Structures Algébriques
L’algèbre abstraite étudie les structures munies de lois de composition interne. Ce chapitre introduit les trois structures fondamentales — groupes, anneaux, corps — et les morphismes qui les relient.
1. Lois de composition interne§
1.1 Définition§
[!abstract] Définition Une loi de composition interne (LCI) sur un ensemble $E$ est une application $\star : E \times E \to E$, notée $(x, y) \mapsto x \star y$.
1.2 Propriétés d’une LCI§
Soit $\star$ une LCI sur $E$.
| Propriété | Définition |
|---|---|
| Associativité | $\forall x, y, z \in E,; (x \star y) \star z = x \star (y \star z)$ |
| Commutativité | $\forall x, y \in E,; x \star y = y \star x$ |
| Élément neutre | $\exists e \in E,; \forall x \in E,; e \star x = x \star e = x$ |
| Symétrique | Si $e$ est neutre : $\forall x \in E,; \exists x’ \in E,; x \star x’ = x’ \star x = e$ |
[!important] L’élément neutre, s’il existe, est unique. De même, dans un monoïde (associatif avec neutre), le symétrique d’un élément, s’il existe, est unique.
[!tip] Preuve de l’unicité du neutre Si $e$ et $e’$ sont deux neutres, alors $e = e \star e’ = e’$. $\blacksquare$
2. Groupes§
2.1 Définition§
[!abstract] Définition Un groupe est un couple $(G, \star)$ où $G$ est un ensemble non vide et $\star$ une LCI sur $G$ vérifiant :
- $\star$ est associative,
- Il existe un élément neutre $e \in G$,
- Tout élément admet un symétrique (inverse).
Si de plus $\star$ est commutative, on dit que $(G, \star)$ est un groupe abélien (ou commutatif).
[!tip] Notation
- Notation multiplicative : neutre = $1$ ou $e$, inverse de $x$ = $x^{-1}$.
- Notation additive (groupes abéliens) : neutre = $0$, opposé de $x$ = $-x$.
2.2 Exemples fondamentaux§
| Groupe | Loi | Neutre | Inverse |
|---|---|---|---|
| $(\mathbb{Z}, +)$ | addition | $0$ | $-n$ |
| $(\mathbb{Q}^*, \times)$ | multiplication | $1$ | $1/q$ |
| $(\mathbb{R}^*, \times)$ | multiplication | $1$ | $1/x$ |
| $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ | addition modulaire | $\overline{0}$ | $\overline{-k}$ |
| $(S_n, \circ)$ | composition | $\mathrm{Id}$ | $\sigma^{-1}$ |
| $(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}), \times)$ | produit matriciel | $I_n$ | $A^{-1}$ |
[!warning] $(\mathbb{N}, +)$ n’est pas un groupe : les éléments non nuls n’ont pas d’opposé dans $\mathbb{N}$.
2.3 Propriétés élémentaires§
[!abstract] Propositions Soit $(G, \star)$ un groupe. Pour tous $a, b, c \in G$ :
- Régularité : $a \star b = a \star c \Rightarrow b = c$ (simplification à gauche, et à droite).
- $(a^{-1})^{-1} = a$.
- $(a \star b)^{-1} = b^{-1} \star a^{-1}$.
- L’équation $a \star x = b$ admet une unique solution : $x = a^{-1} \star b$.
2.4 Ordre d’un élément§
[!abstract] Définition L’ordre d’un élément $g \in G$ est le plus petit entier $n \geq 1$ tel que $g^n = e$, s’il existe. Sinon, $g$ est d’ordre infini.
2.5 Sous-groupes§
[!abstract] Définition Un sous-ensemble $H \subset G$ est un sous-groupe de $(G, \star)$ si $(H, \star)$ est lui-même un groupe.
[!abstract] Théorème (Caractérisation) $H \subset G$ est un sous-groupe de $(G, \star)$ si et seulement si :
- $H \neq \emptyset$ (ou $e \in H$),
- $\forall a, b \in H,; a \star b^{-1} \in H$.
[!example] Exemples
- $n\mathbb{Z} = {nk \mid k \in \mathbb{Z}}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{Z}, +)$.
- $\mathrm{SL}_n(\mathbb{R}) = {A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) \mid \det A = 1}$ est un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$.
2.6 Théorème de Lagrange§
[!abstract] Théorème (Lagrange) Soit $G$ un groupe fini et $H$ un sous-groupe de $G$. Alors $|H|$ divise $|G|$.
Plus précisément : $|G| = |H| \cdot [G : H]$ où $[G : H]$ est l’indice de $H$ dans $G$ (nombre de classes à gauche).
[!tip] Esquisse de preuve Les classes à gauche $gH = {gh \mid h \in H}$ forment une partition de $G$. Chaque classe a le même cardinal que $H$ (la translation $h \mapsto gh$ est une bijection). Si on note $k$ le nombre de classes, alors $|G| = k \cdot |H|$. $\blacksquare$
[!important] Corollaire L’ordre de tout élément d’un groupe fini divise le cardinal du groupe. En particulier, pour tout $g \in G$ : $g^{|G|} = e$.
3. Morphismes de groupes§
3.1 Définition§
[!abstract] Définition Soient $(G, \star)$ et $(G’, \bullet)$ deux groupes. Un morphisme de groupes est une application $\varphi : G \to G’$ telle que : $$\forall a, b \in G,\quad \varphi(a \star b) = \varphi(a) \bullet \varphi(b)$$
[!abstract] Propriétés immédiates Si $\varphi : G \to G’$ est un morphisme :
- $\varphi(e_G) = e_{G’}$
- $\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}$
- $\varphi(a^n) = \varphi(a)^n$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$
3.2 Noyau et image§
[!abstract] Définition
- Le noyau de $\varphi$ est $\ker \varphi = {g \in G \mid \varphi(g) = e_{G’}}$.
- L’image de $\varphi$ est $\mathrm{Im}, \varphi = {\varphi(g) \mid g \in G}$.
[!abstract] Théorème
- $\ker \varphi$ est un sous-groupe de $G$.
- $\mathrm{Im}, \varphi$ est un sous-groupe de $G’$.
- $\varphi$ est injective $\Leftrightarrow$ $\ker \varphi = {e_G}$.
[!example] Exemple Le déterminant $\det : \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) \to (\mathbb{R}^*, \times)$ est un morphisme de groupes. Son noyau est $\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})$ et il est surjectif.
3.3 Terminologie§
| Type | Définition |
|---|---|
| Endomorphisme | Morphisme de $G$ dans $G$ |
| Isomorphisme | Morphisme bijectif |
| Automorphisme | Endomorphisme bijectif |
4. Anneaux§
4.1 Définition§
[!abstract] Définition Un anneau est un triplet $(A, +, \times)$ où :
- $(A, +)$ est un groupe abélien (neutre noté $0_A$),
- $\times$ est associative et possède un élément neutre $1_A$,
- $\times$ est distributive par rapport à $+$ : $$\forall a, b, c \in A,\quad a \times (b + c) = a \times b + a \times c \quad \text{et} \quad (a + b) \times c = a \times c + b \times c$$
Si de plus $\times$ est commutative, l’anneau est dit commutatif.
[!important] On demande $1_A \neq 0_A$ pour exclure l’anneau trivial ${0}$ (selon certaines conventions).
4.2 Exemples fondamentaux§
| Anneau | Commutatif ? | Intègre ? |
|---|---|---|
| $(\mathbb{Z}, +, \times)$ | Oui | Oui |
| $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +, \times)$ | Oui | Ssi $n$ premier |
| $(K[X], +, \times)$ | Oui | Oui |
| $(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}), +, \times)$ | Non ($n \geq 2$) | Non ($n \geq 2$) |
4.3 Éléments remarquables§
[!abstract] Définitions Soit $(A, +, \times)$ un anneau.
- $a \in A$ est inversible (ou unité) s’il existe $b \in A$ tel que $ab = ba = 1_A$.
- L’ensemble des éléments inversibles est noté $A^\times$ ; c’est un groupe pour $\times$.
- $a \neq 0$ est un diviseur de zéro s’il existe $b \neq 0$ tel que $ab = 0$.
- Un anneau commutatif intègre est un anneau sans diviseurs de zéro.
[!example] Exemple Dans $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ : $\overline{2} \times \overline{3} = \overline{0}$, donc $\overline{2}$ et $\overline{3}$ sont diviseurs de zéro.
Les inversibles de $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ sont $\overline{1}$ et $\overline{5}$ (ceux premiers avec $6$).
4.4 Idéaux et anneaux quotients§
[!abstract] Définition Un idéal d’un anneau commutatif $(A, +, \times)$ est une partie $I \subset A$ telle que :
- $(I, +)$ est un sous-groupe de $(A, +)$,
- $\forall a \in A,; \forall x \in I,; ax \in I$ (stabilité par multiplication externe).
[!example] Exemple $n\mathbb{Z}$ est un idéal de $\mathbb{Z}$. L’anneau quotient $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est l’anneau des classes de congruence modulo $n$.
5. Corps§
5.1 Définition§
[!abstract] Définition Un corps est un anneau commutatif $(K, +, \times)$ dans lequel tout élément non nul est inversible, c’est-à-dire $K^\times = K \setminus {0}$.
De manière équivalente : $(K, +, \times)$ est un corps si :
- $(K, +)$ est un groupe abélien,
- $(K \setminus {0}, \times)$ est un groupe abélien,
- $\times$ est distributive par rapport à $+$.
5.2 Exemples§
| Corps | Caractéristique |
|---|---|
| $(\mathbb{Q}, +, \times)$ | $0$ |
| $(\mathbb{R}, +, \times)$ | $0$ |
| $(\mathbb{C}, +, \times)$ | $0$ |
| $(\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, +, \times)$ pour $p$ premier | $p$ |
[!abstract] Théorème $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un corps si et seulement si $n$ est premier.
[!tip] Preuve $\overline{a}$ est inversible dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ si et seulement si $\gcd(a, n) = 1$ (Bézout). Si $n$ est premier, tout $a \in {1, \ldots, n-1}$ vérifie $\gcd(a, n) = 1$, donc tout élément non nul est inversible. Réciproquement, si $n = ab$ avec $1 < a, b < n$, alors $\overline{a}$ est diviseur de zéro, pas inversible. $\blacksquare$
5.3 Caractéristique d’un corps§
[!abstract] Définition La caractéristique d’un corps $K$ est le plus petit entier $p \geq 1$ tel que $\underbrace{1_K + \cdots + 1_K}_{p} = 0_K$, s’il existe. Sinon, $\mathrm{car}(K) = 0$.
[!abstract] Théorème La caractéristique d’un corps est $0$ ou un nombre premier.
6. Hiérarchie des structures§
flowchart TD
A["Ensemble muni d'une LCI"] --> B["Monoïde<br/>(associative + neutre)"]
B --> C["Groupe<br/>(+ inversibilité)"]
C --> D["Groupe abélien<br/>(+ commutativité)"]
D --> E["Anneau<br/>(2e loi : monoïde + distributivité)"]
E --> F["Anneau commutatif"]
F --> G["Anneau intègre<br/>(pas de diviseurs de zéro)"]
G --> H["Corps<br/>(tout non nul inversible)"]
style H fill:#2d6a4f,stroke:#1b4332,color:#fff
style C fill:#264653,stroke:#2a9d8f,color:#fff
style E fill:#e76f51,stroke:#f4a261,color:#fff
7. Groupes de permutations $S_n$§
7.1 Définition§
[!abstract] Définition Le groupe symétrique $S_n$ est le groupe des bijections de ${1, \ldots, n}$ dans lui-même, muni de la composition.
$|S_n| = n!$
7.2 Cycles et transpositions§
[!abstract] Définition Un cycle de longueur $k$ (ou $k$-cycle) est une permutation $(a_1; a_2; \cdots; a_k)$ qui envoie $a_i \mapsto a_{i+1}$ (indices mod $k$) et fixe les autres éléments.
Une transposition est un $2$-cycle.
[!abstract] Théorème Toute permutation se décompose en produit de cycles à supports disjoints (à l’ordre près). Toute permutation se décompose en produit de transpositions.
7.3 Signature§
[!abstract] Définition La signature d’une permutation $\sigma \in S_n$ est $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{N(\sigma)}$ où $N(\sigma)$ est le nombre de transpositions dans une décomposition de $\sigma$.
L’application $\varepsilon : S_n \to {-1, +1}$ est un morphisme de groupes. Son noyau est le groupe alterné $A_n$ (permutations paires), de cardinal $n!/2$.
8. Exercices types§
[!example] Exercice 1 — Sous-groupe Montrer que $H = {z \in \mathbb{C}^* \mid |z| = 1}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C}^*, \times)$.
Indication : Vérifier le critère : $H \neq \emptyset$ et $\forall z_1, z_2 \in H,; z_1 z_2^{-1} \in H$.
[!example] Exercice 2 — Morphisme Soit $\varphi : (\mathbb{Z}, +) \to (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ défini par $\varphi(k) = \overline{k}$.
- Montrer que $\varphi$ est un morphisme de groupes surjectif.
- Déterminer $\ker \varphi$.
[!example] Exercice 3 — Anneau Soit $A = \mathbb{Z}[\sqrt{2}] = {a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z}}$.
- Montrer que $(A, +, \times)$ est un anneau commutatif intègre.
- Déterminer les inversibles de $A$.
[!example] Exercice 4 — Corps $\mathbb{F}_5$ Construire la table de multiplication de $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$. Vérifier que c’est un corps et trouver l’inverse de chaque élément non nul.
[!example] Exercice 5 — Théorème de Lagrange Soit $G$ un groupe de cardinal $p$ premier. Montrer que $G$ est cyclique (c’est-à-dire isomorphe à $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$).
Indication : Considérer un élément $g \neq e$ et le sous-groupe engendré $\langle g \rangle$. Par Lagrange, $|\langle g \rangle|$ divise $p$.
[!example] Exercice 6 — Permutations Soit $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \ 3 & 5 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \in S_5$.
- Décomposer $\sigma$ en produit de cycles à supports disjoints.
- Déterminer l’ordre et la signature de $\sigma$.
- Calculer $\sigma^{-1}$.
Liens§
- Logique et Raisonnement — Raisonnements utilisés dans les preuves
- Ensembles et Applications — Bijections, relations d’équivalence (quotients)
- Arithmétique — $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ et applications à la théorie des nombres
- Polynômes — $K[X]$ comme anneau