Espaces Vectoriels Normés

Les espaces vectoriels normés (EVN) sont le cadre naturel de l’analyse en prépa. Ils généralisent $\mathbb{R}^n$ en munissant un espace vectoriel d’une notion de distance via une norme. Ce chapitre fait le pont entre l’algèbre linéaire et la topologie.

Normes§

Définition§

Normes classiques sur $\mathbb{R}^n$§

Pour $x = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ :

Norme	Notation	Formule
Norme 1	$|x|_1$	$|x|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|$
Norme 2 (euclidienne)	$|x|_2$	$|x|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}$
Norme infinie	$|x|_\infty$	$|x|_\infty = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|$

Autres exemples importants§

Sur $C([a,b], \mathbb{R})$ (fonctions continues sur $[a,b]$) :

Norme	Formule
Norme sup	$|f|_\infty = \sup_{t \in [a,b]} |f(t)|$
Norme $L^1$	$|f|_1 = \int_a^b |f(t)| , dt$
Norme $L^2$	$|f|_2 = \sqrt{\int_a^b f(t)^2 , dt}$

Sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ (matrices) :

• Norme subordonnée : $||A|| = \sup_{|x| = 1} |Ax|$
• Norme de Frobenius : $|A|_F = \sqrt{\sum_{i,j} a_{ij}^2}$

Distance associée§

Toute norme induit une distance :

$$d(x, y) = |x - y|$$

qui vérifie les axiomes d’une distance (séparation, symétrie, inégalité triangulaire).

$$\big| |x| - |y| \big| \leq |x - y|$$

C’est une conséquence directe de l’inégalité triangulaire. Très utile pour les minorations.

Boules et topologie§

Boules§

Ouverts et fermés§

Suites dans un EVN§

Convergence§

$$|x_n - \ell| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$

C’est-à-dire : $\forall \varepsilon > 0, , \exists N \in \mathbb{N}, , \forall n \geq N, \quad |x_n - \ell| < \varepsilon$

Suites de Cauchy§

$$\forall \varepsilon > 0, , \exists N \in \mathbb{N}, , \forall p, q \geq N, \quad |x_p - x_q| < \varepsilon$$

Normes équivalentes§

$$\forall x \in E, \quad \alpha |x|_a \leq |x|_b \leq \beta |x|_a$$

flowchart TD
    A["Normes équivalentes"] --> B["Mêmes ouverts"]
    A --> C["Mêmes suites convergentes"]
    A --> D["Mêmes suites de Cauchy"]
    A --> E["Mêmes fonctions continues"]
    B --> F["Même topologie"]
    C --> F
    D --> F
    E --> F

    style F fill:#C8E6C9

C’est un résultat crucial qui simplifie énormément l’analyse en dimension finie : convergence, continuité, compacité… ne dépendent pas du choix de la norme.

Inégalités classiques sur $\mathbb{R}^n$§

Pour $x \in \mathbb{R}^n$ :

$$|x|_\infty \leq |x|_2 \leq |x|_1 \leq n |x|_\infty$$ $$|x|_\infty \leq |x|_2 \leq \sqrt{n} |x|_\infty$$ $$|x|_2 \leq |x|_1 \leq \sqrt{n} |x|_2$$

Continuité dans un EVN§

Applications linéaires continues§

C’est une conséquence directe de l’équivalence des normes.

Norme d’opérateur (norme subordonnée)§

Pour $f$ linéaire continue, on définit la norme d’opérateur :

$$||f|| = \sup_{|x| = 1} |f(x)| = \sup_{x \neq 0} \frac{|f(x)|}{|x|}$$

Elle vérifie : $|f(x)| \leq ||f|| \cdot |x|$ pour tout $x$.

Compacité en dimension finie§

Séries dans un EVN§

Convergence§

Convergence absolue§

Séries de matrices et exponentielle§

$$e^A = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{A^k}{k!}$$

Cette série converge absolument pour toute norme d’opérateur (car $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est un Banach en dimension finie).

Application majeure : la solution de $X'(t) = AX(t)$ avec $X(0) = X_0$ est $X(t) = e^{tA} X_0$.

Résumé : dimension finie vs infinie§

graph TD
    A["Espace vectoriel normé"] --> B{"Dimension ?"}
    B -->|Finie| C["Toutes les normes<br/>sont équivalentes"]
    B -->|Infinie| D["Les normes peuvent<br/>ne pas être équivalentes"]

    C --> E["Toute application<br/>linéaire est continue"]
    D --> F["Une application linéaire<br/>peut être discontinue"]

    C --> G["Fermé + borné<br/>= compact"]
    D --> H["Fermé + borné<br/>≠ compact en général"]

    C --> I["Cauchy ⟹ convergente<br/>(complet)"]
    D --> J["Pas toujours complet<br/>(Banach = complet)"]

    style C fill:#C8E6C9
    style E fill:#C8E6C9
    style G fill:#C8E6C9
    style I fill:#C8E6C9
    style D fill:#FFCDD2
    style F fill:#FFCDD2
    style H fill:#FFCDD2
    style J fill:#FFCDD2

Exercices types§

À retenir§