Polynômes

Les polynômes sont des objets fondamentaux en algèbre. Ils forment un anneau qui possède une structure très riche, analogue à celle de $\mathbb{Z}$, avec une division euclidienne, un PGCD, et une factorisation en irréductibles.

L’anneau $K[X]$§

Définition§

Soit $K$ un corps ($\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). Un polynôme à coefficients dans $K$ est une expression formelle :

$$P = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \cdots + a_n X^n$$

avec $a_k \in K$ et $a_n \neq 0$.

Degré§

• $\deg(P) = n$ si $a_n \neq 0$ (le plus grand indice non nul)
• $\deg(0) = -\infty$ par convention
• $\deg(P + Q) \leq \max(\deg P, \deg Q)$
• $\deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q)$

Opérations§

$(K[X], +, \times)$ est un anneau commutatif unitaire intègre. Ses inversibles sont les polynômes constants non nuls (les éléments de $K^*$).

Division euclidienne§

$$A = BQ + R \quad \text{avec} \quad \deg(R) < \deg(B)$$

flowchart TD
    A["Diviser A par B"] --> B["Poser la division<br/>comme pour les entiers"]
    B --> C["Diviser le terme de plus haut degré de A<br/>par le terme dominant de B"]
    C --> D["Multiplier B par le résultat<br/>et soustraire de A"]
    D --> E{"deg(reste) < deg(B) ?"}
    E -->|Oui| F["Terminé :<br/>Q = quotient, R = reste"]
    E -->|Non| G["Recommencer avec<br/>le nouveau reste"]
    G --> C

Racines et factorisation§

Racine d’un polynôme§

Multiplicité§

$\alpha$ est racine de multiplicité $m \geq 1$ si :

$$(X - \alpha)^m \mid P \quad \text{et} \quad (X - \alpha)^{m+1} \nmid P$$

Autrement dit : $P(\alpha) = P'(\alpha) = \cdots = P^{(m-1)}(\alpha) = 0$ et $P^{(m)}(\alpha) \neq 0$.

Théorème de d’Alembert-Gauss§

Conséquence : Tout $P \in \mathbb{C}[X]$ de degré $n$ se factorise :

$$P = a_n \prod_{i=1}^{n} (X - z_i)$$

où $z_1, \ldots, z_n$ sont les racines (avec répétition).

Polynômes irréductibles§

Irréductibles de $\mathbb{C}[X]$§

Les seuls irréductibles sont les polynômes de degré 1 : $aX + b$ avec $a \neq 0$.

Irréductibles de $\mathbb{R}[X]$§

Ce sont :

• Les polynômes de degré 1 : $aX + b$
• Les polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif : $aX^2 + bX + c$ avec $\Delta < 0$

Relations coefficients-racines (Viète)§

Pour $P = a_n X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_0$ de racines $x_1, \ldots, x_n$ :

$$\begin{cases} x_1 + x_2 + \cdots + x_n = -\dfrac{a_{n-1}}{a_n} \[8pt] \displaystyle\sum_{i < j} x_i x_j = \dfrac{a_{n-2}}{a_n} \[8pt] x_1 x_2 \cdots x_n = (-1)^n \dfrac{a_0}{a_n} \end{cases}$$ $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}$$

PGCD et PPCM de polynômes§

La division euclidienne permet de définir le PGCD par l’algorithme d’Euclide, exactement comme dans $\mathbb{Z}$.

$$\text{PGCD}(A, B) = D \iff \exists U, V \in K[X], \quad AU + BV = D$$

Fractions rationnelles§

Définition§

Une fraction rationnelle est un quotient $F = \dfrac{P}{Q}$ avec $P, Q \in K[X]$, $Q \neq 0$.

L’ensemble des fractions rationnelles $K(X)$ est un corps (le corps des fractions de $K[X]$).

Décomposition en éléments simples§

flowchart TD
    A["F = P/Q"] --> B{"deg P ≥ deg Q ?"}
    B -->|Oui| C["Division euclidienne<br/>F = E + R/Q avec deg R < deg Q"]
    B -->|Non| D["Factoriser Q"]
    C --> D
    D --> E["Écrire la décomposition<br/>avec des coefficients indéterminés"]
    E --> F["Déterminer les coefficients"]
    F --> G["Méthode 1 : Multiplier et identifier"]
    F --> H["Méthode 2 : Valeurs particulières"]
    F --> I["Méthode 3 : Limite en ∞<br/>pour le terme de plus haut degré"]

Sur $\mathbb{C}$§

Si $Q = a \prod (X - z_i)^{m_i}$, alors :

$$\frac{P}{Q} = E(X) + \sum_i \sum_{k=1}^{m_i} \frac{\lambda_{i,k}}{(X - z_i)^k}$$

Sur $\mathbb{R}$§

On a en plus des éléments simples de seconde espèce :

$$\frac{\alpha X + \beta}{(X^2 + bX + c)^k} \quad \text{avec } \Delta = b^2 - 4c < 0$$ $$F = \frac{A}{X-1} + \frac{B}{X+1}$$

• $X = 1$ : $A = \frac{1}{2}$

• $X = -1$ : $B = -\frac{1}{2}$

$$\frac{1}{X^2 - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{X-1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{X+1}$$

Interpolation de Lagrange§

La formule explicite est :

$$P(X) = \sum_{i=0}^{n} y_i \prod_{\substack{j=0 \ j \neq i}}^{n} \frac{X - x_j}{x_i - x_j}$$

Les polynômes $L_i(X) = \prod_{j \neq i} \frac{X - x_j}{x_i - x_j}$ sont les polynômes de Lagrange : ils vérifient $L_i(x_j) = \delta_{ij}$.

$$L_0 = \frac{(X-1)(X-2)}{(0-1)(0-2)} = \frac{(X-1)(X-2)}{2}$$

$$L_1 = \frac{X(X-2)}{1 \cdot (1-2)} = -X(X-2)$$

$$L_2 = \frac{X(X-1)}{2 \cdot 1} = \frac{X(X-1)}{2}$$

$$P = 1 \cdot L_0 + 0 \cdot L_1 + 3 \cdot L_2 = \frac{(X-1)(X-2)}{2} + \frac{3X(X-1)}{2} = 2X^2 - 2X + 1$$

Exercices types§

À retenir§