Séries de Fourier
L’analyse de Fourier décompose une fonction périodique en somme (infinie) de fonctions sinusoïdales. C’est l’un des outils les plus puissants et les plus beaux des mathématiques, avec des applications en physique (ondes, chaleur), traitement du signal, et analyse harmonique.
[!quote] Prérequis Intégration, Séries de Fonctions, Espaces Préhilbertiens, Trigonométrie
Intuition§
[!tip] L’idée fondamentale Toute fonction périodique “raisonnable” peut s’écrire comme une superposition d’ondes sinusoïdales de fréquences multiples. La série de Fourier décompose le signal en ses composantes fréquentielles.
graph LR
A["Signal<br/>périodique f(t)"] --> B["Analyse de<br/>Fourier"]
B --> C["Coefficients<br/>aₙ, bₙ"]
C --> D["Synthèse :<br/>somme de sin et cos"]
D --> E["Reconstruction<br/>de f(t)"]
style B fill:#BBDEFB
style C fill:#FFF9C4
Fonctions périodiques et espace $L^2$§
Fonctions $T$-périodiques§
On travaille avec des fonctions $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ (ou $\mathbb{C}$) de période $T > 0$. On note $\omega = \frac{2\pi}{T}$ la pulsation fondamentale.
Par convention, on prend souvent $T = 2\pi$ (i.e. $\omega = 1$).
Produit scalaire et norme§
Sur l’espace des fonctions $2\pi$-périodiques continues par morceaux, on définit :
$$\langle f, g \rangle = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \overline{g(t)} , dt$$
$$|f|_2 = \sqrt{\langle f, f \rangle} = \sqrt{\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(t)|^2 , dt}$$
[!important] Base orthonormale trigonométrique La famille ${1, \cos(nt), \sin(nt)}_{n \geq 1}$ est orthogonale pour ce produit scalaire :
$$\langle \cos(nt), \cos(mt) \rangle = \begin{cases} 0 & \text{si } n \neq m \ 1/2 & \text{si } n = m \geq 1 \ 1 & \text{si } n = m = 0 \end{cases}$$
$$\langle \sin(nt), \sin(mt) \rangle = \begin{cases} 0 & \text{si } n \neq m \ 1/2 & \text{si } n = m \geq 1 \end{cases}$$
$$\langle \cos(nt), \sin(mt) \rangle = 0 \quad \text{toujours}$$
Base exponentielle§
La famille ${e^{int}}{n \in \mathbb{Z}}$ est orthonormale : $\langle e^{int}, e^{imt} \rangle = \delta{nm}$.
Coefficients de Fourier§
Coefficients trigonométriques§
[!abstract] Définition Soit $f$ une fonction $2\pi$-périodique intégrable. Ses coefficients de Fourier sont :
$$a_0(f) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t) , dt$$
$$a_n(f) = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \cos(nt) , dt \quad (n \geq 1)$$
$$b_n(f) = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \sin(nt) , dt \quad (n \geq 1)$$
Coefficients exponentiels (complexes)§
$$c_n(f) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t) e^{-int} , dt \quad (n \in \mathbb{Z})$$
Lien : $c_0 = a_0$, et pour $n \geq 1$ : $c_n = \frac{a_n - ib_n}{2}$, $c_{-n} = \frac{a_n + ib_n}{2} = \overline{c_n}$ (si $f$ est réelle).
Série de Fourier§
La série de Fourier de $f$ est :
$$S_N f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{N} \left[ a_n \cos(nt) + b_n \sin(nt) \right] = \sum_{n=-N}^{N} c_n e^{int}$$
[!warning] Question fondamentale La série de Fourier converge-t-elle ? Et si oui, vers $f$ ?
Simplifications par parité et symétrie§
[!tip] Exploiter la parité
- Si $f$ est paire : $b_n = 0$ pour tout $n$ (série en cosinus uniquement)
- Si $f$ est impaire : $a_n = 0$ pour tout $n$ (série en sinus uniquement)
flowchart TD
A["Calculer les coefficients<br/>de Fourier de f"] --> B{"f est paire ?"}
B -->|Oui| C["bₙ = 0<br/>Calculer seulement aₙ"]
B -->|Non| D{"f est impaire ?"}
D -->|Oui| E["aₙ = 0<br/>Calculer seulement bₙ"]
D -->|Non| F["Calculer aₙ et bₙ"]
style C fill:#C8E6C9
style E fill:#BBDEFB
Théorèmes de convergence§
Convergence en moyenne quadratique (toujours)§
[!abstract] Théorème de Parseval Si $f$ est continue par morceaux et $2\pi$-périodique : $$|f|2^2 = |a_0|^2 + \frac{1}{2} \sum{n=1}^{+\infty} (a_n^2 + b_n^2) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} |c_n|^2$$
Autrement dit : $|S_N f - f|_2 \to 0$ (convergence en norme $L^2$).
[!important] Inégalité de Bessel (avant Parseval) $$|a_0|^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N} (a_n^2 + b_n^2) \leq |f|_2^2$$ Parseval est le passage à la limite dans Bessel.
Convergence ponctuelle : théorème de Dirichlet§
[!abstract] Théorème de Dirichlet Si $f$ est $2\pi$-périodique, continue par morceaux et de classe $C^1$ par morceaux, alors pour tout $t \in \mathbb{R}$ : $$S_N f(t) \xrightarrow[N \to +\infty]{} \frac{f(t^+) + f(t^-)}{2}$$
En particulier, aux points de continuité : $S_N f(t) \to f(t)$.
[!warning] Phénomène de Gibbs Aux points de discontinuité, les sommes partielles présentent des oscillations (dépassement d’environ 9%) qui ne disparaissent pas quand $N \to \infty$. La convergence ponctuelle est vers la demi-somme des limites à gauche et à droite, mais la convergence n’est pas uniforme au voisinage du saut.
Convergence normale§
[!abstract] Théorème Si $f$ est $C^1$ et $2\pi$-périodique, alors la série de Fourier converge normalement (donc uniformément) vers $f$.
Plus généralement, si $f$ est $C^k$, alors $|c_n| = O(1/n^k)$, et la série converge normalement dès que $k \geq 2$.
Exemples classiques§
Fonction créneau§
$$f(t) = \begin{cases} 1 & \text{si } 0 < t < \pi \ -1 & \text{si } -\pi < t < 0 \end{cases}$$
$f$ est impaire, donc $a_n = 0$. On calcule :
$$b_n = \begin{cases} \frac{4}{n\pi} & \text{si } n \text{ impair} \ 0 & \text{si } n \text{ pair} \end{cases}$$
$$f(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{\sin((2k+1)t)}{2k+1}$$
[!example] Application : calcul de série En évaluant en $t = \pi/2$ : $1 = \frac{4}{\pi}\left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots\right)$
D’où la formule de Leibniz : $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{\pi}{4}$
Fonction dent de scie§
$$f(t) = t \quad \text{sur } ]-\pi, \pi[$$
$f$ est impaire : $a_n = 0$ et $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$.
$$f(t) = 2\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nt)$$
Fonction $|t|$ sur $[-\pi, \pi]$§
$f$ est paire : $b_n = 0$ et $a_0 = \pi/2$.
$$a_n = \begin{cases} -\frac{4}{n^2 \pi} & \text{si } n \text{ impair} \ 0 & \text{si } n \text{ pair} \end{cases}$$
$$|t| = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{\cos((2k+1)t)}{(2k+1)^2}$$
[!example] Application (Parseval) Par Parseval appliqué à $f(t) = |t|$ : $$\frac{\pi^2}{3} = \frac{\pi^2}{4} + \frac{16}{\pi^2} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(2k+1)^4}$$
D’où : $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(2k+1)^4} = \frac{\pi^4}{96}$, et on retrouve $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$.
Propriétés des coefficients de Fourier§
| Propriété de $f$ | Conséquence sur les coefficients |
|---|---|
| $f$ réelle | $c_{-n} = \overline{c_n}$ |
| $f$ paire | $b_n = 0$, $c_{-n} = c_n$ |
| $f$ impaire | $a_n = 0$, $c_{-n} = -c_n$ |
| $f$ de classe $C^k$ | $c_n = o(1/n^k)$ (Riemann-Lebesgue) |
| $f(t+\pi) = -f(t)$ | $a_{2n} = b_{2n} = 0$ (harmoniques impaires) |
[!abstract] Lemme de Riemann-Lebesgue Si $f$ est intégrable, alors $c_n(f) \to 0$ quand $|n| \to +\infty$.
Plus $f$ est régulière, plus la décroissance est rapide.
Dérivation et intégration§
Dérivation§
Si $f$ est $C^1$ et $2\pi$-périodique, les coefficients de $f’$ sont :
$$c_n(f’) = in \cdot c_n(f)$$
(Dériver “en fréquence” = multiplier par $in$.)
Intégration§
$$c_n\left(\int_0^t f(s) , ds - a_0 t\right) = \frac{c_n(f)}{in} \quad (n \neq 0)$$
Exercices types§
[!example] Exercice 1 — Calcul de coefficients Calculer la série de Fourier de $f(t) = t^2$ sur $[-\pi, \pi]$.
Solution : $f$ paire, donc $b_n = 0$. On trouve $a_0 = \pi^2/3$ et $a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}$.
$$t^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \cos(nt)$$
En $t = \pi$ : $\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum \frac{1}{n^2}$, d’où $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ (problème de Bâle).
[!example] Exercice 2 — Parseval En appliquant Parseval à $f(t) = t^2$, calculer $\sum \frac{1}{n^4}$.
Solution : $|f|2^2 = \frac{1}{2\pi}\int{-\pi}^{\pi} t^4 , dt = \frac{\pi^4}{5}$.
Parseval : $\frac{\pi^4}{9} + \frac{1}{2} \sum \frac{16}{n^4} = \frac{\pi^4}{5}$, d’où $\sum \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$.
[!example] Exercice 3 — Convergence Montrer que la série de Fourier du créneau converge en tout point de continuité mais pas uniformément.
Idée : Dirichlet s’applique ($C^1$ par morceaux). Pas de convergence uniforme car $f$ est discontinue (Gibbs).
À retenir§
[!important] Les points clés
- Les coefficients de Fourier mesurent le “poids” de chaque fréquence dans le signal
- Parseval = théorème de Pythagore en dimension infinie : $|f|^2 = \sum |c_n|^2$
- Dirichlet : convergence ponctuelle vers $\frac{f(t^+)+f(t^-)}{2}$
- Plus $f$ est régulière, plus les $c_n$ décroissent vite
- Les séries de Fourier permettent de calculer des sommes de séries numériques ($\zeta(2), \zeta(4)$, etc.)