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February 16, 2026

Fonctions de Plusieurs Variables

Introduction§

Le passage d’une variable à plusieurs variables est un saut conceptuel majeur. De nombreux phénomènes physiques (champs de température, de vitesse, potentiels) sont modélisés par des fonctions $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$. Ce chapitre construit les outils d’analyse correspondants : dérivées partielles, différentielle, extrema.

1. Topologie de $\mathbb{R}^n$§

1.1 Normes sur $\mathbb{R}^n$§

[!abstract] Définition On munit $\mathbb{R}^n$ des normes classiques :

$|x|1 = \sum{i=1}^n |x_i|$

$|x|2 = \left(\sum{i=1}^n x_i^2\right)^{1/2}$ (norme euclidienne)

$|x|\infty = \max{1 \leq i \leq n} |x_i|$

En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes : elles définissent la même topologie.

1.2 Ouverts, fermés, compacts§

[!abstract] Définitions Soit $A \subset \mathbb{R}^n$.

$A$ est ouvert si pour tout $x \in A$, il existe $r > 0$ tel que $B(x, r) \subset A$.

$A$ est fermé si $\mathbb{R}^n \setminus A$ est ouvert, ou de manière équivalente, si $A$ contient toutes ses valeurs d’adhérence.

$A$ est borné si $A \subset B(0, R)$ pour un certain $R > 0$.

$A$ est compact si $A$ est fermé et borné (théorème de Heine-Borel en dimension finie).

[!tip] Rappel En dimension finie : compact $\iff$ fermé et borné. Voir Topologie Prépa pour le cadre général des espaces métriques.

2. Limites et continuité§

2.1 Limite d’une fonction en plusieurs variables§

[!abstract] Définition Soit $f : U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$ et $a \in \overline{U}$. On dit que $f(x) \to \ell$ quand $x \to a$ si : $$\forall \varepsilon > 0,, \exists \delta > 0,, \forall x \in U, \quad |x - a| < \delta \implies |f(x) - \ell| < \varepsilon$$

[!warning] Attention En dimension $\geq 2$, il ne suffit pas de vérifier la limite le long des droites passant par $a$. Il faut que la limite soit la même le long de tous les chemins.

[!example] Exemple classique $f(x,y) = \dfrac{xy}{x^2 + y^2}$ pour $(x,y) \neq (0,0)$.

Le long de $y = 0$ : $f(x, 0) = 0 \to 0$.

Le long de $y = x$ : $f(x, x) = x^2/(2x^2) = 1/2$.

Les limites diffèrent, donc $f$ n’a pas de limite en $(0,0)$.

2.2 Continuité§

$f$ est continue en $a$ si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Les opérations algébriques et la composition préservent la continuité.

[!important] Théorème des bornes atteintes Une fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes.

3. Dérivées partielles§

3.1 Définition§

[!abstract] Définition Soit $f : U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, $U$ ouvert, $a \in U$. La dérivée partielle de $f$ par rapport à $x_i$ en $a$ est : $$\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a_1, \ldots, a_i + h, \ldots, a_n) - f(a)}{h}$$ si cette limite existe.

[!tip] Interprétation $\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)$ est la dérivée de la fonction d’une variable $t \mapsto f(a_1, \ldots, a_{i-1}, t, a_{i+1}, \ldots, a_n)$ en $t = a_i$. On « gèle » toutes les variables sauf $x_i$.

3.2 Calcul pratique§

[!example] Exemple $f(x, y) = x^2 y + \sin(xy)$.

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + y\cos(xy), \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + x\cos(xy)$$

[!warning] Existence des dérivées partielles $\not\Rightarrow$ continuité La fonction $$f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2+y^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \ 0 & \text{si } (x,y) = (0,0) \end{cases}$$ admet des dérivées partielles en $(0,0)$ (toutes deux nulles), mais n’est pas continue en $(0,0)$.

4. Gradient et Jacobienne§

4.1 Gradient§

[!abstract] Définition Si $f : U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ admet toutes ses dérivées partielles en $a$, le gradient de $f$ en $a$ est : $$\nabla f(a) = \operatorname{grad} f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right)$$

[!tip] Interprétation géométrique Le gradient pointe dans la direction de plus grande pente de $f$. Sa norme est le taux de variation maximal.

4.2 Matrice jacobienne§

[!abstract] Définition Pour $f = (f_1, \ldots, f_p) : U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$, la matrice jacobienne en $a$ est : $$J_f(a) = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}(a) \ \vdots & \ddots & \vdots \ \dfrac{\partial f_p}{\partial x_1}(a) & \cdots & \dfrac{\partial f_p}{\partial x_n}(a) \end{pmatrix}$$

Si $p = 1$, la jacobienne est le gradient (transposé en ligne). Le jacobien (déterminant de la jacobienne pour $p = n$) intervient dans les changements de variables pour les intégrales multiples.

5. Différentielle§

5.1 Définition§

[!abstract] Définition $f : U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$ est différentiable en $a \in U$ s’il existe une application linéaire $L : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$ telle que : $$f(a + h) = f(a) + L(h) + o(|h|) \quad \text{quand } h \to 0$$ L’application $L$ est unique et s’appelle la différentielle de $f$ en $a$, notée $df_a$ ou $Df(a)$.

[!important] Lien avec les dérivées partielles Si $f$ est différentiable en $a$, alors $f$ admet toutes ses dérivées partielles en $a$ et : $$df_a(h) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(a),h_i = J_f(a) \cdot h$$ La matrice de $df_a$ dans la base canonique est la matrice jacobienne.

[!warning] Réciproque L’existence des dérivées partielles ne garantit pas la différentiabilité. Mais si les dérivées partielles existent et sont continues au voisinage de $a$, alors $f$ est différentiable en $a$.

5.2 Propriétés§

Différentiable $\Rightarrow$ continue (mais pas la réciproque).
Règle de la chaîne : si $f$ est différentiable en $a$ et $g$ différentiable en $f(a)$, alors $g \circ f$ est différentiable en $a$ et $d(g \circ f)a = dg{f(a)} \circ df_a$, soit en termes de matrices jacobiennes : $$J_{g \circ f}(a) = J_g(f(a)) \cdot J_f(a)$$

6. Fonctions de classe $\mathcal{C}^k$§

[!abstract] Définition $f$ est de classe $\mathcal{C}^k$ sur $U$ si toutes ses dérivées partielles d’ordre $\leq k$ existent et sont continues sur $U$.

6.1 Théorème de Schwarz§

[!abstract] Théorème (Schwarz) Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert $U$, alors pour tous $i, j$ : $$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$$ Les dérivées partielles d’ordre 2 commutent.

[!tip] En pratique Pour les fonctions « raisonnables » (de classe $\mathcal{C}^2$), l’ordre de dérivation n’a pas d’importance. C’est un résultat que l’on utilise constamment.

7. Formule de Taylor§

7.1 Développement de Taylor à l’ordre 1§

$$f(a + h) = f(a) + \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(a),h_i + o(|h|)$$

7.2 Développement de Taylor à l’ordre 2§

Pour $f$ de classe $\mathcal{C}^2$ au voisinage de $a$ :

$$f(a + h) = f(a) + \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(a),h_i + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a),h_i h_j + o(|h|^2)$$

Le terme quadratique fait intervenir la matrice hessienne.

7.3 Matrice hessienne§

[!abstract] Définition La matrice hessienne de $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ en $a$ est la matrice symétrique (par Schwarz) : $$H_f(a) = \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a)\right)_{1 \leq i,j \leq n}$$

La forme quadratique associée $q(h) = h^T H_f(a),h$ détermine la nature des points critiques.

8. Extrema locaux§

8.1 Condition nécessaire§

[!abstract] Théorème (Condition nécessaire d’ordre 1) Si $f$ admet un extremum local en $a$ (point intérieur à $U$) et si $f$ est différentiable en $a$, alors : $$\nabla f(a) = 0$$ Un tel point est appelé point critique (ou point stationnaire).

8.2 Condition suffisante en dimension 2§

Pour $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^2$, soit $(a, b)$ un point critique. On note :

$$r = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b), \quad s = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a,b), \quad t = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a,b)$$

et $\Delta = rt - s^2 = \det H_f(a,b)$.

[!abstract] Théorème (Condition suffisante)

Si $\Delta > 0$ et $r > 0$ : minimum local

Si $\Delta > 0$ et $r < 0$ : maximum local

Si $\Delta < 0$ : point selle (pas d’extremum)

Si $\Delta = 0$ : on ne peut pas conclure

8.3 Condition suffisante en dimension $n$§

On étudie le signe de la matrice hessienne $H_f(a)$ :

$H_f(a)$ définie positive $\Rightarrow$ minimum local
$H_f(a)$ définie négative $\Rightarrow$ maximum local
$H_f(a)$ indéfinie (valeurs propres de signes différents) $\Rightarrow$ point selle

8.4 Stratégie de classification des points critiques (dimension 2)§

flowchart TD
    A["Trouver les points critiques\n∇f = 0"] --> B["Calculer r, s, t\net Δ = rt - s²"]
    B --> C{"Δ > 0 ?"}
    C -- Oui --> D{"r > 0 ?"}
    D -- Oui --> E["MINIMUM LOCAL"]
    D -- Non --> F["MAXIMUM LOCAL"]
    C -- Non --> G{"Δ < 0 ?"}
    G -- Oui --> H["POINT SELLE"]
    G -- Non --> I["Δ = 0\nExamen plus poussé\n(Taylor d'ordre supérieur\nou étude directe)"]

9. Extrema liés : multiplicateurs de Lagrange§

9.1 Position du problème§

On cherche les extrema de $f(x)$ sous la contrainte $g(x) = 0$ (ou $g_1(x) = \cdots = g_k(x) = 0$).

9.2 Théorème des multiplicateurs de Lagrange§

[!abstract] Théorème (Lagrange) Soient $f, g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1$. Si $f$ admet un extremum en $a$ sur l’ensemble ${x \in \mathbb{R}^n : g(x) = 0}$, et si $\nabla g(a) \neq 0$, alors il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que : $$\nabla f(a) = \lambda,\nabla g(a)$$ Le réel $\lambda$ est le multiplicateur de Lagrange.

[!tip] Interprétation géométrique À l’extremum, le gradient de $f$ est colinéaire au gradient de $g$. Autrement dit, les courbes de niveau de $f$ sont tangentes à la courbe de contrainte $g = 0$.

9.3 Méthode pratique§

Pour optimiser $f$ sous la contrainte $g = 0$ :

Résoudre le système : $$\begin{cases} \nabla f(x) = \lambda,\nabla g(x) \ g(x) = 0 \end{cases}$$ Cela donne $n + 1$ équations à $n + 1$ inconnues ($x_1, \ldots, x_n, \lambda$).
Parmi les solutions, identifier les minima et maxima (par exemple en comparant les valeurs de $f$, ou par un argument de compacité).

[!example] Exemple classique Maximiser $f(x,y) = xy$ sous la contrainte $g(x,y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$.

$\nabla f = (y, x)$, $\nabla g = (2x, 2y)$.

Système : $y = 2\lambda x$, $x = 2\lambda y$, $x^2 + y^2 = 1$.

De la première : $y = 2\lambda x$. Dans la deuxième : $x = 2\lambda(2\lambda x) = 4\lambda^2 x$. Si $x \neq 0$ : $4\lambda^2 = 1$, donc $\lambda = \pm 1/2$.

$\lambda = 1/2$ : $y = x$, avec $2x^2 = 1$, soit $(x,y) = (\pm 1/\sqrt{2}, \pm 1/\sqrt{2})$, $f = 1/2$.

$\lambda = -1/2$ : $y = -x$, soit $(x,y) = (\pm 1/\sqrt{2}, \mp 1/\sqrt{2})$, $f = -1/2$.

Maximum : $f = 1/2$, atteint en $(\pm 1/\sqrt{2}, \pm 1/\sqrt{2})$.

10. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Calcul de dérivées partielles et gradient§

[!example] Énoncé Soit $f(x, y, z) = x^2 y,e^{xz}$. Calculer $\nabla f$.

Solution.

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy,e^{xz} + x^2 y \cdot z,e^{xz} = xy,e^{xz}(2 + xz)$$

$$\frac{\partial f}{\partial y} = x^2,e^{xz}$$

$$\frac{\partial f}{\partial z} = x^2 y \cdot x,e^{xz} = x^3 y,e^{xz}$$

$$\boxed{\nabla f(x,y,z) = \left(xy,e^{xz}(2+xz),; x^2 e^{xz},; x^3 y,e^{xz}\right)}$$

Exercice 2 : Différentiabilité§

[!example] Énoncé Montrer que $f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ n’est pas différentiable en $(0,0)$.

Solution.

Si $f$ était différentiable en $(0,0)$, on aurait $f(h,k) = f(0,0) + ah + bk + o(\sqrt{h^2+k^2})$ pour des constantes $a, b$.

Or $f(0,0) = 0$ et $f(h,k) = \sqrt{h^2 + k^2}$, donc on aurait : $$\sqrt{h^2 + k^2} = ah + bk + o(\sqrt{h^2+k^2})$$

Divisons par $\sqrt{h^2+k^2} \neq 0$ : $$1 = \frac{ah + bk}{\sqrt{h^2+k^2}} + o(1)$$

Le terme $\dfrac{ah + bk}{\sqrt{h^2+k^2}}$ dépend de la direction (prendre $h = r\cos\theta$, $k = r\sin\theta$, il vaut $a\cos\theta + b\sin\theta$), donc il ne peut tendre vers $1$ pour toute direction. Contradiction. $\blacksquare$

Exercice 3 : Extrema libres§

[!example] Énoncé Trouver les extrema de $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$.

Solution.

Points critiques : $\nabla f = 0$ : $$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3y = 0 \implies y = x^2$$ $$\frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 - 3x = 0 \implies x = y^2$$

En substituant : $x = (x^2)^2 = x^4$, soit $x(x^3 - 1) = 0$. Donc $x = 0$ ou $x = 1$.

Points critiques : $(0, 0)$ et $(1, 1)$.

Nature : $r = 6x$, $s = -3$, $t = 6y$, $\Delta = 36xy - 9$.

En $(0, 0)$ : $\Delta = -9 < 0$ $\Rightarrow$ point selle.
En $(1, 1)$ : $\Delta = 36 - 9 = 27 > 0$ et $r = 6 > 0$ $\Rightarrow$ minimum local, $f(1,1) = -1$.

Exercice 4 : Multiplicateurs de Lagrange§

[!example] Énoncé Trouver les points de la sphère $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ les plus proches et les plus éloignés du plan $x + y + z = 0$.

Solution.

La distance du point $(x,y,z)$ au plan $x+y+z=0$ est $\dfrac{|x+y+z|}{\sqrt{3}}$. On optimise $f(x,y,z) = x + y + z$ (puis on prendra la valeur absolue) sous $g(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0$.

$\nabla f = (1, 1, 1)$, $\nabla g = (2x, 2y, 2z)$.

Lagrange : $1 = 2\lambda x$, $1 = 2\lambda y$, $1 = 2\lambda z$, donc $x = y = z = \dfrac{1}{2\lambda}$.

Contrainte : $3 \cdot \dfrac{1}{4\lambda^2} = 1$, soit $\lambda^2 = 3/4$, $\lambda = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

$\lambda = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ : $x = y = z = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$, $f = \sqrt{3}$.
$\lambda = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ : $x = y = z = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$, $f = -\sqrt{3}$.

Distance maximale : $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$ (points $\pm(1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3})$). Distance minimale : $0$, atteinte sur le cercle intersection de la sphère et du plan.

Mais les extrema de $f$ sur la sphère sont bien $\pm\sqrt{3}$, correspondant aux points les plus éloignés du plan, à distance $1$. Les points les plus proches du plan sont ceux de l’intersection sphère/plan (distance $0$), mais ce ne sont pas des extrema de $f$ au sens de Lagrange — ils sont dans l’ensemble $g = 0$ avec $f = 0$.

Exercice 5 : Règle de la chaîne§

[!example] Énoncé Soit $f(x,y)$ de classe $\mathcal{C}^1$ et $g(r,\theta) = f(r\cos\theta, r\sin\theta)$ (coordonnées polaires). Exprimer $\dfrac{\partial g}{\partial r}$ et $\dfrac{\partial g}{\partial \theta}$.

Solution.

Par la règle de la chaîne avec $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ :

$$\frac{\partial g}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x}\cos\theta + \frac{\partial f}{\partial y}\sin\theta$$

$$\frac{\partial g}{\partial \theta} = \frac{\partial f}{\partial x}(-r\sin\theta) + \frac{\partial f}{\partial y}(r\cos\theta)$$

En notation vectorielle : $\dfrac{\partial g}{\partial r} = \nabla f \cdot \mathbf{e}r$ et $\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial g}{\partial \theta} = \nabla f \cdot \mathbf{e}\theta$.

Voir aussi : Intégrales Généralisées, Topologie Prépa

—The Gardener