Algèbre Linéaire
L’algèbre linéaire constitue le socle fondamental des mathématiques de MPSI. Elle fournit un cadre abstrait et puissant pour l’étude des systèmes linéaires, de la géométrie et de l’analyse.
[!abstract] Programme Ce chapitre couvre : espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels, bases et dimension, applications linéaires, théorème du rang, somme directe et supplémentaires, projecteurs et symétries.
1. Espaces vectoriels§
1.1 Définition axiomatique§
[!abstract] Définition — Espace vectoriel Soit $K$ un corps (typiquement $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). Un $K$-espace vectoriel est un ensemble $E$ muni de deux lois :
- une loi interne $+ : E \times E \to E$ (addition)
- une loi externe $\cdot : K \times E \to E$ (multiplication scalaire)
vérifiant les axiomes suivants pour tous $u, v, w \in E$ et $\lambda, \mu \in K$ :
(A1) $(u + v) + w = u + (v + w)$ (associativité) (A2) $u + v = v + u$ (commutativité) (A3) $\exists, 0_E \in E,; u + 0_E = u$ (élément neutre) (A4) $\exists, (-u) \in E,; u + (-u) = 0_E$ (symétrique) (S1) $\lambda \cdot (\mu \cdot u) = (\lambda \mu) \cdot u$ (S2) $1_K \cdot u = u$ (D1) $\lambda \cdot (u + v) = \lambda \cdot u + \lambda \cdot v$ (D2) $(\lambda + \mu) \cdot u = \lambda \cdot u + \mu \cdot u$
1.2 Exemples fondamentaux§
| Espace | Corps | Description |
|---|---|---|
| $\mathbb{R}^n$ | $\mathbb{R}$ | $n$-uplets de réels |
| $K[X]$ | $K$ | Polynômes à coefficients dans $K$ |
| $K_n[X]$ | $K$ | Polynômes de degré $\leq n$ |
| $\mathcal{M}_{n,p}(K)$ | $K$ | Matrices $n \times p$ |
| $\mathcal{F}(E, K)$ | $K$ | Fonctions de $E$ dans $K$ |
| $\mathcal{C}^0([a,b], \mathbb{R})$ | $\mathbb{R}$ | Fonctions continues sur $[a,b]$ |
[!example] Exemple L’espace $\mathbb{R}^3$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel avec les opérations : $$(x_1, y_1, z_1) + (x_2, y_2, z_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)$$ $$\lambda \cdot (x, y, z) = (\lambda x, \lambda y, \lambda z)$$
[!warning] Attention $\mathbb{R}$ est un $\mathbb{Q}$-espace vectoriel (de dimension infinie !), mais $\mathbb{Q}$ n’est pas un $\mathbb{R}$-espace vectoriel (la multiplication d’un rationnel par un irrationnel sort de $\mathbb{Q}$).
1.3 Propriétés élémentaires§
Pour tout espace vectoriel $E$ sur $K$ :
- $0_K \cdot u = 0_E$ pour tout $u \in E$
- $\lambda \cdot 0_E = 0_E$ pour tout $\lambda \in K$
- $(-1) \cdot u = -u$
- $\lambda \cdot u = 0_E \implies \lambda = 0_K$ ou $u = 0_E$
2. Sous-espaces vectoriels§
2.1 Définition et caractérisation§
[!abstract] Définition — Sous-espace vectoriel Soit $E$ un $K$-espace vectoriel. Un sous-ensemble $F \subset E$ est un sous-espace vectoriel (sev) de $E$ si :
- $F \neq \varnothing$ (en pratique, $0_E \in F$)
- $F$ est stable par combinaison linéaire : $\forall, u, v \in F,; \forall, \lambda, \mu \in K,; \lambda u + \mu v \in F$
[!tip] Caractérisation pratique (en une condition) $F$ est un sev de $E$ si et seulement si :
- $F \neq \varnothing$
- $\forall, (u, v) \in F^2,; \forall, \lambda \in K,; u + \lambda v \in F$
2.2 Opérations sur les sous-espaces vectoriels§
[!abstract] Théorème — Intersection de sev L’intersection d’une famille quelconque de sous-espaces vectoriels de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
[!warning] Attention La réunion de deux sev n’est en général pas un sev. Par exemple, dans $\mathbb{R}^2$, l’axe des abscisses $\cup$ l’axe des ordonnées n’est pas un sev (le vecteur $(1,0) + (0,1) = (1,1)$ n’y appartient pas).
Sous-espace engendré. Soit $S \subset E$ une partie. Le sous-espace vectoriel engendré par $S$ est : $$\text{Vect}(S) = \bigcap_{\substack{F \text{ sev de } E \ S \subset F}} F = \left{ \sum_{i=1}^{p} \lambda_i s_i ;\middle|; p \in \mathbb{N}^*,; \lambda_i \in K,; s_i \in S \right}$$
2.3 Somme de sous-espaces vectoriels§
[!abstract] Définition — Somme Soient $F_1, F_2$ deux sev de $E$. La somme $F_1 + F_2$ est : $$F_1 + F_2 = {u_1 + u_2 \mid u_1 \in F_1,; u_2 \in F_2}$$ C’est le plus petit sev contenant $F_1$ et $F_2$.
[!abstract] Formule de Grassmann $$\dim(F_1 + F_2) = \dim(F_1) + \dim(F_2) - \dim(F_1 \cap F_2)$$
3. Familles de vecteurs§
3.1 Combinaisons linéaires§
Une combinaison linéaire des vecteurs $v_1, \ldots, v_p$ est un vecteur de la forme $\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p$ avec $\lambda_i \in K$.
3.2 Famille libre§
[!abstract] Définition — Famille libre Une famille $(v_1, \ldots, v_p)$ de vecteurs de $E$ est libre (ou linéairement indépendante) si : $$\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p = 0_E \implies \lambda_1 = \cdots = \lambda_p = 0$$
3.3 Famille génératrice§
[!abstract] Définition — Famille génératrice $(v_1, \ldots, v_p)$ est génératrice de $E$ si $\text{Vect}(v_1, \ldots, v_p) = E$, i.e. tout vecteur de $E$ s’écrit comme combinaison linéaire des $v_i$.
3.4 Base§
[!abstract] Définition — Base Une base de $E$ est une famille à la fois libre et génératrice. Tout vecteur $u \in E$ s’écrit alors de manière unique : $$u = \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n$$ Les scalaires $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ sont les coordonnées de $u$ dans la base $(v_1, \ldots, v_n)$.
[!example] Exemples de bases
- Base canonique de $\mathbb{R}^n$ : $e_1 = (1, 0, \ldots, 0)$, …, $e_n = (0, \ldots, 0, 1)$
- Base canonique de $K_n[X]$ : $(1, X, X^2, \ldots, X^n)$ — dimension $n+1$
- $K[X]$ admet la base $(1, X, X^2, \ldots)$ — dimension infinie
4. Dimension§
4.1 Théorème fondamental§
[!abstract] Théorème — Invariance de la dimension Toutes les bases d’un espace vectoriel de dimension finie ont le même nombre d’éléments. Ce nombre s’appelle la dimension de $E$, notée $\dim(E)$ ou $\dim_K(E)$.
4.2 Résultats clés§
Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n$.
| Propriété | Énoncé |
|---|---|
| Famille libre | Au plus $n$ vecteurs |
| Famille génératrice | Au moins $n$ vecteurs |
| Base | Exactement $n$ vecteurs |
| Libre de $n$ vecteurs | Automatiquement base |
| Génératrice de $n$ vecteurs | Automatiquement base |
4.3 Théorème de la base incomplète§
[!abstract] Théorème de la base incomplète Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$.
- Toute famille libre peut être complétée en une base de $E$.
- De toute famille génératrice, on peut extraire une base de $E$.
[!tip] Esquisse de preuve (complétion) Soit $(v_1, \ldots, v_p)$ une famille libre avec $p < n$. Si elle n’est pas génératrice, $\exists, v_{p+1} \in E \setminus \text{Vect}(v_1, \ldots, v_p)$. Alors $(v_1, \ldots, v_{p+1})$ est libre. On itère. En au plus $n - p$ étapes, on obtient une famille libre de $n$ vecteurs, donc une base.
4.4 Dimension d’un sous-espace vectoriel§
[!abstract] Théorème Soit $F$ un sev de $E$ avec $\dim(E) = n$ :
- $\dim(F) \leq n$
- $\dim(F) = n \iff F = E$
- $\dim(F) = 0 \iff F = {0_E}$
5. Applications linéaires§
5.1 Définition§
[!abstract] Définition — Application linéaire Soient $E, F$ deux $K$-espaces vectoriels. Une application $f : E \to F$ est linéaire si : $$\forall, u, v \in E,; \forall, \lambda \in K,\quad f(\lambda u + v) = \lambda f(u) + f(v)$$
Notations : $\mathcal{L}(E, F)$ désigne l’ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$. On note $\mathcal{L}(E) = \mathcal{L}(E, E)$ l’algèbre des endomorphismes.
| Nom | Type |
|---|---|
| Endomorphisme | $f : E \to E$ |
| Isomorphisme | $f$ linéaire et bijective |
| Automorphisme | Endomorphisme bijectif |
| Forme linéaire | $f : E \to K$ |
5.2 Noyau et image§
[!abstract] Définition Soit $f \in \mathcal{L}(E, F)$ :
- Noyau : $\ker(f) = {u \in E \mid f(u) = 0_F}$ — c’est un sev de $E$
- Image : $\text{Im}(f) = {f(u) \mid u \in E} = f(E)$ — c’est un sev de $F$
[!important] Injectivité et noyau $f$ est injective $\iff$ $\ker(f) = {0_E}$
5.3 Détermination d’une application linéaire par les images d’une base§
[!abstract] Théorème Soit $(e_1, \ldots, e_n)$ une base de $E$ et $f_1, \ldots, f_n \in F$ des vecteurs quelconques. Alors il existe une unique application linéaire $f : E \to F$ telle que $f(e_i) = f_i$ pour tout $i$.
Ce théorème montre qu’une application linéaire est entièrement déterminée par les images des vecteurs d’une base.
6. Théorème du rang§
[!abstract] Théorème du rang Soit $f \in \mathcal{L}(E, F)$ avec $E$ de dimension finie. Alors $\text{Im}(f)$ est de dimension finie et : $$\boxed{\dim(E) = \dim(\ker f) + \dim(\text{Im}, f)}$$ Le rang de $f$ est $\text{rg}(f) = \dim(\text{Im}, f)$.
[!tip] Esquisse de preuve Soit $(e_1, \ldots, e_p)$ une base de $\ker(f)$. Par la base incomplète, on la complète en une base $(e_1, \ldots, e_p, e_{p+1}, \ldots, e_n)$ de $E$. On montre que $(f(e_{p+1}), \ldots, f(e_n))$ est une base de $\text{Im}(f)$.
Liberté : Si $\sum_{i=p+1}^n \lambda_i f(e_i) = 0$, alors $f!\left(\sum \lambda_i e_i\right) = 0$, donc $\sum \lambda_i e_i \in \ker(f)$, d’où $\sum \lambda_i e_i = \sum_{j=1}^p \mu_j e_j$. Par liberté de la base, $\lambda_i = 0$ pour tout $i$.
Génération : Tout $y \in \text{Im}(f)$ s’écrit $y = f!\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i\right) = \sum_{i=p+1}^n \alpha_i f(e_i)$.
Conclusion : $\dim(\text{Im},f) = n - p$, d’où le résultat.
[!example] Application Soit $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x, y, z) = (x + y, y + z)$.
- $\ker(f) = {(x,y,z) \mid x+y=0,; y+z=0} = \text{Vect}(1, -1, 1)$
- Donc $\dim(\ker f) = 1$
- Par le théorème du rang : $\text{rg}(f) = 3 - 1 = 2$
- Comme $\dim(\mathbb{R}^2) = 2$, on a $\text{Im}(f) = \mathbb{R}^2$ : $f$ est surjective.
6.1 Conséquences§
[!important] Corollaire — Bijectivité en dimension finie Soit $f \in \mathcal{L}(E, F)$ avec $\dim(E) = \dim(F) = n$. Alors : $$f \text{ injective} \iff f \text{ surjective} \iff f \text{ bijective}$$
7. Isomorphismes§
[!abstract] Définition Un isomorphisme est une application linéaire bijective. Deux espaces sont isomorphes s’il existe un isomorphisme entre eux.
[!abstract] Théorème Deux $K$-espaces vectoriels de dimension finie sont isomorphes si et seulement s’ils ont la même dimension.
En particulier, tout $K$-espace vectoriel de dimension $n$ est isomorphe à $K^n$.
8. Somme directe et supplémentaires§
8.1 Somme directe§
[!abstract] Définition — Somme directe La somme $F_1 + F_2$ est directe (notée $F_1 \oplus F_2$) si : $$F_1 \cap F_2 = {0_E}$$ Cela signifie que tout élément de $F_1 + F_2$ s’écrit de manière unique comme $u_1 + u_2$ avec $u_1 \in F_1$ et $u_2 \in F_2$.
8.2 Sous-espaces supplémentaires§
[!abstract] Définition — Supplémentaires $F_1$ et $F_2$ sont supplémentaires dans $E$ si $E = F_1 \oplus F_2$, i.e. : $$F_1 + F_2 = E \quad \text{et} \quad F_1 \cap F_2 = {0_E}$$
En dimension finie : $E = F_1 \oplus F_2 \iff \dim(F_1) + \dim(F_2) = \dim(E)$ et $F_1 \cap F_2 = {0}$.
[!abstract] Théorème — Existence de supplémentaires En dimension finie, tout sous-espace vectoriel admet (au moins) un supplémentaire.
[!warning] Attention Le supplémentaire n’est pas unique en général. Par exemple dans $\mathbb{R}^2$, toute droite passant par l’origine est un supplémentaire de toute autre droite distincte passant par l’origine.
8.3 Somme directe de plusieurs sous-espaces§
La somme $F_1 + F_2 + \cdots + F_p$ est directe si tout vecteur de la somme admet une unique décomposition. Caractérisation : $$F_1 + \cdots + F_p \text{ est directe} \iff \forall, i,; F_i \cap \left(\sum_{j \neq i} F_j\right) = {0}$$
9. Projecteurs et symétries§
9.1 Projecteurs§
[!abstract] Définition — Projecteur Soit $E = F_1 \oplus F_2$. Le projecteur sur $F_1$ parallèlement à $F_2$ est l’endomorphisme $p$ tel que pour tout $u = u_1 + u_2$ (avec $u_1 \in F_1$, $u_2 \in F_2$) : $$p(u) = u_1$$
Caractérisation : $p \in \mathcal{L}(E)$ est un projecteur $\iff$ $p^2 = p$ (idempotent).
Propriétés :
- $\ker(p) = F_2$ et $\text{Im}(p) = F_1$
- $\text{Id}_E - p$ est le projecteur sur $F_2$ parallèlement à $F_1$
- $p$ et $\text{Id}_E - p$ sont complémentaires : $p + (\text{Id}_E - p) = \text{Id}_E$
9.2 Symétries§
[!abstract] Définition — Symétrie Soit $E = F_1 \oplus F_2$. La symétrie par rapport à $F_1$ parallèlement à $F_2$ est l’endomorphisme $s$ tel que pour $u = u_1 + u_2$ : $$s(u) = u_1 - u_2$$
Caractérisation : $s \in \mathcal{L}(E)$ est une symétrie $\iff$ $s^2 = \text{Id}_E$ (involution).
Lien projecteur-symétrie : $s = 2p - \text{Id}_E$ et $p = \frac{1}{2}(\text{Id}_E + s)$.
10. Vue d’ensemble : relations entre les concepts§
graph TD
EV["Espace vectoriel E"] --> SEV["Sous-espace vectoriel F ⊂ E"]
EV --> FAM["Familles de vecteurs"]
FAM --> LIB["Famille libre"]
FAM --> GEN["Famille génératrice"]
LIB --> BASE["Base"]
GEN --> BASE
BASE --> DIM["Dimension dim(E)"]
EV --> AL["Application linéaire f : E → F"]
AL --> KER["Noyau ker(f)"]
AL --> IM["Image Im(f)"]
KER --> SEV
KER --> RANG["Théorème du rang<br>dim E = dim ker f + rg f"]
IM --> RANG
SEV --> SOMME["Somme F₁ + F₂"]
SEV --> INTER["Intersection F₁ ∩ F₂"]
SOMME --> SD["Somme directe F₁ ⊕ F₂"]
SD --> SUPP["Supplémentaires<br>E = F₁ ⊕ F₂"]
SUPP --> PROJ["Projecteur p² = p"]
SUPP --> SYM["Symétrie s² = Id"]
DIM --> GRASS["Formule de Grassmann"]
INTER --> GRASS
SOMME --> GRASS
AL --> ISO["Isomorphisme<br>(bijectif)"]
DIM --> ISO
style EV fill:#4a90d9,stroke:#333,color:#fff
style BASE fill:#e67e22,stroke:#333,color:#fff
style RANG fill:#e74c3c,stroke:#333,color:#fff
style SUPP fill:#2ecc71,stroke:#333,color:#fff
style DIM fill:#9b59b6,stroke:#333,color:#fff
11. Exercices types corrigés§
Exercice 1 : Montrer qu’un ensemble est un sev§
[!example] Énoncé Soit $F = {(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + 2y - z = 0}$. Montrer que $F$ est un sev de $\mathbb{R}^3$, en déterminer une base et la dimension.
Solution :
1) $F$ est un sev. On vérifie :
- $0_{\mathbb{R}^3} = (0,0,0) \in F$ car $0 + 0 - 0 = 0$. Donc $F \neq \varnothing$.
- Soient $u = (x_1, y_1, z_1) \in F$, $v = (x_2, y_2, z_2) \in F$ et $\lambda \in \mathbb{R}$. Alors $u + \lambda v = (x_1 + \lambda x_2,; y_1 + \lambda y_2,; z_1 + \lambda z_2)$. On vérifie : $(x_1 + \lambda x_2) + 2(y_1 + \lambda y_2) - (z_1 + \lambda z_2) = \underbrace{(x_1 + 2y_1 - z_1)}{=0} + \lambda \underbrace{(x_2 + 2y_2 - z_2)}{=0} = 0$.
Donc $F$ est un sev de $\mathbb{R}^3$.
2) Base et dimension. De $x + 2y - z = 0$, on tire $x = -2y + z$. Donc : $$(x, y, z) = (-2y + z,; y,; z) = y(-2, 1, 0) + z(1, 0, 1)$$
La famille ${(-2, 1, 0),; (1, 0, 1)}$ est génératrice de $F$. Elle est libre car les deux vecteurs ne sont pas colinéaires. C’est donc une base de $F$, et $\dim(F) = 2$.
Exercice 2 : Application du théorème du rang§
[!example] Énoncé Soit $f : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ définie par $f(x,y,z,t) = (x+y+z, 2x+y+t, x-z+t)$. Déterminer $\ker(f)$, $\text{Im}(f)$, et le rang de $f$.
Solution :
Noyau : On résout $f(x,y,z,t) = (0,0,0)$ : $$\begin{cases} x + y + z = 0 \ 2x + y + t = 0 \ x - z + t = 0 \end{cases}$$
$L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ : $-y - 2z + t = 0$ $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ : $-y - 2z + t = 0$
$L_3$ est identique à $L_2$, donc le système se réduit à : $$\begin{cases} x + y + z = 0 \ -y - 2z + t = 0 \end{cases}$$
On paramètre par $z = s$ et $t = r$ :
- $y = -2s + r$
- $x = -y - z = 2s - r - s = s - r$
Donc $\ker(f) = {(s-r, -2s+r, s, r) \mid s, r \in \mathbb{R}} = \text{Vect}((1,-2,1,0), (-1,1,0,1))$.
$\dim(\ker f) = 2$.
Théorème du rang : $\text{rg}(f) = \dim(\mathbb{R}^4) - \dim(\ker f) = 4 - 2 = 2$.
Donc $\text{Im}(f)$ est un sous-espace de dimension $2$ de $\mathbb{R}^3$. On peut vérifier que $\text{Im}(f) = \text{Vect}(f(1,0,0,0), f(0,1,0,0)) = \text{Vect}((1,2,1), (1,1,-1))$.
Exercice 3 : Projecteur§
[!example] Énoncé Dans $\mathbb{R}^3$, soit $F = \text{Vect}((1,1,0), (0,1,1))$ et $G = \text{Vect}((1,0,-1))$. Montrer que $\mathbb{R}^3 = F \oplus G$ et déterminer le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$.
Solution :
Somme directe : $\dim(F) = 2$, $\dim(G) = 1$, et $\dim(F) + \dim(G) = 3 = \dim(\mathbb{R}^3)$. Il suffit de vérifier que $F \cap G = {0}$.
Si $v \in F \cap G$, alors $v = \alpha(1,1,0) + \beta(0,1,1) = \gamma(1,0,-1)$, ce qui donne : $$\begin{cases} \alpha = \gamma \ \alpha + \beta = 0 \ \beta = -\gamma \end{cases}$$
De $\alpha = \gamma$ et $\beta = -\gamma$ : $\alpha + \beta = \gamma - \gamma = 0$ (cohérent). Mais $\alpha = \gamma$ et $\beta = -\alpha$, et la deuxième équation donne $0 = 0$. Il faut un calcul plus fin.
Reprenons : $(\alpha, \alpha + \beta, \beta) = (\gamma, 0, -\gamma)$. Donc $\alpha = \gamma$, $\alpha + \beta = 0$ d’où $\beta = -\alpha = -\gamma$. Et $\beta = -\gamma$ est cohérent. Donc les trois vecteurs forment un système lié ? Non : il faut vérifier si le déterminant est nul.
$$\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} = 1(-1-0) - 0(-1-0) + 1(1-0) = -1 + 1 = 0$$
Le déterminant est nul. Les trois vecteurs sont liés, donc $F \cap G \neq {0}$. Prenons plutôt $G = \text{Vect}((1, 0, 0))$.
$$\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = 1(0-0) - 0(0-0) + 1(1-0) = 1 \neq 0$$
Donc $\mathbb{R}^3 = F \oplus G$ avec $G = \text{Vect}((1,0,0))$.
Projecteur : Soit $u = (x,y,z) \in \mathbb{R}^3$. On cherche $u = u_F + u_G$ avec $u_F \in F$ et $u_G \in G$ : $$u_F = \alpha(1,1,0) + \beta(0,1,1), \quad u_G = \gamma(1,0,0)$$
$$\begin{cases} \alpha + \gamma = x \ \alpha + \beta = y \ \beta = z \end{cases}$$
D’où $\beta = z$, $\alpha = y - z$, $\gamma = x - y + z$. Donc : $$p(x,y,z) = u_F = (y-z, y, z)$$
Vérification : $p^2(x,y,z) = p(y-z, y, z) = (y-z, y, z) = p(x,y,z)$. C’est bien un projecteur.
Liens§
- Matrices et Déterminants : matrice d’une application linéaire, changement de base
- Suites et Séries Numériques : espaces de suites
- Fonctions d’une Variable Réelle : espaces de fonctions comme ev