Intégration

L’intégration est l’un des piliers de l’analyse mathématique. Ce chapitre développe la théorie de l’intégrale de Riemann sur un segment, ses propriétés fondamentales, le lien avec les primitives via le théorème fondamental de l’analyse, et les techniques de calcul au programme de MPSI.

1. Intégrale de Riemann§

1.1. Subdivisions et sommes de Darboux§

Soit $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ une fonction bornée. Une subdivision de $[a, b]$ est une suite finie $\sigma = (x_0, x_1, \dots, x_n)$ avec :

a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b

Définition — Sommes de Darboux

Pour une subdivision $\sigma = (x_0, \dots, x_n)$ et $f$ bornée sur $[a, b]$ , on pose :

$m_k = \inf_{x \in [x_{k-1}, x_k]} f(x)$ et $M_k = \sup_{x \in [x_{k-1}, x_k]} f(x)$
Somme de Darboux inférieure : $s(f, \sigma) = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} m_k (x_k - x_{k-1})$
Somme de Darboux supérieure : $S(f, \sigma) = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} M_k (x_k - x_{k-1})$

On a toujours $s(f, \sigma) \leqslant S(f, \sigma)$ .

Propriété de raffinement

Si $\sigma'$ est plus fine que $\sigma$ (c’est-à-dire $\sigma \subset \sigma'$ ), alors :

s(f, \sigma) \leqslant s(f, \sigma') \leqslant S(f, \sigma') \leqslant S(f, \sigma)

Autrement dit, raffiner une subdivision resserre l’encadrement.

1.2. Fonctions en escalier§

Définition — Fonction en escalier

Une fonction $\varphi : [a, b] \to \mathbb{R}$ est dite en escalier s’il existe une subdivision $\sigma = (x_0, \dots, x_n)$ de $[a, b]$ telle que $\varphi$ est constante sur chaque intervalle ouvert $]x_{k-1}, x_k[$ . On note $\mathcal{E}([a, b])$ l’ensemble des fonctions en escalier sur $[a, b]$ .

L’intégrale d’une fonction en escalier $\varphi$ , constante égale à $c_k$ sur $]x_{k-1}, x_k[$ , est :

\int_a^b \varphi(t), dt = \sum_{k=1}^{n} c_k (x_k - x_{k-1})

Cette valeur ne dépend pas de la subdivision adaptée choisie.

1.3. Intégrabilité au sens de Riemann§

Définition — Intégrabilité

Une fonction bornée $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ est intégrable au sens de Riemann si :

\sup_\sigma s(f, \sigma) = \inf_\sigma S(f, \sigma)

Cette valeur commune est notée $\displaystyle\int_a^b f(t), dt$ .

De manière équivalente, $f$ est intégrable si et seulement si :

\forall \varepsilon > 0, ; \exists \sigma, \quad S(f, \sigma) - s(f, \sigma) < \varepsilon

2. Classes de fonctions intégrables§

Théorème — Intégrabilité des fonctions continues

Toute fonction continue sur $[a, b]$ est intégrable sur $[a, b]$ .

Esquisse de preuve

Une fonction continue sur un segment est uniformément continue (théorème de Heine). Pour $\varepsilon > 0$ , il existe $\delta > 0$ tel que $|x - y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon / (b - a)$ . On choisit une subdivision de pas $< \delta$ , et l’on obtient $S(f, \sigma) - s(f, \sigma) < \varepsilon$ .

Théorème — Intégrabilité des fonctions monotones

Toute fonction monotone sur $[a, b]$ est intégrable sur $[a, b]$ .

Esquisse de preuve

Si $f$ est croissante, pour une subdivision régulière $(x_k = a + k(b-a)/n)$ , on a $m_k = f(x_{k-1})$ et $M_k = f(x_k)$ . Alors :

S(f,\sigma) - s(f,\sigma) = \frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^n \big(f(x_k) - f(x_{k-1})\big) = \frac{b-a}{n}\big(f(b) - f(a)\big) \xrightarrow[n\to\infty]{} 0

Théorème — Intégrabilité des fonctions continues par morceaux

Toute fonction continue par morceaux sur $[a, b]$ est intégrable sur $[a, b]$ .

3. Propriétés de l’intégrale§

Soient $f, g$ intégrables sur $[a, b]$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ .

3.1. Linéarité§

\int_a^b \big(\lambda f(t) + g(t)\big), dt = \lambda \int_a^b f(t), dt + \int_a^b g(t), dt

3.2. Positivité et croissance§

Théorème — Positivité

Si $f \geqslant 0$ sur $[a, b]$ , alors $\displaystyle\int_a^b f(t), dt \geqslant 0$ .

Corollaire — Croissance

Si $f \leqslant g$ sur $[a, b]$ , alors $\displaystyle\int_a^b f(t), dt \leqslant \int_a^b g(t), dt$ .

Théorème — Stricte positivité

Si $f$ est continue, $f \geqslant 0$ sur $[a, b]$ , et $f \neq 0$ , alors $\displaystyle\int_a^b f(t), dt > 0$ .

3.3. Relation de Chasles§

Pour tout $c \in [a, b]$ :

\int_a^b f(t), dt = \int_a^c f(t), dt + \int_c^b f(t), dt

Plus généralement, cette relation vaut pour $a, b, c$ dans un ordre quelconque, en posant $\displaystyle\int_b^a f(t), dt = -\int_a^b f(t), dt$ .

3.4. Inégalité triangulaire intégrale§

Théorème — Inégalité triangulaire

Si $f$ est intégrable sur $[a, b]$ , alors $|f|$ l’est aussi, et :

\left|\int_a^b f(t), dt\right| \leqslant \int_a^b |f(t)|, dt

3.5. Valeur moyenne§

Définition — Valeur moyenne

La valeur moyenne de $f$ sur $[a, b]$ est :

\mu(f) = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(t), dt

Théorème — Valeur intermédiaire pour les intégrales

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , il existe $c \in [a, b]$ tel que :

\int_a^b f(t), dt = (b - a) f(c)

4. Théorème fondamental de l’analyse§

C’est le résultat central de ce chapitre : il relie intégration et dérivation.

Théorème fondamental de l’analyse (première forme)

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ . La fonction $F$ définie par :

F(x) = \int_a^x f(t), dt

est l’unique primitive de $f$ sur $[a, b]$ qui s’annule en $a$ . En particulier, $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et $F'(x) = f(x)$ .

Esquisse de preuve

On écrit le taux d’accroissement :

\frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t), dt

Par le théorème de la valeur moyenne, il existe $c_h$ entre $x$ et $x + h$ tel que cette expression vaut $f(c_h)$ . Quand $h \to 0$ , $c_h \to x$ et $f(c_h) \to f(x)$ par continuité.

Théorème fondamental (seconde forme)

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $G$ est une primitive quelconque de $f$ , alors :

\int_a^b f(t), dt = G(b) - G(a) = \big[G(t)\big]_a^b

Exemple

Calculer $\displaystyle\int_0^1 t^2, dt$ .

Une primitive de $t \mapsto t^2$ est $G(t) = \dfrac{t^3}{3}$ . Donc :

\int_0^1 t^2, dt = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}

5. Formules de Taylor§

5.1. Formule de Taylor avec reste intégral§

Théorème — Taylor avec reste intégral

Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur $[a, b]$ , alors pour tout $x \in [a, b]$ :

f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k + \int_a^x \frac{(x - t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t), dt

Esquisse de preuve

Par récurrence sur $n$ . Le cas $n = 0$ est simplement $f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t), dt$ . Le passage de $n$ à $n+1$ se fait par une intégration par parties du reste intégral.

5.2. Inégalité de Taylor-Lagrange§

Corollaire — Inégalité de Taylor-Lagrange

Sous les mêmes hypothèses, si $|f^{(n+1)}|_\infty = M_{n+1}$ , alors :

\left|f(x) - \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\right| \leqslant M_{n+1} \frac{|x - a|^{n+1}}{(n+1)!}

6. Techniques d’intégration§

6.1. Intégration par parties (IPP)§

Théorème — Intégration par parties

Soient $u, v$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a, b]$ . Alors :

\int_a^b u(t) v'(t), dt = \big[u(t)v(t)\big]_a^b - \int_a^b u'(t) v(t), dt

Exemple — Calcul de

\int_0^1 t e^t, dt

On pose $u(t) = t$ (donc $u'(t) = 1$ ) et $v'(t) = e^t$ (donc $v(t) = e^t$ ).

\int_0^1 t e^t, dt = \big[t e^t\big]_0^1 - \int_0^1 e^t, dt = e - \big[e^t\big]_0^1 = e - (e - 1) = 1

Astuce mnémotechnique

On choisit $u$ comme la fonction qui se simplifie en dérivant (polynôme, $\ln$ , $\arctan$ ) et $v'$ comme celle qui se primitive facilement ( $e^x$ , $\sin$ , $\cos$ ).

6.2. Changement de variable§

Théorème — Changement de variable

Soit $\varphi : [\alpha, \beta] \to [a, b]$ de classe $\mathcal{C}^1$ , avec $\varphi(\alpha) = a$ et $\varphi(\beta) = b$ . Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , alors :

\int_a^b f(t), dt = \int_\alpha^\beta f\big(\varphi(u)\big),\varphi'(u), du

Exemple — Calcul de

\int_0^1 \sqrt{1 - t^2}, dt

On pose $t = \sin u$ , donc $dt = \cos u, du$ . Quand $t = 0$ , $u = 0$ ; quand $t = 1$ , $u = \pi/2$ .

\int_0^1 \sqrt{1 - t^2}, dt = \int_0^{\pi/2} \cos^2 u, du = \int_0^{\pi/2} \frac{1 + \cos(2u)}{2}, du = \frac{\pi}{4}

On retrouve bien l’aire d’un quart de disque unité.

6.3. Décomposition en éléments simples§

Pour intégrer une fraction rationnelle $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ , on procède en trois étapes :

Division euclidienne si $\deg P \geqslant \deg Q$
Décomposition de la partie fractionnaire en éléments simples
Intégration de chaque élément simple

Primitives des éléments simples (sur

\mathbb{R}

)

Élément simple	Primitive
$\dfrac{1}{x - a}$	$\ln\|x - a\|$
$\dfrac{1}{(x - a)^n}$ , $n \geqslant 2$	$\dfrac{-1}{(n-1)(x-a)^{n-1}}$
$\dfrac{\alpha x + \beta}{x^2 + px + q}$ ( $\Delta < 0$ )	$\dfrac{\alpha}{2}\ln(x^2+px+q) + \dfrac{2\beta - \alpha p}{\sqrt{4q-p^2}}\arctan\dfrac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}$

Exemple —

\int \frac{dx}{x^2 - 1}

On décompose : $\dfrac{1}{x^2 - 1} = \dfrac{1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{1/2}{x-1} - \dfrac{1/2}{x+1}$ .

Donc : $\displaystyle\int \frac{dx}{x^2-1} = \frac{1}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|x+1| + C = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C$ .

6.4. Arbre de décision : choix de la technique§

flowchart TD
    A["Calculer ∫ f(x) dx"] --> B{"Primitive immédiate ?"}
    B -- Oui --> C["Calculer directement"]
    B -- Non --> D{"Fraction rationnelle P(x)/Q(x) ?"}
    D -- Oui --> E["Décomposition en<br/>éléments simples"]
    D -- Non --> F{"Produit de deux fonctions<br/>de natures différentes ?"}
    F -- Oui --> G["Intégration par parties<br/>(IPP)"]
    F -- Non --> H{"Présence de √(expression)<br/>ou de substitution naturelle ?"}
    H -- Oui --> I["Changement de variable"]
    H -- Non --> J{"Expression trigonométrique ?"}
    J -- Oui --> K{"Forme R(sin x, cos x)<br/>avec R rationnelle ?"}
    K -- Oui --> L["Règles de Bioche ou<br/>substitution t = tan(x/2)"]
    K -- Non --> M["Linéarisation avec<br/>formules d'Euler"]
    J -- Non --> N["Réécrire / Simplifier<br/>puis réessayer"]

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    style C fill:#27ae60,color:#fff
    style E fill:#e67e22,color:#fff
    style G fill:#e67e22,color:#fff
    style I fill:#e67e22,color:#fff
    style L fill:#e67e22,color:#fff
    style M fill:#e67e22,color:#fff

7. Sommes de Riemann§

Théorème — Convergence des sommes de Riemann

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , alors pour toute suite de subdivisions $(\sigma_n)$ dont le pas tend vers $0$ , et pour tout choix de points intermédiaires $\xi_k \in [x_{k-1}, x_k]$ :

\sum_{k=1}^{n} f(\xi_k)(x_k - x_{k-1}) \xrightarrow[n \to \infty]{} \int_a^b f(t), dt

En pratique, sur une subdivision régulière de $[0, 1]$ , avec $\xi_k = k/n$ :

\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f!\left(\frac{k}{n}\right) \xrightarrow[n \to \infty]{} \int_0^1 f(t), dt

et plus généralement sur $[a, b]$ :

\frac{b - a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f!\left(a + k\frac{b-a}{n}\right) \xrightarrow[n \to \infty]{} \int_a^b f(t), dt

Exemple — Calcul de limite par sommes de Riemann

Calculer $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + k^2}$ .

On factorise : $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + k^2} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + (k/n)^2}$ .

C’est une somme de Riemann pour $f(t) = \dfrac{1}{1 + t^2}$ sur $[0, 1]$ .

Donc la limite vaut : $\displaystyle\int_0^1 \frac{dt}{1 + t^2} = \big[\arctan t\big]_0^1 = \frac{\pi}{4}$ .

8. Inégalités intégrales classiques§

8.1. Inégalité de Cauchy-Schwarz intégrale§

Théorème — Inégalité de Cauchy-Schwarz intégrale

Soient $f, g$ continues sur $[a, b]$ . Alors :

\left(\int_a^b f(t) g(t), dt\right)^2 \leqslant \left(\int_a^b f(t)^2, dt\right)\left(\int_a^b g(t)^2, dt\right)

avec égalité si et seulement si $f$ et $g$ sont proportionnelles (c’est-à-dire $\exists \lambda \in \mathbb{R},; f = \lambda g$ ou $g = 0$ ).

Esquisse de preuve

Pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$ , on a $\displaystyle\int_a^b (f + \lambda g)^2 \geqslant 0$ . On développe :

\int_a^b f^2 + 2\lambda\int_a^b fg + \lambda^2 \int_a^b g^2 \geqslant 0

Ce trinôme en $\lambda$ est positif, donc son discriminant est négatif ou nul, ce qui donne l’inégalité.

Application — Inégalité de Cauchy-Schwarz

Montrer que pour $f$ continue sur $[0, 1]$ : $\displaystyle\left(\int_0^1 f(t), dt\right)^2 \leqslant \int_0^1 f(t)^2, dt$ .

Il suffit d’appliquer Cauchy-Schwarz avec $g = 1$ : $\displaystyle\left(\int_0^1 f \cdot 1\right)^2 \leqslant \int_0^1 f^2 \cdot \int_0^1 1 = \int_0^1 f^2$ .

8.2. Inégalités de la moyenne§

Théorème — Encadrement intégral

Si $m \leqslant f(t) \leqslant M$ pour tout $t \in [a, b]$ (avec $a < b$ ), alors :

m(b - a) \leqslant \int_a^b f(t), dt \leqslant M(b - a)

9. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : IPP itérée§

Exercice — Calcul de

I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n(t), dt

(intégrales de Wallis)

Relation de récurrence par IPP. On écrit $\sin^n t = \sin^{n-1} t \cdot \sin t$ , puis on pose $u = \sin^{n-1} t$ et $v' = \sin t$ :

I_n = \big[-\sin^{n-1}(t)\cos(t)\big]_0^{\pi/2} + (n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{n-2}(t) \cos^2(t), dt

Le crochet s’annule. On utilise $\cos^2 t = 1 - \sin^2 t$ :

I_n = (n-1)(I_{n-2} - I_n)

D’où la relation de récurrence : $\boxed{I_n = \dfrac{n-1}{n}, I_{n-2}}$

Avec $I_0 = \dfrac{\pi}{2}$ et $I_1 = 1$ , on obtient par exemple :

$I_2 = \dfrac{\pi}{4}$ , $I_3 = \dfrac{2}{3}$ , $I_4 = \dfrac{3\pi}{16}$ , $I_5 = \dfrac{8}{15}$ .

Exercice 2 : Changement de variable§

Exercice — Calcul de

\int_0^1 \frac{\ln(1+t)}{1+t^2}, dt

On note $I = \displaystyle\int_0^1 \frac{\ln(1+t)}{1+t^2}, dt$ . On effectue le changement de variable $t = \tan\theta$ , $dt = \dfrac{d\theta}{\cos^2\theta}$ :

I = \int_0^{\pi/4} \frac{\ln(1 + \tan\theta)}{1 + \tan^2\theta} \cdot \frac{d\theta}{\cos^2\theta} = \int_0^{\pi/4} \ln(1 + \tan\theta), d\theta

car $1 + \tan^2\theta = 1/\cos^2\theta$ . On utilise alors la substitution $\theta \mapsto \pi/4 - \theta$ :

I = \int_0^{\pi/4} \ln!\left(1 + \tan!\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right)\right) d\theta = \int_0^{\pi/4} \ln!\left(\frac{2}{1 + \tan\theta}\right) d\theta

En additionnant : $2I = \displaystyle\int_0^{\pi/4} \ln 2, d\theta = \frac{\pi}{4}\ln 2$ , d’où $\boxed{I = \dfrac{\pi}{8}\ln 2}$ .

Exercice 3 : Somme de Riemann§

Exercice — Limite de

\prod_{k=1}^{n}\left(1 + \frac{k}{n}\right)^{1/n}

Soit $P_n = \displaystyle\prod_{k=1}^{n}\left(1 + \frac{k}{n}\right)^{1/n}$ . On passe au logarithme :

\ln P_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \ln!\left(1 + \frac{k}{n}\right)

C’est une somme de Riemann pour $f(t) = \ln(1 + t)$ sur $[0, 1]$ :

\ln P_n \xrightarrow[n \to \infty]{} \int_0^1 \ln(1+t), dt = \big[(1+t)\ln(1+t) - (1+t)\big]_0^1 = 2\ln 2 - 1

Donc $\boxed{P_n \to e^{2\ln 2 - 1} = \dfrac{4}{e}}$ .

Exercice 4 : Formule de Taylor§

Exercice — Encadrement de

e

En appliquant l’inégalité de Taylor-Lagrange à $f(x) = e^x$ au point $a = 0$ , à l’ordre $n$ :

\left|e^1 - \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\right| \leqslant \frac{e}{(n+1)!}

car $|f^{(n+1)}|_{\infty, [0,1]} = e$ . Pour $n = 4$ :

\sum_{k=0}^{4} \frac{1}{k!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} = \frac{65}{24} \approx 2{,}7083

L’erreur est majorée par $e/120 < 3/120 = 0{,}025$ , soit $e \in [2{,}683;; 2{,}733]$ .

10. Liens§

Équations Différentielles — l’intégration est au coeur de la résolution des EDO
Espaces Euclidiens — le produit scalaire $L^2$ utilise l’intégrale
Suites et Séries Numériques — comparaison série-intégrale
Développements Limités — lien avec la formule de Taylor

1. Intégrale de Riemann§

1.1. Subdivisions et sommes de Darboux§

1.2. Fonctions en escalier§

1.3. Intégrabilité au sens de Riemann§

2. Classes de fonctions intégrables§

3. Propriétés de l’intégrale§

3.1. Linéarité§

3.2. Positivité et croissance§

3.3. Relation de Chasles§

3.4. Inégalité triangulaire intégrale§

3.5. Valeur moyenne§

4. Théorème fondamental de l’analyse§

5. Formules de Taylor§

5.1. Formule de Taylor avec reste intégral§

5.2. Inégalité de Taylor-Lagrange§

6. Techniques d’intégration§

6.1. Intégration par parties (IPP)§

6.2. Changement de variable§

6.3. Décomposition en éléments simples§

6.4. Arbre de décision : choix de la technique§

7. Sommes de Riemann§

8. Inégalités intégrales classiques§

8.1. Inégalité de Cauchy-Schwarz intégrale§

8.2. Inégalités de la moyenne§

9. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : IPP itérée§

Exercice 2 : Changement de variable§

Exercice 3 : Somme de Riemann§

Exercice 4 : Formule de Taylor§

10. Liens§

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