nearrow$	$+\infty$

$f$ admet un minimum de $2$ en $x = 1$ .

7. Extremums§

7.1 Condition nécessaire§

Théorème

Si $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et admet un extremum local en $c \in I$ , alors :

f'(c) = 0

Attention

La réciproque est fausse : $f'(c) = 0$ ne garantit pas un extremum. Exemple : $f(x) = x^3$ . On a $f'(0) = 0$ mais $x = 0$ n’est pas un extremum (c’est un point d’inflexion).

7.2 Condition suffisante§

Théorème (condition suffisante)

Si $f'$ change de signe en $c$ , alors $f$ admet un extremum local en $c$ :

Si $f'$ passe de positif à négatif : $f$ admet un maximum local en $c$ .
Si $f'$ passe de négatif à positif : $f$ admet un minimum local en $c$ .

flowchart TD
    A["f'(c) = 0"] --> B{"f' change-t-elle de signe en c ?"}
    B -->|Non| C["Pas d'extremum<br/>(ex : point d'inflexion)"]
    B -->|"+ puis -"| D["Maximum local en c"]
    B -->|"- puis +"| E["Minimum local en c"]

8. Applications classiques§

8.1 Optimisation§

La dérivation permet de résoudre des problèmes d’optimisation : trouver le maximum ou le minimum d’une grandeur.

Méthode :

Mettre le problème en équation : exprimer la grandeur à optimiser en fonction d’une variable $x$ .
Déterminer le domaine de $x$ (contraintes du problème).
Dériver, étudier le signe de la dérivée.
Identifier l’extremum et conclure.

Exemple : aire maximale d’un rectangle de périmètre fixé

Un rectangle a un périmètre de $20$ cm. Quelles dimensions maximisent son aire ?

Notons $x$ la longueur. La largeur est $\frac{20 - 2x}{2} = 10 - x$ . Contrainte : $0 < x < 10$ .

L’aire est $A(x) = x(10 - x) = 10x - x^2$ .

$A'(x) = 10 - 2x$ .

$A'(x) = 0 \iff x = 5$ .

$A'(x) > 0$ pour $x < 5$ et $A'(x) < 0$ pour $x > 5$ .

Donc $A$ est maximale en $x = 5$ , avec $A(5) = 25$ cm $^2$ .

Le rectangle d’aire maximale est un carré de coté $5$ cm.

8.2 Approximation affine§

Approximation affine

Pour $x$ proche de $a$ , si $f$ est dérivable en $a$ :

f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)

C’est l’approximation de $f$ par sa tangente au voisinage de $a$ .

Exemple : approximation de

\sqrt{101}

On pose $f(x) = \sqrt{x}$ , $a = 100$ , $f(100) = 10$ , $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ , $f'(100) = \frac{1}{20}$ .

\sqrt{101} \approx 10 + \frac{1}{20}(101 - 100) = 10 + \frac{1}{20} = 10{,}05

Valeur exacte : $\sqrt{101} \approx 10{,}0499\ldots$ L’approximation est excellente.

9. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Calcul de dérivée§

Énoncé : Calculer la dérivée de chaque fonction. a) $f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 7x - 5$ b) $g(x) = (x^2 + 1)(3x - 2)$ c) $h(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + 3}$

Correction

a) $f'(x) = 12x^2 - 4x + 7$

b) Produit avec $u = x^2 + 1$ , $u' = 2x$ , $v = 3x - 2$ , $v' = 3$ :

g'(x) = 2x(3x - 2) + (x^2 + 1) \times 3 = 6x^2 - 4x + 3x^2 + 3 = 9x^2 - 4x + 3

c) Quotient avec $u = 2x + 1$ , $u' = 2$ , $v = x^2 + 3$ , $v' = 2x$ :

h'(x) = \frac{2(x^2 + 3) - (2x + 1)(2x)}{(x^2 + 3)^2} = \frac{2x^2 + 6 - 4x^2 - 2x}{(x^2 + 3)^2} = \frac{-2x^2 - 2x + 6}{(x^2 + 3)^2}

Exercice 2 : Tangente§

Énoncé : Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de $f(x) = \frac{1}{x}$ au point d’abscisse $x = 2$ .

Correction

$f(2) = \frac{1}{2}$ .

$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ , donc $f'(2) = -\frac{1}{4}$ .

Tangente : $y = f'(2)(x - 2) + f(2) = -\frac{1}{4}(x - 2) + \frac{1}{2}$

y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}x + 1

Exercice 3 : Étude complète§

Énoncé : Étudier les variations de $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4$ et déterminer ses extremums.

Correction

Dérivée : $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x - 1)(x - 2)$

$f'(x) = 0 \iff x = 1$ ou $x = 2$ .

Signe de $f'$ :

$x$	$-\infty$	$1$		$2$
$x - 1$	$-$	$0$	$+$		$+$
$x - 2$	$-$	$-$		$0$	$+$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Valeurs :

$f(1) = 2 - 9 + 12 - 4 = 1$
$f(2) = 16 - 36 + 24 - 4 = 0$

Tableau de variations :

$x$	$-\infty$		$1$		$2$		$+\infty$
$f'(x)$	$+$		$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$1$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$

Extremums :

$f$ admet un maximum local de $1$ en $x = 1$ ( $f'$ passe de $+$ à $-$ ).
$f$ admet un minimum local de $0$ en $x = 2$ ( $f'$ passe de $-$ à $+$ ).

Exercice 4 : Dérivée d’une composée§

Énoncé : Dériver $f(x) = \frac{1}{(2x - 3)^2}$ .

Correction

On écrit $f(x) = (2x - 3)^{-2}$ .

On pose $u(x) = 2x - 3$ , $u'(x) = 2$ .

f'(x) = -2 \times u'(x) \times [u(x)]^{-3} = -2 \times 2 \times (2x - 3)^{-3} = \frac{-4}{(2x - 3)^3}

Exercice 5 : Optimisation§

Énoncé : On découpe aux quatre coins d’une feuille de carton rectangulaire de $30$ cm par $20$ cm des carrés de côté $x$ cm, puis on plie pour former une boîte sans couvercle. Quelle valeur de $x$ maximise le volume ?

Correction

Après pliage, la boîte a pour dimensions :

Longueur : $30 - 2x$
Largeur : $20 - 2x$
Hauteur : $x$

Contrainte : $0 < x < 10$ (pour que les dimensions restent positives).

Volume : $V(x) = x(30 - 2x)(20 - 2x)$ .

On développe : $V(x) = x(600 - 60x - 40x + 4x^2) = x(4x^2 - 100x + 600)$

V(x) = 4x^3 - 100x^2 + 600x

$V'(x) = 12x^2 - 200x + 600 = 4(3x^2 - 50x + 150)$

$V'(x) = 0 \iff 3x^2 - 50x + 150 = 0$

$\Delta = 2500 - 1800 = 700$ , $\sqrt{\Delta} = 10\sqrt{7}$ .

x = \frac{50 \pm 10\sqrt{7}}{6} = \frac{25 \pm 5\sqrt{7}}{3}

$x_1 = \frac{25 - 5\sqrt{7}}{3} \approx \frac{25 - 13{,}23}{3} \approx 3{,}92$ cm (dans $]0;, 10[$ )

$x_2 = \frac{25 + 5\sqrt{7}}{3} \approx \frac{25 + 13{,}23}{3} \approx 12{,}74$ cm (hors de $]0;, 10[$ )

On vérifie que $V'$ passe de positif à négatif en $x_1$ : c’est un maximum.

V\left(\frac{25 - 5\sqrt{7}}{3}\right) \approx V(3{,}92) \approx 3{,}92 \times 22{,}16 \times 12{,}16 \approx 1,056 \text{ cm}^3

Le volume est maximal (environ $1,056$ cm $^3$ ) pour $x \approx 3{,}9$ cm.

10. À retenir§

À retenir

Le nombre dérivé $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ est la pente de la tangente en $a$ .
Tangente en $a$ : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .
Dérivée de $x^n$ : $nx^{n-1}$ . Dérivée de $\frac{1}{x}$ : $-\frac{1}{x^2}$ . Dérivée de $\sqrt{x}$ : $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ .
Produit : $(uv)' = u'v + uv'$ . Quotient : $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ .
Composée : $(g \circ u)' = u' \times g'(u)$ .
$f' > 0 \Rightarrow f$ croissante. $f' < 0 \Rightarrow f$ décroissante.
Extremum local en $c$ implique $f'(c) = 0$ (condition nécessaire). Le changement de signe de $f'$ confirme l’extremum (condition suffisante).
Pour l’optimisation : modéliser, dériver, résoudre $f'(x) = 0$ , vérifier le changement de signe.

Voir aussi : Fonctions | Second Degré | Calcul Algébrique | Ensembles et Nombres

1. Taux d’accroissement et nombre dérivé§

1.1 Taux d’accroissement§

1.2 Nombre dérivé§

2. Interprétation géométrique : la tangente§

2.1 Équation de la tangente§

2.2 Interprétation§

2.3 Cas particuliers§

3. Fonction dérivée§

3.1 Définition§

3.2 Tableau des dérivées des fonctions de référence§

4. Opérations sur les dérivées§

4.1 Somme et produit par un scalaire§

4.2 Produit§

4.3 Quotient§

4.4 Composée (dérivation en chaîne)§

4.5 Résumé des formules§

5. Lien dérivée-variations§

5.1 Théorème fondamental§

5.2 Méthode pour étudier les variations§

6. Tableau de variations à partir de la dérivée§

6.1 Méthode complète§

6.2 Autre exemple avec un quotient§

7. Extremums§

7.1 Condition nécessaire§

7.2 Condition suffisante§

8. Applications classiques§

8.1 Optimisation§

8.2 Approximation affine§

9. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Calcul de dérivée§

Exercice 2 : Tangente§

Exercice 3 : Étude complète§

Exercice 4 : Dérivée d’une composée§

Exercice 5 : Optimisation§

10. À retenir§

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