Probabilités (Math Spé / MP)

Introduction§

Les probabilités formalisent le hasard. Ce chapitre couvre le programme de Math Spé : espaces probabilisés, variables aléatoires discrètes et à densité, convergences et théorèmes limites. On s’appuie sur la théorie de la mesure de manière simplifiée, conformément au programme de prépa.

1. Espaces probabilisés§

1.1 Tribu et mesure de probabilité§

1.2 Propriétés fondamentales§

• $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• Si $A \subset B$, alors $P(A) \leq P(B)$ (croissance)
• Formule des probabilités totales : si $(B_n)$ est un système complet d’événements, $P(A) = \sum_n P(A \cap B_n) = \sum_n P(A|B_n),P(B_n)$
• Formule de Bayes : $P(B_k | A) = \dfrac{P(A|B_k),P(B_k)}{\sum_n P(A|B_n),P(B_n)}$

1.3 Indépendance§

$$P!\left(\bigcap_{i \in I} A_i\right) = \prod_{i \in I} P(A_i)$$

2. Variables aléatoires discrètes§

2.1 Définitions§

2.2 Espérance, variance§

2.3 Lois classiques discrètes§

Loi	Notation	$P(X = k)$	$E(X)$	$V(X)$
Bernoulli	$\mathcal{B}(p)$	$p^k(1-p)^{1-k}$, $k \in {0,1}$	$p$	$p(1-p)$
Binomiale	$\mathcal{B}(n, p)$	$\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$	$np$	$np(1-p)$
Poisson	$\mathcal{P}(\lambda)$	$e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}$	$\lambda$	$\lambda$
Géométrique	$\mathcal{G}(p)$	$p(1-p)^{k-1}$, $k \geq 1$	$\dfrac{1}{p}$	$\dfrac{1-p}{p^2}$

2.4 Fonctions génératrices§

$$G_X(s) = E(s^X) = \sum_{k=0}^{+\infty} P(X = k),s^k, \quad |s| \leq 1$$

Propriétés :

• $G_X(1) = 1$
• $G_X'(1) = E(X)$
• $G_X''(1) = E(X(X-1))$, d’où $V(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - [G_X'(1)]^2$
• Si $X \perp Y$ : $G_{X+Y} = G_X \cdot G_Y$
• La fonction génératrice caractérise la loi.

3. Variables aléatoires à densité§

3.1 Définition§

$$P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f_X(t),dt$$

La fonction $f_X$ est la densité de $X$. On a $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t),dt = 1$.

3.2 Fonction de répartition§

3.3 Espérance et variance (cas continu)§

$$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} t,f_X(t),dt, \qquad V(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (t - E(X))^2,f_X(t),dt$$

Théorème de transfert : $E(g(X)) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} g(t),f_X(t),dt$.

3.4 Lois classiques continues§

Loi	Notation	Densité $f_X(t)$	$E(X)$	$V(X)$
Uniforme	$\mathcal{U}([a,b])$	$\dfrac{1}{b-a},\mathbb{1}_{[a,b]}(t)$	$\dfrac{a+b}{2}$	$\dfrac{(b-a)^2}{12}$
Exponentielle	$\mathcal{E}(\lambda)$	$\lambda,e^{-\lambda t},\mathbb{1}_{t \geq 0}$	$\dfrac{1}{\lambda}$	$\dfrac{1}{\lambda^2}$
Normale	$\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$	$\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}},e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}$	$\mu$	$\sigma^2$

$$P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$$

C’est la seule loi continue à posséder cette propriété.

3.5 Arbre de choix de la loi§

flowchart TD
    A["Modéliser une\nvariable aléatoire"] --> B{"Valeurs\ndiscrètes ou continues ?"}
    B -- Discrètes --> C{"Combien d'issues\npar épreuve ?"}
    C -- "2 (succès/échec)" --> D{"Nombre d'épreuves ?"}
    D -- "1 épreuve" --> E["Bernoulli B(p)"]
    D -- "n épreuves\nfixées" --> F["Binomiale B(n,p)"]
    D -- "Jusqu'au 1er\nsuccès" --> G["Géométrique G(p)"]
    C -- "Événements rares\nindépendants" --> H["Poisson P(λ)"]
    B -- Continues --> I{"Quel type\nde phénomène ?"}
    I -- "Tous les résultats\néquiprobables" --> J["Uniforme U([a,b])"]
    I -- "Temps d'attente\nsans mémoire" --> K["Exponentielle E(λ)"]
    I -- "Somme de\nnombreuses v.a.\n(TCL)" --> L["Normale N(μ,σ²)"]

4. Couples de variables aléatoires§

4.1 Loi conjointe et lois marginales§

4.2 Indépendance de variables aléatoires§

$$P(X \in A, Y \in B) = P(X \in A),P(Y \in B)$$

Équivalemment :

• Cas discret : $P(X = x, Y = y) = P(X = x),P(Y = y)$ pour tous $x, y$.
• Cas continu : $f_{X,Y}(x, y) = f_X(x),f_Y(y)$ p.p.

4.3 Covariance et corrélation§

$$\operatorname{Cov}(X, Y) = E!\left[(X - E(X))(Y - E(Y))\right] = E(XY) - E(X),E(Y)$$

$$\rho(X, Y) = \frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sigma(X),\sigma(Y)} \in [-1, 1]$$

5. Convergences de variables aléatoires§

5.1 Les quatre modes de convergence§

5.2 Hiérarchie des convergences§

flowchart TD
    A["Convergence\npresque sûre"] --> C["Convergence\nen probabilité"]
    B["Convergence\ndans L^p"] --> C
    C --> D["Convergence\nen loi"]

    style A fill:#4a90d9,color:#fff
    style B fill:#4a90d9,color:#fff
    style C fill:#e6a817,color:#fff
    style D fill:#d94a4a,color:#fff

5.3 Inégalités utiles§

$$P(|X - \mu| \geq \varepsilon) \leq \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$$

6. Loi des grands nombres§

6.1 Loi faible des grands nombres§

$$\overline{X}_n \xrightarrow{P} \mu$$

Esquisse de preuve. Par Bienaymé-Tchebychev :

$$P(|\overline{X}_n - \mu| \geq \varepsilon) \leq \frac{V(\overline{X}_n)}{\varepsilon^2} = \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} \to 0 \quad \blacksquare$$

6.2 Loi forte des grands nombres§

$$\overline{X}_n \xrightarrow{p.s.} \mu$$

7. Théorème central limite§

$$Z_n = \frac{\overline{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{\sum_{k=1}^n X_k - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0, 1)$$ $$\frac{S_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \approx \mathcal{N}(0, 1)$$

Exemple numérique : $S_{100} \sim \mathcal{B}(100, 0.5)$. Calculer $P(S_{100} \geq 55)$.

$$P(S_{100} \geq 55) = P!\left(\frac{S_{100} - 50}{5} \geq 1\right) \approx 1 - \Phi(1) \approx 1 - 0.8413 = 0.1587$$

8. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Formule de Bayes§

Solution.

Par Bayes :

$$P(M|T^+) = \frac{P(T^+|M),P(M)}{P(T^+|M),P(M) + P(T^+|\overline{M}),P(\overline{M})}$$ $$= \frac{0.95 \times 0.01}{0.95 \times 0.01 + 0.10 \times 0.99} = \frac{0.0095}{0.0095 + 0.099} = \frac{0.0095}{0.1085} \approx 0.0876$$

Exercice 2 : Fonction génératrice§

Solution.

$$G_X(s) = \sum_{k=0}^{+\infty} s^k,e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(\lambda s)^k}{k!} = e^{-\lambda},e^{\lambda s} = e^{\lambda(s-1)}$$

$G_X'(s) = \lambda,e^{\lambda(s-1)}$, donc $E(X) = G_X'(1) = \lambda$.

$G_X''(s) = \lambda^2,e^{\lambda(s-1)}$, donc $G_X''(1) = \lambda^2$ et $E(X(X-1)) = \lambda^2$.

$V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = E(X(X-1)) + E(X) - E(X)^2 = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda$.

Exercice 3 : Densité d’une fonction de v.a.§

Solution.

Pour $y > 0$ : $F_Y(y) = P(X^2 \leq y) = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}) = 2\Phi(\sqrt{y}) - 1$.

En dérivant : $f_Y(y) = 2,\varphi(\sqrt{y}) \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{y}} = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi y}},e^{-y/2}$ pour $y > 0$.

On reconnaît la loi du chi-deux à 1 degré de liberté : $Y \sim \chi^2(1)$, qui est aussi une $\Gamma(1/2, 1/2)$.

Exercice 4 : Loi des grands nombres§

Solution.

$X_i \sim \mathcal{U}({1, \ldots, 6})$, $E(X_i) = 3.5$, $V(X_i) = 35/12$.

Par Tchebychev : $P(|\overline{X}_n - 3.5| \geq 0.1) \leq \dfrac{35/12}{n \times 0.01} = \dfrac{3500}{12n}$.

On veut cette probabilité $\leq 0.05$, soit $\dfrac{3500}{12n} \leq 0.05$, d’où $n \geq \dfrac{3500}{0.6} \approx 5834$.

Par le TCL : $\dfrac{\overline{X}_n - 3.5}{\sqrt{35/12}/\sqrt{n}} \approx \mathcal{N}(0,1)$.

$P(|\overline{X}_n - 3.5| < 0.1) \approx 2\Phi!\left(\dfrac{0.1\sqrt{n}}{\sqrt{35/12}}\right) - 1 \geq 0.95$

$\Phi!\left(\dfrac{0.1\sqrt{n}}{\sqrt{35/12}}\right) \geq 0.975$, soit $\dfrac{0.1\sqrt{n}}{\sqrt{35/12}} \geq 1.96$.

$\sqrt{n} \geq \dfrac{1.96 \times \sqrt{35/12}}{0.1} = \dfrac{1.96 \times 1.708}{0.1} \approx 33.5$, d’où $n \geq 1123$.

Exercice 5 : Théorème central limite§

Solution.

On a $E(X_i) = 1$, $V(X_i) = 1$. Par le TCL :

$$\frac{\sum_{k=1}^n X_k - n}{\sqrt{n}} = \sqrt{n}(\overline{X}_n - 1) = Y_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0, 1)$$

Voir aussi : Intégrales Généralisées, Topologie Prépa