Développements Limités

Les développements limités (DL) sont l’un des outils les plus puissants de l’analyse. Ils permettent d’approcher localement une fonction par un polynôme, et sont indispensables pour calculer des limites, étudier des fonctions au voisinage d’un point, et lever des formes indéterminées.

Comparaison asymptotique§

Avant les DL, il faut maîtriser les notations de comparaison.

Notation de Landau§

Soit $f, g : I \to \mathbb{R}$ et $a$ un point ou $\pm\infty$.

Notation	Signification	Interprétation
$f = o(g)$ en $a$	$\dfrac{f(x)}{g(x)} \to 0$ quand $x \to a$	$f$ est négligeable devant $g$
$f = O(g)$ en $a$	$\left|\dfrac{f(x)}{g(x)}\right|$ est borné	$f$ est dominée par $g$
$f \sim g$ en $a$	$\dfrac{f(x)}{g(x)} \to 1$ quand $x \to a$	$f$ est équivalente à $g$

$$f \sim g \implies f = O(g) \implies \text{(rien de plus en général)}$$

$$f = o(g) \implies f = O(g)$$

$$f \sim g \iff f = g + o(g)$$

Échelle de comparaison en $+\infty$§

$$(\ln x)^\alpha \ll x^\beta \ll e^{\gamma x} \quad \text{pour } \alpha, \beta, \gamma > 0$$

Définition du développement limité§

$$f(x) = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots + c_n(x-a)^n + o((x-a)^n)$$

La partie régulière est le polynôme $T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} c_k (x-a)^k$.

$$c_k = \frac{f^{(k)}(a)}{k!}$$

DL des fonctions usuelles en 0§

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$$ $$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2})$$ $$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1})$$ $$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + o(x^n)$$ $$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - \cdots + (-1)^n x^n + o(x^n)$$ $$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n)$$ $$(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots + \binom{\alpha}{n} x^n + o(x^n)$$ $$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(x^6)$$ $$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + o(x^{2n+2})$$ $$\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2})$$ $$\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots + \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1})$$

Opérations sur les DL§

Somme et combinaison linéaire§

Si $f$ et $g$ admettent un DL$_n(0)$, alors $\alpha f + \beta g$ admet un DL$_n(0)$ obtenu par combinaison linéaire des parties régulières.

Produit§

On multiplie les parties régulières et on ne garde que les termes de degré $\leq n$.

$$e^x \sin x = x + x^2 + \frac{x^3}{2} - \frac{x^3}{6} + o(x^3) = x + x^2 + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$$

Quotient§

On effectue une division suivant les puissances croissantes, ou on utilise $\frac{1}{1-u}$.

$$\frac{e^x}{\cos x} = (1 + x + \frac{x^2}{2})(1 + \frac{x^2}{2}) + o(x^2) = 1 + x + x^2 + o(x^2)$$

Composition§

Si $f$ a un DL$_n(0)$ et $g(x) \to 0$ quand $x \to 0$ avec $g$ ayant un DL$_n(0)$ sans terme constant, alors $f \circ g$ a un DL$_n(0)$. On substitue $g(x)$ dans le DL de $f$.

$$e^{\sin x} = 1 + \left(x - \frac{x^3}{6}\right) + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^3)$$

Intégration§

Si $f(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_n x^n + o(x^n)$, alors :

$$\int_0^x f(t) , dt = c_0 x + \frac{c_1}{2} x^2 + \cdots + \frac{c_n}{n+1} x^{n+1} + o(x^{n+1})$$

Méthode générale§

flowchart TD
    A["Calculer le DL de f(x) en a à l'ordre n"] --> B{"f est une composée,<br/>un produit, un quotient ?"}
    B -->|Composée| C["Identifier u = g(x) → 0<br/>Substituer dans le DL de f(u)"]
    B -->|Produit| D["Multiplier les DL<br/>Tronquer à l'ordre n"]
    B -->|Quotient| E["Calculer le DL de 1/g(x)<br/>via 1/(1-u), puis multiplier"]
    B -->|Fonction de base| F["Utiliser le tableau<br/>des DL usuels"]
    C --> G["Ne garder que les termes ≤ n"]
    D --> G
    E --> G
    F --> G
    G --> H["Résultat : partie régulière + o(xⁿ)"]

Applications§

1. Calcul de limites§

Les DL sont l’arme absolue pour lever les formes indéterminées.

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$$

$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$, $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$

$$\frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \frac{\frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + o(1) = \frac{1}{2}$$

2. Étude locale d’une courbe§

Le DL permet de déterminer :

• Tangente : donnée par les termes de degré 0 et 1
• Position par rapport à la tangente : donnée par le premier terme non nul après la tangente

3. Développements asymptotiques§

Pour $x \to +\infty$, on pose $u = 1/x \to 0$ et on fait le DL en $u$.

Exercices types§

$$\ln(\cos x) = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^4}{8} + o(x^4) = -\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12} + o(x^4)$$

À retenir§