Matrices et Déterminants

Les matrices sont l’outil de calcul privilégié de l’Algèbre Linéaire. Elles permettent de représenter les applications linéaires par des tableaux de nombres et de ramener les problèmes abstraits à des calculs concrets.

1. Matrices : définitions et opérations§

1.1 Définition§

$$A = (a_{i,j})_{\substack{1 \leq i \leq n \ 1 \leq j \leq p}} = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,p} \ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,p} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,p} \end{pmatrix}$$

$\mathcal{M}_{n,p}(K)$ est un $K$-espace vectoriel de dimension $np$.

Notation : $\mathcal{M}_n(K) = \mathcal{M}_{n,n}(K)$ (matrices carrées).

1.2 Opérations§

Somme : $(A + B)_{i,j} = a_{i,j} + b_{i,j}$

Produit par un scalaire : $(\lambda A)_{i,j} = \lambda \cdot a_{i,j}$

Produit matriciel : Pour $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ et $B \in \mathcal{M}_{p,q}(K)$ :

$$(AB)_{i,j} = \sum_{k=1}^{p} a_{i,k} \cdot b_{k,j}$$

Le produit $AB$ est défini si et seulement si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$.

Transposée : $({}^t!A)_{i,j} = a_{j,i}$. Propriétés :

• ${}^t!(A + B) = {}^t!A + {}^t!B$
• ${}^t!(\lambda A) = \lambda ,{}^t!A$
• ${}^t!(AB) = {}^t!B \cdot {}^t!A$ (inversion de l’ordre !)
• ${}^t!({}^t!A) = A$

1.3 Matrices particulières§

Type	Définition
Matrice identité $I_n$	$(\delta_{i,j})$ (symbole de Kronecker)
Matrice diagonale	$a_{i,j} = 0$ si $i \neq j$
Matrice triangulaire supérieure	$a_{i,j} = 0$ si $i > j$
Matrice triangulaire inférieure	$a_{i,j} = 0$ si $i < j$
Matrice symétrique	${}^t!A = A$
Matrice antisymétrique	${}^t!A = -A$
Matrice nilpotente	$\exists, p \in \mathbb{N}^*,; A^p = 0$

$$A = \underbrace{\frac{A + {}^t!A}{2}}_{\text{symétrique}} + \underbrace{\frac{A - {}^t!A}{2}}_{\text{antisymétrique}}$$

2. Matrice d’une application linéaire§

2.1 Construction§

$$f(e_j) = \sum_{i=1}^{n} m_{i,j} f_i$$

2.2 Lien avec les coordonnées§

Si $X = \text{Mat}_\mathcal{B}(u)$ est le vecteur colonne des coordonnées de $u$ dans $\mathcal{B}$ et $Y = \text{Mat}_\mathcal{C}(f(u))$ celles de $f(u)$ dans $\mathcal{C}$, alors :

$$Y = MX$$

2.3 Composition et produit§

$$\text{Mat}(g \circ f) = \text{Mat}(g) \times \text{Mat}(f)$$

L’isomorphisme $\mathcal{L}(E, F) \xrightarrow{\sim} \mathcal{M}_{n,p}(K)$ est un isomorphisme d’espaces vectoriels (et d’algèbres quand $E = F$).

3. Changement de base§

3.1 Matrice de passage§

$$P = P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'} = \text{Mat}_\mathcal{B}(\text{Id}_E) \text{ lu de } \mathcal{B}' \text{ vers } \mathcal{B}$$

La $j$-ème colonne de $P$ contient les coordonnées de $e_j'$ dans la base $\mathcal{B}$.

$P$ est toujours inversible, et $P^{-1} = P_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}}$.

3.2 Formules de changement de base§

Coordonnées d’un vecteur : Si $X$ et $X'$ sont les coordonnées de $u$ dans $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}'$ :

$$X = PX'$$

Matrice d’un endomorphisme : Si $M = \text{Mat}_\mathcal{B}(f)$ et $M' = \text{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$ :

$$\boxed{M' = P^{-1} M P}$$

Deux matrices liées par cette relation sont dites semblables.

Matrice d’une application linéaire : Si $f : E \to F$ avec changement $\mathcal{B} \to \mathcal{B}'$ dans $E$ (passage $P$) et $\mathcal{C} \to \mathcal{C}'$ dans $F$ (passage $Q$) :

$$M' = Q^{-1} M P$$

4. Matrices inversibles§

4.1 Définition§

Le groupe des matrices inversibles est noté $GL_n(K)$.

4.2 Critères d’inversibilité§

$A$ est inversible $\iff$ l’une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée :

• $\det(A) \neq 0$
• Les colonnes de $A$ forment une famille libre (ou une base) de $K^n$
• Le système $AX = 0$ admet uniquement la solution triviale $X = 0$
• L’endomorphisme associé est bijectif
• $\text{rg}(A) = n$

4.3 Calcul de l’inverse par la méthode du pivot§

On forme le tableau augmenté $(A \mid I_n)$ et on effectue des opérations élémentaires sur les lignes pour obtenir $(I_n \mid A^{-1})$.

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 7 \end{pmatrix}$$

$$(A \mid I_2) = \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \ 3 & 7 & 0 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \ 0 & 1 & -3 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{L_1 \leftarrow L_1 - 2L_2} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 7 & -2 \ 0 & 1 & -3 & 1 \end{array}\right)$$

Donc $A^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -2 \ -3 & 1 \end{pmatrix}$. Vérification : $\det(A) = 7 - 6 = 1$, et $A^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 7 & -2 \ -3 & 1 \end{pmatrix}$.

5. Rang d’une matrice§

$$\text{rg}(A) = \dim(\text{Im}(f_A))$$

où $f_A$ est l’application linéaire canoniquement associée.

Propriétés :

• $\text{rg}(A) = \text{rg}({}^t!A)$
• $\text{rg}(AB) \leq \min(\text{rg}(A), \text{rg}(B))$
• Si $P$ ou $Q$ est inversible : $\text{rg}(PAQ) = \text{rg}(A)$
• Le rang est le nombre de pivots non nuls après échelonnement

6. Systèmes linéaires§

6.1 Écriture matricielle§

Le système de $n$ équations à $p$ inconnues :

$$\begin{cases} a_{1,1}x_1 + \cdots + a_{1,p}x_p = b_1 \ \vdots \ a_{n,1}x_1 + \cdots + a_{n,p}x_p = b_n \end{cases}$$

s’écrit $AX = B$ avec $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$, $X \in \mathcal{M}_{p,1}(K)$, $B \in \mathcal{M}_{n,1}(K)$.

6.2 Structure de l’ensemble des solutions§

6.3 Méthode du pivot de Gauss§

flowchart TD
    A["Écrire le système sous<br>forme matricielle augmentée<br>(A | B)"] --> B["Choisir un pivot non nul<br>dans la colonne courante"]
    B --> C{"Pivot trouvé ?"}
    C -- Non --> D["Passer à la<br>colonne suivante"]
    C -- Oui --> E["Échanger les lignes<br>si nécessaire"]
    E --> F["Éliminer les coefficients<br>sous le pivot par<br>L_i ← L_i - (a_ij/pivot) × L_pivot"]
    F --> G{"Dernière colonne<br>traitée ?"}
    G -- Non --> B
    G -- Oui --> H["Système échelonné obtenu"]
    H --> I{"Vérifier la<br>compatibilité"}
    I -- "Ligne 0 = c ≠ 0" --> J["Système<br>incompatible<br>∅"]
    I -- Compatible --> K["Remontée :<br>résolution par<br>substitution arrière"]
    K --> L["Paramétrer les<br>variables libres"]
    L --> M["Écrire l'ensemble<br>des solutions"]

    style A fill:#3498db,stroke:#333,color:#fff
    style J fill:#e74c3c,stroke:#333,color:#fff
    style M fill:#2ecc71,stroke:#333,color:#fff

$$\begin{cases} x + 2y + z = 1 \ 2x + 5y + 3z = 3 \ x + 3y + 2z = 2 \end{cases}$$

Tableau augmenté :

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 1 \ 2 & 5 & 3 & 3 \ 1 & 3 & 2 & 2 \end{array}\right) \xrightarrow[\substack{L_3 \leftarrow L_3 - L_1}]{L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{L_3 \leftarrow L_3 - L_2} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$

Le rang est $2$, il y a $3 - 2 = 1$ variable libre. On pose $z = t \in \mathbb{R}$ :

• $y = 1 - t$
• $x = 1 - 2(1-t) - t = -1 + t$

Solutions : ${(-1 + t,; 1 - t,; t) \mid t \in \mathbb{R}} = (-1, 1, 0) + \text{Vect}(1, -1, 1)$.

7. Déterminants§

7.1 Définition par les permutations§

$$\det(A) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{i,\sigma(i)}$$

où $\mathfrak{S}_n$ est le groupe des permutations de ${1, \ldots, n}$ et $\varepsilon(\sigma)$ la signature de $\sigma$.

Pour $n = 2$ :

$$\det\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$$

Pour $n = 3$ (règle de Sarrus) :

$$\det\begin{pmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{pmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$$

7.2 Propriétés fondamentales§

Le déterminant est caractérisé comme l’unique application $\det : \mathcal{M}_n(K) \to K$ vérifiant :

1. $n$-linéarité : linéaire par rapport à chaque colonne (ou ligne)
2. Alternée : s’annule dès que deux colonnes sont égales
3. Normalisation : $\det(I_n) = 1$

$$A \text{ inversible} \iff \det(A) \neq 0$$

7.3 Déterminant de matrices triangulaires§

$$\det\begin{pmatrix} a_{1,1} & * & \cdots & * \ 0 & a_{2,2} & \cdots & * \ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \ 0 & \cdots & 0 & a_{n,n} \end{pmatrix} = \prod_{i=1}^n a_{i,i}$$

Le déterminant d’une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) est le produit de ses coefficients diagonaux.

8. Développement selon une ligne ou colonne§

8.1 Cofacteurs§

$$C_{i,j} = (-1)^{i+j} M_{i,j}$$

où $M_{i,j}$ est le mineur d’ordre $(i,j)$, c’est-à-dire le déterminant de la matrice obtenue en supprimant la $i$-ème ligne et la $j$-ème colonne.

8.2 Formule de développement§

$$\det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{i,j} C_{i,j} = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{i,j} M_{i,j}$$

De même, développement par rapport à la $j$-ème colonne :

$$\det(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{i,j} C_{i,j}$$ $$\det\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \ 3 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$

Développement selon la 2e colonne (deux zéros) :

$$= 0 \cdot C_{1,2} + 1 \cdot C_{2,2} + 0 \cdot C_{3,2} = (-1)^{2+2} \det\begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 4 \end{pmatrix} = 8 - 1 = 7$$

9. Comatrice et formule de Cramer§

9.1 Comatrice§

$$A \cdot {}^t!\text{Com}(A) = {}^t!\text{Com}(A) \cdot A = \det(A) \cdot I_n$$

En particulier, si $\det(A) \neq 0$ :

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} ,{}^t!\text{Com}(A)$$

9.2 Formules de Cramer§

$$x_j = \frac{\det(A_j)}{\det(A)}$$

où $A_j$ est la matrice obtenue en remplaçant la $j$-ème colonne de $A$ par $B$.

$$\begin{cases} 3x + 2y = 7 \ x + 4y = 9 \end{cases}$$

$$\det(A) = \det\begin{pmatrix} 3 & 2 \ 1 & 4 \end{pmatrix} = 10$$

$$x = \frac{\det\begin{pmatrix} 7 & 2 \ 9 & 4 \end{pmatrix}}{10} = \frac{28-18}{10} = 1, \quad y = \frac{\det\begin{pmatrix} 3 & 7 \ 1 & 9 \end{pmatrix}}{10} = \frac{27-7}{10} = 2$$

10. Déterminants classiques§

10.1 Déterminant de Vandermonde§

$$V_n(x_1, \ldots, x_n) = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{pmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)$$

Conséquence : $V_n \neq 0 \iff$ les $x_i$ sont deux à deux distincts.

10.2 Déterminant par blocs§

Si $A$ est triangulaire par blocs :

$$\det\begin{pmatrix} A_1 & * \ 0 & A_2 \end{pmatrix} = \det(A_1) \cdot \det(A_2)$$

11. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Calcul de déterminant par opérations§

Solution : Opérations $C_j \leftarrow C_j - C_{j-1}$ pour $j = 4, 3, 2$ :

$$D = \det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 2 & 3 & 4 \ 1 & 3 & 6 & 10 \end{pmatrix}$$

On recommence : $C_j \leftarrow C_j - C_{j-1}$ :

$$D = \det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 2 & 1 & 1 \ 1 & 3 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$

Encore une fois :

$$D = \det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 2 & 1 & 0 \ 1 & 3 & 3 & 1 \end{pmatrix} = 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1$$

(Matrice triangulaire inférieure.)

Exercice 2 : Matrice d’une application linéaire et changement de base§

Solution :

Base canonique $\mathcal{B} = (e_1, e_2)$ : $f(e_1) = f(1,0) = (2,1)$ et $f(e_2) = f(0,1) = (1,2)$.

$$M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Changement de base : La matrice de passage $P$ de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$ a pour colonnes les coordonnées de $(1,1)$ et $(1,-1)$ dans $\mathcal{B}$ :

$$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} -1 & -1 \ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}$$ $$M' = P^{-1}MP = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ $$P^{-1}M = \begin{pmatrix} 3/2 & 3/2 \ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}, \quad M' = \begin{pmatrix} 3/2 & 3/2 \ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Dans la base $\mathcal{B}'$, la matrice est diagonale ! Les vecteurs $(1,1)$ et $(1,-1)$ sont des vecteurs propres de $f$, de valeurs propres $3$ et $1$.

Exercice 3 : Système linéaire paramétrique§

$$\begin{cases} x + y + z = 1 \ x + my + z = m \ x + y + mz = m^2 \end{cases}$$

Solution :

$$\det(A) = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & m & 1 \ 1 & 1 & m \end{pmatrix}$$

$C_2 \leftarrow C_2 - C_1$, $C_3 \leftarrow C_3 - C_1$ :

$$= \det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 1 & m-1 & 0 \ 1 & 0 & m-1 \end{pmatrix} = (m-1)^2$$

Cas $m \neq 1$ : $\det(A) = (m-1)^2 \neq 0$. Système de Cramer, solution unique. Par Cramer ou substitution :

• $L_2 - L_1$ : $(m-1)y = m - 1$, d’où $y = 1$
• $L_3 - L_1$ : $(m-1)z = m^2 - 1 = (m-1)(m+1)$, d’où $z = m + 1$
• $L_1$ : $x = 1 - y - z = 1 - 1 - (m+1) = -(m+1) = -m - 1$

Solution : $(x,y,z) = (-m-1, 1, m+1)$.

Cas $m = 1$ : Le système devient $x + y + z = 1$ (trois fois la même équation). Solutions : ${(1-s-t, s, t) \mid s, t \in \mathbb{R}}$, sous-espace affine de dimension $2$.

Liens§

• Algèbre Linéaire : cadre théorique des applications linéaires
• Développements Limités : applications au calcul de limites via des systèmes
• Suites et Séries Numériques : récurrences linéaires et matrices compagnon