Second Degré
L’étude des trinômes du second degré est un pilier de l’algèbre au lycée. Elle permet de résoudre des équations, d’étudier des signes et d’analyser des paraboles.
1. Le trinôme du second degré§
1.1 Définition§
[!important] Définition Un trinôme du second degré est une fonction polynôme de la forme : $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ où $a$, $b$, $c$ sont des réels avec $a \neq 0$.
Sa courbe représentative est une parabole :
- tournée vers le haut si $a > 0$
- tournée vers le bas si $a < 0$
1.2 Les trois formes du trinôme§
| Forme | Expression | Utilité principale |
|---|---|---|
| Développée | $f(x) = ax^2 + bx + c$ | Lecture directe des coefficients |
| Canonique | $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ | Sommet de la parabole $(\alpha;, \beta)$ |
| Factorisée | $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ | Racines $x_1$ et $x_2$ (si elles existent) |
2. Forme canonique§
2.1 Formule§
[!important] Forme canonique Tout trinôme $f(x) = ax^2 + bx + c$ s’écrit sous la forme : $$f(x) = a\left(x - \alpha\right)^2 + \beta$$ avec : $$\alpha = -\frac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad \beta = f(\alpha) = -\frac{\Delta}{4a}$$ où $\Delta = b^2 - 4ac$ est le discriminant.
Le point $S(\alpha;, \beta)$ est le sommet de la parabole.
2.2 Méthode de mise sous forme canonique§
[!example] Exemple : mettre $f(x) = 2x^2 - 12x + 7$ sous forme canonique Étape 1 : on identifie $a = 2$, $b = -12$, $c = 7$.
Étape 2 : on calcule $\alpha$ et $\beta$ : $$\alpha = -\frac{-12}{2 \times 2} = 3$$ $$\beta = f(3) = 2 \times 9 - 12 \times 3 + 7 = 18 - 36 + 7 = -11$$
Étape 3 : on écrit la forme canonique : $$f(x) = 2(x - 3)^2 - 11$$
Le sommet de la parabole est $S(3;, -11)$.
3. Le discriminant et les racines§
3.1 Discriminant§
[!important] Définition Le discriminant du trinôme $ax^2 + bx + c$ est le nombre : $$\Delta = b^2 - 4ac$$ Il détermine le nombre de solutions de l’équation $ax^2 + bx + c = 0$.
3.2 Résolution selon le signe de $\Delta$§
flowchart TD
A["Équation ax² + bx + c = 0"] --> B["Calculer Δ = b² - 4ac"]
B --> C{"Signe de Δ ?"}
C -->|"Δ > 0"| D["Deux racines distinctes"]
C -->|"Δ = 0"| E["Une racine double"]
C -->|"Δ < 0"| F["Aucune racine réelle"]
D --> G["x₁ = (-b - sqrt(Δ)) / 2a<br/>x₂ = (-b + sqrt(Δ)) / 2a"]
E --> H["x₀ = -b / 2a"]
F --> I["S = ensemble vide"]
G --> J["f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)"]
H --> K["f(x) = a(x - x₀)²"]
I --> L["f(x) ne se factorise pas<br/>dans R"]
3.3 Formules des racines§
[!important] Théorème Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ et $\Delta = b^2 - 4ac$.
Si $\Delta > 0$ : deux racines distinctes $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$
Si $\Delta = 0$ : une racine double $$x_0 = -\frac{b}{2a}$$
Si $\Delta < 0$ : pas de racine réelle
[!example] Exemple : résoudre $3x^2 - 5x + 2 = 0$ $a = 3$, $b = -5$, $c = 2$.
$$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 3 \times 2 = 25 - 24 = 1 > 0$$
Deux racines : $$x_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{6} = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ $$x_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{6} = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$$
Donc $S = \left{\frac{2}{3};, 1\right}$.
[!example] Exemple : résoudre $x^2 + 4x + 4 = 0$ $\Delta = 16 - 16 = 0$. Racine double : $x_0 = \frac{-4}{2} = -2$.
Donc $S = {-2}$.
[!example] Exemple : résoudre $x^2 + x + 1 = 0$ $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$. Pas de solution réelle.
$S = \emptyset$.
4. Somme et produit des racines§
4.1 Relations de Viète§
[!important] Théorème (Relations de Viète) Si $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $ax^2 + bx + c = 0$ ($\Delta \geq 0$), alors : $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$ $$x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}$$
[!tip] Utilité Ces relations permettent de vérifier rapidement des calculs ou de trouver un trinôme connaissant ses racines : $$f(x) = a\left[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2\right]$$
[!example] Exemple : trouver un trinôme ayant pour racines $3$ et $-5$ $x_1 + x_2 = 3 + (-5) = -2$ et $x_1 \cdot x_2 = 3 \times (-5) = -15$.
Un trinôme possible est : $f(x) = x^2 + 2x - 15$.
Vérification : $\Delta = 4 + 60 = 64$, $x = \frac{-2 \pm 8}{2}$, ce qui donne $3$ et $-5$.
5. Signe du trinôme§
5.1 Règle du signe§
[!important] Théorème (signe du trinôme) Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$.
- Si $\Delta < 0$ : $f(x)$ est du signe de $a$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
- Si $\Delta = 0$ : $f(x)$ est du signe de $a$ pour tout $x \neq x_0$, et $f(x_0) = 0$.
- Si $\Delta > 0$ : $f(x)$ est du signe de $a$ à l’extérieur des racines, et du signe opposé à $a$ entre les racines.
5.2 Tableaux de signes§
Cas $\Delta > 0$, $a > 0$ (parabole tournée vers le haut) :
| $x$ | $-\infty$ | $x_1$ | $x_2$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
Cas $\Delta > 0$, $a < 0$ (parabole tournée vers le bas) :
| $x$ | $-\infty$ | $x_1$ | $x_2$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |
[!tip] Astuce mnémotechnique « Le signe de $a$ à l’extérieur » : la lettre a et le mot extérieur commencent par des voyelles.
5.3 Schéma récapitulatif§
flowchart TD
A["Signe de ax² + bx + c"] --> B["Calculer Δ"]
B --> C{"Δ < 0"}
C -->|Oui| D["Toujours du signe de a"]
C -->|Non| E{"Δ = 0"}
E -->|Oui| F["Signe de a sauf en x₀ = -b/2a<br/>où f(x₀) = 0"]
E -->|Non| G["Δ > 0"]
G --> H["Signe de a à l'EXTÉRIEUR de x₁, x₂<br/>Signe opposé ENTRE x₁ et x₂"]
6. Factorisation du trinôme§
6.1 Formules de factorisation§
Selon la valeur de $\Delta$ :
- $\Delta > 0$ : $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$
- $\Delta = 0$ : $f(x) = a(x - x_0)^2$
- $\Delta < 0$ : pas de factorisation dans $\mathbb{R}$
[!example] Exemple : factoriser $f(x) = 2x^2 + x - 6$ $\Delta = 1 + 48 = 49 > 0$, donc $\sqrt{\Delta} = 7$.
$$x_1 = \frac{-1 - 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \qquad x_2 = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$
$$f(x) = 2(x + 2)\left(x - \frac{3}{2}\right) = (x + 2)(2x - 3)$$
[!tip] Simplification On peut distribuer le coefficient $a$ dans l’un des facteurs pour obtenir des coefficients entiers, comme montré ci-dessus.
7. Inéquations du second degré§
7.1 Méthode générale§
Pour résoudre $ax^2 + bx + c \geq 0$ (ou $\leq$, $>$, $<$) :
- Calculer $\Delta$.
- Déterminer les racines (si elles existent).
- Dresser le tableau de signes.
- Lire la solution sur le tableau.
[!example] Exemple : résoudre $-x^2 + 3x - 2 \geq 0$ $a = -1$, $b = 3$, $c = -2$.
$\Delta = 9 - 8 = 1 > 0$.
$$x_1 = \frac{-3 - 1}{-2} = 2 \qquad x_2 = \frac{-3 + 1}{-2} = 1$$
Donc les racines sont $1$ et $2$, avec $a = -1 < 0$.
Tableau de signes :
$x$ $-\infty$ $1$ $2$ $+\infty$ $-x^2 + 3x - 2$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$ Le trinôme est $\geq 0$ pour $x \in [1;, 2]$.
[!example] Exemple : résoudre $x^2 + 2x + 5 > 0$ $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$. Pas de racine réelle.
Comme $a = 1 > 0$ et $\Delta < 0$, le trinôme est strictement positif pour tout $x \in \mathbb{R}$.
L’ensemble solution est $S = \mathbb{R}$.
8. Variations et courbe du trinôme§
8.1 Tableau de variations§
Pour $f(x) = ax^2 + bx + c$, le sommet est $S\left(-\frac{b}{2a};, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$.
Si $a > 0$ :
| $x$ | $-\infty$ | $-\frac{b}{2a}$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $+\infty$ | $\searrow$ | $f\left(-\frac{b}{2a}\right)$ (minimum) | $\nearrow$ | $+\infty$ |
Si $a < 0$ :
| $x$ | $-\infty$ | $-\frac{b}{2a}$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $f\left(-\frac{b}{2a}\right)$ (maximum) | $\searrow$ | $-\infty$ |
8.2 Axe de symétrie§
La parabole admet un axe de symétrie vertical d’équation :
$$x = -\frac{b}{2a}$$
Cet axe passe par le sommet.
8.3 Intersections avec les axes§
- Axe des ordonnées : le point $(0;, c)$, c’est-à-dire $f(0) = c$.
- Axe des abscisses : les racines $x_1$ et $x_2$ (si $\Delta \geq 0$).
9. Exercices types corrigés§
Exercice 1 : Résolution complète§
Énoncé : Soit $f(x) = x^2 - 6x + 5$. a) Calculer le discriminant et les racines. b) Factoriser $f(x)$. c) Écrire la forme canonique. d) Dresser le tableau de signes. e) Résoudre $f(x) \leq 0$.
[!example] Correction a) $a = 1$, $b = -6$, $c = 5$. $$\Delta = 36 - 20 = 16 > 0$$ $$x_1 = \frac{6 - 4}{2} = 1 \qquad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5$$
b) $f(x) = (x - 1)(x - 5)$
c) $\alpha = -\frac{-6}{2} = 3$ et $\beta = f(3) = 9 - 18 + 5 = -4$. $$f(x) = (x - 3)^2 - 4$$
d) $a = 1 > 0$, donc positif à l’extérieur des racines :
$x$ $-\infty$ $1$ $5$ $+\infty$ $f(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$ e) $f(x) \leq 0$ pour $x \in [1;, 5]$.
Exercice 2 : Problème concret§
Énoncé : Un projectile est lancé verticalement. Sa hauteur (en mètres) en fonction du temps $t$ (en secondes) est donnée par $h(t) = -5t^2 + 30t + 2$. a) À quelle hauteur le projectile est-il lancé ? b) Quand atteint-il sa hauteur maximale ? Quelle est cette hauteur ? c) Quand retombe-t-il au sol ?
[!example] Correction a) La hauteur initiale est $h(0) = 2$ m.
b) Le sommet est atteint en $t = -\frac{30}{2 \times (-5)} = 3$ s. $h(3) = -5 \times 9 + 30 \times 3 + 2 = -45 + 90 + 2 = 47$ m. La hauteur maximale est $47$ m, atteinte à $t = 3$ s.
c) On résout $h(t) = 0$, soit $-5t^2 + 30t + 2 = 0$. $\Delta = 900 + 40 = 940$, $\sqrt{\Delta} = 2\sqrt{235}$. $$t = \frac{-30 \pm 2\sqrt{235}}{-10} = 3 \pm \frac{\sqrt{235}}{5}$$
On garde la valeur positive : $t = 3 + \frac{\sqrt{235}}{5} \approx 3 + 3{,}07 \approx 6{,}07$ s.
Le projectile retombe au sol après environ $6{,}07$ secondes.
Exercice 3 : Paramètre§
Énoncé : Pour quelles valeurs du paramètre $m$ l’équation $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ admet-elle deux solutions réelles distinctes ?
[!example] Correction On calcule le discriminant : $$\Delta = (-2m)^2 - 4 \times 1 \times (m + 2) = 4m^2 - 4m - 8$$
L’équation admet deux solutions distinctes si et seulement si $\Delta > 0$ : $$4m^2 - 4m - 8 > 0$$ $$m^2 - m - 2 > 0$$
On résout $m^2 - m - 2 = 0$ : $\Delta’ = 1 + 8 = 9$, $m_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1$, $m_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$.
Comme le coefficient de $m^2$ est positif, $m^2 - m - 2 > 0$ à l’extérieur des racines.
Donc $\Delta > 0$ pour $m \in ]-\infty;, -1[ \cup ]2;, +\infty[$.
Exercice 4 : Inéquation avec quotient§
Énoncé : Résoudre $\frac{x^2 - 4}{x^2 - x - 6} \geq 0$.
[!example] Correction Numérateur : $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$, racines $x = 2$ et $x = -2$.
Dénominateur : $x^2 - x - 6$, $\Delta = 1 + 24 = 25$, racines $x = \frac{1 - 5}{2} = -2$ et $x = \frac{1 + 5}{2} = 3$.
Donc $x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3)$. Valeurs interdites : $x \neq -2$ et $x \neq 3$.
On simplifie : $\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)(x-3)} = \frac{x-2}{x-3}$ pour $x \neq -2$.
Tableau de signes de $\frac{x-2}{x-3}$ :
$x$ $-\infty$ $2$ $3$ $+\infty$ $x - 2$ $-$ $0$ $+$ $+$ $x - 3$ $-$ $-$ $0$ $+$ Quotient $+$ $0$ $-$ $+$ Le quotient est $\geq 0$ sur $]-\infty;, 2] \cup ]3;, +\infty[$, mais on exclut $x = -2$.
$$S = ]-\infty;, -2[ \cup ]-2;, 2] \cup ]3;, +\infty[$$
10. À retenir§
[!tip] À retenir
- $\Delta = b^2 - 4ac$ détermine le nombre de racines : 2 si $\Delta > 0$, 1 si $\Delta = 0$, 0 si $\Delta < 0$.
- Formules des racines : $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
- Somme : $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$. Produit : $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$.
- Signe du trinôme : signe de $a$ à l’extérieur des racines.
- Le sommet de la parabole est en $x = -\frac{b}{2a}$ : c’est un minimum si $a > 0$, un maximum si $a < 0$.
- Pour les inéquations du second degré : discriminant, racines, tableau de signes, lecture.
Voir aussi : Calcul Algébrique | Fonctions | Dérivation | Ensembles et Nombres