Second Degré

L’étude des trinômes du second degré est un pilier de l’algèbre au lycée. Elle permet de résoudre des équations, d’étudier des signes et d’analyser des paraboles.

1. Le trinôme du second degré§

1.1 Définition§

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$

où $a$, $b$, $c$ sont des réels avec $a \neq 0$.

Sa courbe représentative est une parabole :

• tournée vers le haut si $a > 0$
• tournée vers le bas si $a < 0$

1.2 Les trois formes du trinôme§

Forme	Expression	Utilité principale
Développée	$f(x) = ax^2 + bx + c$	Lecture directe des coefficients
Canonique	$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$	Sommet de la parabole $(\alpha;, \beta)$
Factorisée	$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$	Racines $x_1$ et $x_2$ (si elles existent)

2. Forme canonique§

2.1 Formule§

$$f(x) = a\left(x - \alpha\right)^2 + \beta$$

avec :

$$\alpha = -\frac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad \beta = f(\alpha) = -\frac{\Delta}{4a}$$

où $\Delta = b^2 - 4ac$ est le discriminant.

Le point $S(\alpha;, \beta)$ est le sommet de la parabole.

2.2 Méthode de mise sous forme canonique§

$$\alpha = -\frac{-12}{2 \times 2} = 3$$

$$\beta = f(3) = 2 \times 9 - 12 \times 3 + 7 = 18 - 36 + 7 = -11$$

Étape 3 : on écrit la forme canonique :

$$f(x) = 2(x - 3)^2 - 11$$

Le sommet de la parabole est $S(3;, -11)$.

3. Le discriminant et les racines§

3.1 Discriminant§

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

Il détermine le nombre de solutions de l’équation $ax^2 + bx + c = 0$.

3.2 Résolution selon le signe de $\Delta$§

flowchart TD
    A["Équation ax² + bx + c = 0"] --> B["Calculer Δ = b² - 4ac"]
    B --> C{"Signe de Δ ?"}
    C -->|"Δ > 0"| D["Deux racines distinctes"]
    C -->|"Δ = 0"| E["Une racine double"]
    C -->|"Δ < 0"| F["Aucune racine réelle"]

    D --> G["x₁ = (-b - sqrt(Δ)) / 2a<br/>x₂ = (-b + sqrt(Δ)) / 2a"]
    E --> H["x₀ = -b / 2a"]
    F --> I["S = ensemble vide"]

    G --> J["f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)"]
    H --> K["f(x) = a(x - x₀)²"]
    I --> L["f(x) ne se factorise pas<br/>dans R"]

3.3 Formules des racines§

$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$

• Si $\Delta = 0$ : une racine double

$$x_0 = -\frac{b}{2a}$$

• Si $\Delta < 0$ : pas de racine réelle

$$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 3 \times 2 = 25 - 24 = 1 > 0$$

Deux racines :

$$x_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{6} = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

$$x_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{6} = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$$

Donc S = \left{\frac{2}{3};, 1\right}.

4. Somme et produit des racines§

4.1 Relations de Viète§

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$

$$x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}$$ $$f(x) = a\left[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2\right]$$

5. Signe du trinôme§

5.1 Règle du signe§

5.2 Tableaux de signes§

Cas $\Delta > 0$, $a > 0$ (parabole tournée vers le haut) :

$x$	$-\infty$		$x_1$		$x_2$		$+\infty$
$f(x)$	$+$		$0$	$-$	$0$		$+$

Cas $\Delta > 0$, $a < 0$ (parabole tournée vers le bas) :

$x$	$-\infty$		$x_1$		$x_2$		$+\infty$
$f(x)$	$-$		$0$	$+$	$0$		$-$

5.3 Schéma récapitulatif§

flowchart TD
    A["Signe de ax² + bx + c"] --> B["Calculer Δ"]
    B --> C{"Δ < 0"}
    C -->|Oui| D["Toujours du signe de a"]
    C -->|Non| E{"Δ = 0"}
    E -->|Oui| F["Signe de a sauf en x₀ = -b/2a<br/>où f(x₀) = 0"]
    E -->|Non| G["Δ > 0"]
    G --> H["Signe de a à l'EXTÉRIEUR de x₁, x₂<br/>Signe opposé ENTRE x₁ et x₂"]

6. Factorisation du trinôme§

6.1 Formules de factorisation§

Selon la valeur de $\Delta$ :

• $\Delta > 0$ : $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$
• $\Delta = 0$ : $f(x) = a(x - x_0)^2$
• $\Delta < 0$ : pas de factorisation dans $\mathbb{R}$

$$x_1 = \frac{-1 - 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \qquad x_2 = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$

$$f(x) = 2(x + 2)\left(x - \frac{3}{2}\right) = (x + 2)(2x - 3)$$

7. Inéquations du second degré§

7.1 Méthode générale§

Pour résoudre $ax^2 + bx + c \geq 0$ (ou $\leq$, $>$, $<$) :

1. Calculer $\Delta$.
2. Déterminer les racines (si elles existent).
3. Dresser le tableau de signes.
4. Lire la solution sur le tableau.

$$x_1 = \frac{-3 - 1}{-2} = 2 \qquad x_2 = \frac{-3 + 1}{-2} = 1$$

Donc les racines sont $1$ et $2$, avec $a = -1 < 0$.

Tableau de signes :

$x$	$-\infty$		$1$		$2$		$+\infty$
$-x^2 + 3x - 2$	$-$		$0$	$+$	$0$		$-$

Le trinôme est $\geq 0$ pour $x \in [1;, 2]$.

8. Variations et courbe du trinôme§

8.1 Tableau de variations§

Pour $f(x) = ax^2 + bx + c$, le sommet est $S\left(-\frac{b}{2a};, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$.

Si $a > 0$ :

$x$	$-\infty$		$-\frac{b}{2a}$		$+\infty$
$f(x)$	$+\infty$	$\searrow$	$f\left(-\frac{b}{2a}\right)$ (minimum)	$\nearrow$	$+\infty$

Si $a < 0$ :

$x$	$-\infty$		$-\frac{b}{2a}$		$+\infty$
$f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$f\left(-\frac{b}{2a}\right)$ (maximum)	$\searrow$	$-\infty$

8.2 Axe de symétrie§

La parabole admet un axe de symétrie vertical d’équation :

$$x = -\frac{b}{2a}$$

Cet axe passe par le sommet.

8.3 Intersections avec les axes§

• Axe des ordonnées : le point $(0;, c)$, c’est-à-dire $f(0) = c$.
• Axe des abscisses : les racines $x_1$ et $x_2$ (si $\Delta \geq 0$).

9. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Résolution complète§

Énoncé : Soit $f(x) = x^2 - 6x + 5$. a) Calculer le discriminant et les racines. b) Factoriser $f(x)$. c) Écrire la forme canonique. d) Dresser le tableau de signes. e) Résoudre $f(x) \leq 0$.

$$\Delta = 36 - 20 = 16 > 0$$

$$x_1 = \frac{6 - 4}{2} = 1 \qquad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5$$

b) $f(x) = (x - 1)(x - 5)$

c) $\alpha = -\frac{-6}{2} = 3$ et $\beta = f(3) = 9 - 18 + 5 = -4$.

$$f(x) = (x - 3)^2 - 4$$

d) $a = 1 > 0$, donc positif à l’extérieur des racines :

$x$	$-\infty$		$1$		$5$		$+\infty$
$f(x)$	$+$		$0$	$-$	$0$		$+$

e) $f(x) \leq 0$ pour $x \in [1;, 5]$.

Exercice 2 : Problème concret§

Énoncé : Un projectile est lancé verticalement. Sa hauteur (en mètres) en fonction du temps $t$ (en secondes) est donnée par $h(t) = -5t^2 + 30t + 2$. a) À quelle hauteur le projectile est-il lancé ? b) Quand atteint-il sa hauteur maximale ? Quelle est cette hauteur ? c) Quand retombe-t-il au sol ?

$$t = \frac{-30 \pm 2\sqrt{235}}{-10} = 3 \pm \frac{\sqrt{235}}{5}$$

On garde la valeur positive : $t = 3 + \frac{\sqrt{235}}{5} \approx 3 + 3{,}07 \approx 6{,}07$ s.

Le projectile retombe au sol après environ $6{,}07$ secondes.

Exercice 3 : Paramètre§

Énoncé : Pour quelles valeurs du paramètre $m$ l’équation $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ admet-elle deux solutions réelles distinctes ?

$$\Delta = (-2m)^2 - 4 \times 1 \times (m + 2) = 4m^2 - 4m - 8$$

L’équation admet deux solutions distinctes si et seulement si $\Delta > 0$ :

$$4m^2 - 4m - 8 > 0$$

$$m^2 - m - 2 > 0$$

On résout $m^2 - m - 2 = 0$ : $\Delta' = 1 + 8 = 9$, $m_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1$, $m_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$.

Comme le coefficient de $m^2$ est positif, $m^2 - m - 2 > 0$ à l’extérieur des racines.

Donc $\Delta > 0$ pour $m \in ]-\infty;, -1[ \cup ]2;, +\infty[$.

Exercice 4 : Inéquation avec quotient§

Énoncé : Résoudre $\frac{x^2 - 4}{x^2 - x - 6} \geq 0$.

$$S = ]-\infty;, -2[ \cup ]-2;, 2] \cup ]3;, +\infty[$$

10. À retenir§

Voir aussi : Calcul Algébrique | Fonctions | Dérivation | Ensembles et Nombres