Algèbre Linéaire

L’algèbre linéaire constitue le socle fondamental des mathématiques de MPSI. Elle fournit un cadre abstrait et puissant pour l’étude des systèmes linéaires, de la géométrie et de l’analyse.

1. Espaces vectoriels§

1.1 Définition axiomatique§

1.2 Exemples fondamentaux§

Espace	Corps	Description
$\mathbb{R}^n$	$\mathbb{R}$	$n$-uplets de réels
$K[X]$	$K$	Polynômes à coefficients dans $K$
$K_n[X]$	$K$	Polynômes de degré $\leq n$
$\mathcal{M}_{n,p}(K)$	$K$	Matrices $n \times p$
$\mathcal{F}(E, K)$	$K$	Fonctions de $E$ dans $K$
$\mathcal{C}^0([a,b], \mathbb{R})$	$\mathbb{R}$	Fonctions continues sur $[a,b]$

$$(x_1, y_1, z_1) + (x_2, y_2, z_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)$$

$$\lambda \cdot (x, y, z) = (\lambda x, \lambda y, \lambda z)$$

1.3 Propriétés élémentaires§

Pour tout espace vectoriel $E$ sur $K$ :

• $0_K \cdot u = 0_E$ pour tout $u \in E$
• $\lambda \cdot 0_E = 0_E$ pour tout $\lambda \in K$
• $(-1) \cdot u = -u$
• $\lambda \cdot u = 0_E \implies \lambda = 0_K$ ou $u = 0_E$

2. Sous-espaces vectoriels§

2.1 Définition et caractérisation§

2.2 Opérations sur les sous-espaces vectoriels§

Sous-espace engendré. Soit $S \subset E$ une partie. Le sous-espace vectoriel engendré par $S$ est :

\text{Vect}(S) = \bigcap_{\substack{F \text{ sev de } E \ S \subset F}} F = \left{ \sum_{i=1}^{p} \lambda_i s_i ;\middle|; p \in \mathbb{N}^*,; \lambda_i \in K,; s_i \in S \right}

2.3 Somme de sous-espaces vectoriels§

$$F_1 + F_2 = {u_1 + u_2 \mid u_1 \in F_1,; u_2 \in F_2}$$

C’est le plus petit sev contenant $F_1$ et $F_2$.

$$\dim(F_1 + F_2) = \dim(F_1) + \dim(F_2) - \dim(F_1 \cap F_2)$$

3. Familles de vecteurs§

3.1 Combinaisons linéaires§

Une combinaison linéaire des vecteurs $v_1, \ldots, v_p$ est un vecteur de la forme $\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p$ avec $\lambda_i \in K$.

3.2 Famille libre§

$$\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p = 0_E \implies \lambda_1 = \cdots = \lambda_p = 0$$

3.3 Famille génératrice§

3.4 Base§

$$u = \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n$$

Les scalaires $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ sont les coordonnées de $u$ dans la base $(v_1, \ldots, v_n)$.

4. Dimension§

4.1 Théorème fondamental§

4.2 Résultats clés§

Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n$.

Propriété	Énoncé
Famille libre	Au plus $n$ vecteurs
Famille génératrice	Au moins $n$ vecteurs
Base	Exactement $n$ vecteurs
Libre de $n$ vecteurs	Automatiquement base
Génératrice de $n$ vecteurs	Automatiquement base

4.3 Théorème de la base incomplète§

4.4 Dimension d’un sous-espace vectoriel§

5. Applications linéaires§

5.1 Définition§

$$\forall, u, v \in E,; \forall, \lambda \in K,\quad f(\lambda u + v) = \lambda f(u) + f(v)$$

Notations : $\mathcal{L}(E, F)$ désigne l’ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$. On note $\mathcal{L}(E) = \mathcal{L}(E, E)$ l’algèbre des endomorphismes.

Nom	Type
Endomorphisme	$f : E \to E$
Isomorphisme	$f$ linéaire et bijective
Automorphisme	Endomorphisme bijectif
Forme linéaire	$f : E \to K$

5.2 Noyau et image§

5.3 Détermination d’une application linéaire par les images d’une base§

Ce théorème montre qu’une application linéaire est entièrement déterminée par les images des vecteurs d’une base.

6. Théorème du rang§

$$\boxed{\dim(E) = \dim(\ker f) + \dim(\text{Im}, f)}$$

Le rang de $f$ est $\text{rg}(f) = \dim(\text{Im}, f)$.

6.1 Conséquences§

$$f \text{ injective} \iff f \text{ surjective} \iff f \text{ bijective}$$

7. Isomorphismes§

8. Somme directe et supplémentaires§

8.1 Somme directe§

$$F_1 \cap F_2 = {0_E}$$

Cela signifie que tout élément de $F_1 + F_2$ s’écrit de manière unique comme $u_1 + u_2$ avec $u_1 \in F_1$ et $u_2 \in F_2$.

8.2 Sous-espaces supplémentaires§

$$F_1 + F_2 = E \quad \text{et} \quad F_1 \cap F_2 = {0_E}$$

En dimension finie : $E = F_1 \oplus F_2 \iff \dim(F_1) + \dim(F_2) = \dim(E)$ et $F_1 \cap F_2 = {0}$.

8.3 Somme directe de plusieurs sous-espaces§

La somme $F_1 + F_2 + \cdots + F_p$ est directe si tout vecteur de la somme admet une unique décomposition. Caractérisation :

$$F_1 + \cdots + F_p \text{ est directe} \iff \forall, i,; F_i \cap \left(\sum_{j \neq i} F_j\right) = {0}$$

9. Projecteurs et symétries§

9.1 Projecteurs§

$$p(u) = u_1$$

Caractérisation : $p \in \mathcal{L}(E)$ est un projecteur $\iff$ $p^2 = p$ (idempotent).

Propriétés :

• $\ker(p) = F_2$ et $\text{Im}(p) = F_1$
• $\text{Id}_E - p$ est le projecteur sur $F_2$ parallèlement à $F_1$
• $p$ et $\text{Id}_E - p$ sont complémentaires : $p + (\text{Id}_E - p) = \text{Id}_E$

9.2 Symétries§

$$s(u) = u_1 - u_2$$

Caractérisation : $s \in \mathcal{L}(E)$ est une symétrie $\iff$ $s^2 = \text{Id}_E$ (involution).

Lien projecteur-symétrie : $s = 2p - \text{Id}_E$ et $p = \frac{1}{2}(\text{Id}_E + s)$.

10. Vue d’ensemble : relations entre les concepts§

graph TD
    EV["Espace vectoriel E"] --> SEV["Sous-espace vectoriel F ⊂ E"]
    EV --> FAM["Familles de vecteurs"]
    FAM --> LIB["Famille libre"]
    FAM --> GEN["Famille génératrice"]
    LIB --> BASE["Base"]
    GEN --> BASE
    BASE --> DIM["Dimension dim(E)"]

    EV --> AL["Application linéaire f : E → F"]
    AL --> KER["Noyau ker(f)"]
    AL --> IM["Image Im(f)"]
    KER --> SEV
    KER --> RANG["Théorème du rang<br>dim E = dim ker f + rg f"]
    IM --> RANG

    SEV --> SOMME["Somme F₁ + F₂"]
    SEV --> INTER["Intersection F₁ ∩ F₂"]
    SOMME --> SD["Somme directe F₁ ⊕ F₂"]
    SD --> SUPP["Supplémentaires<br>E = F₁ ⊕ F₂"]
    SUPP --> PROJ["Projecteur p² = p"]
    SUPP --> SYM["Symétrie s² = Id"]

    DIM --> GRASS["Formule de Grassmann"]
    INTER --> GRASS
    SOMME --> GRASS

    AL --> ISO["Isomorphisme<br>(bijectif)"]
    DIM --> ISO

    style EV fill:#4a90d9,stroke:#333,color:#fff
    style BASE fill:#e67e22,stroke:#333,color:#fff
    style RANG fill:#e74c3c,stroke:#333,color:#fff
    style SUPP fill:#2ecc71,stroke:#333,color:#fff
    style DIM fill:#9b59b6,stroke:#333,color:#fff

11. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Montrer qu’un ensemble est un sev§

Solution :

1) $F$ est un sev. On vérifie :

• $0_{\mathbb{R}^3} = (0,0,0) \in F$ car $0 + 0 - 0 = 0$. Donc $F \neq \varnothing$.
• Soient $u = (x_1, y_1, z_1) \in F$, $v = (x_2, y_2, z_2) \in F$ et $\lambda \in \mathbb{R}$. Alors $u + \lambda v = (x_1 + \lambda x_2,; y_1 + \lambda y_2,; z_1 + \lambda z_2)$. On vérifie : $(x_1 + \lambda x_2) + 2(y_1 + \lambda y_2) - (z_1 + \lambda z_2) = \underbrace{(x_1 + 2y_1 - z_1)}_{=0} + \lambda \underbrace{(x_2 + 2y_2 - z_2)}_{=0} = 0$.

Donc $F$ est un sev de $\mathbb{R}^3$.

2) Base et dimension. De $x + 2y - z = 0$, on tire $x = -2y + z$. Donc :

$$(x, y, z) = (-2y + z,; y,; z) = y(-2, 1, 0) + z(1, 0, 1)$$

La famille ${(-2, 1, 0),; (1, 0, 1)}$ est génératrice de $F$. Elle est libre car les deux vecteurs ne sont pas colinéaires. C’est donc une base de $F$, et $\dim(F) = 2$.

Exercice 2 : Application du théorème du rang§

Solution :

Noyau : On résout $f(x,y,z,t) = (0,0,0)$ :

$$\begin{cases} x + y + z = 0 \ 2x + y + t = 0 \ x - z + t = 0 \end{cases}$$

$L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ : $-y - 2z + t = 0$ $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ : $-y - 2z + t = 0$

$L_3$ est identique à $L_2$, donc le système se réduit à :

$$\begin{cases} x + y + z = 0 \ -y - 2z + t = 0 \end{cases}$$

On paramètre par $z = s$ et $t = r$ :

• $y = -2s + r$
• $x = -y - z = 2s - r - s = s - r$

Donc $\ker(f) = {(s-r, -2s+r, s, r) \mid s, r \in \mathbb{R}} = \text{Vect}((1,-2,1,0), (-1,1,0,1))$.

$\dim(\ker f) = 2$.

Théorème du rang : $\text{rg}(f) = \dim(\mathbb{R}^4) - \dim(\ker f) = 4 - 2 = 2$.

Donc $\text{Im}(f)$ est un sous-espace de dimension $2$ de $\mathbb{R}^3$. On peut vérifier que $\text{Im}(f) = \text{Vect}(f(1,0,0,0), f(0,1,0,0)) = \text{Vect}((1,2,1), (1,1,-1))$.

Exercice 3 : Projecteur§

Solution :

Somme directe : $\dim(F) = 2$, $\dim(G) = 1$, et $\dim(F) + \dim(G) = 3 = \dim(\mathbb{R}^3)$. Il suffit de vérifier que $F \cap G = {0}$.

Si $v \in F \cap G$, alors $v = \alpha(1,1,0) + \beta(0,1,1) = \gamma(1,0,-1)$, ce qui donne :

$$\begin{cases} \alpha = \gamma \ \alpha + \beta = 0 \ \beta = -\gamma \end{cases}$$

De $\alpha = \gamma$ et $\beta = -\gamma$ : $\alpha + \beta = \gamma - \gamma = 0$ (cohérent). Mais $\alpha = \gamma$ et $\beta = -\alpha$, et la deuxième équation donne $0 = 0$. Il faut un calcul plus fin.

Reprenons : $(\alpha, \alpha + \beta, \beta) = (\gamma, 0, -\gamma)$. Donc $\alpha = \gamma$, $\alpha + \beta = 0$ d’où $\beta = -\alpha = -\gamma$. Et $\beta = -\gamma$ est cohérent. Donc les trois vecteurs forment un système lié ? Non : il faut vérifier si le déterminant est nul.

$$\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} = 1(-1-0) - 0(-1-0) + 1(1-0) = -1 + 1 = 0$$

Le déterminant est nul. Les trois vecteurs sont liés, donc $F \cap G \neq {0}$. Prenons plutôt $G = \text{Vect}((1, 0, 0))$.

$$\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = 1(0-0) - 0(0-0) + 1(1-0) = 1 \neq 0$$

Donc $\mathbb{R}^3 = F \oplus G$ avec $G = \text{Vect}((1,0,0))$.

Projecteur : Soit $u = (x,y,z) \in \mathbb{R}^3$. On cherche $u = u_F + u_G$ avec $u_F \in F$ et $u_G \in G$ :

$$u_F = \alpha(1,1,0) + \beta(0,1,1), \quad u_G = \gamma(1,0,0)$$ $$\begin{cases} \alpha + \gamma = x \ \alpha + \beta = y \ \beta = z \end{cases}$$

D’où $\beta = z$, $\alpha = y - z$, $\gamma = x - y + z$. Donc :

$$p(x,y,z) = u_F = (y-z, y, z)$$

Vérification : $p^2(x,y,z) = p(y-z, y, z) = (y-z, y, z) = p(x,y,z)$. C’est bien un projecteur.

Liens§

• Matrices et Déterminants : matrice d’une application linéaire, changement de base
• Suites et Séries Numériques : espaces de suites
• Fonctions d’une Variable Réelle : espaces de fonctions comme ev