Les formes bilinéaires et quadratiques généralisent la notion de produit scalaire et permettent de classifier les coniques, quadriques, et de comprendre la géométrie de l’espace en profondeur. Elles sont omniprésentes en physique (énergie cinétique, formes d’inertie) et en optimisation.

Prérequis

Algèbre Linéaire, Matrices et Déterminants, Espaces Euclidiens, Espaces Préhilbertiens

Formes bilinéaires§

Définition§

Définition

Soit EE un KK-espace vectoriel (K=RK = \mathbb{R} ou C\mathbb{C}). Une forme bilinéaire sur EE est une application φ:E×E→K\varphi : E \times E \to K qui est linéaire en chaque variable :

  • φ(λx1+x2,y)=λφ(x1,y)+φ(x2,y)\varphi(\lambda x_1 + x_2, y) = \lambda \varphi(x_1, y) + \varphi(x_2, y)
  • φ(x,λy1+y2)=λφ(x,y1)+φ(x,y2)\varphi(x, \lambda y_1 + y_2) = \lambda \varphi(x, y_1) + \varphi(x, y_2)

Symétrie§

φ\varphi est symétrique si φ(x,y)=φ(y,x)\varphi(x, y) = \varphi(y, x) pour tous x,yx, y.

φ\varphi est antisymétrique si φ(x,y)=−φ(y,x)\varphi(x, y) = -\varphi(y, x) pour tous x,yx, y.

Décomposition

Toute forme bilinéaire se décompose de manière unique :

φ=φs+φa\varphi = \varphi_s + \varphi_a

avec φs(x,y)=φ(x,y)+φ(y,x)2\varphi_s(x,y) = \frac{\varphi(x,y) + \varphi(y,x)}{2} (symétrique) et φa(x,y)=φ(x,y)−φ(y,x)2\varphi_a(x,y) = \frac{\varphi(x,y) - \varphi(y,x)}{2} (antisymétrique).

Matrice d’une forme bilinéaire§

Dans une base B=(e1,…,en)\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n), la matrice de φ\varphi est :

M=(φ(ei,ej))1≤i,j≤nM = (\varphi(e_i, e_j))_{1 \leq i,j \leq n}

Si x=∑xieix = \sum x_i e_i et y=∑yjejy = \sum y_j e_j, alors :

φ(x,y)=XTMY\varphi(x, y) = X^T M Y

où X,YX, Y sont les vecteurs colonnes de coordonnées.

Changement de base

Si PP est la matrice de passage de B\mathcal{B} à B′\mathcal{B}', alors :

M′=PTMPM' = P^T M P

C’est la congruence (à ne pas confondre avec la similitude P−1MPP^{-1}MP).

Non-dégénérescence§

Définition

φ\varphi est non dégénérée si :

∀x∈E,,(∀y∈E,,φ(x,y)=0)  ⟹  x=0\forall x \in E, , (\forall y \in E, , \varphi(x, y) = 0) \implies x = 0

Équivalent : la matrice MM est inversible (det⁡M≠0\det M \neq 0).

Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive (donc en particulier non dégénérée).

Formes quadratiques§

Définition§

Définition

Une forme quadratique sur EE est une application q:E→Kq : E \to K telle qu’il existe une forme bilinéaire symétrique φ\varphi avec :

q(x)=φ(x,x)q(x) = \varphi(x, x)

On dit que φ\varphi est la forme polaire de qq.

Formules de polarisation§

On retrouve φ\varphi à partir de qq :

Identité de polarisation
φ(x,y)=12[q(x+y)−q(x)−q(y)]\varphi(x, y) = \frac{1}{2}\left[q(x+y) - q(x) - q(y)\right]

Ou de manière équivalente :

φ(x,y)=14[q(x+y)−q(x−y)]\varphi(x, y) = \frac{1}{4}\left[q(x+y) - q(x-y)\right]

Expression matricielle§

Si MM est la matrice de φ\varphi dans une base, alors :

q(x)=XTMX=∑i,jmijxixjq(x) = X^T M X = \sum_{i,j} m_{ij} x_i x_j
Exemple

q(x,y,z)=x2+2xy−3z2q(x, y, z) = x^2 + 2xy - 3z^2.

Matrice associée : M=(110 100 00−3)M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}

Noyau et rang§

Définitions
  • Le noyau (ou radical) de qq : ker⁡q=x∈E:∀y∈E,,φ(x,y)=0\ker q = {x \in E : \forall y \in E, , \varphi(x,y) = 0}
  • Le rang de qq : rg(q)=rg(M)=dim⁡E−dim⁡ker⁡q\text{rg}(q) = \text{rg}(M) = \dim E - \dim \ker q
  • qq est non dégénérée si ker⁡q=0\ker q = {0}

Réduction des formes quadratiques§

L’objectif§

Trouver une base dans laquelle qq s’écrit sous forme diagonale :

q(x)=λ1x12+λ2x22+⋯+λnxn2q(x) = \lambda_1 x_1^2 + \lambda_2 x_2^2 + \cdots + \lambda_n x_n^2

C’est-à-dire trouver PP inversible telle que PTMPP^T M P soit diagonale.

Méthode de Gauss§

Théorème

Toute forme quadratique sur un espace de dimension finie peut être réduite en somme de carrés par changement de base (algorithme de Gauss).

flowchart TD
    A["q(x₁, ..., xₙ) = forme quadratique"] --> B{"Existe-t-il un<br/>terme en xᵢ² ?"}
    B -->|Oui| C["Compléter le carré<br/>en xᵢ"]
    B -->|Non| D{"Existe-t-il un terme<br/>croisé xᵢxⱼ ?"}
    D -->|Oui| E["Poser u = xᵢ+xⱼ<br/>et v = xᵢ-xⱼ<br/>pour faire apparaître<br/>des carrés"]
    D -->|Non| F["q = 0"]
    C --> G["Éliminer les termes<br/>croisés avec xᵢ"]
    G --> H["Recommencer avec<br/>les variables restantes"]
    E --> H

    style C fill:#C8E6C9
    style E fill:#BBDEFB
Exemple — Méthode de Gauss

q(x,y)=x2+4xy+3y2q(x, y) = x^2 + 4xy + 3y^2

Étape 1 : Compléter le carré en xx : q=(x+2y)2−4y2+3y2=(x+2y)2−y2q = (x + 2y)^2 - 4y^2 + 3y^2 = (x + 2y)^2 - y^2

Changement : u=x+2yu = x + 2y, v=yv = y

Forme réduite : q=u2−v2q = u^2 - v^2

Signature (théorème de Sylvester)§

Théorème d’inertie de Sylvester

Soit qq une forme quadratique réelle de rang rr sur un espace de dimension nn. Si on écrit qq comme somme de carrés :

q=x12+⋯+xp2−xp+12−⋯−xr2q = x_1^2 + \cdots + x_p^2 - x_{p+1}^2 - \cdots - x_r^2

alors le couple (p,r−p)(p, r-p) ne dépend pas du choix de la base. Il s’appelle la signature de qq.

Classification§

Signature (p,q)(p, q)NomCondition
(n,0)(n, 0)Définie positiveq(x)>0q(x) > 0 pour x≠0x \neq 0
(0,n)(0, n)Définie négativeq(x)<0q(x) < 0 pour x≠0x \neq 0
(p,0)(p, 0) avec p<np < nPositiveq(x)≥0q(x) \geq 0 pour tout xx
(p,q)(p, q) avec p,q≥1p, q \geq 1Indéfinieqq prend des valeurs >0>0 et <0<0
Critère de positivité par les mineurs

qq est définie positive ssi tous les mineurs principaux de MM sont strictement positifs :

m11>0,∣m11m12 m21m22∣>0,…,det⁡M>0m_{11} > 0, \quad \begin{vmatrix} m_{11} & m_{12} \ m_{21} & m_{22} \end{vmatrix} > 0, \quad \ldots, \quad \det M > 0

Application : classification des coniques§

Une conique dans R2\mathbb{R}^2 est l’ensemble des points (x,y)(x, y) vérifiant :

ax2+2bxy+cy2+dx+ey+f=0ax^2 + 2bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0

La nature de la conique dépend de la forme quadratique q(x,y)=ax2+2bxy+cy2q(x, y) = ax^2 + 2bxy + cy^2 :

Discriminant Δ=b2−ac\Delta = b^2 - acType
Δ<0\Delta < 0 (signature (2,0)(2,0) ou (0,2)(0,2))Ellipse (ou cercle, ou vide)
Δ=0\Delta = 0 (forme dégénérée)Parabole (ou droites parallèles)
Δ>0\Delta > 0 (signature (1,1)(1,1))Hyperbole (ou droites sécantes)
flowchart TD
    A["ax² + 2bxy + cy² + dx + ey + f = 0"] --> B["Calculer Δ = b² - ac"]
    B --> C{"Signe de Δ ?"}
    C -->|"Δ < 0"| D["Ellipse"]
    C -->|"Δ = 0"| E["Parabole"]
    C -->|"Δ > 0"| F["Hyperbole"]

    style D fill:#C8E6C9
    style E fill:#FFF9C4
    style F fill:#FFCDD2

Formes bilinéaires et dualité§

Forme linéaire associée§

Toute forme bilinéaire φ\varphi définit une application linéaire :

Φ:E→E∗,x↦φ(x,⋅)\Phi : E \to E^*, \quad x \mapsto \varphi(x, \cdot)

Orthogonalité§

Pour une forme bilinéaire symétrique (pas nécessairement définie positive) :

x⊥y  ⟺  φ(x,y)=0x \perp y \iff \varphi(x, y) = 0
Attention

Si φ\varphi n’est pas définie positive, un vecteur non nul peut être orthogonal à lui-même (vecteur isotrope : q(x)=0q(x) = 0 avec x≠0x \neq 0).

Exercices types§

Exercice 1 — Réduction de Gauss

Réduire q(x,y,z)=2xy+2xz+2yzq(x, y, z) = 2xy + 2xz + 2yz.

Solution : Pas de carré pur. On pose u=x+yu = x+y, v=x−yv = x-y : 2xy=u2−v222xy = \frac{u^2 - v^2}{2}, puis on complète avec zz.

Résultat : q=12(x+y+z)2−12(x−y)2−z2+…q = \frac{1}{2}(x+y+z)^2 - \frac{1}{2}(x-y)^2 - z^2 + \ldots

Signature (1,2)(1, 2) → forme indéfinie.

Exercice 2 — Signature

Déterminer la signature de q(x,y,z)=x2+2y2+3z2+2xyq(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + 2xy.

Solution : q=(x+y)2+y2+3z2q = (x+y)^2 + y^2 + 3z^2. Signature (3,0)(3, 0) → définie positive.

Exercice 3 — Conique

Identifier la conique x2−2xy+y2−2x+1=0x^2 - 2xy + y^2 - 2x + 1 = 0.

Solution : Δ=(−1)2−1⋅1=0\Delta = (-1)^2 - 1 \cdot 1 = 0 → parabole. En fait : (x−y)2=2x−1(x - y)^2 = 2x - 1, c’est bien une parabole.

À retenir§

Les points clés
  1. Polarisation : on retrouve φ\varphi à partir de qq, et réciproquement
  2. Gauss : toute forme quadratique se réduit en somme de carrés
  3. Sylvester : la signature (p,q)(p, q) est un invariant (ne dépend pas de la base)
  4. Définie positive ⟺ tous les mineurs principaux >0> 0
  5. Congruence PTMPP^T M P (formes quadratiques) ≠ similitude P−1MPP^{-1}MP (endomorphismes)