Suites et Séries Numériques

Ce chapitre approfondit l’étude des suites réelles (au-delà du programme de terminale) et introduit les séries numériques, outil fondamental de l’analyse. On travaille dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ .

Programme

Suites de Cauchy, théorème de Bolzano-Weierstrass, suites récurrentes. Séries numériques : convergence, séries à termes positifs, critères de comparaison, d’Alembert, Cauchy, séries alternées, convergence absolue.

Partie I : Suites numériques§

1. Rappels et compléments sur la convergence§

1.1 Définition $\varepsilon$ de la convergence§

Définition — Convergence

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de réels converge vers $\ell \in \mathbb{R}$ si :

\forall, \varepsilon > 0,; \exists, N \in \mathbb{N},; \forall, n \geq N,; |u_n - \ell| < \varepsilon

On note $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$ ou $u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell$ .

Théorème — Unicité de la limite

Si une suite converge, sa limite est unique.

Preuve

Supposons $u_n \to \ell$ et $u_n \to \ell'$ avec $\ell \neq \ell'$ . Posons $\varepsilon = \frac{|\ell - \ell'|}{2} > 0$ . Il existe $N_1, N_2$ tels que pour $n \geq \max(N_1, N_2)$ : $|u_n - \ell| < \varepsilon$ et $|u_n - \ell'| < \varepsilon$ . Par l’inégalité triangulaire :

|\ell - \ell'| \leq |u_n - \ell| + |u_n - \ell'| < 2\varepsilon = |\ell - \ell'|

Contradiction. Donc $\ell = \ell'$ .

1.2 Propriétés des suites convergentes§

Toute suite convergente est bornée (la réciproque est fausse : $(-1)^n$ ).

Opérations sur les limites : Si $u_n \to \ell$ et $v_n \to \ell'$ :

$u_n + v_n \to \ell + \ell'$
$u_n \cdot v_n \to \ell \cdot \ell'$
$u_n / v_n \to \ell / \ell'$ si $\ell' \neq 0$
$\lambda u_n \to \lambda \ell$

Théorèmes de passage à la limite

Théorème des gendarmes : Si $a_n \leq u_n \leq b_n$ et $a_n \to \ell$ , $b_n \to \ell$ , alors $u_n \to \ell$ .
Passage à la limite dans les inégalités : Si $u_n \leq v_n$ pour tout $n$ et si les deux suites convergent, alors $\ell \leq \ell'$ (inégalité large !).

2. Suites extraites (sous-suites)§

Définition — Suite extraite

Soit $(u_n)$ une suite et $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ strictement croissante. La suite $(u_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite extraite (ou sous-suite) de $(u_n)$ .

Théorème

Si $u_n \to \ell$ , alors toute suite extraite de $(u_n)$ converge vers $\ell$ .

Contraposée (utile pour montrer la divergence) : Si deux sous-suites convergent vers des limites distinctes, la suite diverge.

Exemple

La suite $u_n = (-1)^n$ diverge car $u_{2n} \to 1$ et $u_{2n+1} \to -1$ .

3. Théorème de Bolzano-Weierstrass§

Théorème de Bolzano-Weierstrass

De toute suite bornée de réels, on peut extraire une sous-suite convergente.

Esquisse de preuve (dichotomie)

Soit $(u_n)$ bornée dans $[a, b]$ . On coupe $[a,b]$ en deux moitiés : au moins l’une contient une infinité de termes. On l’appelle $[a_1, b_1]$ avec $b_1 - a_1 = \frac{b-a}{2}$ . On itère : on obtient des intervalles emboîtés $[a_k, b_k]$ de longueur $\frac{b-a}{2^k} \to 0$ , et une sous-suite dont les termes sont dans chacun de ces intervalles. Cette sous-suite converge par le théorème des intervalles emboîtés.

Attention

Ce théorème est fondamentalement lié à la complétude de $\mathbb{R}$ . Il est faux dans $\mathbb{Q}$ : la suite des décimales de $\sqrt{2}$ tronquées est bornée dans $\mathbb{Q}$ mais n’a aucune sous-suite convergeant dans $\mathbb{Q}$ .

4. Suites de Cauchy§

Définition — Suite de Cauchy

$(u_n)$ est une suite de Cauchy si :

\forall, \varepsilon > 0,; \exists, N \in \mathbb{N},; \forall, p, q \geq N,; |u_p - u_q| < \varepsilon

Théorème fondamental (complétude de

\mathbb{R}

)

Dans $\mathbb{R}$ (ou $\mathbb{C}$ ), une suite est convergente si et seulement si elle est de Cauchy.

L’intérêt du critère de Cauchy est qu’il ne nécessite pas de connaître la limite pour prouver la convergence.

Preuve (

\Rightarrow

)

5. Suites adjacentes§

Définition — Suites adjacentes

Deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes si :

$(a_n)$ est croissante
$(b_n)$ est décroissante
$b_n - a_n \to 0$

Théorème

Si $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes, elles convergent vers une même limite $\ell$ , et :

\forall, n \in \mathbb{N},; a_n \leq \ell \leq b_n

6. Suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$ §

6.1 Étude générale§

Soit $f : I \to I$ continue et $(u_n)$ définie par $u_0 \in I$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ .

Théorème — Point fixe

Si $u_n \to \ell$ et $f$ est continue, alors $\ell$ est un point fixe de $f$ : $f(\ell) = \ell$ .

Preuve

$u_{n+1} = f(u_n) \xrightarrow{n \to +\infty} f(\ell)$ par continuité. Mais aussi $u_{n+1} \to \ell$ . Par unicité de la limite, $\ell = f(\ell)$ .

6.2 Étude de la monotonie§

La position de $u_1$ par rapport à $u_0$ (et le sens de variation de $f$ ) détermine la monotonie :

Si $f$ est croissante : $(u_n)$ est monotone (croissante si $u_1 \geq u_0$ , décroissante sinon)
Si $f$ est décroissante : les sous-suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont monotones de sens contraires

6.3 Convergence par contraction§

Théorème du point fixe de Banach (version suites)

Si $f : I \to I$ est $k$ -contractante ( $|f(x) - f(y)| \leq k|x-y|$ avec $0 \leq k < 1$ ) sur un intervalle fermé $I$ , alors :

$f$ admet un unique point fixe $\ell \in I$
Pour tout $u_0 \in I$ , la suite $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers $\ell$
Estimation de la vitesse : $|u_n - \ell| \leq \frac{k^n}{1-k}|u_1 - u_0|$

Exemple

Soit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \cos(u_n)$ .

$f = \cos$ est contractante sur $[0,1]$ car $|f'(x)| = |\sin(x)| \leq \sin(1) \approx 0.84 < 1$ .

L’unique point fixe est la solution de $\cos(\ell) = \ell$ , soit $\ell \approx 0.7391$ (point de Dottie).

La suite converge vers $\ell$ pour tout $u_0 \in [0,1]$ .

Partie II : Séries numériques§

7. Définitions§

Définition — Série

Soit $(u_n)_{n \geq 0}$ une suite. La série de terme général $u_n$ , notée $\sum u_n$ , est la suite des sommes partielles :

S_N = \sum_{n=0}^{N} u_n

Définition — Convergence d’une série

La série $\sum u_n$ est convergente si la suite $(S_N)$ converge. Dans ce cas, la somme de la série est :

\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \lim_{N \to +\infty} S_N

Le reste d’ordre $N$ est $R_N = \sum_{n=N+1}^{+\infty} u_n = S - S_N \xrightarrow{N \to +\infty} 0$ .

8. Exemples fondamentaux§

8.1 Série géométrique§

Théorème — Série géométrique

Pour $q \in \mathbb{C}$ :

\sum_{n=0}^{+\infty} q^n \text{ converge} \iff |q| < 1, \quad \text{et dans ce cas : } \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \frac{1}{1-q}

8.2 Séries de Riemann§

Théorème — Séries de Riemann

\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^\alpha} \text{ converge} \iff \alpha > 1

Cas particuliers :

$\alpha = 1$ : série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ diverge
$\alpha = 2$ : $\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ (problème de Bâle, Euler 1735)

8.3 Série exponentielle§

\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R}

9. Condition nécessaire de convergence§

Théorème — Condition nécessaire

Si $\sum u_n$ converge, alors $u_n \to 0$ .

Réciproque fausse !

La série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ diverge bien que $\frac{1}{n} \to 0$ . La condition $u_n \to 0$ est nécessaire mais pas suffisante.

Contraposée (critère de divergence grossier) : Si $u_n \not\to 0$ , la série diverge.

10. Séries à termes positifs§

À partir d’ici, on suppose $u_n \geq 0$ pour tout $n$ (ou à partir d’un certain rang).

Propriété fondamentale

Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

10.1 Comparaison directe§

Théorème — Comparaison

Si $0 \leq u_n \leq v_n$ à partir d’un certain rang :

$\sum v_n$ converge $\implies$ $\sum u_n$ converge
$\sum u_n$ diverge $\implies$ $\sum v_n$ diverge

10.2 Comparaison par équivalents§

Théorème — Équivalents

Si $u_n \geq 0$ , $v_n > 0$ et $u_n \sim v_n$ (i.e. $u_n/v_n \to 1$ ), alors :

\sum u_n \text{ et } \sum v_n \text{ sont de même nature}

Exemple

$\sum \frac{1}{n^2 + 3n + 1}$ : on a $\frac{1}{n^2+3n+1} \sim \frac{1}{n^2}$ . Comme $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, la série converge.

10.3 Critère de d’Alembert§

Théorème — Critère de d’Alembert

Soit $u_n > 0$ et supposons que $\frac{u_{n+1}}{u_n} \to L$ :

Si $L < 1$ : la série converge
Si $L > 1$ : la série diverge
Si $L = 1$ : on ne peut pas conclure

Exemple

$\sum \frac{n!}{n^n}$ : $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)! \cdot n^n}{(n+1)^{n+1} \cdot n!} = \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} \to \frac{1}{e} < 1$ .

La série converge.

10.4 Critère de Cauchy (racine)§

Théorème — Critère de Cauchy

Soit $u_n \geq 0$ et supposons que $(u_n)^{1/n} \to L$ :

Si $L < 1$ : la série converge
Si $L > 1$ : la série diverge
Si $L = 1$ : on ne peut pas conclure

Remarque

Le critère de Cauchy est plus fin que celui de d’Alembert : si d’Alembert conclut, Cauchy conclut aussi (et avec la même réponse), mais l’inverse est faux.

11. Séries alternées§

Théorème — Critère de Leibniz (séries alternées)

Si $(a_n)$ est une suite de réels vérifiant :

$a_n \geq 0$ pour tout $n$
$(a_n)$ est décroissante
$a_n \to 0$

Alors la série alternée $\sum (-1)^n a_n$ converge, et :

Le reste vérifie $|R_N| \leq a_{N+1}$
La somme est encadrée entre deux sommes partielles consécutives

Exemple — Série harmonique alternée

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots = \ln 2$

La suite $a_n = \frac{1}{n}$ est bien positive, décroissante, et tend vers $0$ .

12. Convergence absolue§

Définition — Convergence absolue

La série $\sum u_n$ est absolument convergente si la série $\sum |u_n|$ converge.

Théorème

Toute série absolument convergente est convergente.

(La réciproque est fausse : $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ converge mais pas absolument.)

Une série convergente mais non absolument convergente est dite semi-convergente.

Attention

Pour les séries semi-convergentes, l’ordre des termes compte ! Le théorème de Riemann montre qu’en réarrangeant les termes d’une série semi-convergente, on peut obtenir n’importe quelle somme (ou la faire diverger).

13. Stratégie de convergence d’une série§

flowchart TD
    START["Étudier la nature de ∑ uₙ"] --> TG{"u_n → 0 ?"}
    TG -- Non --> DIV["La série DIVERGE<br>(critère grossier)"]
    TG -- Oui --> SIGNE{"Signe de uₙ ?"}

    SIGNE -- "uₙ ≥ 0<br>(termes positifs)" --> POS["Séries à termes positifs"]
    SIGNE -- "Signe alternant<br>uₙ = (-1)ⁿaₙ" --> ALT["Critère de Leibniz :<br>aₙ décroissante → 0 ?"]
    SIGNE -- "Signe quelconque" --> ABS["Tester la convergence<br>absolue : ∑|uₙ|"]

    POS --> EQU["Chercher un<br>équivalent de uₙ"]
    EQU --> RIEM{"Comparer à une<br>série de référence<br>(Riemann, géométrique)"}
    RIEM -- Concluant --> RESULT["Convergence ou<br>divergence par<br>comparaison"]
    RIEM -- "Non concluant" --> DALEM["Critère de d'Alembert<br>uₙ₊₁/uₙ → L ?"]
    DALEM -- "L < 1 ou L > 1" --> RESULT
    DALEM -- "L = 1" --> CAUCHY["Critère de Cauchy<br>(racine) uₙ^(1/n) → L ?"]
    CAUCHY --> RESULT

    ALT -- Oui --> CONV["La série CONVERGE"]
    ALT -- Non --> ABS

    ABS -- "∑|uₙ| converge" --> ABSCONV["Convergence<br>absolue ⟹ CV"]
    ABS -- "∑|uₙ| diverge" --> OTHER["Autres méthodes<br>(Abel, regroupement...)"]

    style DIV fill:#e74c3c,stroke:#333,color:#fff
    style CONV fill:#2ecc71,stroke:#333,color:#fff
    style ABSCONV fill:#2ecc71,stroke:#333,color:#fff
    style RESULT fill:#3498db,stroke:#333,color:#fff

14. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Suite récurrente§

Énoncé

Soit $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{3}{u_n}\right)$ . Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

Solution :

1) La suite est bien définie et $u_n > 0$ . Par récurrence immédiate (si $u_n > 0$ , alors $u_{n+1} > 0$ ).

2) On montre que $u_n \geq \sqrt{3}$ pour $n \geq 1$ . Par l’inégalité arithmético-géométrique :

u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{3}{u_n}\right) \geq \sqrt{u_n \cdot \frac{3}{u_n}} = \sqrt{3}

3) $(u_n)$ est décroissante pour $n \geq 1$ .

u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{u_n} - u_n\right) = \frac{3 - u_n^2}{2u_n} \leq 0 \quad \text{car } u_n \geq \sqrt{3}

4) Convergence et limite. Suite décroissante minorée par $\sqrt{3}$ : elle converge vers $\ell \geq \sqrt{3}$ . Passage à la limite dans la relation de récurrence :

\ell = \frac{1}{2}\left(\ell + \frac{3}{\ell}\right) \implies 2\ell = \ell + \frac{3}{\ell} \implies \ell = \frac{3}{\ell} \implies \ell^2 = 3 \implies \ell = \sqrt{3}

(On exclut $\ell = -\sqrt{3}$ car $\ell > 0$ .)

Remarque

C’est la méthode de Héron (ou de Newton) pour calculer $\sqrt{3}$ . La convergence est quadratique : le nombre de décimales exactes double à chaque itération.

Exercice 2 : Nature d’une série§

Énoncé

Déterminer la nature de $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2}{3^n}$ .

Solution :

On applique le critère de d’Alembert :

\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)^2}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n^2} = \frac{1}{3}\left(\frac{n+1}{n}\right)^2 = \frac{1}{3}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 \xrightarrow{n \to +\infty} \frac{1}{3} < 1

La série converge.

On peut aussi remarquer que $\frac{n^2}{3^n} = o!\left(\frac{1}{n^2}\right)$ car l’exponentielle l’emporte sur tout polynôme, puis comparer à la série de Riemann convergente $\sum \frac{1}{n^2}$ .

Exercice 3 : Série alternée et convergence absolue§

Énoncé

Étudier la convergence de $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ .

Solution :

Convergence : On pose $a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$ . La suite $(a_n)$ est positive, décroissante et tend vers $0$ . Par le critère de Leibniz, la série $\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ converge.

Convergence absolue : $\sum \frac{1}{\sqrt{n}} = \sum \frac{1}{n^{1/2}}$ est une série de Riemann avec $\alpha = 1/2 < 1$ : elle diverge.

Conclusion : la série converge semi-convergente (non absolument convergente).

Exercice 4 : Bolzano-Weierstrass en action§

Énoncé

Montrer que toute suite bornée de réels admet une valeur d’adhérence.

Solution :

C’est précisément le contenu du théorème de Bolzano-Weierstrass. Si $(u_n)$ est bornée, il existe une suite extraite $(u_{\varphi(n)})$ convergente vers $\ell$ . Par définition, $\ell$ est une valeur d’adhérence de $(u_n)$ .

Rappelons qu’une valeur d’adhérence est la limite d’au moins une suite extraite. L’ensemble des valeurs d’adhérence est fermé et non vide pour toute suite bornée.

Exercice 5 : Séries télescopiques§

Énoncé

Calculer $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)}$ .

Solution :

Décomposition en éléments simples :

\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}

Somme partielle (télescopage) :

S_N = \sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{N+1} \xrightarrow{N \to +\infty} 1

Donc $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1$ .

Liens§

Fonctions d’une Variable Réelle : continuité et convergence des suites récurrentes
Développements Limités : séries entières comme prolongement
Algèbre Linéaire : espaces de suites convergentes

Suites et Séries Numériques

Partie I : Suites numériques§

1. Rappels et compléments sur la convergence§

1.1 Définition ε\varepsilonε de la convergence§

1.2 Propriétés des suites convergentes§

2. Suites extraites (sous-suites)§

3. Théorème de Bolzano-Weierstrass§

4. Suites de Cauchy§

5. Suites adjacentes§

6. Suites récurrentes un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)un+1​=f(un​)§

6.1 Étude générale§

6.2 Étude de la monotonie§

6.3 Convergence par contraction§

Partie II : Séries numériques§

7. Définitions§

8. Exemples fondamentaux§

8.1 Série géométrique§

8.2 Séries de Riemann§

8.3 Série exponentielle§

9. Condition nécessaire de convergence§

10. Séries à termes positifs§

10.1 Comparaison directe§

10.2 Comparaison par équivalents§

10.3 Critère de d’Alembert§

10.4 Critère de Cauchy (racine)§

11. Séries alternées§

12. Convergence absolue§

13. Stratégie de convergence d’une série§

14. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Suite récurrente§

Exercice 2 : Nature d’une série§

Exercice 3 : Série alternée et convergence absolue§

Exercice 4 : Bolzano-Weierstrass en action§

Exercice 5 : Séries télescopiques§

Liens§

Commentaires

1.1 Définition $\varepsilon$ de la convergence§

6. Suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$ §