L’étude rigoureuse des fonctions d’une variable réelle constitue le coeur de l’analyse en Math Sup. On formalise ici les notions de limite, continuité et dérivabilité vues au lycée avec la rigueur ε \varepsilon ε δ \delta δ
Limites de fonctions§
Définition — Limite finie en un point Soit f : I → R f : I \to \mathbb{R} f : I → R a ∈ I ˉ a \in \bar{I} a ∈ I ˉ I I I f f f limite ℓ ∈ R \ell \in \mathbb{R} ℓ ∈ R a a a
∀ ε > 0 , , ∃ δ > 0 , , ∀ x ∈ I , ∣ x − a ∣ < δ ⟹ ∣ f ( x ) − ℓ ∣ < ε \forall \varepsilon > 0, , \exists \delta > 0, , \forall x \in I, \quad |x - a| < \delta \implies |f(x) - \ell| < \varepsilon ∀ ε > 0 ,, ∃ δ > 0 ,, ∀ x ∈ I , ∣ x − a ∣ < δ ⟹ ∣ f ( x ) − ℓ ∣ < ε Définition — Limite en + ∞ +\infty + ∞
lim x → + ∞ f ( x ) = ℓ ⟺ ∀ ε > 0 , , ∃ A > 0 , , ∀ x ≥ A , ∣ f ( x ) − ℓ ∣ < ε \lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell \iff \forall \varepsilon > 0, , \exists A > 0, , \forall x \geq A, \quad |f(x) - \ell| < \varepsilon x → + ∞ lim f ( x ) = ℓ ⟺ ∀ ε > 0 ,, ∃ A > 0 ,, ∀ x ≥ A , ∣ f ( x ) − ℓ ∣ < ε Définition — Limite infinie
lim x → a f ( x ) = + ∞ ⟺ ∀ M > 0 , , ∃ δ > 0 , , ∀ x ∈ I , ∣ x − a ∣ < δ ⟹ f ( x ) > M \lim_{x \to a} f(x) = +\infty \iff \forall M > 0, , \exists \delta > 0, , \forall x \in I, \quad |x - a| < \delta \implies f(x) > M x → a lim f ( x ) = + ∞ ⟺ ∀ M > 0 ,, ∃ δ > 0 ,, ∀ x ∈ I , ∣ x − a ∣ < δ ⟹ f ( x ) > M Propriétés§
Unicité : si la limite existe, elle est uniqueCaractérisation séquentielle : lim x → a f ( x ) = ℓ \lim_{x \to a} f(x) = \ell lim x → a f ( x ) = ℓ ( x n ) (x_n) ( x n ) a a a x n ≠ a x_n \neq a x n = a lim f ( x n ) = ℓ \lim f(x_n) = \ell lim f ( x n ) = ℓ
La caractérisation séquentielle est très utile Pour prouver qu’une limite existe, on utilise la définition ε \varepsilon ε δ \delta δ montrer qu’une limite n’existe pas , on exhibe deux suites tendant vers a a a
Opérations sur les limites§
Les limites sont compatibles avec les opérations algébriques (somme, produit, quotient, composition) sauf dans les formes indéterminées :
+ ∞ − ∞ , 0 × ∞ , ∞ ∞ , 0 0 , 0 0 , 1 ∞ , ∞ 0 +\infty - \infty, \quad 0 \times \infty, \quad \frac{\infty}{\infty}, \quad \frac{0}{0}, \quad 0^0, \quad 1^{\infty}, \quad \infty^0 + ∞ − ∞ , 0 × ∞ , ∞ ∞ , 0 0 , 0 0 , 1 ∞ , ∞ 0 Continuité§
Définition§
f : I → R f : I \to \mathbb{R} f : I → R continue en a ∈ I a \in I a ∈ I
lim x → a f ( x ) = f ( a ) \lim_{x \to a} f(x) = f(a) x → a lim f ( x ) = f ( a )
C’est-à-dire : ∀ ε > 0 , , ∃ δ > 0 , , ∀ x ∈ I , ∣ x − a ∣ < δ ⟹ ∣ f ( x ) − f ( a ) ∣ < ε \forall \varepsilon > 0, , \exists \delta > 0, , \forall x \in I, \quad |x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \varepsilon ∀ ε > 0 ,, ∃ δ > 0 ,, ∀ x ∈ I , ∣ x − a ∣ < δ ⟹ ∣ f ( x ) − f ( a ) ∣ < ε
f f f continue sur I I I I I I
Prolongement par continuité§
Si lim x → a f ( x ) = ℓ \lim_{x \to a} f(x) = \ell lim x → a f ( x ) = ℓ f f f a a a f ~ ( a ) = ℓ \tilde{f}(a) = \ell f ~ ( a ) = ℓ prolongement par continuité .
Théorèmes fondamentaux§
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) Si f : [ a , b ] → R f : [a, b] \to \mathbb{R} f : [ a , b ] → R continue et si f ( a ) ≤ k ≤ f ( b ) f(a) \leq k \leq f(b) f ( a ) ≤ k ≤ f ( b ) f ( b ) ≤ k ≤ f ( a ) f(b) \leq k \leq f(a) f ( b ) ≤ k ≤ f ( a ) c ∈ [ a , b ] c \in [a, b] c ∈ [ a , b ] f ( c ) = k f(c) = k f ( c ) = k
flowchart TD
A["f continue sur un segment [a,b]"] --> B["f(a) et f(b) de signes opposés"]
B --> C["Par le TVI :<br/>∃ c ∈ ]a,b[ tel que f(c) = 0"]
C --> D{"f strictement monotone ?"}
D -->|Oui| E["c est UNIQUE<br/>(bijection)"]
D -->|Non| F["c existe mais<br/>pas forcément unique"]
Théorème — Image d’un segment Si f : [ a , b ] → R f : [a, b] \to \mathbb{R} f : [ a , b ] → R f ( [ a , b ] ) f([a, b]) f ([ a , b ]) segment [ m , M ] [m, M] [ m , M ]
m = min [ a , b ] f m = \min_{[a,b]} f m = min [ a , b ] f M = max [ a , b ] f M = \max_{[a,b]} f M = max [ a , b ] f
En particulier, f f f bornée et atteint ses bornes.
Si f : I → R f : I \to \mathbb{R} f : I → R continue et strictement monotone sur un intervalle I I I f f f bijection de I I I f ( I ) f(I) f ( I ) f − 1 f^{-1} f − 1
f : I → R f : I \to \mathbb{R} f : I → R uniformément continue sur I I I
∀ ε > 0 , , ∃ δ > 0 , , ∀ ( x , y ) ∈ I 2 , ∣ x − y ∣ < δ ⟹ ∣ f ( x ) − f ( y ) ∣ < ε \forall \varepsilon > 0, , \exists \delta > 0, , \forall (x, y) \in I^2, \quad |x - y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \varepsilon ∀ ε > 0 ,, ∃ δ > 0 ,, ∀ ( x , y ) ∈ I 2 , ∣ x − y ∣ < δ ⟹ ∣ f ( x ) − f ( y ) ∣ < ε La différence avec la continuité simple : δ \delta δ pas du point, mais seulement de ε \varepsilon ε
Toute fonction continue sur un segment [ a , b ] [a, b] [ a , b ] uniformément continue sur [ a , b ] [a, b] [ a , b ]
f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f ( x ) = x 2 R \mathbb{R} R pas uniformément continue sur R \mathbb{R} R f ( x ) = sin ( 1 / x ) f(x) = \sin(1/x) f ( x ) = sin ( 1/ x ) ] 0 , 1 ] ]0, 1] ] 0 , 1 ]
Dérivabilité§
Définition rigoureuse§
f : I → R f : I \to \mathbb{R} f : I → R dérivable en a ∈ I a \in I a ∈ I
f ′ ( a ) = lim h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h = lim x → a f ( x ) − f ( a ) x − a f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} f ′ ( a ) = h → 0 lim h f ( a + h ) − f ( a ) = x → a lim x − a f ( x ) − f ( a ) Classes de régularité§
graph LR
A["Continue<br/>C⁰"] --> B["Dérivable"]
B --> C["Dérivée continue<br/>C¹"]
C --> D["k fois dérivable<br/>à dérivées continues<br/>Cᵏ"]
D --> E["Indéfiniment<br/>dérivable<br/>C∞"]
style A fill:#FFCCBC
style B fill:#FFE0B2
style C fill:#FFF9C4
style D fill:#C8E6C9
style E fill:#B3E5FC
Dérivable ⟹ \implies ⟹ fausse : ∣ x ∣ |x| ∣ x ∣
Dérivable ̸ ⟹ \not\implies ⟹ x 2 sin ( 1 / x ) x^2 \sin(1/x) x 2 sin ( 1/ x )
C 1 ⟹ C^1 \implies C 1 ⟹ ̸ ⟹ \not\implies ⟹ C 1 C^1 C 1
Dérivées des fonctions composées§
Si f f f a a a g g g f ( a ) f(a) f ( a ) g ∘ f g \circ f g ∘ f a a a
( g ∘ f ) ′ ( a ) = g ′ ( f ( a ) ) ⋅ f ′ ( a ) (g \circ f)'(a) = g'(f(a)) \cdot f'(a) ( g ∘ f ) ′ ( a ) = g ′ ( f ( a )) ⋅ f ′ ( a ) Dérivée de la réciproque§
Si f f f a a a f ′ ( a ) ≠ 0 f'(a) \neq 0 f ′ ( a ) = 0 f − 1 f^{-1} f − 1 f ( a ) f(a) f ( a )
( f − 1 ) ′ ( f ( a ) ) = 1 f ′ ( a ) (f^{-1})'(f(a)) = \frac{1}{f'(a)} ( f − 1 ) ′ ( f ( a )) = f ′ ( a ) 1 Théorèmes fondamentaux du calcul différentiel§
Théorème de Rolle§
Si f : [ a , b ] → R f : [a, b] \to \mathbb{R} f : [ a , b ] → R
continue sur [ a , b ] [a, b] [ a , b ]
dérivable sur ] a , b [ ]a, b[ ] a , b [
f ( a ) = f ( b ) f(a) = f(b) f ( a ) = f ( b )
Alors il existe c ∈ ] a , b [ c \in ]a, b[ c ∈ ] a , b [ f ′ ( c ) = 0 f'(c) = 0 f ′ ( c ) = 0
Théorème des accroissements finis (TAF)§
Théorème des accroissements finis (Lagrange) Si f : [ a , b ] → R f : [a, b] \to \mathbb{R} f : [ a , b ] → R [ a , b ] [a, b] [ a , b ] ] a , b [ ]a, b[ ] a , b [ c ∈ ] a , b [ c \in ]a, b[ c ∈ ] a , b [
f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( c ) ( b − a ) f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( c ) ( b − a ) Interprétation géométrique : il existe un point où la tangente est parallèle à la sécante ( A , B ) (A, B) ( A , B )
Inégalité des accroissements finis§
Si ∣ f ′ ( x ) ∣ ≤ M |f'(x)| \leq M ∣ f ′ ( x ) ∣ ≤ M x ∈ ] a , b [ x \in ]a, b[ x ∈ ] a , b [
∣ f ( b ) − f ( a ) ∣ ≤ M ∣ b − a ∣ |f(b) - f(a)| \leq M |b - a| ∣ f ( b ) − f ( a ) ∣ ≤ M ∣ b − a ∣
Lien dérivée-monotonie : f ′ ≥ 0 f' \geq 0 f ′ ≥ 0 I I I ⟺ \iff ⟺ f f f I I I Dérivée nulle : f ′ = 0 f' = 0 f ′ = 0 I I I ⟺ \iff ⟺ f f f I I I Majoration d’erreurs et encadrements
Fonctions lipschitziennes§
f : I → R f : I \to \mathbb{R} f : I → R k k k k > 0 k > 0 k > 0
∀ ( x , y ) ∈ I 2 , ∣ f ( x ) − f ( y ) ∣ ≤ k ∣ x − y ∣ \forall (x, y) \in I^2, \quad |f(x) - f(y)| \leq k |x - y| ∀ ( x , y ) ∈ I 2 , ∣ f ( x ) − f ( y ) ∣ ≤ k ∣ x − y ∣ graph TD
A["Contractante<br/>k < 1"] --> B["Lipschitzienne"]
B --> C["Uniformément continue"]
C --> D["Continue"]
style A fill:#B3E5FC
style B fill:#C8E6C9
style C fill:#FFF9C4
style D fill:#FFCCBC
Si f f f ∣ f ′ ∣ ≤ k |f'| \leq k ∣ f ′ ∣ ≤ k I I I f f f k k k
Convexité§
Définition§
f : I → R f : I \to \mathbb{R} f : I → R convexe si pour tous x , y ∈ I x, y \in I x , y ∈ I t ∈ [ 0 , 1 ] t \in [0, 1] t ∈ [ 0 , 1 ]
f ( t x + ( 1 − t ) y ) ≤ t f ( x ) + ( 1 − t ) f ( y ) f(tx + (1-t)y) \leq tf(x) + (1-t)f(y) f ( t x + ( 1 − t ) y ) ≤ t f ( x ) + ( 1 − t ) f ( y ) Interprétation : la courbe est en dessous de toute corde.
Caractérisations§
Condition Convexe Strictement convexe f f f f ′ f' f ′ f ′ f' f ′ f f f f ′ ′ ≥ 0 f'' \geq 0 f ′′ ≥ 0 f ′ ′ > 0 f'' > 0 f ′′ > 0
Inégalités classiques issues de la convexité§
Si f f f λ 1 + ⋯ + λ n = 1 \lambda_1 + \cdots + \lambda_n = 1 λ 1 + ⋯ + λ n = 1 λ i ≥ 0 \lambda_i \geq 0 λ i ≥ 0
f ( ∑ i = 1 n λ i x i ) ≤ ∑ i = 1 n λ i f ( x i ) f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i\right) \leq \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i) f ( i = 1 ∑ n λ i x i ) ≤ i = 1 ∑ n λ i f ( x i ) Applications : inégalité arithmético-géométrique, inégalité de Young, Hölder.
Taylor-Lagrange§
Théorème — Taylor avec reste de Lagrange Si f ∈ C n ( [ a , b ] ) f \in C^n([a, b]) f ∈ C n ([ a , b ]) f ( n + 1 ) f^{(n+1)} f ( n + 1 ) ] a , b [ ]a, b[ ] a , b [ c ∈ ] a , b [ c \in ]a, b[ c ∈ ] a , b [
f ( b ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! ( b − a ) k + f ( n + 1 ) ( c ) ( n + 1 ) ! ( b − a ) n + 1 f(b) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1} f ( b ) = k = 0 ∑ n k ! f ( k ) ( a ) ( b − a ) k + ( n + 1 )! f ( n + 1 ) ( c ) ( b − a ) n + 1 Taylor-Young§
Si f f f n n n a a a a a a
f ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k + o ( ( x − a ) n ) f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + o((x-a)^n) f ( x ) = k = 0 ∑ n k ! f ( k ) ( a ) ( x − a ) k + o (( x − a ) n ) C’est le lien avec les Développements Limités .
Taylor avec reste intégral§
Théorème — Taylor avec reste intégral Si f ∈ C n + 1 ( [ a , b ] ) f \in C^{n+1}([a, b]) f ∈ C n + 1 ([ a , b ])
f ( b ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! ( b − a ) k + ∫ a b ( b − t ) n n ! f ( n + 1 ) ( t ) , d t f(b) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k + \int_a^b \frac{(b-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) , dt f ( b ) = k = 0 ∑ n k ! f ( k ) ( a ) ( b − a ) k + ∫ a b n ! ( b − t ) n f ( n + 1 ) ( t ) , d t Le reste intégral est souvent le plus pratique pour les majorations fines .
Exercices types§
Exercice 1 — Continuité uniforme Montrer que f ( x ) = x f(x) = \sqrt{x} f ( x ) = x [ 0 , + ∞ [ [0, +\infty[ [ 0 , + ∞ [
Idée : Sur [ 0 , 1 ] [0, 1] [ 0 , 1 ] [ 1 , + ∞ [ [1, +\infty[ [ 1 , + ∞ [ f f f 1 2 \frac{1}{2} 2 1 ∣ f ′ ( x ) ∣ = 1 2 x ≤ 1 2 |f'(x)| = \frac{1}{2\sqrt{x}} \leq \frac{1}{2} ∣ f ′ ( x ) ∣ = 2 x 1 ≤ 2 1
Exercice 2 — Application du TAF Montrer que pour tout x > 0 x > 0 x > 0 x 1 + x < ln ( 1 + x ) < x \dfrac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x 1 + x x < ln ( 1 + x ) < x
Idée : Appliquer l’IAF à f ( t ) = ln ( 1 + t ) f(t) = \ln(1+t) f ( t ) = ln ( 1 + t ) [ 0 , x ] [0, x] [ 0 , x ] f ′ ( t ) = 1 1 + t f'(t) = \frac{1}{1+t} f ′ ( t ) = 1 + t 1
Montrer l’inégalité arithmético-géométrique : a b ≤ a + b 2 \sqrt{ab} \leq \dfrac{a+b}{2} ab ≤ 2 a + b a , b > 0 a, b > 0 a , b > 0
Idée : Appliquer l’inégalité de Jensen à f ( x ) = − ln ( x ) f(x) = -\ln(x) f ( x ) = − ln ( x )
À retenir§
La caractérisation séquentielle est l’outil principal pour les limites
Heine : continue sur un segment ⟹ \implies ⟹ TVI : existence de solutions ; bijection : unicité si strictement monotoneTAF : le pont entre f ′ f' f ′ f f f Taylor : trois formes selon l’usage (Young pour les DL, Lagrange pour les majorations, intégral pour la précision)Hiérarchie : contractante ⊂ \subset ⊂ ⊂ \subset ⊂ ⊂ \subset ⊂
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