Les espaces euclidiens généralisent la géométrie du plan et de l’espace usuel à la dimension nn. Le produit scalaire permet de définir des notions métriques (distance, angle, orthogonalité) dans un cadre algébrique rigoureux.

1. Produit scalaire§

1.1. Définition axiomatique§

Définition — Produit scalaire

Soit EE un R\mathbb{R}-espace vectoriel. Un produit scalaire sur EE est une application ⟨⋅,⋅⟩:E×E→R\langle \cdot, \cdot \rangle : E \times E \to \mathbb{R} vérifiant :

  1. Bilinéarité : ⟨⋅,⋅⟩\langle \cdot, \cdot \rangle est linéaire en chaque variable
  2. Symétrie : ∀x,y∈E,;⟨x,y⟩=⟨y,x⟩\forall x, y \in E, ; \langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle
  3. Positivité : ∀x∈E,;⟨x,x⟩⩾0\forall x \in E, ; \langle x, x \rangle \geqslant 0
  4. Définie : ⟨x,x⟩=0  ⟺  x=0E\langle x, x \rangle = 0 \iff x = 0_E

Le couple (E,⟨⋅,⋅⟩)(E, \langle \cdot, \cdot \rangle) est appelé espace préhilbertien réel. Si EE est de dimension finie, on parle d’espace euclidien.

Forme condensée

Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive.

1.2. Exemples fondamentaux§

Exemples de produits scalaires

1. Produit scalaire canonique sur Rn\mathbb{R}^n.

⟨x,y⟩=∑i=1nxiyi=xTy\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i = x^T y

2. Produit scalaire sur C([a,b],R)\mathcal{C}([a, b], \mathbb{R}).

⟨f,g⟩=∫abf(t),g(t),dt\langle f, g \rangle = \int_a^b f(t), g(t), dt

(La définie positivité utilise la stricte positivité de l’intégrale pour les fonctions continues.)

3. Produit scalaire sur Mn(R)\mathcal{M}_n(\mathbb{R}).

⟨A,B⟩=tr(ATB)\langle A, B \rangle = \text{tr}(A^T B)

4. Produit scalaire pondéré sur Rn\mathbb{R}^n. Pour des poids wi>0w_i > 0 : ⟨x,y⟩w=∑i=1nwixiyi\langle x, y \rangle_w = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} w_i x_i y_i.

2. Norme euclidienne§

2.1. Définition§

Définition — Norme associée

La norme euclidienne associée au produit scalaire est :

∣x∣=⟨x,x⟩|x| = \sqrt{\langle x, x \rangle}

On a les propriétés immédiates :

La distance entre xx et yy est d(x,y)=∣x−y∣d(x, y) = |x - y|.

2.2. Inégalité de Cauchy-Schwarz§

Théorème — Inégalité de Cauchy-Schwarz

Pour tous x,y∈Ex, y \in E :

∣⟨x,y⟩∣⩽∣x∣⋅∣y∣|\langle x, y \rangle| \leqslant |x| \cdot |y|

avec égalité si et seulement si xx et yy sont colinéaires (liés).

Preuve

Pour tout t∈Rt \in \mathbb{R}, ∣x+ty∣2⩾0|x + ty|^2 \geqslant 0, c’est-à-dire :

∣x∣2+2t⟨x,y⟩+t2∣y∣2⩾0|x|^2 + 2t\langle x, y\rangle + t^2|y|^2 \geqslant 0

Ce trinôme en tt est positif, donc son discriminant Δ=4⟨x,y⟩2−4∣x∣2∣y∣2⩽0\Delta = 4\langle x, y\rangle^2 - 4|x|^2|y|^2 \leqslant 0, ce qui donne le résultat. L’égalité correspond à Δ=0\Delta = 0, soit x+t0y=0x + t_0 y = 0 pour un certain t0t_0.

Conséquence — Inégalité triangulaire
∣x+y∣⩽∣x∣+∣y∣|x + y| \leqslant |x| + |y|

Preuve : ∣x+y∣2=∣x∣2+2⟨x,y⟩+∣y∣2⩽∣x∣2+2∣x∣∣y∣+∣y∣2=(∣x∣+∣y∣)2|x+y|^2 = |x|^2 + 2\langle x,y\rangle + |y|^2 \leqslant |x|^2 + 2|x||y| + |y|^2 = (|x|+|y|)^2.

2.3. Identités remarquables§

Identités
  • Identité de polarisation : ⟨x,y⟩=12(∣x+y∣2−∣x∣2−∣y∣2)=14(∣x+y∣2−∣x−y∣2)\langle x, y \rangle = \dfrac{1}{2}\big(|x + y|^2 - |x|^2 - |y|^2\big) = \dfrac{1}{4}\big(|x+y|^2 - |x-y|^2\big)
  • Identité du parallélogramme : ∣x+y∣2+∣x−y∣2=2(∣x∣2+∣y∣2)|x + y|^2 + |x - y|^2 = 2(|x|^2 + |y|^2)
  • Théorème de Pythagore : si ⟨x,y⟩=0\langle x, y\rangle = 0, alors ∣x+y∣2=∣x∣2+∣y∣2|x + y|^2 = |x|^2 + |y|^2

3. Orthogonalité§

3.1. Vecteurs orthogonaux§

Définition

Deux vecteurs x,y∈Ex, y \in E sont orthogonaux, noté x⊥yx \perp y, si ⟨x,y⟩=0\langle x, y \rangle = 0.

Une famille orthogonale est une famille (e1,…,ep)(e_1, \dots, e_p) telle que ⟨ei,ej⟩=0\langle e_i, e_j \rangle = 0 pour i≠ji \neq j.

Une famille orthonormale (ou orthonormée, en abrégé BON) est une famille orthogonale dont tous les vecteurs sont de norme 11 :

⟨ei,ej⟩=δij={1si i=j 0si i≠j\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = j \ 0 & \text{si } i \neq j \end{cases}
Théorème

Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre (linéairement indépendante).

Preuve

Si ∑λiei=0\sum \lambda_i e_i = 0, on prend le produit scalaire avec eje_j : λj∣ej∣2=0\lambda_j |e_j|^2 = 0, donc λj=0\lambda_j = 0 (car ej≠0e_j \neq 0).

3.2. Base orthonormale§

Théorème

Tout espace euclidien (E,⟨⋅,⋅⟩)(E, \langle\cdot,\cdot\rangle) de dimension nn admet une base orthonormale (e1,…,en)(e_1, \dots, e_n). Dans une telle base :

  • ⟨x,y⟩=∑i=1nxiyi\langle x, y \rangle = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i y_i (coordonnées de xx et yy dans la BON)
  • ∣x∣2=∑i=1nxi2|x|^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i^2
  • Les coordonnées de xx sont xi=⟨x,ei⟩x_i = \langle x, e_i \rangle

4. Procédé de Gram-Schmidt§

4.1. Énoncé§

Théorème — Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt

Soit (v1,…,vp)(v_1, \dots, v_p) une famille libre dans un espace euclidien EE. Il existe une unique famille orthonormale (e1,…,ep)(e_1, \dots, e_p) telle que :

  1. Pour tout k∈1,…,pk \in {1, \dots, p} : Vect(e1,…,ek)=Vect(v1,…,vk)\text{Vect}(e_1, \dots, e_k) = \text{Vect}(v_1, \dots, v_k)
  2. ⟨vk,ek⟩>0\langle v_k, e_k \rangle > 0 pour tout kk

4.2. Algorithme§

Étape 1 : Orthogonalisation. On construit des vecteurs uku_k orthogonaux :

u1=v1u_1 = v_1 uk=vk−∑j=1k−1⟨vk,uj⟩⟨uj,uj⟩,ujpour k⩾2u_k = v_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{\langle v_k, u_j \rangle}{\langle u_j, u_j \rangle}, u_j \quad \text{pour } k \geqslant 2

Étape 2 : Normalisation.

ek=uk∣uk∣e_k = \frac{u_k}{|u_k|} 
flowchart TD
    A["Famille libre (v₁, ..., vₚ)"] --> B["Initialisation :<br/>u₁ = v₁<br/>e₁ = u₁ / ‖u₁‖"]
    B --> C["Pour k = 2, 3, ..., p"]
    C --> D["Orthogonalisation :<br/>uₖ = vₖ − Σⱼ₌₁ᵏ⁻¹ ⟨vₖ, eⱼ⟩ eⱼ"]
    D --> E{"uₖ = 0 ?"}
    E -- "Oui<br/>(impossible si libre)" --> F["Erreur : famille liée"]
    E -- Non --> G["Normalisation :<br/>eₖ = uₖ / ‖uₖ‖"]
    G --> H{"k = p ?"}
    H -- Non --> C
    H -- Oui --> I["Famille orthonormale<br/>(e₁, ..., eₚ) obtenue"]

    style A fill:#4a90d9,color:#fff
    style I fill:#27ae60,color:#fff
    style F fill:#e74c3c,color:#fff
Exemple — Gram-Schmidt dans R3\mathbb{R}^3

Orthonormaliser la famille v1=(1,1,0)v_1 = (1, 1, 0), v2=(1,0,1)v_2 = (1, 0, 1), v3=(0,1,1)v_3 = (0, 1, 1) pour le produit scalaire canonique.

Étape 1 : u1=(1,1,0)u_1 = (1, 1, 0), ∣u1∣=2|u_1| = \sqrt{2}, e1=12(1,1,0)e_1 = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0).

Étape 2 : ⟨v2,e1⟩=12(1+0+0)=12\langle v_2, e_1\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(1 + 0 + 0) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}.

u2=v2−⟨v2,e1⟩e1=(1,0,1)−12(1,1,0)=(12,−12,1)u_2 = v_2 - \langle v_2, e_1\rangle e_1 = (1, 0, 1) - \dfrac{1}{2}(1, 1, 0) = \left(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{2}, 1\right).

∣u2∣=14+14+1=32|u_2| = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + 1} = \sqrt{\dfrac{3}{2}}, e2=16(1,−1,2)e_2 = \dfrac{1}{\sqrt{6}}(1, -1, 2).

Étape 3 : ⟨v3,e1⟩=12(0+1+0)=12\langle v_3, e_1\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(0 + 1 + 0) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}, ⟨v3,e2⟩=16(0−1+2)=16\langle v_3, e_2\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{6}}(0 - 1 + 2) = \dfrac{1}{\sqrt{6}}.

u3=v3−12e1−16e2=(0,1,1)−12(1,1,0)−16(1,−1,2)u_3 = v_3 - \dfrac{1}{\sqrt{2}} e_1 - \dfrac{1}{\sqrt{6}} e_2 = (0,1,1) - \dfrac{1}{2}(1,1,0) - \dfrac{1}{6}(1,-1,2)

=(−12−16,;1−12+16,;1−13)=(−23,;23,;23)= \left(-\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{6},; 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6},; 1 - \dfrac{1}{3}\right) = \left(-\dfrac{2}{3},; \dfrac{2}{3},; \dfrac{2}{3}\right).

∣u3∣=233|u_3| = \dfrac{2}{3}\sqrt{3}, e3=13(−1,1,1)e_3 = \dfrac{1}{\sqrt{3}}(-1, 1, 1).

Résultat : e1=12(1,1,0)e_1 = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0), e2=16(1,−1,2)e_2 = \dfrac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2), e3=13(−1,1,1)e_3 = \dfrac{1}{\sqrt{3}}(-1,1,1).

5. Projection orthogonale§

5.1. Supplémentaire orthogonal§

Définition — Orthogonal d’un sous-espace

Soit FF un sous-espace de EE. L’orthogonal de FF est :

F⊥=x∈E∣∀y∈F,;⟨x,y⟩=0F^\perp = {x \in E \mid \forall y \in F,; \langle x, y \rangle = 0}
Théorème — Supplémentaire orthogonal

Soit EE un espace euclidien et FF un sous-espace vectoriel de EE. Alors :

  1. F⊥F^\perp est un sous-espace vectoriel de EE
  2. E=F⊕F⊥E = F \oplus F^\perp (somme directe orthogonale, notée F⊕⊥F⊥F \overset{\perp}{\oplus} F^\perp)
  3. dim⁡F⊥=dim⁡E−dim⁡F\dim F^\perp = \dim E - \dim F
  4. (F⊥)⊥=F(F^\perp)^\perp = F
Preuve de E=F⊕F⊥E = F \oplus F^\perp

Soit (e1,…,er)(e_1, \dots, e_r) une BON de FF. Pour x∈Ex \in E, on pose :

xF=∑i=1r⟨x,ei⟩,eietxF⊥=x−xFx_F = \sum_{i=1}^{r} \langle x, e_i\rangle, e_i \quad \text{et} \quad x_{F^\perp} = x - x_F

On vérifie que xF∈Fx_F \in F et ⟨xF⊥,ej⟩=⟨x,ej⟩−⟨x,ej⟩=0\langle x_{F^\perp}, e_j\rangle = \langle x, e_j\rangle - \langle x, e_j\rangle = 0, donc xF⊥∈F⊥x_{F^\perp} \in F^\perp. De plus, F∩F⊥=0F \cap F^\perp = {0} (si x∈F∩F⊥x \in F \cap F^\perp, ⟨x,x⟩=0\langle x, x\rangle = 0).

5.2. Projecteur orthogonal§

Définition — Projection orthogonale

Le projecteur orthogonal sur FF est l’application linéaire pF:E→Ep_F : E \to E définie par :

pF(x)=xF=∑i=1r⟨x,ei⟩,eip_F(x) = x_F = \sum_{i=1}^{r} \langle x, e_i \rangle, e_i

où (e1,…,er)(e_1, \dots, e_r) est une BON de FF.

Théorème — Caractérisation par la distance

Pour tout x∈Ex \in E, pF(x)p_F(x) est l’unique élément de FF qui minimise la distance à xx :

∣x−pF(x)∣=min⁡y∈F∣x−y∣=d(x,F)|x - p_F(x)| = \min_{y \in F} |x - y| = d(x, F)
Preuve

Pour y∈Fy \in F, x−y=(x−pF(x))+(pF(x)−y)x - y = (x - p_F(x)) + (p_F(x) - y) avec x−pF(x)∈F⊥x - p_F(x) \in F^\perp et pF(x)−y∈Fp_F(x) - y \in F. Par Pythagore :

∣x−y∣2=∣x−pF(x)∣2+∣pF(x)−y∣2⩾∣x−pF(x)∣2|x - y|^2 = |x - p_F(x)|^2 + |p_F(x) - y|^2 \geqslant |x - p_F(x)|^2

avec égalité ssi y=pF(x)y = p_F(x).

Exemple — Projection dans R3\mathbb{R}^3

Soit F=Vect!((1,0,1),(0,1,1))F = \text{Vect}!\left((1, 0, 1), (0, 1, 1)\right) dans R3\mathbb{R}^3 muni du produit scalaire canonique. Calculer la projection de x=(1,2,3)x = (1, 2, 3) sur FF.

On commence par orthonormaliser une base de FF par Gram-Schmidt.

v1=(1,0,1)v_1 = (1,0,1), e1=12(1,0,1)e_1 = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1).

u2=(0,1,1)−⟨(0,1,1),e1⟩∣e1∣2⋅v1=(0,1,1)−12(1,0,1)=(−1/2,1,1/2)u_2 = (0,1,1) - \dfrac{\langle(0,1,1), e_1\rangle}{|e_1|^2}\cdot v_1 = (0,1,1) - \dfrac{1}{2}(1,0,1) = (-1/2, 1, 1/2).

e2=13/2(−1/2,1,1/2)=16(−1,2,1)e_2 = \dfrac{1}{\sqrt{3/2}}(-1/2, 1, 1/2) = \dfrac{1}{\sqrt{6}}(-1, 2, 1).

Projection : pF(x)=⟨x,e1⟩e1+⟨x,e2⟩e2p_F(x) = \langle x, e_1\rangle e_1 + \langle x, e_2\rangle e_2.

⟨x,e1⟩=1+32=42=22\langle x, e_1\rangle = \dfrac{1+3}{\sqrt{2}} = \dfrac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}.

⟨x,e2⟩=−1+4+36=66=6\langle x, e_2\rangle = \dfrac{-1+4+3}{\sqrt{6}} = \dfrac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}.

pF(x)=22⋅12(1,0,1)+6⋅16(−1,2,1)=2(1,0,1)+(−1,2,1)=(1,2,3)p_F(x) = 2\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1) + \sqrt{6}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{6}}(-1,2,1) = 2(1,0,1) + (-1,2,1) = (1, 2, 3).

On trouve pF(x)=xp_F(x) = x : le vecteur (1,2,3)(1,2,3) appartient déjà à FF. En effet, (1,2,3)=(1,0,1)+2(0,1,1)(1,2,3) = (1,0,1) + 2(0,1,1).

6. Matrices orthogonales et groupe orthogonal§

6.1. Définition§

Définition — Matrice orthogonale

Une matrice M∈Mn(R)M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) est orthogonale si :

MTM=In  ⟺  M−1=MTM^T M = I_n \quad \iff \quad M^{-1} = M^T

L’ensemble des matrices orthogonales forme le groupe orthogonal O(n)O(n).

Propriétés des matrices orthogonales

Soit M∈O(n)M \in O(n).

  1. det⁡(M)=±1\det(M) = \pm 1
  2. Les colonnes de MM forment une BON de Rn\mathbb{R}^n (pour le produit scalaire canonique)
  3. Les lignes de MM forment une BON de Rn\mathbb{R}^n
  4. MM conserve le produit scalaire : ⟨Mx,My⟩=⟨x,y⟩\langle Mx, My\rangle = \langle x, y\rangle
  5. MM conserve la norme : ∣Mx∣=∣x∣|Mx| = |x|
Preuve de (1)

det⁡(MTM)=det⁡(In)=1\det(M^T M) = \det(I_n) = 1, et det⁡(MT)=det⁡(M)\det(M^T) = \det(M), donc det⁡(M)2=1\det(M)^2 = 1.

Définition — Groupe spécial orthogonal

Le groupe spécial orthogonal est SO(n)=M∈O(n)∣det⁡(M)=1SO(n) = {M \in O(n) \mid \det(M) = 1}. Ses éléments sont les rotations (ou isométries directes).

6.2. Changement de base orthonormale§

Théorème

La matrice de passage d’une BON à une autre BON est une matrice orthogonale. Réciproquement, si P∈O(n)P \in O(n) et (e1,…,en)(e_1, \dots, e_n) est une BON, alors les colonnes de PP (exprimées dans cette BON) forment une BON.

7. Isométries vectorielles§

7.1. Définition§

Définition — Isométrie vectorielle (automorphisme orthogonal)

Un endomorphisme f∈L(E)f \in \mathcal{L}(E) est une isométrie vectorielle si :

∀x∈E,∣f(x)∣=∣x∣\forall x \in E, \quad |f(x)| = |x|

De manière équivalente : ∀x,y∈E,;⟨f(x),f(y)⟩=⟨x,y⟩\forall x, y \in E, ; \langle f(x), f(y)\rangle = \langle x, y\rangle.

Caractérisations

Pour f∈L(E)f \in \mathcal{L}(E), les propriétés suivantes sont équivalentes :

  1. ff est une isométrie
  2. ff conserve le produit scalaire
  3. ff transforme toute BON en BON
  4. La matrice de ff dans toute BON est orthogonale

7.2. Isométries du plan (n=2n = 2)§

Théorème — Classification des isométries de R2\mathbb{R}^2

Toute matrice de O(2)O(2) est de l’une des deux formes suivantes :

TypeMatricedet⁡\detNom
Rotation d’angle θ\thetaRθ=(cos⁡θ−sin⁡θ sin⁡θcos⁡θ)R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}+1+1Isométrie directe
Réflexion d’axe faisant l’angle θ/2\theta/2 avec OxOxSθ=(cos⁡θsin⁡θ sin⁡θ−cos⁡θ)S_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix}−1-1Isométrie indirecte
Vérification

On vérifie aisément que RθTRθ=I2R_\theta^T R_\theta = I_2 et SθTSθ=I2S_\theta^T S_\theta = I_2.

Propriétés des rotations
  • Rθ∘Rϕ=Rθ+ϕR_\theta \circ R_\phi = R_{\theta + \phi} (le groupe (SO(2),∘)(SO(2), \circ) est commutatif)
  • Rθ−1=R−θR_\theta^{-1} = R_{-\theta}
  • Le groupe SO(2)SO(2) est isomorphe à (R/2πZ,+)(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}, +), ou au cercle unité U\mathbb{U} via θ↦eiθ\theta \mapsto e^{i\theta}

7.3. Isométries de l’espace (n=3n = 3)§

Théorème — Réduction des isométries de R3\mathbb{R}^3

Soit ff une isométrie de R3\mathbb{R}^3.

Cas 1 : f∈SO(3)f \in SO(3) (rotation). Il existe une BON dans laquelle la matrice de ff est :

(100 0cos⁡θ−sin⁡θ 0sin⁡θcos⁡θ)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}

C’est la rotation d’angle θ\theta autour de l’axe Ker(f−Id)\text{Ker}(f - \text{Id}) (qui est une droite).

Cas 2 : f∈O(3)∖SO(3)f \in O(3) \setminus SO(3) (det⁡f=−1\det f = -1). Il existe une BON dans laquelle la matrice de ff est :

(−100 0cos⁡θ−sin⁡θ 0sin⁡θcos⁡θ)\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}

C’est la composée d’une rotation d’angle θ\theta et de la réflexion par rapport au plan orthogonal à l’axe.

Cas particuliers importants pour det⁡=−1\det = -1
  • θ=0\theta = 0 : réflexion par rapport à un plan (symétrie orthogonale)
  • θ=π\theta = \pi : anti-rotation (demi-tour composé avec la réflexion), aussi appelée retournement
  • θ\theta quelconque : rotation impropre
Théorème — Valeurs propres d’une isométrie

Les valeurs propres d’une isométrie sont ±1\pm 1. Plus précisément :

  • Si f∈SO(3)f \in SO(3) : 11 est valeur propre (il existe un axe fixe)
  • Si f∈O(3)∖SO(3)f \in O(3) \setminus SO(3) : −1-1 est valeur propre

8. Résultats complémentaires§

8.1. Matrice de Gram§

Définition — Matrice de Gram

La matrice de Gram d’une famille (v1,…,vp)(v_1, \dots, v_p) est la matrice G∈Mp(R)G \in \mathcal{M}_p(\mathbb{R}) définie par :

Gij=⟨vi,vj⟩G_{ij} = \langle v_i, v_j \rangle
Propriétés
  • GG est symétrique positive
  • det⁡(G)>0\det(G) > 0 si et seulement si (v1,…,vp)(v_1, \dots, v_p) est libre
  • Si (v1,…,vp)(v_1, \dots, v_p) est une BON, alors G=IpG = I_p
  • Le volume du parallélotope engendré par (v1,…,vp)(v_1, \dots, v_p) est det⁡G\sqrt{\det G}

8.2. Adjoint d’un endomorphisme§

Théorème — Adjoint

Pour tout endomorphisme ff d’un espace euclidien EE, il existe un unique endomorphisme f∗f^*, appelé adjoint de ff, tel que :

∀x,y∈E,⟨f(x),y⟩=⟨x,f∗(y)⟩\forall x, y \in E, \quad \langle f(x), y \rangle = \langle x, f^*(y) \rangle

Dans une BON, la matrice de f∗f^* est la transposée de la matrice de ff.

Caractérisations via l’adjoint
  • ff est une isométrie   ⟺  \iff f∗∘f=Idf^* \circ f = \text{Id}   ⟺  \iff f∗=f−1f^* = f^{-1}
  • ff est symétrique (ou auto-adjoint)   ⟺  \iff f∗=ff^* = f (matrice symétrique dans une BON)

8.3. Théorème spectral§

Théorème spectral (admis en MPSI)

Tout endomorphisme symétrique d’un espace euclidien est diagonalisable dans une base orthonormale. De manière équivalente : toute matrice symétrique réelle est orthogonalement diagonalisable.

9. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Vérification de produit scalaire§

Exercice

Montrer que ⟨P,Q⟩=∫01P(t)Q(t),dt\langle P, Q \rangle = \displaystyle\int_0^1 P(t) Q(t), dt est un produit scalaire sur Rn[X]\mathbb{R}_n[X].

Bilinéarité : découle de la linéarité de l’intégrale.

Symétrie : ⟨P,Q⟩=∫01PQ=∫01QP=⟨Q,P⟩\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ = \int_0^1 QP = \langle Q, P\rangle.

Positivité : ⟨P,P⟩=∫01P(t)2,dt⩾0\langle P, P\rangle = \int_0^1 P(t)^2, dt \geqslant 0 car P2⩾0P^2 \geqslant 0.

Définie : si ⟨P,P⟩=0\langle P, P\rangle = 0, alors ∫01P(t)2,dt=0\int_0^1 P(t)^2, dt = 0. Comme P2P^2 est continue et positive, P2=0P^2 = 0 sur [0,1][0,1], donc P=0P = 0 sur [0,1][0,1]. Or un polynôme ayant une infinité de zéros est le polynôme nul (pour n⩾1n \geqslant 1, [0,1][0,1] est infini).

Exercice 2 : Gram-Schmidt dans un espace de polynômes§

Exercice — Polynômes de Legendre

Orthonormaliser (1,X,X2)(1, X, X^2) dans R2[X]\mathbb{R}_2[X] pour le produit scalaire ⟨P,Q⟩=∫−11P(t)Q(t),dt\langle P, Q\rangle = \displaystyle\int_{-1}^{1} P(t)Q(t), dt.

Étape 1 : v1=1v_1 = 1, ∣v1∣2=∫−111,dt=2|v_1|^2 = \displaystyle\int_{-1}^{1} 1, dt = 2, e1=12e_1 = \dfrac{1}{\sqrt{2}}.

Étape 2 : ⟨X,e1⟩=12∫−11t,dt=0\langle X, e_1\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\displaystyle\int_{-1}^1 t, dt = 0 (fonction impaire).

Donc u2=Xu_2 = X, ∣u2∣2=∫−11t2,dt=23|u_2|^2 = \displaystyle\int_{-1}^1 t^2, dt = \dfrac{2}{3}, e2=32,Xe_2 = \sqrt{\dfrac{3}{2}}, X.

Étape 3 : ⟨X2,e1⟩=12∫−11t2,dt=12⋅23=23\langle X^2, e_1\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\displaystyle\int_{-1}^1 t^2, dt = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{\sqrt{2}}{3}.

⟨X2,e2⟩=32∫−11t3,dt=0\langle X^2, e_2\rangle = \sqrt{\dfrac{3}{2}}\displaystyle\int_{-1}^1 t^3, dt = 0 (fonction impaire).

u3=X2−23⋅12=X2−13u_3 = X^2 - \dfrac{\sqrt{2}}{3} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} = X^2 - \dfrac{1}{3}.

∣u3∣2=∫−11(t2−13)2dt=∫−11(t4−2t23+19)dt=25−49+29=845|u_3|^2 = \displaystyle\int_{-1}^1 \left(t^2 - \dfrac{1}{3}\right)^2 dt = \int_{-1}^1 \left(t^4 - \dfrac{2t^2}{3} + \dfrac{1}{9}\right) dt = \dfrac{2}{5} - \dfrac{4}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{8}{45}.

e3=458(X2−13)=3528(X2−13)=3104(X2−13)=104(3X2−1)e_3 = \sqrt{\dfrac{45}{8}}\left(X^2 - \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{8}}\left(X^2 - \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{3\sqrt{10}}{4}\left(X^2 - \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{10}}{4}(3X^2 - 1).

On retrouve (à normalisation près) les polynômes de Legendre : P0=1P_0 = 1, P1=XP_1 = X, P2=12(3X2−1)P_2 = \dfrac{1}{2}(3X^2 - 1).

Exercice 3 : Distance à un sous-espace§

Exercice

Dans R3\mathbb{R}^3 muni du produit scalaire canonique, calculer la distance du point M=(1,1,1)M = (1, 1, 1) au plan F:x+y−z=0F : x + y - z = 0.

F=Ker(φ)F = \text{Ker}(\varphi) avec φ(x,y,z)=x+y−z\varphi(x, y, z) = x + y - z. Un vecteur normal est n=(1,1,−1)n = (1, 1, -1).

La projection de MM sur F⊥=Vect(n)F^\perp = \text{Vect}(n) est :

pF⊥(M)=⟨M,n⟩∣n∣2,n=1+1−13(1,1,−1)=13(1,1,−1)p_{F^\perp}(M) = \frac{\langle M, n\rangle}{|n|^2}, n = \frac{1 + 1 - 1}{3}(1, 1, -1) = \frac{1}{3}(1, 1, -1)

La distance est : d(M,F)=∣pF⊥(M)∣=133=13=33d(M, F) = |p_{F^\perp}(M)| = \dfrac{1}{3}\sqrt{3} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}.

On peut vérifier par la formule directe : d=∣1+1−1∣12+12+(−1)2=13d = \dfrac{|1 + 1 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}.

Exercice 4 : Matrice orthogonale§

Exercice — Caractérisation d’une rotation

Soit M=13(2−12 22−1 −122)M = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \ 2 & 2 & -1 \ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}. Montrer que M∈SO(3)M \in SO(3) et déterminer l’angle et l’axe de la rotation.

Vérification : MTM=19(22−1 −122 2−12)(2−12 22−1 −122)=19(900 090 009)=I3M^T M = \dfrac{1}{9}\begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \ -1 & 2 & 2 \ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \ 2 & 2 & -1 \ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{9}\begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 \ 0 & 9 & 0 \ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} = I_3.

Donc M∈O(3)M \in O(3). De plus, det⁡(M)=127(2(4+2)+1(4−1)+2(4+2))=127⋅27=1\det(M) = \dfrac{1}{27}(2(4+2) + 1(4-1) + 2(4+2)) = \dfrac{1}{27} \cdot 27 = 1. Donc M∈SO(3)M \in SO(3).

Axe : on résout Mv=vMv = v, soit (M−I)v=0(M - I)v = 0.

M−I=13(−1−12 2−1−1 −12−1)M - I = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \ 2 & -1 & -1 \ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}. On vérifie que v=(1,1,1)v = (1, 1, 1) est solution. L’axe de rotation est Vect(1,1,1)\text{Vect}(1, 1, 1).

Angle : tr(M)=2+2+23=2\text{tr}(M) = \dfrac{2 + 2 + 2}{3} = 2. Or pour une rotation d’angle θ\theta dans R3\mathbb{R}^3 : tr(M)=1+2cos⁡θ\text{tr}(M) = 1 + 2\cos\theta.

Donc 2cos⁡θ=12\cos\theta = 1, soit cos⁡θ=1/2\cos\theta = 1/2 et θ=±π/3\theta = \pm \pi/3.

Pour déterminer le signe, on vérifie l’orientation. La rotation est d’angle θ=π/3\theta = \pi/3 autour de l’axe (1,1,1)(1,1,1) (avec convention d’orientation directe).

10. Liens§