Structures Algébriques

L’algèbre abstraite étudie les structures munies de lois de composition interne. Ce chapitre introduit les trois structures fondamentales — groupes, anneaux, corps — et les morphismes qui les relient.

1. Lois de composition interne§

1.1 Définition§

Définition

Une loi de composition interne (LCI) sur un ensemble $E$ est une application $\star : E \times E \to E$ , notée $(x, y) \mapsto x \star y$ .

1.2 Propriétés d’une LCI§

Soit $\star$ une LCI sur $E$ .

Propriété	Définition
Associativité	$\forall x, y, z \in E,; (x \star y) \star z = x \star (y \star z)$
Commutativité	$\forall x, y \in E,; x \star y = y \star x$
Élément neutre	$\exists e \in E,; \forall x \in E,; e \star x = x \star e = x$
Symétrique	Si $e$ est neutre : $\forall x \in E,; \exists x' \in E,; x \star x' = x' \star x = e$

Astuce

L’élément neutre, s’il existe, est unique. De même, dans un monoïde (associatif avec neutre), le symétrique d’un élément, s’il existe, est unique.

Preuve de l’unicité du neutre

Si $e$ et $e'$ sont deux neutres, alors $e = e \star e' = e'$ . $\blacksquare$

2. Groupes§

2.1 Définition§

Définition

Un groupe est un couple $(G, \star)$ où $G$ est un ensemble non vide et $\star$ une LCI sur $G$ vérifiant :

$\star$ est associative,
Il existe un élément neutre $e \in G$ ,
Tout élément admet un symétrique (inverse).

Si de plus $\star$ est commutative, on dit que $(G, \star)$ est un groupe abélien (ou commutatif).

Notation

Notation multiplicative : neutre = $1$ ou $e$ , inverse de $x$ = $x^{-1}$ .
Notation additive (groupes abéliens) : neutre = $0$ , opposé de $x$ = $-x$ .

2.2 Exemples fondamentaux§

Groupe	Loi	Neutre	Inverse
$(\mathbb{Z}, +)$	addition	$0$	$-n$
$(\mathbb{Q}^*, \times)$	multiplication	$1$	$1/q$
$(\mathbb{R}^*, \times)$	multiplication	$1$	$1/x$
$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$	addition modulaire	$\overline{0}$	$\overline{-k}$
$(S_n, \circ)$	composition	$\mathrm{Id}$	$\sigma^{-1}$
$(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}), \times)$	produit matriciel	$I_n$	$A^{-1}$

Attention

$(\mathbb{N}, +)$ n’est pas un groupe : les éléments non nuls n’ont pas d’opposé dans $\mathbb{N}$ .

2.3 Propriétés élémentaires§

Propositions

Soit $(G, \star)$ un groupe. Pour tous $a, b, c \in G$ :

Régularité : $a \star b = a \star c \Rightarrow b = c$ (simplification à gauche, et à droite).
$(a^{-1})^{-1} = a$ .
$(a \star b)^{-1} = b^{-1} \star a^{-1}$ .
L’équation $a \star x = b$ admet une unique solution : $x = a^{-1} \star b$ .

2.4 Ordre d’un élément§

Définition

L’ordre d’un élément $g \in G$ est le plus petit entier $n \geq 1$ tel que $g^n = e$ , s’il existe. Sinon, $g$ est d’ordre infini.

2.5 Sous-groupes§

Définition

Un sous-ensemble $H \subset G$ est un sous-groupe de $(G, \star)$ si $(H, \star)$ est lui-même un groupe.

Théorème (Caractérisation)

$H \subset G$ est un sous-groupe de $(G, \star)$ si et seulement si :

$H \neq \emptyset$ (ou $e \in H$ ),
$\forall a, b \in H,; a \star b^{-1} \in H$ .

Exemples

$n\mathbb{Z} = {nk \mid k \in \mathbb{Z}}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{Z}, +)$ .
$\mathrm{SL}_n(\mathbb{R}) = {A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) \mid \det A = 1}$ est un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ .

2.6 Théorème de Lagrange§

Théorème (Lagrange)

Soit $G$ un groupe fini et $H$ un sous-groupe de $G$ . Alors $|H|$ divise $|G|$ .

Plus précisément : $|G| = |H| \cdot [G : H]$ où $[G : H]$ est l’indice de $H$ dans $G$ (nombre de classes à gauche).

Esquisse de preuve

Les classes à gauche $gH = {gh \mid h \in H}$ forment une partition de $G$ . Chaque classe a le même cardinal que $H$ (la translation $h \mapsto gh$ est une bijection). Si on note $k$ le nombre de classes, alors $|G| = k \cdot |H|$ . $\blacksquare$

Corollaire

L’ordre de tout élément d’un groupe fini divise le cardinal du groupe. En particulier, pour tout $g \in G$ : $g^{|G|} = e$ .

3. Morphismes de groupes§

3.1 Définition§

Définition

Soient $(G, \star)$ et $(G', \bullet)$ deux groupes. Un morphisme de groupes est une application $\varphi : G \to G'$ telle que :

\forall a, b \in G,\quad \varphi(a \star b) = \varphi(a) \bullet \varphi(b)

Propriétés immédiates

Si $\varphi : G \to G'$ est un morphisme :

$\varphi(e_G) = e_{G'}$
$\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}$
$\varphi(a^n) = \varphi(a)^n$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$

3.2 Noyau et image§

Définition

Le noyau de $\varphi$ est $\ker \varphi = {g \in G \mid \varphi(g) = e_{G'}}$ .
L’image de $\varphi$ est $\mathrm{Im}, \varphi = {\varphi(g) \mid g \in G}$ .

Théorème

$\ker \varphi$ est un sous-groupe de $G$ .
$\mathrm{Im}, \varphi$ est un sous-groupe de $G'$ .
$\varphi$ est injective $\Leftrightarrow$ $\ker \varphi = {e_G}$ .

Exemple

Le déterminant $\det : \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) \to (\mathbb{R}^*, \times)$ est un morphisme de groupes. Son noyau est $\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})$ et il est surjectif.

3.3 Terminologie§

Type	Définition
Endomorphisme	Morphisme de $G$ dans $G$
Isomorphisme	Morphisme bijectif
Automorphisme	Endomorphisme bijectif

4. Anneaux§

4.1 Définition§

Définition

Un anneau est un triplet $(A, +, \times)$ où :

$(A, +)$ est un groupe abélien (neutre noté $0_A$ ),
$\times$ est associative et possède un élément neutre $1_A$ ,
$\times$ est distributive par rapport à $+$ :

\forall a, b, c \in A,\quad a \times (b + c) = a \times b + a \times c \quad \text{et} \quad (a + b) \times c = a \times c + b \times c

Si de plus $\times$ est commutative, l’anneau est dit commutatif.

Astuce

On demande $1_A \neq 0_A$ pour exclure l’anneau trivial ${0}$ (selon certaines conventions).

4.2 Exemples fondamentaux§

Anneau	Commutatif ?	Intègre ?
$(\mathbb{Z}, +, \times)$	Oui	Oui
$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +, \times)$	Oui	Ssi $n$ premier
$(K[X], +, \times)$	Oui	Oui
$(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}), +, \times)$	Non ( $n \geq 2$ )	Non ( $n \geq 2$ )

4.3 Éléments remarquables§

Définitions

Soit $(A, +, \times)$ un anneau.

$a \in A$ est inversible (ou unité) s’il existe $b \in A$ tel que $ab = ba = 1_A$ .
L’ensemble des éléments inversibles est noté $A^\times$ ; c’est un groupe pour $\times$ .
$a \neq 0$ est un diviseur de zéro s’il existe $b \neq 0$ tel que $ab = 0$ .
Un anneau commutatif intègre est un anneau sans diviseurs de zéro.

Exemple

Dans $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ : $\overline{2} \times \overline{3} = \overline{0}$ , donc $\overline{2}$ et $\overline{3}$ sont diviseurs de zéro.

Les inversibles de $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ sont $\overline{1}$ et $\overline{5}$ (ceux premiers avec $6$ ).

4.4 Idéaux et anneaux quotients§

Définition

Un idéal d’un anneau commutatif $(A, +, \times)$ est une partie $I \subset A$ telle que :

$(I, +)$ est un sous-groupe de $(A, +)$ ,
$\forall a \in A,; \forall x \in I,; ax \in I$ (stabilité par multiplication externe).

Exemple

$n\mathbb{Z}$ est un idéal de $\mathbb{Z}$ . L’anneau quotient $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est l’anneau des classes de congruence modulo $n$ .

5. Corps§

5.1 Définition§

Définition

Un corps est un anneau commutatif $(K, +, \times)$ dans lequel tout élément non nul est inversible, c’est-à-dire $K^\times = K \setminus {0}$ .

De manière équivalente : $(K, +, \times)$ est un corps si :

$(K, +)$ est un groupe abélien,
$(K \setminus {0}, \times)$ est un groupe abélien,
$\times$ est distributive par rapport à $+$ .

5.2 Exemples§

Corps	Caractéristique
$(\mathbb{Q}, +, \times)$	$0$
$(\mathbb{R}, +, \times)$	$0$
$(\mathbb{C}, +, \times)$	$0$
$(\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, +, \times)$ pour $p$ premier	$p$

Théorème

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un corps si et seulement si $n$ est premier.

Preuve

$\overline{a}$ est inversible dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ si et seulement si $\gcd(a, n) = 1$ (Bézout). Si $n$ est premier, tout $a \in {1, \ldots, n-1}$ vérifie $\gcd(a, n) = 1$ , donc tout élément non nul est inversible. Réciproquement, si $n = ab$ avec $1 < a, b < n$ , alors $\overline{a}$ est diviseur de zéro, pas inversible. $\blacksquare$

5.3 Caractéristique d’un corps§

Définition

La caractéristique d’un corps $K$ est le plus petit entier $p \geq 1$ tel que $\underbrace{1_K + \cdots + 1_K}_{p} = 0_K$ , s’il existe. Sinon, $\mathrm{car}(K) = 0$ .

Théorème

La caractéristique d’un corps est $0$ ou un nombre premier.

6. Hiérarchie des structures§

flowchart TD
    A["Ensemble muni d'une LCI"] --> B["Monoïde<br/>(associative + neutre)"]
    B --> C["Groupe<br/>(+ inversibilité)"]
    C --> D["Groupe abélien<br/>(+ commutativité)"]
    D --> E["Anneau<br/>(2e loi : monoïde + distributivité)"]
    E --> F["Anneau commutatif"]
    F --> G["Anneau intègre<br/>(pas de diviseurs de zéro)"]
    G --> H["Corps<br/>(tout non nul inversible)"]

    style H fill:#2d6a4f,stroke:#1b4332,color:#fff
    style C fill:#264653,stroke:#2a9d8f,color:#fff
    style E fill:#e76f51,stroke:#f4a261,color:#fff

7. Groupes de permutations $S_n$ §

7.1 Définition§

Définition

Le groupe symétrique $S_n$ est le groupe des bijections de ${1, \ldots, n}$ dans lui-même, muni de la composition.

$|S_n| = n!$

7.2 Cycles et transpositions§

Définition

Un cycle de longueur $k$ (ou $k$ -cycle) est une permutation $(a_1; a_2; \cdots; a_k)$ qui envoie $a_i \mapsto a_{i+1}$ (indices mod $k$ ) et fixe les autres éléments.

Une transposition est un $2$ -cycle.

Théorème

Toute permutation se décompose en produit de cycles à supports disjoints (à l’ordre près). Toute permutation se décompose en produit de transpositions.

7.3 Signature§

Définition

La signature d’une permutation $\sigma \in S_n$ est $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{N(\sigma)}$ où $N(\sigma)$ est le nombre de transpositions dans une décomposition de $\sigma$ .

L’application $\varepsilon : S_n \to {-1, +1}$ est un morphisme de groupes. Son noyau est le groupe alterné $A_n$ (permutations paires), de cardinal $n!/2$ .

8. Exercices types§

Exercice 1 — Sous-groupe

Montrer que $H = {z \in \mathbb{C}^* \mid |z| = 1}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C}^*, \times)$ .

Indication : Vérifier le critère : $H \neq \emptyset$ et $\forall z_1, z_2 \in H,; z_1 z_2^{-1} \in H$ .

Exercice 2 — Morphisme

Soit $\varphi : (\mathbb{Z}, +) \to (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ défini par $\varphi(k) = \overline{k}$ .

Montrer que $\varphi$ est un morphisme de groupes surjectif.
Déterminer $\ker \varphi$ .

Exercice 3 — Anneau

Soit $A = \mathbb{Z}[\sqrt{2}] = {a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z}}$ .

Montrer que $(A, +, \times)$ est un anneau commutatif intègre.
Déterminer les inversibles de $A$ .

Exercice 4 — Corps

\mathbb{F}_5

Construire la table de multiplication de $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ . Vérifier que c’est un corps et trouver l’inverse de chaque élément non nul.

Exercice 5 — Théorème de Lagrange

Soit $G$ un groupe de cardinal $p$ premier. Montrer que $G$ est cyclique (c’est-à-dire isomorphe à $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ).

Indication : Considérer un élément $g \neq e$ et le sous-groupe engendré $\langle g \rangle$ . Par Lagrange, $|\langle g \rangle|$ divise $p$ .

Exercice 6 — Permutations

Soit $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \ 3 & 5 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \in S_5$ .

Décomposer $\sigma$ en produit de cycles à supports disjoints.
Déterminer l’ordre et la signature de $\sigma$ .
Calculer $\sigma^{-1}$ .

Liens§

Logique et Raisonnement — Raisonnements utilisés dans les preuves
Ensembles et Applications — Bijections, relations d’équivalence (quotients)
Arithmétique — $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ et applications à la théorie des nombres
Polynômes — $K[X]$ comme anneau

Structures Algébriques

1. Lois de composition interne§

1.1 Définition§

1.2 Propriétés d’une LCI§

2. Groupes§

2.1 Définition§

2.2 Exemples fondamentaux§

2.3 Propriétés élémentaires§

2.4 Ordre d’un élément§

2.5 Sous-groupes§

2.6 Théorème de Lagrange§

3. Morphismes de groupes§

3.1 Définition§

3.2 Noyau et image§

3.3 Terminologie§

4. Anneaux§

4.1 Définition§

4.2 Exemples fondamentaux§

4.3 Éléments remarquables§

4.4 Idéaux et anneaux quotients§

5. Corps§

5.1 Définition§

5.2 Exemples§

5.3 Caractéristique d’un corps§

6. Hiérarchie des structures§

7. Groupes de permutations SnS_nSn​§

7.1 Définition§

7.2 Cycles et transpositions§

7.3 Signature§

8. Exercices types§

Liens§

Commentaires

7. Groupes de permutations $S_n$ §