Primitives et Intégrales
Le calcul intégral est l’un des deux grands piliers du calcul infinitésimal (avec la dérivation). Il permet de calculer des aires, des volumes, des moyennes, et intervient dans toutes les sciences. Cette fiche s’appuie sur les notions de Limites et Continuité et sur les propriétés de la fonction exponentielle et du logarithme.
[!quote] Gottfried Wilhelm Leibniz “Il est indigne d’hommes excellents de perdre des heures comme des esclaves dans le labeur du calcul, lequel pourrait être confié sans risque à n’importe qui si des machines étaient utilisées.”
1. Notion de primitive§
Définition§
[!important] Définition Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si, pour tout $x \in I$ : $$\boxed{F’(x) = f(x)}$$
[!example] Exemple $F(x) = x^3$ est une primitive de $f(x) = 3x^2$ sur $\mathbb{R}$ car $F’(x) = 3x^2 = f(x)$.
Unicité à une constante près§
[!important] Théorème fondamental Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$, alors toutes les primitives de $f$ sur $I$ sont de la forme : $$\boxed{F(x) + C \quad \text{où } C \in \mathbb{R}}$$
[!tip] Justification Si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$, alors $(F - G)’ = f - f = 0$ sur $I$. Or une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante. Donc $F - G = C$.
[!warning] Attention L’intervalle est essentiel ! Sur un domaine non connexe (par exemple $\mathbb{R}^*$), la constante peut être différente sur chaque composante connexe.
Primitive passant par un point donné§
[!important] Propriété Il existe une unique primitive $F$ de $f$ sur $I$ vérifiant la condition initiale $F(x_0) = y_0$.
[!example] Exemple Trouver la primitive $F$ de $f(x) = 2x$ telle que $F(1) = 5$.
Les primitives de $2x$ sont $F(x) = x^2 + C$. $F(1) = 1 + C = 5$, donc $C = 4$. Ainsi $F(x) = x^2 + 4$.
2. Tableau des primitives usuelles§
[!important] Primitives fondamentales
| Fonction $f(x)$ | Primitive $F(x)$ | Domaine |
|---|---|---|
| $k$ (constante) | $kx$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^n$ ($n \neq -1$) | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ | $\mathbb{R}$ si $n \in \mathbb{N}$, $]0,+\infty[$ sinon |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln|x|$ | $]0,+\infty[$ ou $]-\infty,0[$ |
| $\dfrac{1}{x^2}$ | $-\dfrac{1}{x}$ | $]0,+\infty[$ ou $]-\infty,0[$ |
| $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ | $2\sqrt{x}$ | $]0,+\infty[$ |
| $e^x$ | $e^x$ | $\mathbb{R}$ |
| $e^{ax}$ ($a \neq 0$) | $\dfrac{1}{a}e^{ax}$ | $\mathbb{R}$ |
| $\cos(x)$ | $\sin(x)$ | $\mathbb{R}$ |
| $\sin(x)$ | $-\cos(x)$ | $\mathbb{R}$ |
| $\cos(ax + b)$ | $\dfrac{1}{a}\sin(ax+b)$ | $\mathbb{R}$ |
| $\sin(ax + b)$ | $-\dfrac{1}{a}\cos(ax+b)$ | $\mathbb{R}$ |
| $\dfrac{1}{\cos^2(x)}$ | $\tan(x)$ | $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$ |
Primitives avec composition§
[!important] Formules avec $u = u(x)$ Si $u$ est une fonction dérivable :
$f(x)$ $F(x)$ Condition $u’ \cdot u^n$ ($n \neq -1$) $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ $\dfrac{u’}{u}$ $\ln|u|$ $u \neq 0$ $u’ \cdot e^u$ $e^u$ $\dfrac{u’}{2\sqrt{u}}$ $\sqrt{u}$ $u > 0$ $u’ \cdot \cos(u)$ $\sin(u)$ $u’ \cdot \sin(u)$ $-\cos(u)$
[!tip] Comment reconnaître la forme $\frac{u’}{u}$ Si au numérateur on voit (à un coefficient près) la dérivée du dénominateur, c’est la forme $\frac{u’}{u}$ dont une primitive est $\ln|u|$.
Exemple : $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2+1},dx = \ln(x^2+1) + C$ car $(x^2+1)’ = 2x$.
3. L’intégrale d’une fonction continue§
Définition§
[!important] Définition Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$. On appelle intégrale de $f$ de $a$ à $b$ le nombre réel : $$\boxed{\int_a^b f(x),dx = F(b) - F(a)}$$ où $F$ est une primitive quelconque de $f$ sur $[a, b]$.
On note aussi $\left[F(x)\right]_a^b = F(b) - F(a)$.
[!tip] Pourquoi le choix de la primitive n’importe pas Si $G = F + C$ est une autre primitive, alors $G(b) - G(a) = F(b) + C - F(a) - C = F(b) - F(a)$. La constante s’annule.
Interprétation géométrique§
[!important] Aire sous la courbe Si $f$ est continue et positive sur $[a, b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x),dx$ représente l’aire de la surface délimitée par :
- la courbe de $f$,
- l’axe des abscisses,
- les droites verticales $x = a$ et $x = b$.
Si $f$ change de signe, l’intégrale calcule l’aire algébrique (les parties sous l’axe comptent négativement).
[!warning] Aire vs intégrale Pour calculer l’aire géométrique (toujours positive) quand $f$ change de signe, on calcule : $$\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)|,dx$$ ce qui nécessite de découper l’intervalle aux points où $f$ s’annule.
flowchart TD
A["Calculer l'aire entre<br/>la courbe et l'axe Ox<br/>sur [a, b]"] --> B{"f garde un signe<br/>constant sur [a,b] ?"}
B -->|"Oui, f ≥ 0"| C["Aire = ∫ₐᵇ f(x) dx"]
B -->|"Oui, f ≤ 0"| D["Aire = -∫ₐᵇ f(x) dx"]
B -->|"Non"| E["Trouver les zéros c₁, c₂, ...<br/>de f dans [a, b]"]
E --> F["Découper :<br/>Aire = ∫ₐᶜ¹ |f| + ∫ᶜ¹ᶜ² |f| + ..."]
style C fill:#C8E6C9,stroke:#388E3C,color:#000
style D fill:#BBDEFB,stroke:#1565C0,color:#000
style F fill:#FFF9C4,stroke:#F9A825,color:#000
4. Propriétés de l’intégrale§
Linéarité§
[!important] Propriété Pour toutes fonctions continues $f$ et $g$ sur $[a, b]$ et tout réel $\lambda$ : $$\boxed{\int_a^b [f(x) + g(x)],dx = \int_a^b f(x),dx + \int_a^b g(x),dx}$$ $$\boxed{\int_a^b \lambda f(x),dx = \lambda \int_a^b f(x),dx}$$
Relation de Chasles§
[!important] Propriété Pour tout $c$ entre $a$ et $b$ (ou même en dehors) : $$\boxed{\int_a^b f(x),dx = \int_a^c f(x),dx + \int_c^b f(x),dx}$$
Convention d’orientation§
$$\int_a^a f(x),dx = 0 \qquad \int_b^a f(x),dx = -\int_a^b f(x),dx$$
Positivité§
[!important] Propriété Si $f \geq 0$ sur $[a, b]$ (avec $a \leq b$), alors : $$\int_a^b f(x),dx \geq 0$$
Conséquence (comparaison) : Si $f \leq g$ sur $[a, b]$, alors : $$\int_a^b f(x),dx \leq \int_a^b g(x),dx$$
Inégalité triangulaire§
$$\left|\int_a^b f(x),dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|,dx$$
5. Valeur moyenne d’une fonction§
[!important] Définition La valeur moyenne de $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est : $$\boxed{\mu = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x),dx}$$
[!tip] Interprétation La valeur moyenne $\mu$ est la hauteur du rectangle de base $[a, b]$ ayant la même aire que la surface sous la courbe de $f$.
[!example] Exemple Valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0, 3]$ :
$$\mu = \frac{1}{3 - 0}\int_0^3 x^2,dx = \frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{1}{3} \times \frac{27}{3} = \frac{1}{3} \times 9 = 3$$
6. Relation intégrale-primitive (théorème fondamental)§
[!important] Théorème fondamental de l’analyse Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ et $a \in I$, alors la fonction : $$F(x) = \int_a^x f(t),dt$$ est l’unique primitive de $f$ sur $I$ qui s’annule en $a$ : $F(a) = 0$ et $F’(x) = f(x)$.
Ce théorème établit le lien fondamental entre l’opération de dérivation et celle d’intégration : ce sont des opérations réciproques.
[!example] Exemple Soit $F(x) = \displaystyle\int_0^x e^{-t^2},dt$.
Alors $F’(x) = e^{-x^2}$ et $F(0) = 0$.
(Note : $F$ n’a pas d’expression explicite en termes de fonctions usuelles, mais le théorème nous assure qu’elle est bien définie et dérivable.)
7. Intégration par parties§
Formule§
[!important] Théorème (Intégration par parties) Si $u$ et $v$ sont deux fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a, b]$, alors : $$\boxed{\int_a^b u’(x) v(x),dx = \Big[u(x) v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u(x) v’(x),dx}$$
[!tip] Quand utiliser l’intégration par parties ?
- Quand le produit $f(x) = u’(x) v(x)$ apparaît et que l’intégrale de $u(x)v’(x)$ est plus simple que l’originale.
- Cas typiques : $\int x e^x,dx$, $\int x \cos x,dx$, $\int \ln x,dx$.
Choix de $u’$ et $v$§
La règle mnémotechnique LAET (Logarithme, Arc-fonction, Exponentielle, Trigonométrique) peut guider le choix de $v$ : on choisit $v$ en priorité parmi les fonctions les plus à gauche dans cette liste (car elles se simplifient en dérivant).
[!example] Exemple 1 : $\int_0^1 x e^x,dx$
On pose $v(x) = x$ (qui se simplifie en dérivant) et $u’(x) = e^x$. Donc $v’(x) = 1$ et $u(x) = e^x$.
$$\int_0^1 x e^x,dx = \Big[x e^x\Big]_0^1 - \int_0^1 1 \cdot e^x,dx$$ $$= (1 \cdot e^1 - 0) - \Big[e^x\Big]_0^1 = e - (e - 1) = 1$$
[!example] Exemple 2 : $\int_1^e \ln x,dx$
On écrit $\ln x = 1 \cdot \ln x$ et on pose $u’(x) = 1$ et $v(x) = \ln x$. Donc $u(x) = x$ et $v’(x) = \dfrac{1}{x}$.
$$\int_1^e \ln x,dx = \Big[x \ln x\Big]_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{1}{x},dx$$ $$= (e \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \int_1^e 1,dx = e - (e - 1) = 1$$
8. Exercices types corrigés§
Exercice 1 : Calculs de primitives§
[!example] Énoncé Déterminer les primitives des fonctions suivantes :
- $f(x) = 3x^2 - 4x + 7$
- $g(x) = \dfrac{2x+1}{x^2+x+3}$
- $h(x) = \sin(3x+1)$
Correction :
1. $F(x) = x^3 - 2x^2 + 7x + C$
2. On reconnaît la forme $\dfrac{u’}{u}$ car $(x^2+x+3)’ = 2x+1$.
$G(x) = \ln(x^2+x+3) + C$
(Note : $x^2+x+3 > 0$ pour tout $x$ car $\Delta = 1 - 12 < 0$, donc pas besoin de valeur absolue.)
3. $H(x) = -\dfrac{1}{3}\cos(3x+1) + C$
Exercice 2 : Calcul d’intégrales§
[!example] Énoncé Calculer les intégrales suivantes :
- $\displaystyle\int_0^2 (x^3 - 3x + 1),dx$
- $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin(x),dx$
- $\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x},dx$
Correction :
1.
$$\int_0^2 (x^3 - 3x + 1),dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + x\right]_0^2 = \left(\frac{16}{4} - \frac{12}{2} + 2\right) - 0 = 4 - 6 + 2 = 0$$
2.
$$\int_0^{\pi} \sin(x),dx = \Big[-\cos(x)\Big]_0^{\pi} = -\cos(\pi) + \cos(0) = -(-1) + 1 = 2$$
3.
$$\int_1^e \frac{1}{x},dx = \Big[\ln(x)\Big]_1^e = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$$
Exercice 3 : Aire entre deux courbes§
[!example] Énoncé Calculer l’aire délimitée par les courbes de $f(x) = x^2$ et $g(x) = x$ sur $[0, 1]$.
Correction :
Sur $[0, 1]$, comparons $f$ et $g$ : $x - x^2 = x(1-x) \geq 0$, donc $g(x) \geq f(x)$.
L’aire entre les deux courbes est :
$$\mathcal{A} = \int_0^1 [g(x) - f(x)],dx = \int_0^1 (x - x^2),dx$$
$$= \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$
L’aire vaut $\dfrac{1}{6}$ unité d’aire.
Exercice 4 : Valeur moyenne§
[!example] Énoncé Calculer la valeur moyenne de $f(x) = e^{2x}$ sur $[0, 1]$.
Correction :
$$\mu = \frac{1}{1 - 0}\int_0^1 e^{2x},dx = \left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_0^1 = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2} = \frac{e^2 - 1}{2}$$
Numériquement : $\mu \approx \dfrac{7{,}389 - 1}{2} \approx 3{,}195$.
Exercice 5 : Intégration par parties§
[!example] Énoncé Calculer $\displaystyle\int_0^1 (2x+1)e^{-x},dx$.
Correction :
On pose $v(x) = 2x+1$ et $u’(x) = e^{-x}$.
Donc $v’(x) = 2$ et $u(x) = -e^{-x}$.
$$\int_0^1 (2x+1)e^{-x},dx = \Big[-(2x+1)e^{-x}\Big]_0^1 - \int_0^1 (-e^{-x}) \cdot 2,dx$$
$$= \Big[-(2x+1)e^{-x}\Big]_0^1 + 2\int_0^1 e^{-x},dx$$
Calcul du crochet :
$$\Big[-(2x+1)e^{-x}\Big]_0^1 = -3e^{-1} - (-1) = 1 - \frac{3}{e}$$
Calcul de l’intégrale restante :
$$2\int_0^1 e^{-x},dx = 2\Big[-e^{-x}\Big]_0^1 = 2(-e^{-1} + 1) = 2 - \frac{2}{e}$$
Total :
$$1 - \frac{3}{e} + 2 - \frac{2}{e} = 3 - \frac{5}{e}$$
Exercice 6 : Primitive de ln§
[!example] Énoncé Montrer que $\displaystyle\int_1^e x\ln(x),dx = \dfrac{e^2 + 1}{4}$.
Correction :
Intégration par parties : $v(x) = \ln(x)$, $u’(x) = x$.
$v’(x) = \dfrac{1}{x}$, $u(x) = \dfrac{x^2}{2}$.
$$\int_1^e x\ln(x),dx = \left[\frac{x^2}{2}\ln(x)\right]_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x},dx$$
$$= \left(\frac{e^2}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0\right) - \int_1^e \frac{x}{2},dx$$
$$= \frac{e^2}{2} - \left[\frac{x^2}{4}\right]_1^e = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}$$