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February 16, 2026

Matrices et Déterminants

Les matrices sont l’outil de calcul privilégié de l’Algèbre Linéaire. Elles permettent de représenter les applications linéaires par des tableaux de nombres et de ramener les problèmes abstraits à des calculs concrets.

[!abstract] Programme Matrices et opérations, matrice d’une application linéaire, changement de base, inversibilité, rang, systèmes linéaires (pivot de Gauss), déterminants, cofacteurs, formule de Cramer.

1. Matrices : définitions et opérations§

1.1 Définition§

[!abstract] Définition — Matrice Une matrice $A \in \mathcal{M}{n,p}(K)$ est un tableau de $n$ lignes et $p$ colonnes à coefficients dans $K$ : $$A = (a{i,j}){\substack{1 \leq i \leq n \ 1 \leq j \leq p}} = \begin{pmatrix} a{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,p} \ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,p} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,p} \end{pmatrix}$$

$\mathcal{M}_{n,p}(K)$ est un $K$-espace vectoriel de dimension $np$.

Notation : $\mathcal{M}n(K) = \mathcal{M}{n,n}(K)$ (matrices carrées).

1.2 Opérations§

Somme : $(A + B){i,j} = a{i,j} + b_{i,j}$

Produit par un scalaire : $(\lambda A){i,j} = \lambda \cdot a{i,j}$

Produit matriciel : Pour $A \in \mathcal{M}{n,p}(K)$ et $B \in \mathcal{M}{p,q}(K)$ : $$(AB){i,j} = \sum{k=1}^{p} a_{i,k} \cdot b_{k,j}$$

Le produit $AB$ est défini si et seulement si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$.

[!warning] Attention — Le produit matriciel n’est PAS commutatif En général, $AB \neq BA$. Même si $A$ et $B$ sont carrées, $AB$ et $BA$ peuvent être différentes, et l’une peut exister sans l’autre (si les tailles diffèrent).

Transposée : $({}^t!A){i,j} = a{j,i}$. Propriétés :

1.3 Matrices particulières§

TypeDéfinition
Matrice identité $I_n$$(\delta_{i,j})$ (symbole de Kronecker)
Matrice diagonale$a_{i,j} = 0$ si $i \neq j$
Matrice triangulaire supérieure$a_{i,j} = 0$ si $i > j$
Matrice triangulaire inférieure$a_{i,j} = 0$ si $i < j$
Matrice symétrique${}^t!A = A$
Matrice antisymétrique${}^t!A = -A$
Matrice nilpotente$\exists, p \in \mathbb{N}^*,; A^p = 0$

[!tip] Décomposition symétrique / antisymétrique Toute matrice carrée $A$ s’écrit de manière unique : $$A = \underbrace{\frac{A + {}^t!A}{2}}{\text{symétrique}} + \underbrace{\frac{A - {}^t!A}{2}}{\text{antisymétrique}}$$

2. Matrice d’une application linéaire§

2.1 Construction§

[!abstract] Définition Soient $E$ de base $\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_p)$ et $F$ de base $\mathcal{C} = (f_1, \ldots, f_n)$. La matrice de $f \in \mathcal{L}(E, F)$ dans les bases $\mathcal{B}$ et $\mathcal{C}$ est la matrice $M = \text{Mat}{\mathcal{B}, \mathcal{C}}(f) \in \mathcal{M}{n,p}(K)$ dont la $j$-ème colonne contient les coordonnées de $f(e_j)$ dans la base $\mathcal{C}$ : $$f(e_j) = \sum_{i=1}^{n} m_{i,j} f_i$$

2.2 Lien avec les coordonnées§

Si $X = \text{Mat}\mathcal{B}(u)$ est le vecteur colonne des coordonnées de $u$ dans $\mathcal{B}$ et $Y = \text{Mat}\mathcal{C}(f(u))$ celles de $f(u)$ dans $\mathcal{C}$, alors : $$Y = MX$$

2.3 Composition et produit§

$$\text{Mat}(g \circ f) = \text{Mat}(g) \times \text{Mat}(f)$$

L’isomorphisme $\mathcal{L}(E, F) \xrightarrow{\sim} \mathcal{M}_{n,p}(K)$ est un isomorphisme d’espaces vectoriels (et d’algèbres quand $E = F$).

3. Changement de base§

3.1 Matrice de passage§

[!abstract] Définition — Matrice de passage Soient $\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)$ et $\mathcal{B}’ = (e_1’, \ldots, e_n’)$ deux bases de $E$. La matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}’$ est : $$P = P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}’} = \text{Mat}_\mathcal{B}(\text{Id}_E) \text{ lu de } \mathcal{B}’ \text{ vers } \mathcal{B}$$ La $j$-ème colonne de $P$ contient les coordonnées de $e_j’$ dans la base $\mathcal{B}$.

$P$ est toujours inversible, et $P^{-1} = P_{\mathcal{B}’ \to \mathcal{B}}$.

3.2 Formules de changement de base§

Coordonnées d’un vecteur : Si $X$ et $X’$ sont les coordonnées de $u$ dans $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}’$ : $$X = PX’$$

Matrice d’un endomorphisme : Si $M = \text{Mat}\mathcal{B}(f)$ et $M’ = \text{Mat}{\mathcal{B}’}(f)$ : $$\boxed{M’ = P^{-1} M P}$$

Deux matrices liées par cette relation sont dites semblables.

Matrice d’une application linéaire : Si $f : E \to F$ avec changement $\mathcal{B} \to \mathcal{B}’$ dans $E$ (passage $P$) et $\mathcal{C} \to \mathcal{C}’$ dans $F$ (passage $Q$) : $$M’ = Q^{-1} M P$$

4. Matrices inversibles§

4.1 Définition§

[!abstract] Définition $A \in \mathcal{M}_n(K)$ est inversible s’il existe $B \in \mathcal{M}_n(K)$ telle que $AB = BA = I_n$. On note $B = A^{-1}$.

Le groupe des matrices inversibles est noté $GL_n(K)$.

4.2 Critères d’inversibilité§

$A$ est inversible $\iff$ l’une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée :

4.3 Calcul de l’inverse par la méthode du pivot§

On forme le tableau augmenté $(A \mid I_n)$ et on effectue des opérations élémentaires sur les lignes pour obtenir $(I_n \mid A^{-1})$.

[!example] Exemple $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 7 \end{pmatrix}$$ $$(A \mid I_2) = \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \ 3 & 7 & 0 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \ 0 & 1 & -3 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{L_1 \leftarrow L_1 - 2L_2} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 7 & -2 \ 0 & 1 & -3 & 1 \end{array}\right)$$ Donc $A^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -2 \ -3 & 1 \end{pmatrix}$. Vérification : $\det(A) = 7 - 6 = 1$, et $A^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 7 & -2 \ -3 & 1 \end{pmatrix}$.

5. Rang d’une matrice§

[!abstract] Définition Le rang d’une matrice $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par ses colonnes (ou de manière équivalente, par ses lignes) : $$\text{rg}(A) = \dim(\text{Im}(f_A))$$ où $f_A$ est l’application linéaire canoniquement associée.

Propriétés :

6. Systèmes linéaires§

6.1 Écriture matricielle§

Le système de $n$ équations à $p$ inconnues : $$\begin{cases} a_{1,1}x_1 + \cdots + a_{1,p}x_p = b_1 \ \vdots \ a_{n,1}x_1 + \cdots + a_{n,p}x_p = b_n \end{cases}$$

s’écrit $AX = B$ avec $A \in \mathcal{M}{n,p}(K)$, $X \in \mathcal{M}{p,1}(K)$, $B \in \mathcal{M}_{n,1}(K)$.

6.2 Structure de l’ensemble des solutions§

[!abstract] Théorème — Structure affine L’ensemble des solutions de $AX = B$ est :

En particulier, les solutions du système homogène $AX = 0$ forment un sev de dimension $p - \text{rg}(A)$.

6.3 Méthode du pivot de Gauss§

flowchart TD
    A["Écrire le système sous<br>forme matricielle augmentée<br>(A | B)"] --> B["Choisir un pivot non nul<br>dans la colonne courante"]
    B --> C{"Pivot trouvé ?"}
    C -- Non --> D["Passer à la<br>colonne suivante"]
    C -- Oui --> E["Échanger les lignes<br>si nécessaire"]
    E --> F["Éliminer les coefficients<br>sous le pivot par<br>L_i ← L_i - (a_ij/pivot) × L_pivot"]
    F --> G{"Dernière colonne<br>traitée ?"}
    G -- Non --> B
    G -- Oui --> H["Système échelonné obtenu"]
    H --> I{"Vérifier la<br>compatibilité"}
    I -- "Ligne 0 = c ≠ 0" --> J["Système<br>incompatible<br>∅"]
    I -- Compatible --> K["Remontée :<br>résolution par<br>substitution arrière"]
    K --> L["Paramétrer les<br>variables libres"]
    L --> M["Écrire l'ensemble<br>des solutions"]

    style A fill:#3498db,stroke:#333,color:#fff
    style J fill:#e74c3c,stroke:#333,color:#fff
    style M fill:#2ecc71,stroke:#333,color:#fff

[!example] Exemple complet Résoudre : $$\begin{cases} x + 2y + z = 1 \ 2x + 5y + 3z = 3 \ x + 3y + 2z = 2 \end{cases}$$

Tableau augmenté : $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 1 \ 2 & 5 & 3 & 3 \ 1 & 3 & 2 & 2 \end{array}\right) \xrightarrow[\substack{L_3 \leftarrow L_3 - L_1}]{L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{L_3 \leftarrow L_3 - L_2} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$

Le rang est $2$, il y a $3 - 2 = 1$ variable libre. On pose $z = t \in \mathbb{R}$ :

Solutions : ${(-1 + t,; 1 - t,; t) \mid t \in \mathbb{R}} = (-1, 1, 0) + \text{Vect}(1, -1, 1)$.

7. Déterminants§

7.1 Définition par les permutations§

[!abstract] Définition — Déterminant Le déterminant d’une matrice carrée $A = (a_{i,j}) \in \mathcal{M}n(K)$ est : $$\det(A) = \sum{\sigma \in \mathfrak{S}n} \varepsilon(\sigma) \prod{i=1}^{n} a_{i,\sigma(i)}$$ où $\mathfrak{S}_n$ est le groupe des permutations de ${1, \ldots, n}$ et $\varepsilon(\sigma)$ la signature de $\sigma$.

Pour $n = 2$ : $$\det\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$$

Pour $n = 3$ (règle de Sarrus) : $$\det\begin{pmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{pmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$$

7.2 Propriétés fondamentales§

Le déterminant est caractérisé comme l’unique application $\det : \mathcal{M}_n(K) \to K$ vérifiant :

  1. $n$-linéarité : linéaire par rapport à chaque colonne (ou ligne)
  2. Alternée : s’annule dès que deux colonnes sont égales
  3. Normalisation : $\det(I_n) = 1$

[!important] Propriétés opératoires

[!abstract] Théorème — Critère d’inversibilité $$A \text{ inversible} \iff \det(A) \neq 0$$

7.3 Déterminant de matrices triangulaires§

$$\det\begin{pmatrix} a_{1,1} & * & \cdots & * \ 0 & a_{2,2} & \cdots & * \ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \ 0 & \cdots & 0 & a_{n,n} \end{pmatrix} = \prod_{i=1}^n a_{i,i}$$

Le déterminant d’une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) est le produit de ses coefficients diagonaux.

8. Développement selon une ligne ou colonne§

8.1 Cofacteurs§

[!abstract] Définition — Cofacteur Le cofacteur $C_{i,j}$ est : $$C_{i,j} = (-1)^{i+j} M_{i,j}$$ où $M_{i,j}$ est le mineur d’ordre $(i,j)$, c’est-à-dire le déterminant de la matrice obtenue en supprimant la $i$-ème ligne et la $j$-ème colonne.

8.2 Formule de développement§

[!abstract] Théorème — Développement par rapport à la $i$-ème ligne $$\det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{i,j} C_{i,j} = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{i,j} M_{i,j}$$

De même, développement par rapport à la $j$-ème colonne : $$\det(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{i,j} C_{i,j}$$

[!tip] Stratégie Développer par rapport à la ligne ou colonne contenant le plus de zéros pour minimiser les calculs.

[!example] Exemple $$\det\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \ 3 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$ Développement selon la 2e colonne (deux zéros) : $$= 0 \cdot C_{1,2} + 1 \cdot C_{2,2} + 0 \cdot C_{3,2} = (-1)^{2+2} \det\begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 4 \end{pmatrix} = 8 - 1 = 7$$

9. Comatrice et formule de Cramer§

9.1 Comatrice§

[!abstract] Définition La comatrice (ou matrice des cofacteurs) de $A$ est $\text{Com}(A) = (C_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n}$.

[!abstract] Formule fondamentale $$A \cdot {}^t!\text{Com}(A) = {}^t!\text{Com}(A) \cdot A = \det(A) \cdot I_n$$ En particulier, si $\det(A) \neq 0$ : $$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} ,{}^t!\text{Com}(A)$$

9.2 Formules de Cramer§

[!abstract] Théorème — Formules de Cramer Pour le système $AX = B$ avec $A \in GL_n(K)$ : $$x_j = \frac{\det(A_j)}{\det(A)}$$ où $A_j$ est la matrice obtenue en remplaçant la $j$-ème colonne de $A$ par $B$.

[!warning] Attention Les formules de Cramer sont théoriquement élégantes mais coûteuses en calcul pour $n$ grand. En pratique, on préfère le pivot de Gauss.

[!example] Exemple — Cramer en dimension 2 $$\begin{cases} 3x + 2y = 7 \ x + 4y = 9 \end{cases}$$ $$\det(A) = \det\begin{pmatrix} 3 & 2 \ 1 & 4 \end{pmatrix} = 10$$ $$x = \frac{\det\begin{pmatrix} 7 & 2 \ 9 & 4 \end{pmatrix}}{10} = \frac{28-18}{10} = 1, \quad y = \frac{\det\begin{pmatrix} 3 & 7 \ 1 & 9 \end{pmatrix}}{10} = \frac{27-7}{10} = 2$$

10. Déterminants classiques§

10.1 Déterminant de Vandermonde§

[!abstract] Théorème — Déterminant de Vandermonde $$V_n(x_1, \ldots, x_n) = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{pmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)$$

[!tip] Esquisse de preuve On considère $V_n$ comme un polynôme en $x_n$. En effectuant $C_n \leftarrow C_n - C_i$ pour chaque $i < n$, on montre que $x_n - x_i$ divise $V_n$ pour tout $i < n$. Par récurrence et argument de degré, on obtient la formule.

Conséquence : $V_n \neq 0 \iff$ les $x_i$ sont deux à deux distincts.

10.2 Déterminant par blocs§

Si $A$ est triangulaire par blocs : $$\det\begin{pmatrix} A_1 & * \ 0 & A_2 \end{pmatrix} = \det(A_1) \cdot \det(A_2)$$

11. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Calcul de déterminant par opérations§

[!example] Énoncé Calculer $D = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 2 & 3 & 4 \ 1 & 3 & 6 & 10 \ 1 & 4 & 10 & 20 \end{pmatrix}$.

Solution : Opérations $C_j \leftarrow C_j - C_{j-1}$ pour $j = 4, 3, 2$ :

$$D = \det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 2 & 3 & 4 \ 1 & 3 & 6 & 10 \end{pmatrix}$$

On recommence : $C_j \leftarrow C_j - C_{j-1}$ :

$$D = \det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 2 & 1 & 1 \ 1 & 3 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$

Encore une fois :

$$D = \det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 2 & 1 & 0 \ 1 & 3 & 3 & 1 \end{pmatrix} = 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1$$

(Matrice triangulaire inférieure.)

Exercice 2 : Matrice d’une application linéaire et changement de base§

[!example] Énoncé Soit $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x,y) = (2x+y, x+2y)$. Écrire la matrice de $f$ dans la base canonique, puis dans la base $\mathcal{B}’ = ((1,1), (1,-1))$.

Solution :

Base canonique $\mathcal{B} = (e_1, e_2)$ : $f(e_1) = f(1,0) = (2,1)$ et $f(e_2) = f(0,1) = (1,2)$. $$M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Changement de base : La matrice de passage $P$ de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}’$ a pour colonnes les coordonnées de $(1,1)$ et $(1,-1)$ dans $\mathcal{B}$ : $$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} -1 & -1 \ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}$$

$$M’ = P^{-1}MP = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

$$P^{-1}M = \begin{pmatrix} 3/2 & 3/2 \ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}, \quad M’ = \begin{pmatrix} 3/2 & 3/2 \ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Dans la base $\mathcal{B}’$, la matrice est diagonale ! Les vecteurs $(1,1)$ et $(1,-1)$ sont des vecteurs propres de $f$, de valeurs propres $3$ et $1$.

Exercice 3 : Système linéaire paramétrique§

[!example] Énoncé Discuter et résoudre selon $m \in \mathbb{R}$ : $$\begin{cases} x + y + z = 1 \ x + my + z = m \ x + y + mz = m^2 \end{cases}$$

Solution :

$$\det(A) = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & m & 1 \ 1 & 1 & m \end{pmatrix}$$

$C_2 \leftarrow C_2 - C_1$, $C_3 \leftarrow C_3 - C_1$ : $$= \det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 1 & m-1 & 0 \ 1 & 0 & m-1 \end{pmatrix} = (m-1)^2$$

Cas $m \neq 1$ : $\det(A) = (m-1)^2 \neq 0$. Système de Cramer, solution unique. Par Cramer ou substitution :

Solution : $(x,y,z) = (-m-1, 1, m+1)$.

Cas $m = 1$ : Le système devient $x + y + z = 1$ (trois fois la même équation). Solutions : ${(1-s-t, s, t) \mid s, t \in \mathbb{R}}$, sous-espace affine de dimension $2$.

Liens§

—The Gardener