Polynômes
Les polynômes sont des objets fondamentaux en algèbre. Ils forment un anneau qui possède une structure très riche, analogue à celle de $\mathbb{Z}$, avec une division euclidienne, un PGCD, et une factorisation en irréductibles.
[!quote] Prérequis Structures Algébriques, Arithmétique, Calcul Algébrique
L’anneau $K[X]$§
Définition§
Soit $K$ un corps ($\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). Un polynôme à coefficients dans $K$ est une expression formelle :
$$P = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \cdots + a_n X^n$$
avec $a_k \in K$ et $a_n \neq 0$.
[!important] Distinction polynôme / fonction polynomiale Le polynôme $P \in K[X]$ est un objet formel (suite de coefficients). La fonction polynomiale $\tilde{P} : x \mapsto P(x)$ est une fonction. Sur un corps infini ($\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$), il y a bijection entre les deux. Sur un corps fini, ce n’est plus vrai !
Degré§
- $\deg(P) = n$ si $a_n \neq 0$ (le plus grand indice non nul)
- $\deg(0) = -\infty$ par convention
- $\deg(P + Q) \leq \max(\deg P, \deg Q)$
- $\deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q)$
[!tip] Conséquence $K[X]$ est un anneau intègre : si $PQ = 0$, alors $P = 0$ ou $Q = 0$.
Opérations§
$(K[X], +, \times)$ est un anneau commutatif unitaire intègre. Ses inversibles sont les polynômes constants non nuls (les éléments de $K^*$).
Division euclidienne§
[!abstract] Théorème — Division euclidienne Soient $A, B \in K[X]$ avec $B \neq 0$. Il existe un unique couple $(Q, R) \in K[X]^2$ tel que : $$A = BQ + R \quad \text{avec} \quad \deg(R) < \deg(B)$$
flowchart TD
A["Diviser A par B"] --> B["Poser la division<br/>comme pour les entiers"]
B --> C["Diviser le terme de plus haut degré de A<br/>par le terme dominant de B"]
C --> D["Multiplier B par le résultat<br/>et soustraire de A"]
D --> E{"deg(reste) < deg(B) ?"}
E -->|Oui| F["Terminé :<br/>Q = quotient, R = reste"]
E -->|Non| G["Recommencer avec<br/>le nouveau reste"]
G --> C
[!example] Exemple Diviser $A = X^4 + 2X^3 - X + 3$ par $B = X^2 + 1$ :
- $X^4 \div X^2 = X^2$ → on soustrait $X^2(X^2+1) = X^4 + X^2$
- Reste : $2X^3 - X^2 - X + 3$
- $2X^3 \div X^2 = 2X$ → on soustrait $2X(X^2+1) = 2X^3 + 2X$
- Reste : $-X^2 - 3X + 3$
- $-X^2 \div X^2 = -1$ → on soustrait $-1(X^2+1) = -X^2 - 1$
- Reste : $-3X + 4$
Résultat : $Q = X^2 + 2X - 1$, $R = -3X + 4$.
Racines et factorisation§
Racine d’un polynôme§
[!abstract] Définition $\alpha \in K$ est une racine de $P \in K[X]$ si $P(\alpha) = 0$, c’est-à-dire si $(X - \alpha) \mid P$.
Multiplicité§
$\alpha$ est racine de multiplicité $m \geq 1$ si : $$(X - \alpha)^m \mid P \quad \text{et} \quad (X - \alpha)^{m+1} \nmid P$$
Autrement dit : $P(\alpha) = P’(\alpha) = \cdots = P^{(m-1)}(\alpha) = 0$ et $P^{(m)}(\alpha) \neq 0$.
[!important] Nombre de racines Un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines comptées avec multiplicité.
Théorème de d’Alembert-Gauss§
[!abstract] Théorème fondamental de l’algèbre Tout polynôme de degré $n \geq 1$ à coefficients dans $\mathbb{C}$ admet exactement $n$ racines dans $\mathbb{C}$ comptées avec multiplicité.
Autrement dit : $\mathbb{C}$ est algébriquement clos.
Conséquence : Tout $P \in \mathbb{C}[X]$ de degré $n$ se factorise :
$$P = a_n \prod_{i=1}^{n} (X - z_i)$$
où $z_1, \ldots, z_n$ sont les racines (avec répétition).
Polynômes irréductibles§
[!abstract] Définition $P \in K[X]$ est irréductible s’il est de degré $\geq 1$ et s’il ne peut s’écrire $P = AB$ qu’avec $\deg(A) = 0$ ou $\deg(B) = 0$.
Irréductibles de $\mathbb{C}[X]$§
Les seuls irréductibles sont les polynômes de degré 1 : $aX + b$ avec $a \neq 0$.
Irréductibles de $\mathbb{R}[X]$§
Ce sont :
- Les polynômes de degré 1 : $aX + b$
- Les polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif : $aX^2 + bX + c$ avec $\Delta < 0$
[!tip] Factorisation dans $\mathbb{R}[X]$ Tout $P \in \mathbb{R}[X]$ se factorise en produit de polynômes de degré 1 et de degré 2 à discriminant négatif. Les racines complexes viennent par paires conjuguées : si $z$ est racine, alors $\bar{z}$ aussi.
Relations coefficients-racines (Viète)§
Pour $P = a_n X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_0$ de racines $x_1, \ldots, x_n$ :
$$\begin{cases} x_1 + x_2 + \cdots + x_n = -\dfrac{a_{n-1}}{a_n} \[8pt] \displaystyle\sum_{i < j} x_i x_j = \dfrac{a_{n-2}}{a_n} \[8pt] x_1 x_2 \cdots x_n = (-1)^n \dfrac{a_0}{a_n} \end{cases}$$
[!example] Cas du degré 2 Pour $P = aX^2 + bX + c$ de racines $x_1, x_2$ : $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}$$
PGCD et PPCM de polynômes§
La division euclidienne permet de définir le PGCD par l’algorithme d’Euclide, exactement comme dans $\mathbb{Z}$.
[!abstract] Théorème de Bézout (version polynomiale) Soient $A, B \in K[X]$ non tous nuls. Alors : $$\text{PGCD}(A, B) = D \iff \exists U, V \in K[X], \quad AU + BV = D$$
[!warning] Attention Le PGCD est défini à constante multiplicative près. On le normalise souvent en polynôme unitaire (coefficient dominant = 1).
Fractions rationnelles§
Définition§
Une fraction rationnelle est un quotient $F = \dfrac{P}{Q}$ avec $P, Q \in K[X]$, $Q \neq 0$.
L’ensemble des fractions rationnelles $K(X)$ est un corps (le corps des fractions de $K[X]$).
Décomposition en éléments simples§
[!abstract] Théorème Toute fraction rationnelle $F = P/Q$ avec $\deg(P) < \deg(Q)$ se décompose de manière unique en somme d’éléments simples.
flowchart TD
A["F = P/Q"] --> B{"deg P ≥ deg Q ?"}
B -->|Oui| C["Division euclidienne<br/>F = E + R/Q avec deg R < deg Q"]
B -->|Non| D["Factoriser Q"]
C --> D
D --> E["Écrire la décomposition<br/>avec des coefficients indéterminés"]
E --> F["Déterminer les coefficients"]
F --> G["Méthode 1 : Multiplier et identifier"]
F --> H["Méthode 2 : Valeurs particulières"]
F --> I["Méthode 3 : Limite en ∞<br/>pour le terme de plus haut degré"]
Sur $\mathbb{C}$§
Si $Q = a \prod (X - z_i)^{m_i}$, alors :
$$\frac{P}{Q} = E(X) + \sum_i \sum_{k=1}^{m_i} \frac{\lambda_{i,k}}{(X - z_i)^k}$$
Sur $\mathbb{R}$§
On a en plus des éléments simples de seconde espèce :
$$\frac{\alpha X + \beta}{(X^2 + bX + c)^k} \quad \text{avec } \Delta = b^2 - 4c < 0$$
[!example] Exemple Décomposer $F = \dfrac{1}{X^2 - 1} = \dfrac{1}{(X-1)(X+1)}$ :
$$F = \frac{A}{X-1} + \frac{B}{X+1}$$
- $X = 1$ : $A = \frac{1}{2}$
- $X = -1$ : $B = -\frac{1}{2}$
$$\frac{1}{X^2 - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{X-1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{X+1}$$
Interpolation de Lagrange§
[!abstract] Théorème Étant donnés $n+1$ points $(x_0, y_0), \ldots, (x_n, y_n)$ avec les $x_i$ deux à deux distincts, il existe un unique polynôme $P$ de degré $\leq n$ tel que $P(x_i) = y_i$ pour tout $i$.
La formule explicite est :
$$P(X) = \sum_{i=0}^{n} y_i \prod_{\substack{j=0 \ j \neq i}}^{n} \frac{X - x_j}{x_i - x_j}$$
Les polynômes $L_i(X) = \prod_{j \neq i} \frac{X - x_j}{x_i - x_j}$ sont les polynômes de Lagrange : ils vérifient $L_i(x_j) = \delta_{ij}$.
[!example] Exemple Trouver $P$ de degré $\leq 2$ tel que $P(0) = 1$, $P(1) = 0$, $P(2) = 3$.
$$L_0 = \frac{(X-1)(X-2)}{(0-1)(0-2)} = \frac{(X-1)(X-2)}{2}$$ $$L_1 = \frac{X(X-2)}{1 \cdot (1-2)} = -X(X-2)$$ $$L_2 = \frac{X(X-1)}{2 \cdot 1} = \frac{X(X-1)}{2}$$ $$P = 1 \cdot L_0 + 0 \cdot L_1 + 3 \cdot L_2 = \frac{(X-1)(X-2)}{2} + \frac{3X(X-1)}{2} = 2X^2 - 2X + 1$$
Exercices types§
[!example] Exercice 1 — Division euclidienne Effectuer la division euclidienne de $X^4 - 3X^2 + 2$ par $X^2 - X + 1$.
Solution : $Q = X^2 + X - 3$, $R = 2X + 5$.
[!example] Exercice 2 — Factorisation Factoriser $P = X^4 - 1$ dans $\mathbb{R}[X]$ puis dans $\mathbb{C}[X]$.
Dans $\mathbb{R}$ : $P = (X-1)(X+1)(X^2+1)$
Dans $\mathbb{C}$ : $P = (X-1)(X+1)(X-i)(X+i)$
[!example] Exercice 3 — Décomposition en éléments simples Décomposer $F = \dfrac{X}{(X-1)^2(X+1)}$.
Solution : $F = \dfrac{1/2}{(X-1)^2} + \dfrac{1/4}{X-1} - \dfrac{1/4}{X+1}$
À retenir§
[!important] Les points clés
- Division euclidienne dans $K[X]$ : analogue à celle dans $\mathbb{Z}$
- d’Alembert-Gauss : tout polynôme de degré $n$ a exactement $n$ racines dans $\mathbb{C}$
- Irréductibles de $\mathbb{R}[X]$ : degré 1 ou degré 2 avec $\Delta < 0$
- Les racines complexes de polynômes réels viennent par paires conjuguées
- La décomposition en éléments simples est l’outil clé pour intégrer des fractions rationnelles