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February 16, 2026

Espaces Euclidiens

Les espaces euclidiens généralisent la géométrie du plan et de l’espace usuel à la dimension $n$. Le produit scalaire permet de définir des notions métriques (distance, angle, orthogonalité) dans un cadre algébrique rigoureux.

1. Produit scalaire§

1.1. Définition axiomatique§

[!abstract] Définition — Produit scalaire Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel. Un produit scalaire sur $E$ est une application $\langle \cdot, \cdot \rangle : E \times E \to \mathbb{R}$ vérifiant :

  1. Bilinéarité : $\langle \cdot, \cdot \rangle$ est linéaire en chaque variable
  2. Symétrie : $\forall x, y \in E, ; \langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$
  3. Positivité : $\forall x \in E, ; \langle x, x \rangle \geqslant 0$
  4. Définie : $\langle x, x \rangle = 0 \iff x = 0_E$

Le couple $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ est appelé espace préhilbertien réel. Si $E$ est de dimension finie, on parle d’espace euclidien.

[!tip] Forme condensée Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive.

1.2. Exemples fondamentaux§

[!example] Exemples de produits scalaires 1. Produit scalaire canonique sur $\mathbb{R}^n$. $$\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i = x^T y$$

2. Produit scalaire sur $\mathcal{C}([a, b], \mathbb{R})$. $$\langle f, g \rangle = \int_a^b f(t), g(t), dt$$

(La définie positivité utilise la stricte positivité de l’intégrale pour les fonctions continues.)

3. Produit scalaire sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. $$\langle A, B \rangle = \text{tr}(A^T B)$$

4. Produit scalaire pondéré sur $\mathbb{R}^n$. Pour des poids $w_i > 0$ : $\langle x, y \rangle_w = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} w_i x_i y_i$.

2. Norme euclidienne§

2.1. Définition§

[!abstract] Définition — Norme associée La norme euclidienne associée au produit scalaire est : $$|x| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$$

On a les propriétés immédiates :

La distance entre $x$ et $y$ est $d(x, y) = |x - y|$.

2.2. Inégalité de Cauchy-Schwarz§

[!abstract] Théorème — Inégalité de Cauchy-Schwarz Pour tous $x, y \in E$ : $$|\langle x, y \rangle| \leqslant |x| \cdot |y|$$ avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires (liés).

[!tip] Preuve Pour tout $t \in \mathbb{R}$, $|x + ty|^2 \geqslant 0$, c’est-à-dire : $$|x|^2 + 2t\langle x, y\rangle + t^2|y|^2 \geqslant 0$$ Ce trinôme en $t$ est positif, donc son discriminant $\Delta = 4\langle x, y\rangle^2 - 4|x|^2|y|^2 \leqslant 0$, ce qui donne le résultat. L’égalité correspond à $\Delta = 0$, soit $x + t_0 y = 0$ pour un certain $t_0$.

[!important] Conséquence — Inégalité triangulaire $$|x + y| \leqslant |x| + |y|$$ Preuve : $|x+y|^2 = |x|^2 + 2\langle x,y\rangle + |y|^2 \leqslant |x|^2 + 2|x||y| + |y|^2 = (|x|+|y|)^2$.

2.3. Identités remarquables§

[!abstract] Identités

3. Orthogonalité§

3.1. Vecteurs orthogonaux§

[!abstract] Définition Deux vecteurs $x, y \in E$ sont orthogonaux, noté $x \perp y$, si $\langle x, y \rangle = 0$.

Une famille orthogonale est une famille $(e_1, \dots, e_p)$ telle que $\langle e_i, e_j \rangle = 0$ pour $i \neq j$.

Une famille orthonormale (ou orthonormée, en abrégé BON) est une famille orthogonale dont tous les vecteurs sont de norme $1$ : $$\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = j \ 0 & \text{si } i \neq j \end{cases}$$

[!important] Théorème Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre (linéairement indépendante).

[!tip] Preuve Si $\sum \lambda_i e_i = 0$, on prend le produit scalaire avec $e_j$ : $\lambda_j |e_j|^2 = 0$, donc $\lambda_j = 0$ (car $e_j \neq 0$).

3.2. Base orthonormale§

[!abstract] Théorème Tout espace euclidien $(E, \langle\cdot,\cdot\rangle)$ de dimension $n$ admet une base orthonormale $(e_1, \dots, e_n)$. Dans une telle base :

4. Procédé de Gram-Schmidt§

4.1. Énoncé§

[!abstract] Théorème — Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt Soit $(v_1, \dots, v_p)$ une famille libre dans un espace euclidien $E$. Il existe une unique famille orthonormale $(e_1, \dots, e_p)$ telle que :

  1. Pour tout $k \in {1, \dots, p}$ : $\text{Vect}(e_1, \dots, e_k) = \text{Vect}(v_1, \dots, v_k)$
  2. $\langle v_k, e_k \rangle > 0$ pour tout $k$

4.2. Algorithme§

Étape 1 : Orthogonalisation. On construit des vecteurs $u_k$ orthogonaux :

$$u_1 = v_1$$

$$u_k = v_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{\langle v_k, u_j \rangle}{\langle u_j, u_j \rangle}, u_j \quad \text{pour } k \geqslant 2$$

Étape 2 : Normalisation.

$$e_k = \frac{u_k}{|u_k|}$$

flowchart TD
    A["Famille libre (v₁, ..., vₚ)"] --> B["Initialisation :<br/>u₁ = v₁<br/>e₁ = u₁ / ‖u₁‖"]
    B --> C["Pour k = 2, 3, ..., p"]
    C --> D["Orthogonalisation :<br/>uₖ = vₖ − Σⱼ₌₁ᵏ⁻¹ ⟨vₖ, eⱼ⟩ eⱼ"]
    D --> E{"uₖ = 0 ?"}
    E -- "Oui<br/>(impossible si libre)" --> F["Erreur : famille liée"]
    E -- Non --> G["Normalisation :<br/>eₖ = uₖ / ‖uₖ‖"]
    G --> H{"k = p ?"}
    H -- Non --> C
    H -- Oui --> I["Famille orthonormale<br/>(e₁, ..., eₚ) obtenue"]

    style A fill:#4a90d9,color:#fff
    style I fill:#27ae60,color:#fff
    style F fill:#e74c3c,color:#fff

[!example] Exemple — Gram-Schmidt dans $\mathbb{R}^3$ Orthonormaliser la famille $v_1 = (1, 1, 0)$, $v_2 = (1, 0, 1)$, $v_3 = (0, 1, 1)$ pour le produit scalaire canonique.

Étape 1 : $u_1 = (1, 1, 0)$, $|u_1| = \sqrt{2}$, $e_1 = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0)$.

Étape 2 : $\langle v_2, e_1\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(1 + 0 + 0) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.

$u_2 = v_2 - \langle v_2, e_1\rangle e_1 = (1, 0, 1) - \dfrac{1}{2}(1, 1, 0) = \left(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{2}, 1\right)$.

$|u_2| = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + 1} = \sqrt{\dfrac{3}{2}}$, $e_2 = \dfrac{1}{\sqrt{6}}(1, -1, 2)$.

Étape 3 : $\langle v_3, e_1\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(0 + 1 + 0) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$, $\langle v_3, e_2\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{6}}(0 - 1 + 2) = \dfrac{1}{\sqrt{6}}$.

$u_3 = v_3 - \dfrac{1}{\sqrt{2}} e_1 - \dfrac{1}{\sqrt{6}} e_2 = (0,1,1) - \dfrac{1}{2}(1,1,0) - \dfrac{1}{6}(1,-1,2)$

$= \left(-\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{6},; 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6},; 1 - \dfrac{1}{3}\right) = \left(-\dfrac{2}{3},; \dfrac{2}{3},; \dfrac{2}{3}\right)$.

$|u_3| = \dfrac{2}{3}\sqrt{3}$, $e_3 = \dfrac{1}{\sqrt{3}}(-1, 1, 1)$.

Résultat : $e_1 = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)$, $e_2 = \dfrac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2)$, $e_3 = \dfrac{1}{\sqrt{3}}(-1,1,1)$.

5. Projection orthogonale§

5.1. Supplémentaire orthogonal§

[!abstract] Définition — Orthogonal d’un sous-espace Soit $F$ un sous-espace de $E$. L’orthogonal de $F$ est : $$F^\perp = {x \in E \mid \forall y \in F,; \langle x, y \rangle = 0}$$

[!abstract] Théorème — Supplémentaire orthogonal Soit $E$ un espace euclidien et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Alors :

  1. $F^\perp$ est un sous-espace vectoriel de $E$
  2. $E = F \oplus F^\perp$ (somme directe orthogonale, notée $F \overset{\perp}{\oplus} F^\perp$)
  3. $\dim F^\perp = \dim E - \dim F$
  4. $(F^\perp)^\perp = F$

[!tip] Preuve de $E = F \oplus F^\perp$ Soit $(e_1, \dots, e_r)$ une BON de $F$. Pour $x \in E$, on pose : $$x_F = \sum_{i=1}^{r} \langle x, e_i\rangle, e_i \quad \text{et} \quad x_{F^\perp} = x - x_F$$ On vérifie que $x_F \in F$ et $\langle x_{F^\perp}, e_j\rangle = \langle x, e_j\rangle - \langle x, e_j\rangle = 0$, donc $x_{F^\perp} \in F^\perp$. De plus, $F \cap F^\perp = {0}$ (si $x \in F \cap F^\perp$, $\langle x, x\rangle = 0$).

5.2. Projecteur orthogonal§

[!abstract] Définition — Projection orthogonale Le projecteur orthogonal sur $F$ est l’application linéaire $p_F : E \to E$ définie par : $$p_F(x) = x_F = \sum_{i=1}^{r} \langle x, e_i \rangle, e_i$$ où $(e_1, \dots, e_r)$ est une BON de $F$.

[!abstract] Théorème — Caractérisation par la distance Pour tout $x \in E$, $p_F(x)$ est l’unique élément de $F$ qui minimise la distance à $x$ : $$|x - p_F(x)| = \min_{y \in F} |x - y| = d(x, F)$$

[!tip] Preuve Pour $y \in F$, $x - y = (x - p_F(x)) + (p_F(x) - y)$ avec $x - p_F(x) \in F^\perp$ et $p_F(x) - y \in F$. Par Pythagore : $$|x - y|^2 = |x - p_F(x)|^2 + |p_F(x) - y|^2 \geqslant |x - p_F(x)|^2$$ avec égalité ssi $y = p_F(x)$.

[!example] Exemple — Projection dans $\mathbb{R}^3$ Soit $F = \text{Vect}!\left((1, 0, 1), (0, 1, 1)\right)$ dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique. Calculer la projection de $x = (1, 2, 3)$ sur $F$.

On commence par orthonormaliser une base de $F$ par Gram-Schmidt.

$v_1 = (1,0,1)$, $e_1 = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1)$.

$u_2 = (0,1,1) - \dfrac{\langle(0,1,1), e_1\rangle}{|e_1|^2}\cdot v_1 = (0,1,1) - \dfrac{1}{2}(1,0,1) = (-1/2, 1, 1/2)$.

$e_2 = \dfrac{1}{\sqrt{3/2}}(-1/2, 1, 1/2) = \dfrac{1}{\sqrt{6}}(-1, 2, 1)$.

Projection : $p_F(x) = \langle x, e_1\rangle e_1 + \langle x, e_2\rangle e_2$.

$\langle x, e_1\rangle = \dfrac{1+3}{\sqrt{2}} = \dfrac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.

$\langle x, e_2\rangle = \dfrac{-1+4+3}{\sqrt{6}} = \dfrac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$.

$p_F(x) = 2\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1) + \sqrt{6}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{6}}(-1,2,1) = 2(1,0,1) + (-1,2,1) = (1, 2, 3)$.

On trouve $p_F(x) = x$ : le vecteur $(1,2,3)$ appartient déjà à $F$. En effet, $(1,2,3) = (1,0,1) + 2(0,1,1)$.

6. Matrices orthogonales et groupe orthogonal§

6.1. Définition§

[!abstract] Définition — Matrice orthogonale Une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est orthogonale si : $$M^T M = I_n \quad \iff \quad M^{-1} = M^T$$ L’ensemble des matrices orthogonales forme le groupe orthogonal $O(n)$.

[!abstract] Propriétés des matrices orthogonales Soit $M \in O(n)$.

  1. $\det(M) = \pm 1$
  2. Les colonnes de $M$ forment une BON de $\mathbb{R}^n$ (pour le produit scalaire canonique)
  3. Les lignes de $M$ forment une BON de $\mathbb{R}^n$
  4. $M$ conserve le produit scalaire : $\langle Mx, My\rangle = \langle x, y\rangle$
  5. $M$ conserve la norme : $|Mx| = |x|$

[!tip] Preuve de (1) $\det(M^T M) = \det(I_n) = 1$, et $\det(M^T) = \det(M)$, donc $\det(M)^2 = 1$.

[!abstract] Définition — Groupe spécial orthogonal Le groupe spécial orthogonal est $SO(n) = {M \in O(n) \mid \det(M) = 1}$. Ses éléments sont les rotations (ou isométries directes).

6.2. Changement de base orthonormale§

[!abstract] Théorème La matrice de passage d’une BON à une autre BON est une matrice orthogonale. Réciproquement, si $P \in O(n)$ et $(e_1, \dots, e_n)$ est une BON, alors les colonnes de $P$ (exprimées dans cette BON) forment une BON.

7. Isométries vectorielles§

7.1. Définition§

[!abstract] Définition — Isométrie vectorielle (automorphisme orthogonal) Un endomorphisme $f \in \mathcal{L}(E)$ est une isométrie vectorielle si : $$\forall x \in E, \quad |f(x)| = |x|$$ De manière équivalente : $\forall x, y \in E, ; \langle f(x), f(y)\rangle = \langle x, y\rangle$.

[!abstract] Caractérisations Pour $f \in \mathcal{L}(E)$, les propriétés suivantes sont équivalentes :

  1. $f$ est une isométrie
  2. $f$ conserve le produit scalaire
  3. $f$ transforme toute BON en BON
  4. La matrice de $f$ dans toute BON est orthogonale

7.2. Isométries du plan ($n = 2$)§

[!abstract] Théorème — Classification des isométries de $\mathbb{R}^2$ Toute matrice de $O(2)$ est de l’une des deux formes suivantes :

TypeMatrice$\det$Nom
Rotation d’angle $\theta$$R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$+1$Isométrie directe
Réflexion d’axe faisant l’angle $\theta/2$ avec $Ox$$S_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix}$$-1$Isométrie indirecte

[!tip] Vérification On vérifie aisément que $R_\theta^T R_\theta = I_2$ et $S_\theta^T S_\theta = I_2$.

[!important] Propriétés des rotations

7.3. Isométries de l’espace ($n = 3$)§

[!abstract] Théorème — Réduction des isométries de $\mathbb{R}^3$ Soit $f$ une isométrie de $\mathbb{R}^3$.

Cas 1 : $f \in SO(3)$ (rotation). Il existe une BON dans laquelle la matrice de $f$ est : $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$ C’est la rotation d’angle $\theta$ autour de l’axe $\text{Ker}(f - \text{Id})$ (qui est une droite).

Cas 2 : $f \in O(3) \setminus SO(3)$ ($\det f = -1$). Il existe une BON dans laquelle la matrice de $f$ est : $$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$ C’est la composée d’une rotation d’angle $\theta$ et de la réflexion par rapport au plan orthogonal à l’axe.

[!warning] Cas particuliers importants pour $\det = -1$

[!abstract] Théorème — Valeurs propres d’une isométrie Les valeurs propres d’une isométrie sont $\pm 1$. Plus précisément :

8. Résultats complémentaires§

8.1. Matrice de Gram§

[!abstract] Définition — Matrice de Gram La matrice de Gram d’une famille $(v_1, \dots, v_p)$ est la matrice $G \in \mathcal{M}p(\mathbb{R})$ définie par : $$G{ij} = \langle v_i, v_j \rangle$$

[!abstract] Propriétés

8.2. Adjoint d’un endomorphisme§

[!abstract] Théorème — Adjoint Pour tout endomorphisme $f$ d’un espace euclidien $E$, il existe un unique endomorphisme $f^$, appelé adjoint de $f$, tel que : $$\forall x, y \in E, \quad \langle f(x), y \rangle = \langle x, f^(y) \rangle$$ Dans une BON, la matrice de $f^*$ est la transposée de la matrice de $f$.

[!important] Caractérisations via l’adjoint

8.3. Théorème spectral§

[!abstract] Théorème spectral (admis en MPSI) Tout endomorphisme symétrique d’un espace euclidien est diagonalisable dans une base orthonormale. De manière équivalente : toute matrice symétrique réelle est orthogonalement diagonalisable.

9. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Vérification de produit scalaire§

[!example] Exercice Montrer que $\langle P, Q \rangle = \displaystyle\int_0^1 P(t) Q(t), dt$ est un produit scalaire sur $\mathbb{R}_n[X]$.

Bilinéarité : découle de la linéarité de l’intégrale.

Symétrie : $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ = \int_0^1 QP = \langle Q, P\rangle$.

Positivité : $\langle P, P\rangle = \int_0^1 P(t)^2, dt \geqslant 0$ car $P^2 \geqslant 0$.

Définie : si $\langle P, P\rangle = 0$, alors $\int_0^1 P(t)^2, dt = 0$. Comme $P^2$ est continue et positive, $P^2 = 0$ sur $[0,1]$, donc $P = 0$ sur $[0,1]$. Or un polynôme ayant une infinité de zéros est le polynôme nul (pour $n \geqslant 1$, $[0,1]$ est infini).

Exercice 2 : Gram-Schmidt dans un espace de polynômes§

[!example] Exercice — Polynômes de Legendre Orthonormaliser $(1, X, X^2)$ dans $\mathbb{R}2[X]$ pour le produit scalaire $\langle P, Q\rangle = \displaystyle\int{-1}^{1} P(t)Q(t), dt$.

Étape 1 : $v_1 = 1$, $|v_1|^2 = \displaystyle\int_{-1}^{1} 1, dt = 2$, $e_1 = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.

Étape 2 : $\langle X, e_1\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\displaystyle\int_{-1}^1 t, dt = 0$ (fonction impaire).

Donc $u_2 = X$, $|u_2|^2 = \displaystyle\int_{-1}^1 t^2, dt = \dfrac{2}{3}$, $e_2 = \sqrt{\dfrac{3}{2}}, X$.

Étape 3 : $\langle X^2, e_1\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\displaystyle\int_{-1}^1 t^2, dt = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{\sqrt{2}}{3}$.

$\langle X^2, e_2\rangle = \sqrt{\dfrac{3}{2}}\displaystyle\int_{-1}^1 t^3, dt = 0$ (fonction impaire).

$u_3 = X^2 - \dfrac{\sqrt{2}}{3} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} = X^2 - \dfrac{1}{3}$.

$|u_3|^2 = \displaystyle\int_{-1}^1 \left(t^2 - \dfrac{1}{3}\right)^2 dt = \int_{-1}^1 \left(t^4 - \dfrac{2t^2}{3} + \dfrac{1}{9}\right) dt = \dfrac{2}{5} - \dfrac{4}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{8}{45}$.

$e_3 = \sqrt{\dfrac{45}{8}}\left(X^2 - \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{8}}\left(X^2 - \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{3\sqrt{10}}{4}\left(X^2 - \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{10}}{4}(3X^2 - 1)$.

On retrouve (à normalisation près) les polynômes de Legendre : $P_0 = 1$, $P_1 = X$, $P_2 = \dfrac{1}{2}(3X^2 - 1)$.

Exercice 3 : Distance à un sous-espace§

[!example] Exercice Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, calculer la distance du point $M = (1, 1, 1)$ au plan $F : x + y - z = 0$.

$F = \text{Ker}(\varphi)$ avec $\varphi(x, y, z) = x + y - z$. Un vecteur normal est $n = (1, 1, -1)$.

La projection de $M$ sur $F^\perp = \text{Vect}(n)$ est : $$p_{F^\perp}(M) = \frac{\langle M, n\rangle}{|n|^2}, n = \frac{1 + 1 - 1}{3}(1, 1, -1) = \frac{1}{3}(1, 1, -1)$$

La distance est : $d(M, F) = |p_{F^\perp}(M)| = \dfrac{1}{3}\sqrt{3} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

On peut vérifier par la formule directe : $d = \dfrac{|1 + 1 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

Exercice 4 : Matrice orthogonale§

[!example] Exercice — Caractérisation d’une rotation Soit $M = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \ 2 & 2 & -1 \ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$. Montrer que $M \in SO(3)$ et déterminer l’angle et l’axe de la rotation.

Vérification : $M^T M = \dfrac{1}{9}\begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \ -1 & 2 & 2 \ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \ 2 & 2 & -1 \ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{9}\begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 \ 0 & 9 & 0 \ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} = I_3$.

Donc $M \in O(3)$. De plus, $\det(M) = \dfrac{1}{27}(2(4+2) + 1(4-1) + 2(4+2)) = \dfrac{1}{27} \cdot 27 = 1$. Donc $M \in SO(3)$.

Axe : on résout $Mv = v$, soit $(M - I)v = 0$.

$M - I = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \ 2 & -1 & -1 \ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}$. On vérifie que $v = (1, 1, 1)$ est solution. L’axe de rotation est $\text{Vect}(1, 1, 1)$.

Angle : $\text{tr}(M) = \dfrac{2 + 2 + 2}{3} = 2$. Or pour une rotation d’angle $\theta$ dans $\mathbb{R}^3$ : $\text{tr}(M) = 1 + 2\cos\theta$.

Donc $2\cos\theta = 1$, soit $\cos\theta = 1/2$ et $\theta = \pm \pi/3$.

Pour déterminer le signe, on vérifie l’orientation. La rotation est d’angle $\theta = \pi/3$ autour de l’axe $(1,1,1)$ (avec convention d’orientation directe).

10. Liens§

—The Gardener