Fonctions de Plusieurs Variables

Introduction§

Le passage d’une variable à plusieurs variables est un saut conceptuel majeur. De nombreux phénomènes physiques (champs de température, de vitesse, potentiels) sont modélisés par des fonctions $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$. Ce chapitre construit les outils d’analyse correspondants : dérivées partielles, différentielle, extrema.

1. Topologie de $\mathbb{R}^n$§

1.1 Normes sur $\mathbb{R}^n$§

1.2 Ouverts, fermés, compacts§

2. Limites et continuité§

2.1 Limite d’une fonction en plusieurs variables§

$$\forall \varepsilon > 0,, \exists \delta > 0,, \forall x \in U, \quad |x - a| < \delta \implies |f(x) - \ell| < \varepsilon$$

2.2 Continuité§

$f$ est continue en $a$ si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Les opérations algébriques et la composition préservent la continuité.

3. Dérivées partielles§

3.1 Définition§

$$\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a_1, \ldots, a_i + h, \ldots, a_n) - f(a)}{h}$$

si cette limite existe.

3.2 Calcul pratique§

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + y\cos(xy), \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + x\cos(xy)$$ $$f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2+y^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \ 0 & \text{si } (x,y) = (0,0) \end{cases}$$

admet des dérivées partielles en $(0,0)$ (toutes deux nulles), mais n’est pas continue en $(0,0)$.

4. Gradient et Jacobienne§

4.1 Gradient§

$$\nabla f(a) = \operatorname{grad} f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right)$$

4.2 Matrice jacobienne§

$$J_f(a) = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}(a) \ \vdots & \ddots & \vdots \ \dfrac{\partial f_p}{\partial x_1}(a) & \cdots & \dfrac{\partial f_p}{\partial x_n}(a) \end{pmatrix}$$

Si $p = 1$, la jacobienne est le gradient (transposé en ligne). Le jacobien (déterminant de la jacobienne pour $p = n$) intervient dans les changements de variables pour les intégrales multiples.

5. Différentielle§

5.1 Définition§

$$f(a + h) = f(a) + L(h) + o(|h|) \quad \text{quand } h \to 0$$

L’application $L$ est unique et s’appelle la différentielle de $f$ en $a$, notée $df_a$ ou $Df(a)$.

$$df_a(h) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(a),h_i = J_f(a) \cdot h$$

La matrice de $df_a$ dans la base canonique est la matrice jacobienne.

5.2 Propriétés§

• Différentiable $\Rightarrow$ continue (mais pas la réciproque).
• Règle de la chaîne : si $f$ est différentiable en $a$ et $g$ différentiable en $f(a)$, alors $g \circ f$ est différentiable en $a$ et $d(g \circ f)_a = dg_{f(a)} \circ df_a$, soit en termes de matrices jacobiennes :

$$J_{g \circ f}(a) = J_g(f(a)) \cdot J_f(a)$$

6. Fonctions de classe $\mathcal{C}^k$§

6.1 Théorème de Schwarz§

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$$

Les dérivées partielles d’ordre 2 commutent.

7. Formule de Taylor§

7.1 Développement de Taylor à l’ordre 1§

$$f(a + h) = f(a) + \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(a),h_i + o(|h|)$$

7.2 Développement de Taylor à l’ordre 2§

Pour $f$ de classe $\mathcal{C}^2$ au voisinage de $a$ :

$$f(a + h) = f(a) + \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(a),h_i + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a),h_i h_j + o(|h|^2)$$

Le terme quadratique fait intervenir la matrice hessienne.

7.3 Matrice hessienne§

$$H_f(a) = \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a)\right)_{1 \leq i,j \leq n}$$

La forme quadratique associée $q(h) = h^T H_f(a),h$ détermine la nature des points critiques.

8. Extrema locaux§

8.1 Condition nécessaire§

$$\nabla f(a) = 0$$

Un tel point est appelé point critique (ou point stationnaire).

8.2 Condition suffisante en dimension 2§

Pour $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^2$, soit $(a, b)$ un point critique. On note :

$$r = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b), \quad s = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a,b), \quad t = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a,b)$$

et $\Delta = rt - s^2 = \det H_f(a,b)$.

8.3 Condition suffisante en dimension $n$§

On étudie le signe de la matrice hessienne $H_f(a)$ :

• $H_f(a)$ définie positive $\Rightarrow$ minimum local
• $H_f(a)$ définie négative $\Rightarrow$ maximum local
• $H_f(a)$ indéfinie (valeurs propres de signes différents) $\Rightarrow$ point selle

8.4 Stratégie de classification des points critiques (dimension 2)§

flowchart TD
    A["Trouver les points critiques\n∇f = 0"] --> B["Calculer r, s, t\net Δ = rt - s²"]
    B --> C{"Δ > 0 ?"}
    C -- Oui --> D{"r > 0 ?"}
    D -- Oui --> E["MINIMUM LOCAL"]
    D -- Non --> F["MAXIMUM LOCAL"]
    C -- Non --> G{"Δ < 0 ?"}
    G -- Oui --> H["POINT SELLE"]
    G -- Non --> I["Δ = 0\nExamen plus poussé\n(Taylor d'ordre supérieur\nou étude directe)"]

9. Extrema liés : multiplicateurs de Lagrange§

9.1 Position du problème§

On cherche les extrema de $f(x)$ sous la contrainte $g(x) = 0$ (ou $g_1(x) = \cdots = g_k(x) = 0$).

9.2 Théorème des multiplicateurs de Lagrange§

$$\nabla f(a) = \lambda,\nabla g(a)$$

Le réel $\lambda$ est le multiplicateur de Lagrange.

9.3 Méthode pratique§

Pour optimiser $f$ sous la contrainte $g = 0$ :

1. Résoudre le système :

$$\begin{cases} \nabla f(x) = \lambda,\nabla g(x) \ g(x) = 0 \end{cases}$$

Cela donne $n + 1$ équations à $n + 1$ inconnues ($x_1, \ldots, x_n, \lambda$).

2. Parmi les solutions, identifier les minima et maxima (par exemple en comparant les valeurs de $f$, ou par un argument de compacité).

10. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Calcul de dérivées partielles et gradient§

Solution.

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy,e^{xz} + x^2 y \cdot z,e^{xz} = xy,e^{xz}(2 + xz)$$ $$\frac{\partial f}{\partial y} = x^2,e^{xz}$$ $$\frac{\partial f}{\partial z} = x^2 y \cdot x,e^{xz} = x^3 y,e^{xz}$$ $$\boxed{\nabla f(x,y,z) = \left(xy,e^{xz}(2+xz),; x^2 e^{xz},; x^3 y,e^{xz}\right)}$$

Exercice 2 : Différentiabilité§

Solution.

Si $f$ était différentiable en $(0,0)$, on aurait $f(h,k) = f(0,0) + ah + bk + o(\sqrt{h^2+k^2})$ pour des constantes $a, b$.

Or $f(0,0) = 0$ et $f(h,k) = \sqrt{h^2 + k^2}$, donc on aurait :

$$\sqrt{h^2 + k^2} = ah + bk + o(\sqrt{h^2+k^2})$$

Divisons par $\sqrt{h^2+k^2} \neq 0$ :

$$1 = \frac{ah + bk}{\sqrt{h^2+k^2}} + o(1)$$

Le terme $\dfrac{ah + bk}{\sqrt{h^2+k^2}}$ dépend de la direction (prendre $h = r\cos\theta$, $k = r\sin\theta$, il vaut $a\cos\theta + b\sin\theta$), donc il ne peut tendre vers $1$ pour toute direction. Contradiction. $\blacksquare$

Exercice 3 : Extrema libres§

Solution.

Points critiques : $\nabla f = 0$ :

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3y = 0 \implies y = x^2$$ $$\frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 - 3x = 0 \implies x = y^2$$

En substituant : $x = (x^2)^2 = x^4$, soit $x(x^3 - 1) = 0$. Donc $x = 0$ ou $x = 1$.

Points critiques : $(0, 0)$ et $(1, 1)$.

Nature : $r = 6x$, $s = -3$, $t = 6y$, $\Delta = 36xy - 9$.

• En $(0, 0)$ : $\Delta = -9 < 0$ $\Rightarrow$ point selle.
• En $(1, 1)$ : $\Delta = 36 - 9 = 27 > 0$ et $r = 6 > 0$ $\Rightarrow$ minimum local, $f(1,1) = -1$.

Exercice 4 : Multiplicateurs de Lagrange§

Solution.

La distance du point $(x,y,z)$ au plan $x+y+z=0$ est $\dfrac{|x+y+z|}{\sqrt{3}}$. On optimise $f(x,y,z) = x + y + z$ (puis on prendra la valeur absolue) sous $g(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0$.

$\nabla f = (1, 1, 1)$, $\nabla g = (2x, 2y, 2z)$.

Lagrange : $1 = 2\lambda x$, $1 = 2\lambda y$, $1 = 2\lambda z$, donc $x = y = z = \dfrac{1}{2\lambda}$.

Contrainte : $3 \cdot \dfrac{1}{4\lambda^2} = 1$, soit $\lambda^2 = 3/4$, $\lambda = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

• $\lambda = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ : $x = y = z = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$, $f = \sqrt{3}$.
• $\lambda = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ : $x = y = z = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$, $f = -\sqrt{3}$.

Distance maximale : $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$ (points $\pm(1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3})$). Distance minimale : $0$, atteinte sur le cercle intersection de la sphère et du plan.

Mais les extrema de $f$ sur la sphère sont bien $\pm\sqrt{3}$, correspondant aux points les plus éloignés du plan, à distance $1$. Les points les plus proches du plan sont ceux de l’intersection sphère/plan (distance $0$), mais ce ne sont pas des extrema de $f$ au sens de Lagrange — ils sont dans l’ensemble $g = 0$ avec $f = 0$.

Exercice 5 : Règle de la chaîne§

Solution.

Par la règle de la chaîne avec $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ :

$$\frac{\partial g}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x}\cos\theta + \frac{\partial f}{\partial y}\sin\theta$$ $$\frac{\partial g}{\partial \theta} = \frac{\partial f}{\partial x}(-r\sin\theta) + \frac{\partial f}{\partial y}(r\cos\theta)$$

En notation vectorielle : $\dfrac{\partial g}{\partial r} = \nabla f \cdot \mathbf{e}_r$ et $\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial g}{\partial \theta} = \nabla f \cdot \mathbf{e}_\theta$.

Voir aussi : Intégrales Généralisées, Topologie Prépa