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February 16, 2026

Suites et Séries Numériques

Ce chapitre approfondit l’étude des suites réelles (au-delà du programme de terminale) et introduit les séries numériques, outil fondamental de l’analyse. On travaille dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

[!abstract] Programme Suites de Cauchy, théorème de Bolzano-Weierstrass, suites récurrentes. Séries numériques : convergence, séries à termes positifs, critères de comparaison, d’Alembert, Cauchy, séries alternées, convergence absolue.

Partie I : Suites numériques§

1. Rappels et compléments sur la convergence§

1.1 Définition $\varepsilon$ de la convergence§

[!abstract] Définition — Convergence Une suite $(u_n){n \in \mathbb{N}}$ de réels converge vers $\ell \in \mathbb{R}$ si : $$\forall, \varepsilon > 0,; \exists, N \in \mathbb{N},; \forall, n \geq N,; |u_n - \ell| < \varepsilon$$ On note $\lim{n \to +\infty} u_n = \ell$ ou $u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell$.

[!abstract] Théorème — Unicité de la limite Si une suite converge, sa limite est unique.

[!tip] Preuve Supposons $u_n \to \ell$ et $u_n \to \ell’$ avec $\ell \neq \ell’$. Posons $\varepsilon = \frac{|\ell - \ell’|}{2} > 0$. Il existe $N_1, N_2$ tels que pour $n \geq \max(N_1, N_2)$ : $|u_n - \ell| < \varepsilon$ et $|u_n - \ell’| < \varepsilon$. Par l’inégalité triangulaire : $$|\ell - \ell’| \leq |u_n - \ell| + |u_n - \ell’| < 2\varepsilon = |\ell - \ell’|$$ Contradiction. Donc $\ell = \ell’$.

1.2 Propriétés des suites convergentes§

Toute suite convergente est bornée (la réciproque est fausse : $(-1)^n$).

Opérations sur les limites : Si $u_n \to \ell$ et $v_n \to \ell’$ :

[!important] Théorèmes de passage à la limite

2. Suites extraites (sous-suites)§

[!abstract] Définition — Suite extraite Soit $(u_n)$ une suite et $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ strictement croissante. La suite $(u_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite extraite (ou sous-suite) de $(u_n)$.

[!abstract] Théorème Si $u_n \to \ell$, alors toute suite extraite de $(u_n)$ converge vers $\ell$.

Contraposée (utile pour montrer la divergence) : Si deux sous-suites convergent vers des limites distinctes, la suite diverge.

[!example] Exemple La suite $u_n = (-1)^n$ diverge car $u_{2n} \to 1$ et $u_{2n+1} \to -1$.

3. Théorème de Bolzano-Weierstrass§

[!abstract] Théorème de Bolzano-Weierstrass De toute suite bornée de réels, on peut extraire une sous-suite convergente.

[!tip] Esquisse de preuve (dichotomie) Soit $(u_n)$ bornée dans $[a, b]$. On coupe $[a,b]$ en deux moitiés : au moins l’une contient une infinité de termes. On l’appelle $[a_1, b_1]$ avec $b_1 - a_1 = \frac{b-a}{2}$. On itère : on obtient des intervalles emboîtés $[a_k, b_k]$ de longueur $\frac{b-a}{2^k} \to 0$, et une sous-suite dont les termes sont dans chacun de ces intervalles. Cette sous-suite converge par le théorème des intervalles emboîtés.

[!warning] Attention Ce théorème est fondamentalement lié à la complétude de $\mathbb{R}$. Il est faux dans $\mathbb{Q}$ : la suite des décimales de $\sqrt{2}$ tronquées est bornée dans $\mathbb{Q}$ mais n’a aucune sous-suite convergeant dans $\mathbb{Q}$.

4. Suites de Cauchy§

[!abstract] Définition — Suite de Cauchy $(u_n)$ est une suite de Cauchy si : $$\forall, \varepsilon > 0,; \exists, N \in \mathbb{N},; \forall, p, q \geq N,; |u_p - u_q| < \varepsilon$$

[!abstract] Théorème fondamental (complétude de $\mathbb{R}$) Dans $\mathbb{R}$ (ou $\mathbb{C}$), une suite est convergente si et seulement si elle est de Cauchy.

L’intérêt du critère de Cauchy est qu’il ne nécessite pas de connaître la limite pour prouver la convergence.

[!tip] Preuve ($\Rightarrow$) Si $u_n \to \ell$, alors pour $\varepsilon > 0$, il existe $N$ tel que pour $n \geq N$ : $|u_n - \ell| < \varepsilon/2$. Donc pour $p, q \geq N$ : $|u_p - u_q| \leq |u_p - \ell| + |u_q - \ell| < \varepsilon$.

5. Suites adjacentes§

[!abstract] Définition — Suites adjacentes Deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes si :

  1. $(a_n)$ est croissante
  2. $(b_n)$ est décroissante
  3. $b_n - a_n \to 0$

[!abstract] Théorème Si $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes, elles convergent vers une même limite $\ell$, et : $$\forall, n \in \mathbb{N},; a_n \leq \ell \leq b_n$$

6. Suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$§

6.1 Étude générale§

Soit $f : I \to I$ continue et $(u_n)$ définie par $u_0 \in I$ et $u_{n+1} = f(u_n)$.

[!abstract] Théorème — Point fixe Si $u_n \to \ell$ et $f$ est continue, alors $\ell$ est un point fixe de $f$ : $f(\ell) = \ell$.

[!tip] Preuve $u_{n+1} = f(u_n) \xrightarrow{n \to +\infty} f(\ell)$ par continuité. Mais aussi $u_{n+1} \to \ell$. Par unicité de la limite, $\ell = f(\ell)$.

6.2 Étude de la monotonie§

La position de $u_1$ par rapport à $u_0$ (et le sens de variation de $f$) détermine la monotonie :

6.3 Convergence par contraction§

[!abstract] Théorème du point fixe de Banach (version suites) Si $f : I \to I$ est $k$-contractante ($|f(x) - f(y)| \leq k|x-y|$ avec $0 \leq k < 1$) sur un intervalle fermé $I$, alors :

  1. $f$ admet un unique point fixe $\ell \in I$
  2. Pour tout $u_0 \in I$, la suite $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers $\ell$
  3. Estimation de la vitesse : $|u_n - \ell| \leq \frac{k^n}{1-k}|u_1 - u_0|$

[!example] Exemple Soit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \cos(u_n)$.

$f = \cos$ est contractante sur $[0,1]$ car $|f’(x)| = |\sin(x)| \leq \sin(1) \approx 0.84 < 1$.

L’unique point fixe est la solution de $\cos(\ell) = \ell$, soit $\ell \approx 0.7391$ (point de Dottie).

La suite converge vers $\ell$ pour tout $u_0 \in [0,1]$.

Partie II : Séries numériques§

7. Définitions§

[!abstract] Définition — Série Soit $(u_n){n \geq 0}$ une suite. La série de terme général $u_n$, notée $\sum u_n$, est la suite des sommes partielles : $$S_N = \sum{n=0}^{N} u_n$$

[!abstract] Définition — Convergence d’une série La série $\sum u_n$ est convergente si la suite $(S_N)$ converge. Dans ce cas, la somme de la série est : $$\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \lim_{N \to +\infty} S_N$$ Le reste d’ordre $N$ est $R_N = \sum_{n=N+1}^{+\infty} u_n = S - S_N \xrightarrow{N \to +\infty} 0$.

8. Exemples fondamentaux§

8.1 Série géométrique§

[!abstract] Théorème — Série géométrique Pour $q \in \mathbb{C}$ : $$\sum_{n=0}^{+\infty} q^n \text{ converge} \iff |q| < 1, \quad \text{et dans ce cas : } \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \frac{1}{1-q}$$

8.2 Séries de Riemann§

[!abstract] Théorème — Séries de Riemann $$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^\alpha} \text{ converge} \iff \alpha > 1$$

Cas particuliers :

8.3 Série exponentielle§

$$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R}$$

9. Condition nécessaire de convergence§

[!abstract] Théorème — Condition nécessaire Si $\sum u_n$ converge, alors $u_n \to 0$.

[!warning] Réciproque fausse ! La série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ diverge bien que $\frac{1}{n} \to 0$. La condition $u_n \to 0$ est nécessaire mais pas suffisante.

Contraposée (critère de divergence grossier) : Si $u_n \not\to 0$, la série diverge.

10. Séries à termes positifs§

À partir d’ici, on suppose $u_n \geq 0$ pour tout $n$ (ou à partir d’un certain rang).

[!important] Propriété fondamentale Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

10.1 Comparaison directe§

[!abstract] Théorème — Comparaison Si $0 \leq u_n \leq v_n$ à partir d’un certain rang :

10.2 Comparaison par équivalents§

[!abstract] Théorème — Équivalents Si $u_n \geq 0$, $v_n > 0$ et $u_n \sim v_n$ (i.e. $u_n/v_n \to 1$), alors : $$\sum u_n \text{ et } \sum v_n \text{ sont de même nature}$$

[!example] Exemple $\sum \frac{1}{n^2 + 3n + 1}$ : on a $\frac{1}{n^2+3n+1} \sim \frac{1}{n^2}$. Comme $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, la série converge.

10.3 Critère de d’Alembert§

[!abstract] Théorème — Critère de d’Alembert Soit $u_n > 0$ et supposons que $\frac{u_{n+1}}{u_n} \to L$ :

[!example] Exemple $\sum \frac{n!}{n^n}$ : $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)! \cdot n^n}{(n+1)^{n+1} \cdot n!} = \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} \to \frac{1}{e} < 1$.

La série converge.

10.4 Critère de Cauchy (racine)§

[!abstract] Théorème — Critère de Cauchy Soit $u_n \geq 0$ et supposons que $(u_n)^{1/n} \to L$ :

[!tip] Remarque Le critère de Cauchy est plus fin que celui de d’Alembert : si d’Alembert conclut, Cauchy conclut aussi (et avec la même réponse), mais l’inverse est faux.

11. Séries alternées§

[!abstract] Théorème — Critère de Leibniz (séries alternées) Si $(a_n)$ est une suite de réels vérifiant :

  1. $a_n \geq 0$ pour tout $n$
  2. $(a_n)$ est décroissante
  3. $a_n \to 0$

Alors la série alternée $\sum (-1)^n a_n$ converge, et :

[!example] Exemple — Série harmonique alternée $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots = \ln 2$

La suite $a_n = \frac{1}{n}$ est bien positive, décroissante, et tend vers $0$.

12. Convergence absolue§

[!abstract] Définition — Convergence absolue La série $\sum u_n$ est absolument convergente si la série $\sum |u_n|$ converge.

[!abstract] Théorème Toute série absolument convergente est convergente.

(La réciproque est fausse : $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ converge mais pas absolument.)

Une série convergente mais non absolument convergente est dite semi-convergente.

[!warning] Attention Pour les séries semi-convergentes, l’ordre des termes compte ! Le théorème de Riemann montre qu’en réarrangeant les termes d’une série semi-convergente, on peut obtenir n’importe quelle somme (ou la faire diverger).

13. Stratégie de convergence d’une série§

flowchart TD
    START["Étudier la nature de ∑ uₙ"] --> TG{"u_n → 0 ?"}
    TG -- Non --> DIV["La série DIVERGE<br>(critère grossier)"]
    TG -- Oui --> SIGNE{"Signe de uₙ ?"}

    SIGNE -- "uₙ ≥ 0<br>(termes positifs)" --> POS["Séries à termes positifs"]
    SIGNE -- "Signe alternant<br>uₙ = (-1)ⁿaₙ" --> ALT["Critère de Leibniz :<br>aₙ décroissante → 0 ?"]
    SIGNE -- "Signe quelconque" --> ABS["Tester la convergence<br>absolue : ∑|uₙ|"]

    POS --> EQU["Chercher un<br>équivalent de uₙ"]
    EQU --> RIEM{"Comparer à une<br>série de référence<br>(Riemann, géométrique)"}
    RIEM -- Concluant --> RESULT["Convergence ou<br>divergence par<br>comparaison"]
    RIEM -- "Non concluant" --> DALEM["Critère de d'Alembert<br>uₙ₊₁/uₙ → L ?"]
    DALEM -- "L < 1 ou L > 1" --> RESULT
    DALEM -- "L = 1" --> CAUCHY["Critère de Cauchy<br>(racine) uₙ^(1/n) → L ?"]
    CAUCHY --> RESULT

    ALT -- Oui --> CONV["La série CONVERGE"]
    ALT -- Non --> ABS

    ABS -- "∑|uₙ| converge" --> ABSCONV["Convergence<br>absolue ⟹ CV"]
    ABS -- "∑|uₙ| diverge" --> OTHER["Autres méthodes<br>(Abel, regroupement...)"]

    style DIV fill:#e74c3c,stroke:#333,color:#fff
    style CONV fill:#2ecc71,stroke:#333,color:#fff
    style ABSCONV fill:#2ecc71,stroke:#333,color:#fff
    style RESULT fill:#3498db,stroke:#333,color:#fff

14. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Suite récurrente§

[!example] Énoncé Soit $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{3}{u_n}\right)$. Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

Solution :

1) La suite est bien définie et $u_n > 0$. Par récurrence immédiate (si $u_n > 0$, alors $u_{n+1} > 0$).

2) On montre que $u_n \geq \sqrt{3}$ pour $n \geq 1$. Par l’inégalité arithmético-géométrique : $$u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{3}{u_n}\right) \geq \sqrt{u_n \cdot \frac{3}{u_n}} = \sqrt{3}$$

3) $(u_n)$ est décroissante pour $n \geq 1$. $$u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{u_n} - u_n\right) = \frac{3 - u_n^2}{2u_n} \leq 0 \quad \text{car } u_n \geq \sqrt{3}$$

4) Convergence et limite. Suite décroissante minorée par $\sqrt{3}$ : elle converge vers $\ell \geq \sqrt{3}$. Passage à la limite dans la relation de récurrence : $$\ell = \frac{1}{2}\left(\ell + \frac{3}{\ell}\right) \implies 2\ell = \ell + \frac{3}{\ell} \implies \ell = \frac{3}{\ell} \implies \ell^2 = 3 \implies \ell = \sqrt{3}$$

(On exclut $\ell = -\sqrt{3}$ car $\ell > 0$.)

[!tip] Remarque C’est la méthode de Héron (ou de Newton) pour calculer $\sqrt{3}$. La convergence est quadratique : le nombre de décimales exactes double à chaque itération.

Exercice 2 : Nature d’une série§

[!example] Énoncé Déterminer la nature de $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2}{3^n}$.

Solution :

On applique le critère de d’Alembert : $$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)^2}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n^2} = \frac{1}{3}\left(\frac{n+1}{n}\right)^2 = \frac{1}{3}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 \xrightarrow{n \to +\infty} \frac{1}{3} < 1$$

La série converge.

On peut aussi remarquer que $\frac{n^2}{3^n} = o!\left(\frac{1}{n^2}\right)$ car l’exponentielle l’emporte sur tout polynôme, puis comparer à la série de Riemann convergente $\sum \frac{1}{n^2}$.

Exercice 3 : Série alternée et convergence absolue§

[!example] Énoncé Étudier la convergence de $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$.

Solution :

Convergence : On pose $a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$. La suite $(a_n)$ est positive, décroissante et tend vers $0$. Par le critère de Leibniz, la série $\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ converge.

Convergence absolue : $\sum \frac{1}{\sqrt{n}} = \sum \frac{1}{n^{1/2}}$ est une série de Riemann avec $\alpha = 1/2 < 1$ : elle diverge.

Conclusion : la série converge semi-convergente (non absolument convergente).

Exercice 4 : Bolzano-Weierstrass en action§

[!example] Énoncé Montrer que toute suite bornée de réels admet une valeur d’adhérence.

Solution :

C’est précisément le contenu du théorème de Bolzano-Weierstrass. Si $(u_n)$ est bornée, il existe une suite extraite $(u_{\varphi(n)})$ convergente vers $\ell$. Par définition, $\ell$ est une valeur d’adhérence de $(u_n)$.

Rappelons qu’une valeur d’adhérence est la limite d’au moins une suite extraite. L’ensemble des valeurs d’adhérence est fermé et non vide pour toute suite bornée.

Exercice 5 : Séries télescopiques§

[!example] Énoncé Calculer $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)}$.

Solution :

Décomposition en éléments simples : $$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$

Somme partielle (télescopage) : $$S_N = \sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{N+1} \xrightarrow{N \to +\infty} 1$$

Donc $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1$.

Liens§

—The Gardener