Développements Limités

Les développements limités (DL) sont l’un des outils les plus puissants de l’analyse. Ils permettent d’approcher localement une fonction par un polynôme, et sont indispensables pour calculer des limites, étudier des fonctions au voisinage d’un point, et lever des formes indéterminées.

[!quote] Prérequis Fonctions d’une Variable Réelle, Exponentielle et Logarithme, Trigonométrie

Comparaison asymptotique§

Avant les DL, il faut maîtriser les notations de comparaison.

Notation de Landau§

Soit $f, g : I \to \mathbb{R}$ et $a$ un point ou $\pm\infty$.

[!important] Relations entre les notations $$f \sim g \implies f = O(g) \implies \text{(rien de plus en général)}$$ $$f = o(g) \implies f = O(g)$$ $$f \sim g \iff f = g + o(g)$$

Échelle de comparaison en $+\infty$§

$$(\ln x)^\alpha \ll x^\beta \ll e^{\gamma x} \quad \text{pour } \alpha, \beta, \gamma > 0$$

[!tip] Croissances comparées

• $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{(\ln x)^\alpha}{x^\beta} = 0$ pour tous $\alpha > 0, \beta > 0$
• $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^\beta}{e^{\gamma x}} = 0$ pour tous $\beta > 0, \gamma > 0$

Définition du développement limité§

[!abstract] Définition $f$ admet un développement limité à l’ordre $n$ en $a$ (noté DL$_n(a)$) s’il existe des réels $c_0, c_1, \ldots, c_n$ tels que : $$f(x) = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots + c_n(x-a)^n + o((x-a)^n)$$

La partie régulière est le polynôme $T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} c_k (x-a)^k$.

[!important] Unicité Si un DL existe, les coefficients sont uniques. De plus, si $f$ est $n$ fois dérivable en $a$ (formule de Taylor-Young) : $$c_k = \frac{f^{(k)}(a)}{k!}$$

DL des fonctions usuelles en 0§

[!important] Tableau à connaître par coeur

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$$

$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2})$$

$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1})$$

$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + o(x^n)$$

$$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - \cdots + (-1)^n x^n + o(x^n)$$

$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n)$$

$$(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots + \binom{\alpha}{n} x^n + o(x^n)$$

$$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(x^6)$$

$$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + o(x^{2n+2})$$

$$\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2})$$

$$\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots + \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1})$$

[!tip] Mnémotechnique

• $\sin$ et $\sinh$ : termes impairs seulement
• $\cos$ et $\cosh$ : termes pairs seulement
• $\sin$ alterne les signes, $\sinh$ garde le $+$
• $\cos$ alterne les signes, $\cosh$ garde le $+$

Opérations sur les DL§

Somme et combinaison linéaire§

Si $f$ et $g$ admettent un DL$_n(0)$, alors $\alpha f + \beta g$ admet un DL$_n(0)$ obtenu par combinaison linéaire des parties régulières.

Produit§

On multiplie les parties régulières et on ne garde que les termes de degré $\leq n$.

[!example] Exemple DL$_3(0)$ de $e^x \sin x$ :

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$

Produit (on garde jusqu’à $x^3$) : $$e^x \sin x = x + x^2 + \frac{x^3}{2} - \frac{x^3}{6} + o(x^3) = x + x^2 + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$$

Quotient§

On effectue une division suivant les puissances croissantes, ou on utilise $\frac{1}{1-u}$.

[!example] Exemple DL$_2(0)$ de $\dfrac{e^x}{\cos x}$ :

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$, donc $\frac{1}{\cos x} = \frac{1}{1 - x^2/2 + \cdots} = 1 + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$

$$\frac{e^x}{\cos x} = (1 + x + \frac{x^2}{2})(1 + \frac{x^2}{2}) + o(x^2) = 1 + x + x^2 + o(x^2)$$

Composition§

Si $f$ a un DL$_n(0)$ et $g(x) \to 0$ quand $x \to 0$ avec $g$ ayant un DL$_n(0)$ sans terme constant, alors $f \circ g$ a un DL$_n(0)$. On substitue $g(x)$ dans le DL de $f$.

[!example] Exemple DL$_3(0)$ de $e^{\sin x}$ :

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$

$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{6} + o(u^3)$ avec $u = \sin x$

$$e^{\sin x} = 1 + \left(x - \frac{x^3}{6}\right) + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^3)$$

Intégration§

Si $f(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_n x^n + o(x^n)$, alors :

$$\int_0^x f(t) , dt = c_0 x + \frac{c_1}{2} x^2 + \cdots + \frac{c_n}{n+1} x^{n+1} + o(x^{n+1})$$

[!warning] On ne peut pas dériver un DL L’intégration d’un DL donne un DL d’ordre supérieur. Mais la dérivation d’un DL n’est en général pas licite (le $o$ n’est pas dérivable).

Méthode générale§

flowchart TD
    A["Calculer le DL de f(x) en a à l'ordre n"] --> B{"f est une composée,<br/>un produit, un quotient ?"}
    B -->|Composée| C["Identifier u = g(x) → 0<br/>Substituer dans le DL de f(u)"]
    B -->|Produit| D["Multiplier les DL<br/>Tronquer à l'ordre n"]
    B -->|Quotient| E["Calculer le DL de 1/g(x)<br/>via 1/(1-u), puis multiplier"]
    B -->|Fonction de base| F["Utiliser le tableau<br/>des DL usuels"]
    C --> G["Ne garder que les termes ≤ n"]
    D --> G
    E --> G
    F --> G
    G --> H["Résultat : partie régulière + o(xⁿ)"]

Applications§

1. Calcul de limites§

Les DL sont l’arme absolue pour lever les formes indéterminées.

[!example] Exemple — Forme 0/0 $$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$$

$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$, $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$

$$\frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \frac{\frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + o(1) = \frac{1}{2}$$

2. Étude locale d’une courbe§

Le DL permet de déterminer :

• Tangente : donnée par les termes de degré 0 et 1
• Position par rapport à la tangente : donnée par le premier terme non nul après la tangente

[!example] Exemple $f(x) = e^x$ en $0$ : $f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$

Tangente : $y = 1 + x$. Position : $f(x) - (1+x) = \frac{x^2}{2} + o(x^2) > 0$ au voisinage de 0.

La courbe est au-dessus de sa tangente (cohérent avec la convexité de $e^x$).

3. Développements asymptotiques§

Pour $x \to +\infty$, on pose $u = 1/x \to 0$ et on fait le DL en $u$.

[!example] Exemple Asymptote de $f(x) = \sqrt{x^2 + x}$ en $+\infty$ :

$f(x) = x\sqrt{1 + 1/x} = x\left(1 + \frac{1}{2x} - \frac{1}{8x^2} + o(1/x^2)\right) = x + \frac{1}{2} - \frac{1}{8x} + o(1/x)$

Asymptote oblique : $y = x + \frac{1}{2}$, et la courbe est en dessous (car $-\frac{1}{8x} < 0$ pour $x > 0$).

Exercices types§

[!example] Exercice 1 — Limite Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$.

Solution : $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$, donc $\frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{1}{2} + o(1) \to \boxed{\frac{1}{2}}$

[!example] Exercice 2 — DL par composition DL$_4(0)$ de $\ln(\cos x)$.

Solution : $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$. On pose $u = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$.

$\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + o(u^2)$

$u = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$, $u^2 = \frac{x^4}{4} + o(x^4)$

$$\ln(\cos x) = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^4}{8} + o(x^4) = -\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12} + o(x^4)$$

[!example] Exercice 3 — Équivalent Trouver un équivalent de $(\cos x)^{1/x^2}$ quand $x \to 0$.

Solution : $(\cos x)^{1/x^2} = e^{\frac{\ln(\cos x)}{x^2}} = e^{\frac{-x^2/2 + o(x^2)}{x^2}} = e^{-1/2 + o(1)} \to \boxed{e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}}$

À retenir§

[!important] Les points clés

1. Connaître par coeur les DL des fonctions usuelles
2. Opérations : somme, produit, composition, quotient, intégration — mais pas dérivation
3. Le DL est l’outil n°1 pour les limites et les formes indéterminées
4. Le premier terme non nul après la tangente donne la position de la courbe
5. Pour les développements asymptotiques en $+\infty$, poser $u = 1/x$