Fonctions d'une Variable Réelle
L’étude rigoureuse des fonctions d’une variable réelle constitue le coeur de l’analyse en Math Sup. On formalise ici les notions de limite, continuité et dérivabilité vues au lycée avec la rigueur $\varepsilon$-$\delta$.
[!quote] Prérequis Fonctions, Limites et Continuité, Dérivation, Ensembles et Applications
Limites de fonctions§
Définition formelle§
[!abstract] Définition — Limite finie en un point Soit $f : I \to \mathbb{R}$ et $a \in \bar{I}$ (adhérence de $I$). On dit que $f$ admet la limite $\ell \in \mathbb{R}$ en $a$ si : $$\forall \varepsilon > 0, , \exists \delta > 0, , \forall x \in I, \quad |x - a| < \delta \implies |f(x) - \ell| < \varepsilon$$
[!abstract] Définition — Limite en $+\infty$ $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell \iff \forall \varepsilon > 0, , \exists A > 0, , \forall x \geq A, \quad |f(x) - \ell| < \varepsilon$$
[!abstract] Définition — Limite infinie $$\lim_{x \to a} f(x) = +\infty \iff \forall M > 0, , \exists \delta > 0, , \forall x \in I, \quad |x - a| < \delta \implies f(x) > M$$
Propriétés§
- Unicité : si la limite existe, elle est unique
- Caractérisation séquentielle : $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ ssi pour toute suite $(x_n)$ convergeant vers $a$ (avec $x_n \neq a$), on a $\lim f(x_n) = \ell$
[!tip] La caractérisation séquentielle est très utile Pour prouver qu’une limite existe, on utilise la définition $\varepsilon$-$\delta$. Pour montrer qu’une limite n’existe pas, on exhibe deux suites tendant vers $a$ dont les images tendent vers des limites différentes.
Opérations sur les limites§
Les limites sont compatibles avec les opérations algébriques (somme, produit, quotient, composition) sauf dans les formes indéterminées :
$$+\infty - \infty, \quad 0 \times \infty, \quad \frac{\infty}{\infty}, \quad \frac{0}{0}, \quad 0^0, \quad 1^{\infty}, \quad \infty^0$$
Continuité§
Définition§
[!abstract] Définition $f : I \to \mathbb{R}$ est continue en $a \in I$ si : $$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$ C’est-à-dire : $\forall \varepsilon > 0, , \exists \delta > 0, , \forall x \in I, \quad |x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \varepsilon$
$f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$.
Prolongement par continuité§
Si $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ existe mais $f$ n’est pas définie en $a$, on peut définir $\tilde{f}(a) = \ell$ pour obtenir une fonction continue. C’est le prolongement par continuité.
Théorèmes fondamentaux§
[!abstract] Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) Si $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ est continue et si $f(a) \leq k \leq f(b)$ (ou $f(b) \leq k \leq f(a)$), alors il existe $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.
flowchart TD
A["f continue sur un segment [a,b]"] --> B["f(a) et f(b) de signes opposés"]
B --> C["Par le TVI :<br/>∃ c ∈ ]a,b[ tel que f(c) = 0"]
C --> D{"f strictement monotone ?"}
D -->|Oui| E["c est UNIQUE<br/>(bijection)"]
D -->|Non| F["c existe mais<br/>pas forcément unique"]
[!abstract] Théorème — Image d’un segment Si $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ est continue, alors $f([a, b])$ est un segment $[m, M]$ où :
- $m = \min_{[a,b]} f$ et $M = \max_{[a,b]} f$
En particulier, $f$ est bornée et atteint ses bornes.
[!abstract] Théorème de la bijection Si $f : I \to \mathbb{R}$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $f(I)$, et $f^{-1}$ est continue et strictement monotone de même sens.
Continuité uniforme§
[!abstract] Définition $f : I \to \mathbb{R}$ est uniformément continue sur $I$ si : $$\forall \varepsilon > 0, , \exists \delta > 0, , \forall (x, y) \in I^2, \quad |x - y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \varepsilon$$
La différence avec la continuité simple : $\delta$ ne dépend pas du point, mais seulement de $\varepsilon$.
[!abstract] Théorème de Heine Toute fonction continue sur un segment $[a, b]$ est uniformément continue sur $[a, b]$.
[!warning] Attention $f(x) = x^2$ est continue sur $\mathbb{R}$ mais pas uniformément continue sur $\mathbb{R}$. $f(x) = \sin(1/x)$ est continue sur $]0, 1]$ mais pas uniformément continue.
Dérivabilité§
Définition rigoureuse§
[!abstract] Définition $f : I \to \mathbb{R}$ est dérivable en $a \in I$ si la limite suivante existe (et est finie) : $$f’(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$
Classes de régularité§
graph LR
A["Continue<br/>C⁰"] --> B["Dérivable"]
B --> C["Dérivée continue<br/>C¹"]
C --> D["k fois dérivable<br/>à dérivées continues<br/>Cᵏ"]
D --> E["Indéfiniment<br/>dérivable<br/>C∞"]
style A fill:#FFCCBC
style B fill:#FFE0B2
style C fill:#FFF9C4
style D fill:#C8E6C9
style E fill:#B3E5FC
[!warning] Implications strictes
- Dérivable $\implies$ continue (mais la réciproque est fausse : $|x|$)
- Dérivable $\not\implies$ dérivée continue (ex: $x^2 \sin(1/x)$)
- $C^1 \implies$ dérivable, mais dérivable $\not\implies$ $C^1$
Dérivées des fonctions composées§
Si $f$ est dérivable en $a$ et $g$ dérivable en $f(a)$, alors $g \circ f$ est dérivable en $a$ et :
$$(g \circ f)‘(a) = g’(f(a)) \cdot f’(a)$$
Dérivée de la réciproque§
Si $f$ est bijective et dérivable en $a$ avec $f’(a) \neq 0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $f(a)$ et :
$$(f^{-1})‘(f(a)) = \frac{1}{f’(a)}$$
Théorèmes fondamentaux du calcul différentiel§
Théorème de Rolle§
[!abstract] Théorème de Rolle Si $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ est :
- continue sur $[a, b]$
- dérivable sur $]a, b[$
- $f(a) = f(b)$
Alors il existe $c \in ]a, b[$ tel que $f’(c) = 0$.
Théorème des accroissements finis (TAF)§
[!abstract] Théorème des accroissements finis (Lagrange) Si $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ est continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$, alors il existe $c \in ]a, b[$ tel que : $$f(b) - f(a) = f’(c)(b - a)$$
Interprétation géométrique : il existe un point où la tangente est parallèle à la sécante $(A, B)$.
Inégalité des accroissements finis§
[!abstract] Corollaire Si $|f’(x)| \leq M$ pour tout $x \in ]a, b[$, alors : $$|f(b) - f(a)| \leq M |b - a|$$
[!tip] Applications du TAF
- Lien dérivée-monotonie : $f’ \geq 0$ sur $I$ $\iff$ $f$ croissante sur $I$
- Dérivée nulle : $f’ = 0$ sur $I$ $\iff$ $f$ constante sur $I$
- Majoration d’erreurs et encadrements
Fonctions lipschitziennes§
[!abstract] Définition $f : I \to \mathbb{R}$ est $k$-lipschitzienne ($k > 0$) si : $$\forall (x, y) \in I^2, \quad |f(x) - f(y)| \leq k |x - y|$$
graph TD
A["Contractante<br/>k < 1"] --> B["Lipschitzienne"]
B --> C["Uniformément continue"]
C --> D["Continue"]
style A fill:#B3E5FC
style B fill:#C8E6C9
style C fill:#FFF9C4
style D fill:#FFCCBC
[!tip] Critère pratique Si $f$ est dérivable et $|f’| \leq k$ sur $I$, alors $f$ est $k$-lipschitzienne (par l’IAF).
Convexité§
Définition§
[!abstract] Définition $f : I \to \mathbb{R}$ est convexe si pour tous $x, y \in I$ et $t \in [0, 1]$ : $$f(tx + (1-t)y) \leq tf(x) + (1-t)f(y)$$
Interprétation : la courbe est en dessous de toute corde.
Caractérisations§
| Condition | Convexe | Strictement convexe |
|---|---|---|
| $f$ dérivable | $f’$ croissante | $f’$ strictement croissante |
| $f$ deux fois dérivable | $f” \geq 0$ | $f” > 0$ (suffisant) |
Inégalités classiques issues de la convexité§
[!important] Inégalité de Jensen Si $f$ est convexe et $\lambda_1 + \cdots + \lambda_n = 1$ avec $\lambda_i \geq 0$ : $$f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i\right) \leq \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i)$$
Applications : inégalité arithmético-géométrique, inégalité de Young, Hölder.
Formules de Taylor§
Taylor-Lagrange§
[!abstract] Théorème — Taylor avec reste de Lagrange Si $f \in C^n([a, b])$ et $f^{(n+1)}$ existe sur $]a, b[$, alors il existe $c \in ]a, b[$ tel que : $$f(b) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}$$
Taylor-Young§
[!abstract] Théorème — Taylor-Young Si $f$ est $n$ fois dérivable en $a$, alors au voisinage de $a$ : $$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + o((x-a)^n)$$
C’est le lien avec les Développements Limités.
Taylor avec reste intégral§
[!abstract] Théorème — Taylor avec reste intégral Si $f \in C^{n+1}([a, b])$, alors : $$f(b) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k + \int_a^b \frac{(b-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) , dt$$
Le reste intégral est souvent le plus pratique pour les majorations fines.
Exercices types§
[!example] Exercice 1 — Continuité uniforme Montrer que $f(x) = \sqrt{x}$ est uniformément continue sur $[0, +\infty[$.
Idée : Sur $[0, 1]$ par Heine ; sur $[1, +\infty[$, $f$ est $\frac{1}{2}$-lipschitzienne car $|f’(x)| = \frac{1}{2\sqrt{x}} \leq \frac{1}{2}$.
[!example] Exercice 2 — Application du TAF Montrer que pour tout $x > 0$ : $\dfrac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x$.
Idée : Appliquer l’IAF à $f(t) = \ln(1+t)$ sur $[0, x]$ avec $f’(t) = \frac{1}{1+t}$.
[!example] Exercice 3 — Convexité Montrer l’inégalité arithmético-géométrique : $\sqrt{ab} \leq \dfrac{a+b}{2}$ pour $a, b > 0$.
Idée : Appliquer l’inégalité de Jensen à $f(x) = -\ln(x)$ (convexe).
À retenir§
[!important] Les points clés
- La caractérisation séquentielle est l’outil principal pour les limites
- Heine : continue sur un segment $\implies$ uniformément continue
- TVI : existence de solutions ; bijection : unicité si strictement monotone
- TAF : le pont entre $f’$ et le comportement global de $f$
- Taylor : trois formes selon l’usage (Young pour les DL, Lagrange pour les majorations, intégral pour la précision)
- Hiérarchie : contractante $\subset$ lipschitzienne $\subset$ unif. continue $\subset$ continue