Séries Entières
Les séries entières généralisent les polynômes à un nombre infini de termes. Elles permettent de représenter des fonctions par des séries de puissances et constituent l’un des outils les plus élégants et puissants de l’analyse.
[!quote] Prérequis Suites et Séries Numériques, Développements Limités, Fonctions d’une Variable Réelle
Définition et rayon de convergence§
Définition§
[!abstract] Définition Une série entière (réelle ou complexe) est une série de fonctions de la forme : $$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n \quad \text{ou} \quad \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$$ où $(a_n)_{n \geq 0}$ est une suite de nombres réels (ou complexes).
Rayon de convergence§
[!abstract] Théorème — Lemme d’Abel Si la suite $(a_n r^n)$ est bornée pour un certain $r > 0$, alors la série $\sum a_n x^n$ converge absolument pour tout $|x| < r$.
[!abstract] Définition — Rayon de convergence Le rayon de convergence de $\sum a_n x^n$ est : $$R = \sup { r \geq 0 : (a_n r^n) \text{ est bornée} } \in [0, +\infty]$$
graph LR
A["|-R--------0--------R-|"]
subgraph "Convergence absolue"
B["]-R, R["]
end
subgraph "Divergence grossière"
C["|x| > R"]
end
subgraph "À étudier"
D["x = ±R"]
end
style B fill:#C8E6C9
style C fill:#FFCDD2
style D fill:#FFF9C4
[!important] Comportement selon $|x|$
- Si $|x| < R$ : la série converge absolument
- Si $|x| > R$ : la série diverge grossièrement ($a_n x^n \not\to 0$)
- Si $|x| = R$ : pas de règle générale (à étudier au cas par cas)
Calcul du rayon de convergence§
[!abstract] Règle de d’Alembert (cas le plus fréquent) Si $\lim_{n \to +\infty} \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \ell$ existe (avec $0 \leq \ell \leq +\infty$), alors : $$R = \frac{1}{\ell}$$ (avec la convention $1/0 = +\infty$ et $1/+\infty = 0$)
[!abstract] Formule de Hadamard (cas général) $$\frac{1}{R} = \limsup_{n \to +\infty} |a_n|^{1/n}$$
[!example] Exemples classiques
Série $a_n$ Rayon $R$ $\sum x^n$ $1$ $R = 1$ $\sum \frac{x^n}{n!}$ $\frac{1}{n!}$ $R = +\infty$ $\sum n! , x^n$ $n!$ $R = 0$ $\sum \frac{x^n}{n}$ $\frac{1}{n}$ $R = 1$ $\sum \frac{x^n}{n^2}$ $\frac{1}{n^2}$ $R = 1$ $\sum \frac{n^n}{n!} x^n$ $\frac{n^n}{n!}$ $R = 1/e$
Propriétés de la somme§
Soit $S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ pour $|x| < R$.
Continuité§
[!abstract] Théorème $S$ est continue sur $]-R, R[$.
En fait, $S$ est bien mieux que continue :
Dérivabilité terme à terme§
[!abstract] Théorème fondamental La série dérivée $\sum n a_n x^{n-1}$ a le même rayon de convergence $R$, et : $$S’(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1} \quad \text{pour } |x| < R$$
Par récurrence, $S$ est indéfiniment dérivable ($C^\infty$) sur $]-R, R[$ et : $$S^{(k)}(x) = \sum_{n=k}^{+\infty} \frac{n!}{(n-k)!} a_n x^{n-k}$$
[!tip] Conséquence En évaluant en $x = 0$ : $a_n = \dfrac{S^{(n)}(0)}{n!}$. Les coefficients sont uniquement déterminés par la fonction somme.
Intégration terme à terme§
[!abstract] Théorème On peut intégrer terme à terme sur tout segment inclus dans $]-R, R[$ : $$\int_0^x S(t) , dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1} \quad \text{pour } |x| < R$$
La série intégrée a aussi le rayon de convergence $R$.
Développements en séries entières (DSE)§
Définition§
[!abstract] Définition $f$ est développable en série entière (DSE) au voisinage de $0$ s’il existe $R > 0$ et une suite $(a_n)$ tels que : $$f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n \quad \text{pour } |x| < R$$ On dit que $f$ est analytique.
[!warning] Attention $C^\infty$ n’implique pas analytique ! La fonction $f(x) = e^{-1/x^2}$ (prolongée par 0 en 0) est $C^\infty$, toutes ses dérivées en 0 sont nulles, mais $f \neq 0$.
DSE des fonctions usuelles§
$$e^x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!}, \quad R = +\infty$$
$$\sin x = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad R = +\infty$$
$$\cos x = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}, \quad R = +\infty$$
$$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{+\infty} x^n, \quad R = 1$$
$$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}, \quad R = 1$$
$$(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^{+\infty} \binom{\alpha}{n} x^n, \quad R = 1 \text{ (si } \alpha \notin \mathbb{N}\text{)}$$
$$\arctan x = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}, \quad R = 1$$
$$\sinh x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad R = +\infty$$
$$\cosh x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}, \quad R = +\infty$$
Opérations sur les séries entières§
Somme§
$$\sum a_n x^n + \sum b_n x^n = \sum (a_n + b_n) x^n$$
Rayon $\geq \min(R_f, R_g)$.
Produit de Cauchy§
$$\left(\sum a_n x^n\right) \cdot \left(\sum b_n x^n\right) = \sum c_n x^n$$
où $c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}$ (produit de convolution).
Rayon $\geq \min(R_f, R_g)$.
Composition§
Si $g(0) = 0$ et $|g(x)| < R_f$ pour $|x| < r$, alors :
$$f(g(x)) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n (g(x))^n$$
Méthodes pour trouver un DSE§
flowchart TD
A["Trouver le DSE de f(x)"] --> B{"f est une fonction usuelle<br/>ou s'y ramène ?"}
B -->|Oui| C["Utiliser le tableau<br/>des DSE connus"]
B -->|Non| D{"f vérifie une<br/>équation différentielle ?"}
D -->|Oui| E["Chercher les coefficients<br/>par identification dans l'EDO"]
D -->|Non| F{"On peut dériver ou<br/>intégrer f pour se ramener<br/>à une fonction connue ?"}
F -->|Oui| G["Dériver/intégrer<br/>puis reconstituer"]
F -->|Non| H["Calculer les coefficients<br/>directement : aₙ = f⁽ⁿ⁾(0)/n!"]
Méthode 1 : Utiliser les DSE connus + opérations§
[!example] Exemple — DSE de $\frac{1}{(1-x)^2}$ On dérive $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$ : $$\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=1}^{+\infty} n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1) x^n, \quad R = 1$$
Méthode 2 : Équation différentielle§
[!example] Exemple — DSE de $\arcsin x$ On sait que $(\arcsin x)’ = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = (1-x^2)^{-1/2}$.
Par le binôme généralisé : $(1-x^2)^{-1/2} = \sum_{n=0}^{+\infty} \binom{-1/2}{n} (-x^2)^n$
On intègre terme à terme pour obtenir le DSE de $\arcsin$.
Méthode 3 : Identification dans une EDO§
Pour $f$ vérifiant $y’ = P(x, y)$, on pose $f(x) = \sum a_n x^n$, on substitue dans l’EDO, et on identifie les coefficients.
Séries entières et équations différentielles§
[!example] Exemple classique — Fonction de Bessel $J_0$ L’équation de Bessel d’ordre 0 : $xy” + y’ + xy = 0$.
On pose $y = \sum a_n x^n$, on substitue, et par identification : $$a_{2n} = \frac{(-1)^n}{(n!)^2 \cdot 4^n}, \quad a_{2n+1} = 0$$
$$J_0(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(n!)^2} \left(\frac{x}{2}\right)^{2n}$$
Théorème d’Abel radial§
[!abstract] Théorème d’Abel Si $\sum a_n R^n$ converge (en un bord du disque), alors : $$\lim_{x \to R^-} \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n R^n$$
La somme est continue à gauche en $R$.
[!example] Application $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n = \ln(1+x)$ pour $|x| < 1$.
La série converge aussi en $x = 1$ (Leibniz). Par Abel : $$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$$
Exercices types§
[!example] Exercice 1 — Rayon de convergence Déterminer le rayon de $\sum \dfrac{n^2}{3^n} x^n$.
Solution : $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \dfrac{(n+1)^2}{n^2} \cdot \dfrac{1}{3} \to \dfrac{1}{3}$, donc $R = 3$.
[!example] Exercice 2 — Calcul de somme Calculer $S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1) x^n$ pour $|x| < 1$.
Solution : $S(x) = \left(\sum x^{n+1}\right)’ = \left(\dfrac{x}{1-x}\right)’ = \dfrac{1}{(1-x)^2}$
[!example] Exercice 3 — DSE par EDO Trouver le DSE de $f(x) = \arctan(x)$.
Solution : $f’(x) = \dfrac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^{2n}$ pour $|x| < 1$.
En intégrant : $\arctan(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}$, $R = 1$.
[!example] Exercice 4 — Somme classique Calculer $\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{n}{2^n}$.
Solution : $\sum n x^n = \dfrac{x}{(1-x)^2}$. En $x = 1/2$ : $\sum \dfrac{n}{2^n} = \dfrac{1/2}{(1/2)^2} = 2$.
À retenir§
[!important] Les points clés
- Lemme d’Abel : fondement théorique du rayon de convergence
- La somme d’une série entière est $C^\infty$ sur $]-R, R[$
- On peut dériver et intégrer terme à terme (même rayon $R$)
- Les coefficients sont uniques : $a_n = S^{(n)}(0)/n!$
- $C^\infty$ n’implique pas analytique ($e^{-1/x^2}$ est le contre-exemple classique)
- Théorème d’Abel radial : continuité au bord si la série y converge