Espaces Vectoriels Normés

Les espaces vectoriels normés (EVN) sont le cadre naturel de l’analyse en prépa. Ils généralisent $\mathbb{R}^n$ en munissant un espace vectoriel d’une notion de distance via une norme. Ce chapitre fait le pont entre l’algèbre linéaire et la topologie.

[!quote] Prérequis Algèbre Linéaire, Fonctions d’une Variable Réelle, Suites et Séries Numériques

Normes§

Définition§

[!abstract] Définition — Norme Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel (ou $\mathbb{C}$-ev). Une norme sur $E$ est une application $|\cdot| : E \to \mathbb{R}_+$ vérifiant :

1. Séparation : $|x| = 0 \iff x = 0_E$
2. Homogénéité : $|\lambda x| = |\lambda| \cdot |x|$ pour tout $\lambda \in \mathbb{K}$, $x \in E$
3. Inégalité triangulaire : $|x + y| \leq |x| + |y|$

Le couple $(E, |\cdot|)$ est un espace vectoriel normé.

Normes classiques sur $\mathbb{R}^n$§

Pour $x = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ :

[!tip] Visualisation en dimension 2 La “boule unité” ${x \in \mathbb{R}^2 : |x| \leq 1}$ a une forme différente selon la norme :

• Norme 1 : losange (carré tourné à 45°)
• Norme 2 : disque (cercle)
• Norme $\infty$ : carré

Autres exemples importants§

Sur $C([a,b], \mathbb{R})$ (fonctions continues sur $[a,b]$) :

Sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ (matrices) :

• Norme subordonnée : $||A|| = \sup_{|x| = 1} |Ax|$
• Norme de Frobenius : $|A|F = \sqrt{\sum{i,j} a_{ij}^2}$

Distance associée§

Toute norme induit une distance :

$$d(x, y) = |x - y|$$

qui vérifie les axiomes d’une distance (séparation, symétrie, inégalité triangulaire).

[!important] Inégalité triangulaire inversée $$\big| |x| - |y| \big| \leq |x - y|$$ C’est une conséquence directe de l’inégalité triangulaire. Très utile pour les minorations.

Boules et topologie§

Boules§

[!abstract] Définition Soient $(E, |\cdot|)$ un EVN, $a \in E$ et $r > 0$ :

• Boule ouverte : $B(a, r) = {x \in E : |x - a| < r}$
• Boule fermée : $\bar{B}(a, r) = {x \in E : |x - a| \leq r}$
• Sphère : $S(a, r) = {x \in E : |x - a| = r}$

Ouverts et fermés§

[!abstract] Définitions

• $U \subset E$ est ouvert si pour tout $x \in U$, il existe $r > 0$ tel que $B(x, r) \subset U$.
• $F \subset E$ est fermé si son complémentaire $E \setminus F$ est ouvert.
• Équivalent : $F$ est fermé ssi toute suite convergente d’éléments de $F$ a sa limite dans $F$.

[!warning] Attention Un ensemble peut être ni ouvert ni fermé (ex: $[0, 1[$ dans $\mathbb{R}$). Un ensemble peut être ouvert ET fermé (ex: $\emptyset$ et $E$).

Suites dans un EVN§

Convergence§

[!abstract] Définition La suite $(x_n)$ d’éléments de $(E, |\cdot|)$ converge vers $\ell \in E$ si : $$|x_n - \ell| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$ C’est-à-dire : $\forall \varepsilon > 0, , \exists N \in \mathbb{N}, , \forall n \geq N, \quad |x_n - \ell| < \varepsilon$

Suites de Cauchy§

[!abstract] Définition $(x_n)$ est une suite de Cauchy si : $$\forall \varepsilon > 0, , \exists N \in \mathbb{N}, , \forall p, q \geq N, \quad |x_p - x_q| < \varepsilon$$

[!important] Convergence et Cauchy

• Toute suite convergente est de Cauchy
• La réciproque est vraie dans un espace complet (espace de Banach)
• $\mathbb{R}^n$ muni de n’importe quelle norme est complet

Normes équivalentes§

[!abstract] Définition Deux normes $|\cdot|_a$ et $|\cdot|_b$ sur $E$ sont équivalentes s’il existe $\alpha, \beta > 0$ tels que : $$\forall x \in E, \quad \alpha |x|_a \leq |x|_b \leq \beta |x|_a$$

flowchart TD
    A["Normes équivalentes"] --> B["Mêmes ouverts"]
    A --> C["Mêmes suites convergentes"]
    A --> D["Mêmes suites de Cauchy"]
    A --> E["Mêmes fonctions continues"]
    B --> F["Même topologie"]
    C --> F
    D --> F
    E --> F

    style F fill:#C8E6C9

[!abstract] Théorème fondamental (dimension finie) En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

C’est un résultat crucial qui simplifie énormément l’analyse en dimension finie : convergence, continuité, compacité… ne dépendent pas du choix de la norme.

[!warning] Faux en dimension infinie Sur $C([0,1], \mathbb{R})$, les normes $|\cdot|1$ et $|\cdot|\infty$ ne sont pas équivalentes.

Considérer $f_n(x) = x^n$ : $|f_n|_\infty = 1$ mais $|f_n|_1 = \frac{1}{n+1} \to 0$.

Inégalités classiques sur $\mathbb{R}^n$§

Pour $x \in \mathbb{R}^n$ :

$$|x|_\infty \leq |x|_2 \leq |x|1 \leq n |x|\infty$$

$$|x|_\infty \leq |x|2 \leq \sqrt{n} |x|\infty$$

$$|x|_2 \leq |x|_1 \leq \sqrt{n} |x|_2$$

Continuité dans un EVN§

Applications linéaires continues§

[!abstract] Théorème Soit $f : (E, |\cdot|_E) \to (F, |\cdot|_F)$ une application linéaire. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. $f$ est continue
2. $f$ est continue en $0$
3. $f$ est lipschitzienne
4. $f$ est bornée sur la boule unité : $\exists M > 0, , \forall x, , |f(x)|_F \leq M |x|_E$

[!abstract] Théorème (dimension finie) En dimension finie, toute application linéaire est continue.

C’est une conséquence directe de l’équivalence des normes.

[!warning] Faux en dimension infinie Soit $\varphi : (C([0,1]), |\cdot|_1) \to \mathbb{R}$ définie par $\varphi(f) = f(0)$. C’est une forme linéaire, mais elle n’est pas continue pour la norme $|\cdot|_1$.

Norme d’opérateur (norme subordonnée)§

Pour $f$ linéaire continue, on définit la norme d’opérateur :

$$||f|| = \sup_{|x| = 1} |f(x)| = \sup_{x \neq 0} \frac{|f(x)|}{|x|}$$

Elle vérifie : $|f(x)| \leq ||f|| \cdot |x|$ pour tout $x$.

Compacité en dimension finie§

[!abstract] Théorème de Heine-Borel (dans $\mathbb{R}^n$) Une partie de $\mathbb{R}^n$ est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.

[!abstract] Théorème de Bolzano-Weierstrass De toute suite bornée dans $\mathbb{R}^n$, on peut extraire une sous-suite convergente.

[!abstract] Conséquences

• Toute fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes
• Toute fonction continue sur un compact est uniformément continue (Heine)

[!warning] Faux en dimension infinie La boule unité fermée de $(C([0,1]), |\cdot|_\infty)$ est fermée et bornée mais pas compacte (théorème de Riesz).

Séries dans un EVN§

Convergence§

[!abstract] Définition La série $\sum x_n$ (avec $x_n \in E$) converge si la suite des sommes partielles $S_N = \sum_{n=0}^{N} x_n$ converge dans $(E, |\cdot|)$.

Convergence absolue§

[!abstract] Définition $\sum x_n$ converge absolument si la série numérique $\sum |x_n|$ converge.

[!abstract] Théorème Dans un espace de Banach (EVN complet), la convergence absolue implique la convergence.

$\mathbb{R}^n$ est un Banach. $(C([a,b]), |\cdot|_\infty)$ est un Banach.

Séries de matrices et exponentielle§

[!example] Exponentielle de matrice Pour $A \in \mathcal{M}n(\mathbb{R})$ : $$e^A = \sum{k=0}^{+\infty} \frac{A^k}{k!}$$ Cette série converge absolument pour toute norme d’opérateur (car $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est un Banach en dimension finie).

Application majeure : la solution de $X’(t) = AX(t)$ avec $X(0) = X_0$ est $X(t) = e^{tA} X_0$.

Résumé : dimension finie vs infinie§

graph TD
    A["Espace vectoriel normé"] --> B{"Dimension ?"}
    B -->|Finie| C["Toutes les normes<br/>sont équivalentes"]
    B -->|Infinie| D["Les normes peuvent<br/>ne pas être équivalentes"]

    C --> E["Toute application<br/>linéaire est continue"]
    D --> F["Une application linéaire<br/>peut être discontinue"]

    C --> G["Fermé + borné<br/>= compact"]
    D --> H["Fermé + borné<br/>≠ compact en général"]

    C --> I["Cauchy ⟹ convergente<br/>(complet)"]
    D --> J["Pas toujours complet<br/>(Banach = complet)"]

    style C fill:#C8E6C9
    style E fill:#C8E6C9
    style G fill:#C8E6C9
    style I fill:#C8E6C9
    style D fill:#FFCDD2
    style F fill:#FFCDD2
    style H fill:#FFCDD2
    style J fill:#FFCDD2

Exercices types§

[!example] Exercice 1 — Vérifier qu’une norme est une norme Montrer que $|f|\infty = \sup{[0,1]} |f|$ est une norme sur $C([0,1], \mathbb{R})$.

Idée : Vérifier les 3 axiomes. La séparation utilise la continuité de $f$.

[!example] Exercice 2 — Normes non équivalentes Montrer que $|\cdot|1$ et $|\cdot|\infty$ ne sont pas équivalentes sur $C([0,1])$.

Idée : Considérer $f_n(x) = x^n$. Calculer $|f_n|_\infty = 1$ et $|f_n|_1 = 1/(n+1) \to 0$.

[!example] Exercice 3 — Continuité d’une forme linéaire Soit $\varphi : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ linéaire. Montrer que $\varphi$ est continue.

Idée : $\varphi(x) = \sum a_i x_i$ (coordonnées dans une base). Par Cauchy-Schwarz : $|\varphi(x)| \leq |a|_2 |x|_2$, donc $\varphi$ est lipschitzienne.

À retenir§

[!important] Les points clés

1. En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes — résultat fondamental
2. Toute application linéaire en dimension finie est automatiquement continue
3. En dimension finie : fermé + borné = compact (Heine-Borel)
4. En dimension infinie, tout peut mal tourner (normes non équivalentes, Riesz, discontinuité)
5. La convergence absolue implique la convergence dans un Banach