L’analyse de Fourier décompose une fonction périodique en somme (infinie) de fonctions sinusoïdales. C’est l’un des outils les plus puissants et les plus beaux des mathématiques, avec des applications en physique (ondes, chaleur), traitement du signal, et analyse harmonique.
Intuition§
Toute fonction périodique “raisonnable” peut s’écrire comme une superposition d’ondes sinusoïdales de fréquences multiples. La série de Fourier décompose le signal en ses composantes fréquentielles.
graph LR
A["Signal<br/>périodique f(t)"] --> B["Analyse de<br/>Fourier"]
B --> C["Coefficients<br/>aₙ, bₙ"]
C --> D["Synthèse :<br/>somme de sin et cos"]
D --> E["Reconstruction<br/>de f(t)"]
style B fill:#BBDEFB
style C fill:#FFF9C4
Fonctions périodiques et espace L 2 L^2 L 2 §
Fonctions T T T §
On travaille avec des fonctions f : R → R f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} f : R → R C \mathbb{C} C T > 0 T > 0 T > 0 ω = 2 π T \omega = \frac{2\pi}{T} ω = T 2 π
Par convention, on prend souvent T = 2 π T = 2\pi T = 2 π ω = 1 \omega = 1 ω = 1
Produit scalaire et norme§
Sur l’espace des fonctions 2 π 2\pi 2 π
⟨ f , g ⟩ = 1 2 π ∫ 0 2 π f ( t ) g ( t ) ‾ , d t \langle f, g \rangle = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \overline{g(t)} , dt ⟨ f , g ⟩ = 2 π 1 ∫ 0 2 π f ( t ) g ( t ) , d t ∣ f ∣ 2 = ⟨ f , f ⟩ = 1 2 π ∫ 0 2 π ∣ f ( t ) ∣ 2 , d t |f|_2 = \sqrt{\langle f, f \rangle} = \sqrt{\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(t)|^2 , dt} ∣ f ∣ 2 = ⟨ f , f ⟩ = 2 π 1 ∫ 0 2 π ∣ f ( t ) ∣ 2 , d t Base orthonormale trigonométrique La famille 1 , cos ( n t ) , sin ( n t ) n ≥ 1 {1, \cos(nt), \sin(nt)}_{n \geq 1} 1 , cos ( n t ) , sin ( n t ) n ≥ 1 orthogonale pour ce produit scalaire :
⟨ cos ( n t ) , cos ( m t ) ⟩ = { 0 si n ≠ m 1 / 2 si n = m ≥ 1 1 si n = m = 0 \langle \cos(nt), \cos(mt) \rangle = \begin{cases} 0 & \text{si } n \neq m \ 1/2 & \text{si } n = m \geq 1 \ 1 & \text{si } n = m = 0 \end{cases} ⟨ cos ( n t ) , cos ( m t )⟩ = { 0 si n = m 1/2 si n = m ≥ 1 1 si n = m = 0
⟨ sin ( n t ) , sin ( m t ) ⟩ = { 0 si n ≠ m 1 / 2 si n = m ≥ 1 \langle \sin(nt), \sin(mt) \rangle = \begin{cases} 0 & \text{si } n \neq m \ 1/2 & \text{si } n = m \geq 1 \end{cases} ⟨ sin ( n t ) , sin ( m t )⟩ = { 0 si n = m 1/2 si n = m ≥ 1
⟨ cos ( n t ) , sin ( m t ) ⟩ = 0 toujours \langle \cos(nt), \sin(mt) \rangle = 0 \quad \text{toujours} ⟨ cos ( n t ) , sin ( m t )⟩ = 0 toujours Base exponentielle§
La famille e i n t n ∈ Z {e^{int}}_{n \in \mathbb{Z}} e in t n ∈ Z ⟨ e i n t , e i m t ⟩ = δ n m \langle e^{int}, e^{imt} \rangle = \delta_{nm} ⟨ e in t , e im t ⟩ = δ nm
Coefficients de Fourier§
Coefficients trigonométriques§
Soit f f f 2 π 2\pi 2 π coefficients de Fourier sont :
a 0 ( f ) = 1 2 π ∫ 0 2 π f ( t ) , d t a_0(f) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t) , dt a 0 ( f ) = 2 π 1 ∫ 0 2 π f ( t ) , d t
a n ( f ) = 1 π ∫ 0 2 π f ( t ) cos ( n t ) , d t ( n ≥ 1 ) a_n(f) = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \cos(nt) , dt \quad (n \geq 1) a n ( f ) = π 1 ∫ 0 2 π f ( t ) cos ( n t ) , d t ( n ≥ 1 )
b n ( f ) = 1 π ∫ 0 2 π f ( t ) sin ( n t ) , d t ( n ≥ 1 ) b_n(f) = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \sin(nt) , dt \quad (n \geq 1) b n ( f ) = π 1 ∫ 0 2 π f ( t ) sin ( n t ) , d t ( n ≥ 1 ) Coefficients exponentiels (complexes)§
c n ( f ) = 1 2 π ∫ 0 2 π f ( t ) e − i n t , d t ( n ∈ Z ) c_n(f) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t) e^{-int} , dt \quad (n \in \mathbb{Z}) c n ( f ) = 2 π 1 ∫ 0 2 π f ( t ) e − in t , d t ( n ∈ Z ) Lien : c 0 = a 0 c_0 = a_0 c 0 = a 0 n ≥ 1 n \geq 1 n ≥ 1 c n = a n − i b n 2 c_n = \frac{a_n - ib_n}{2} c n = 2 a n − i b n c − n = a n + i b n 2 = c n ‾ c_{-n} = \frac{a_n + ib_n}{2} = \overline{c_n} c − n = 2 a n + i b n = c n f f f
Série de Fourier§
La série de Fourier de f f f
S N f ( t ) = a 0 + ∑ n = 1 N [ a n cos ( n t ) + b n sin ( n t ) ] = ∑ n = − N N c n e i n t S_N f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{N} \left[ a_n \cos(nt) + b_n \sin(nt) \right] = \sum_{n=-N}^{N} c_n e^{int} S N f ( t ) = a 0 + n = 1 ∑ N [ a n cos ( n t ) + b n sin ( n t ) ] = n = − N ∑ N c n e in t La série de Fourier converge-t-elle ? Et si oui, vers f f f
Simplifications par parité et symétrie§
Si f f f paire : b n = 0 b_n = 0 b n = 0 n n n
Si f f f impaire : a n = 0 a_n = 0 a n = 0 n n n
flowchart TD
A["Calculer les coefficients<br/>de Fourier de f"] --> B{"f est paire ?"}
B -->|Oui| C["bₙ = 0<br/>Calculer seulement aₙ"]
B -->|Non| D{"f est impaire ?"}
D -->|Oui| E["aₙ = 0<br/>Calculer seulement bₙ"]
D -->|Non| F["Calculer aₙ et bₙ"]
style C fill:#C8E6C9
style E fill:#BBDEFB
Théorèmes de convergence§
Convergence en moyenne quadratique (toujours)§
Si f f f 2 π 2\pi 2 π
∣ f ∣ 2 2 = ∣ a 0 ∣ 2 + 1 2 ∑ n = 1 + ∞ ( a n 2 + b n 2 ) = ∑ n ∈ Z ∣ c n ∣ 2 |f|_2^2 = |a_0|^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n^2 + b_n^2) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} |c_n|^2 ∣ f ∣ 2 2 = ∣ a 0 ∣ 2 + 2 1 n = 1 ∑ + ∞ ( a n 2 + b n 2 ) = n ∈ Z ∑ ∣ c n ∣ 2
Autrement dit : ∣ S N f − f ∣ 2 → 0 |S_N f - f|_2 \to 0 ∣ S N f − f ∣ 2 → 0 L 2 L^2 L 2
Inégalité de Bessel (avant Parseval)
∣ a 0 ∣ 2 + 1 2 ∑ n = 1 N ( a n 2 + b n 2 ) ≤ ∣ f ∣ 2 2 |a_0|^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N} (a_n^2 + b_n^2) \leq |f|_2^2 ∣ a 0 ∣ 2 + 2 1 n = 1 ∑ N ( a n 2 + b n 2 ) ≤ ∣ f ∣ 2 2
Parseval est le passage à la limite dans Bessel.
Convergence ponctuelle : théorème de Dirichlet§
Si f f f 2 π 2\pi 2 π continue par morceaux et de classe C 1 C^1 C 1 , alors pour tout t ∈ R t \in \mathbb{R} t ∈ R
S N f ( t ) → N → + ∞ f ( t + ) + f ( t − ) 2 S_N f(t) \xrightarrow[N \to +\infty]{} \frac{f(t^+) + f(t^-)}{2} S N f ( t ) N → + ∞ 2 f ( t + ) + f ( t − )
En particulier, aux points de continuité : S N f ( t ) → f ( t ) S_N f(t) \to f(t) S N f ( t ) → f ( t )
Aux points de discontinuité, les sommes partielles présentent des oscillations (dépassement d’environ 9%) qui ne disparaissent pas quand N → ∞ N \to \infty N → ∞ pas uniforme au voisinage du saut.
Convergence normale§
Si f f f C 1 C^1 C 1 2 π 2\pi 2 π normalement (donc uniformément) vers f f f
Plus généralement, si f f f C k C^k C k ∣ c n ∣ = O ( 1 / n k ) |c_n| = O(1/n^k) ∣ c n ∣ = O ( 1/ n k ) k ≥ 2 k \geq 2 k ≥ 2
Exemples classiques§
Fonction créneau§
f ( t ) = { 1 si 0 < t < π − 1 si − π < t < 0 f(t) = \begin{cases} 1 & \text{si } 0 < t < \pi \ -1 & \text{si } -\pi < t < 0 \end{cases} f ( t ) = { 1 si 0 < t < π − 1 si − π < t < 0 f f f a n = 0 a_n = 0 a n = 0
b n = { 4 n π si n impair 0 si n pair b_n = \begin{cases} \frac{4}{n\pi} & \text{si } n \text{ impair} \ 0 & \text{si } n \text{ pair} \end{cases} b n = { nπ 4 si n impair 0 si n pair f ( t ) = 4 π ∑ k = 0 + ∞ sin ( ( 2 k + 1 ) t ) 2 k + 1 f(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{\sin((2k+1)t)}{2k+1} f ( t ) = π 4 k = 0 ∑ + ∞ 2 k + 1 sin (( 2 k + 1 ) t ) Application : calcul de série En évaluant en t = π / 2 t = \pi/2 t = π /2 1 = 4 π ( 1 − 1 3 + 1 5 − ⋯ ) 1 = \frac{4}{\pi}\left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots\right) 1 = π 4 ( 1 − 3 1 + 5 1 − ⋯ )
D’où la formule de Leibniz : ∑ k = 0 + ∞ ( − 1 ) k 2 k + 1 = π 4 \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{\pi}{4} k = 0 ∑ + ∞ 2 k + 1 ( − 1 ) k = 4 π
Fonction dent de scie§
f ( t ) = t sur ] − π , π [ f(t) = t \quad \text{sur } ]-\pi, \pi[ f ( t ) = t sur ] − π , π [ f f f a n = 0 a_n = 0 a n = 0 b n = 2 ( − 1 ) n + 1 n b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} b n = n 2 ( − 1 ) n + 1
f ( t ) = 2 ∑ n = 1 + ∞ ( − 1 ) n + 1 n sin ( n t ) f(t) = 2\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nt) f ( t ) = 2 n = 1 ∑ + ∞ n ( − 1 ) n + 1 sin ( n t ) Fonction ∣ t ∣ |t| ∣ t ∣ [ − π , π ] [-\pi, \pi] [ − π , π ] §
f f f b n = 0 b_n = 0 b n = 0 a 0 = π / 2 a_0 = \pi/2 a 0 = π /2
a n = { − 4 n 2 π si n impair 0 si n pair a_n = \begin{cases} -\frac{4}{n^2 \pi} & \text{si } n \text{ impair} \ 0 & \text{si } n \text{ pair} \end{cases} a n = { − n 2 π 4 si n impair 0 si n pair ∣ t ∣ = π 2 − 4 π ∑ k = 0 + ∞ cos ( ( 2 k + 1 ) t ) ( 2 k + 1 ) 2 |t| = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{\cos((2k+1)t)}{(2k+1)^2} ∣ t ∣ = 2 π − π 4 k = 0 ∑ + ∞ ( 2 k + 1 ) 2 cos (( 2 k + 1 ) t ) Par Parseval appliqué à f ( t ) = ∣ t ∣ f(t) = |t| f ( t ) = ∣ t ∣
π 2 3 = π 2 4 + 16 π 2 ∑ k = 0 + ∞ 1 ( 2 k + 1 ) 4 \frac{\pi^2}{3} = \frac{\pi^2}{4} + \frac{16}{\pi^2} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(2k+1)^4} 3 π 2 = 4 π 2 + π 2 16 k = 0 ∑ + ∞ ( 2 k + 1 ) 4 1
D’où : ∑ k = 0 + ∞ 1 ( 2 k + 1 ) 4 = π 4 96 \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(2k+1)^4} = \frac{\pi^4}{96} k = 0 ∑ + ∞ ( 2 k + 1 ) 4 1 = 96 π 4 ∑ n = 1 + ∞ 1 n 4 = π 4 90 \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90} n = 1 ∑ + ∞ n 4 1 = 90 π 4
Propriétés des coefficients de Fourier§
Propriété de f f f Conséquence sur les coefficients f f f c − n = c n ‾ c_{-n} = \overline{c_n} c − n = c n f f f b n = 0 b_n = 0 b n = 0 c − n = c n c_{-n} = c_n c − n = c n f f f a n = 0 a_n = 0 a n = 0 c − n = − c n c_{-n} = -c_n c − n = − c n f f f C k C^k C k c n = o ( 1 / n k ) c_n = o(1/n^k) c n = o ( 1/ n k ) f ( t + π ) = − f ( t ) f(t+\pi) = -f(t) f ( t + π ) = − f ( t ) a 2 n = b 2 n = 0 a_{2n} = b_{2n} = 0 a 2 n = b 2 n = 0
Lemme de Riemann-Lebesgue Si f f f c n ( f ) → 0 c_n(f) \to 0 c n ( f ) → 0 ∣ n ∣ → + ∞ |n| \to +\infty ∣ n ∣ → + ∞
Plus f f f
Dérivation et intégration§
Dérivation§
Si f f f C 1 C^1 C 1 2 π 2\pi 2 π f ′ f' f ′
c n ( f ′ ) = i n ⋅ c n ( f ) c_n(f') = in \cdot c_n(f) c n ( f ′ ) = in ⋅ c n ( f ) (Dériver “en fréquence” = multiplier par i n in in
Intégration§
c n ( ∫ 0 t f ( s ) , d s − a 0 t ) = c n ( f ) i n ( n ≠ 0 ) c_n\left(\int_0^t f(s) , ds - a_0 t\right) = \frac{c_n(f)}{in} \quad (n \neq 0) c n ( ∫ 0 t f ( s ) , d s − a 0 t ) = in c n ( f ) ( n = 0 ) Exercices types§
Exercice 1 — Calcul de coefficients Calculer la série de Fourier de f ( t ) = t 2 f(t) = t^2 f ( t ) = t 2 [ − π , π ] [-\pi, \pi] [ − π , π ]
Solution : f f f b n = 0 b_n = 0 b n = 0 a 0 = π 2 / 3 a_0 = \pi^2/3 a 0 = π 2 /3 a n = 4 ( − 1 ) n n 2 a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2} a n = n 2 4 ( − 1 ) n
t 2 = π 2 3 + 4 ∑ n = 1 + ∞ ( − 1 ) n n 2 cos ( n t ) t^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \cos(nt) t 2 = 3 π 2 + 4 n = 1 ∑ + ∞ n 2 ( − 1 ) n cos ( n t )
En t = π t = \pi t = π π 2 = π 2 3 + 4 ∑ 1 n 2 \pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum \frac{1}{n^2} π 2 = 3 π 2 + 4 ∑ n 2 1 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} ∑ n = 1 ∞ n 2 1 = 6 π 2
En appliquant Parseval à f ( t ) = t 2 f(t) = t^2 f ( t ) = t 2 ∑ 1 n 4 \sum \frac{1}{n^4} ∑ n 4 1
Solution : ∣ f ∣ 2 2 = 1 2 π ∫ − π π t 4 , d t = π 4 5 |f|_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^4 , dt = \frac{\pi^4}{5} ∣ f ∣ 2 2 = 2 π 1 ∫ − π π t 4 , d t = 5 π 4
Parseval : π 4 9 + 1 2 ∑ 16 n 4 = π 4 5 \frac{\pi^4}{9} + \frac{1}{2} \sum \frac{16}{n^4} = \frac{\pi^4}{5} 9 π 4 + 2 1 ∑ n 4 16 = 5 π 4 ∑ 1 n 4 = π 4 90 \sum \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90} ∑ n 4 1 = 90 π 4
Montrer que la série de Fourier du créneau converge en tout point de continuité mais pas uniformément.
Idée : Dirichlet s’applique (C 1 C^1 C 1 f f f
À retenir§
Les coefficients de Fourier mesurent le “poids” de chaque fréquence dans le signal
Parseval = théorème de Pythagore en dimension infinie : ∣ f ∣ 2 = ∑ ∣ c n ∣ 2 |f|^2 = \sum |c_n|^2 ∣ f ∣ 2 = ∑ ∣ c n ∣ 2 Dirichlet : convergence ponctuelle vers f ( t + ) + f ( t − ) 2 \frac{f(t^+)+f(t^-)}{2} 2 f ( t + ) + f ( t − ) Plus f f f c n c_n c n
Les séries de Fourier permettent de calculer des sommes de séries numériques (ζ ( 2 ) , ζ ( 4 ) \zeta(2), \zeta(4) ζ ( 2 ) , ζ ( 4 )
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