Séries Entières

Les séries entières généralisent les polynômes à un nombre infini de termes. Elles permettent de représenter des fonctions par des séries de puissances et constituent l’un des outils les plus élégants et puissants de l’analyse.

Définition et rayon de convergence§

Définition§

$$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n \quad \text{ou} \quad \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$$

où $(a_n)_{n \geq 0}$ est une suite de nombres réels (ou complexes).

Rayon de convergence§

$$R = \sup { r \geq 0 : (a_n r^n) \text{ est bornée} } \in [0, +\infty]$$

graph LR
    A["|-R--------0--------R-|"]

    subgraph "Convergence absolue"
        B["]-R, R["]
    end
    subgraph "Divergence grossière"
        C["|x| > R"]
    end
    subgraph "À étudier"
        D["x = ±R"]
    end

    style B fill:#C8E6C9
    style C fill:#FFCDD2
    style D fill:#FFF9C4

Calcul du rayon de convergence§

$$R = \frac{1}{\ell}$$

(avec la convention $1/0 = +\infty$ et $1/+\infty = 0$)

$$\frac{1}{R} = \limsup_{n \to +\infty} |a_n|^{1/n}$$

Propriétés de la somme§

Soit $S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ pour $|x| < R$.

Continuité§

En fait, $S$ est bien mieux que continue :

Dérivabilité terme à terme§

$$S'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1} \quad \text{pour } |x| < R$$

Par récurrence, $S$ est indéfiniment dérivable ($C^\infty$) sur $]-R, R[$ et :

$$S^{(k)}(x) = \sum_{n=k}^{+\infty} \frac{n!}{(n-k)!} a_n x^{n-k}$$

Intégration terme à terme§

$$\int_0^x S(t) , dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1} \quad \text{pour } |x| < R$$

La série intégrée a aussi le rayon de convergence $R$.

Développements en séries entières (DSE)§

Définition§

$$f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n \quad \text{pour } |x| < R$$

On dit que $f$ est analytique.

DSE des fonctions usuelles§

$$e^x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!}, \quad R = +\infty$$ $$\sin x = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad R = +\infty$$ $$\cos x = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}, \quad R = +\infty$$ $$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{+\infty} x^n, \quad R = 1$$ $$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}, \quad R = 1$$ $$(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^{+\infty} \binom{\alpha}{n} x^n, \quad R = 1 \text{ (si } \alpha \notin \mathbb{N}\text{)}$$ $$\arctan x = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}, \quad R = 1$$ $$\sinh x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad R = +\infty$$ $$\cosh x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}, \quad R = +\infty$$

Opérations sur les séries entières§

Somme§

$$\sum a_n x^n + \sum b_n x^n = \sum (a_n + b_n) x^n$$

Rayon $\geq \min(R_f, R_g)$.

Produit de Cauchy§

$$\left(\sum a_n x^n\right) \cdot \left(\sum b_n x^n\right) = \sum c_n x^n$$

où $c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}$ (produit de convolution).

Rayon $\geq \min(R_f, R_g)$.

Composition§

Si $g(0) = 0$ et $|g(x)| < R_f$ pour $|x| < r$, alors :

$$f(g(x)) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n (g(x))^n$$

Méthodes pour trouver un DSE§

flowchart TD
    A["Trouver le DSE de f(x)"] --> B{"f est une fonction usuelle<br/>ou s'y ramène ?"}
    B -->|Oui| C["Utiliser le tableau<br/>des DSE connus"]
    B -->|Non| D{"f vérifie une<br/>équation différentielle ?"}
    D -->|Oui| E["Chercher les coefficients<br/>par identification dans l'EDO"]
    D -->|Non| F{"On peut dériver ou<br/>intégrer f pour se ramener<br/>à une fonction connue ?"}
    F -->|Oui| G["Dériver/intégrer<br/>puis reconstituer"]
    F -->|Non| H["Calculer les coefficients<br/>directement : aₙ = f⁽ⁿ⁾(0)/n!"]

Méthode 1 : Utiliser les DSE connus + opérations§

$$\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=1}^{+\infty} n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1) x^n, \quad R = 1$$

Méthode 2 : Équation différentielle§

Méthode 3 : Identification dans une EDO§

Pour $f$ vérifiant $y' = P(x, y)$, on pose $f(x) = \sum a_n x^n$, on substitue dans l’EDO, et on identifie les coefficients.

Séries entières et équations différentielles§

$$a_{2n} = \frac{(-1)^n}{(n!)^2 \cdot 4^n}, \quad a_{2n+1} = 0$$

$$J_0(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(n!)^2} \left(\frac{x}{2}\right)^{2n}$$

Théorème d’Abel radial§

$$\lim_{x \to R^-} \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n R^n$$

La somme est continue à gauche en $R$.

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$$

Exercices types§

À retenir§