Formes Bilinéaires et Quadratiques
Les formes bilinéaires et quadratiques généralisent la notion de produit scalaire et permettent de classifier les coniques, quadriques, et de comprendre la géométrie de l’espace en profondeur. Elles sont omniprésentes en physique (énergie cinétique, formes d’inertie) et en optimisation.
[!quote] Prérequis Algèbre Linéaire, Matrices et Déterminants, Espaces Euclidiens, Espaces Préhilbertiens
Formes bilinéaires§
Définition§
[!abstract] Définition Soit $E$ un $K$-espace vectoriel ($K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). Une forme bilinéaire sur $E$ est une application $\varphi : E \times E \to K$ qui est linéaire en chaque variable :
- $\varphi(\lambda x_1 + x_2, y) = \lambda \varphi(x_1, y) + \varphi(x_2, y)$
- $\varphi(x, \lambda y_1 + y_2) = \lambda \varphi(x, y_1) + \varphi(x, y_2)$
Symétrie§
$\varphi$ est symétrique si $\varphi(x, y) = \varphi(y, x)$ pour tous $x, y$.
$\varphi$ est antisymétrique si $\varphi(x, y) = -\varphi(y, x)$ pour tous $x, y$.
[!tip] Décomposition Toute forme bilinéaire se décompose de manière unique : $$\varphi = \varphi_s + \varphi_a$$ avec $\varphi_s(x,y) = \frac{\varphi(x,y) + \varphi(y,x)}{2}$ (symétrique) et $\varphi_a(x,y) = \frac{\varphi(x,y) - \varphi(y,x)}{2}$ (antisymétrique).
Matrice d’une forme bilinéaire§
Dans une base $\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)$, la matrice de $\varphi$ est :
$$M = (\varphi(e_i, e_j))_{1 \leq i,j \leq n}$$
Si $x = \sum x_i e_i$ et $y = \sum y_j e_j$, alors :
$$\varphi(x, y) = X^T M Y$$
où $X, Y$ sont les vecteurs colonnes de coordonnées.
[!important] Changement de base Si $P$ est la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}’$, alors : $$M’ = P^T M P$$ C’est la congruence (à ne pas confondre avec la similitude $P^{-1}MP$).
Non-dégénérescence§
[!abstract] Définition $\varphi$ est non dégénérée si : $$\forall x \in E, , (\forall y \in E, , \varphi(x, y) = 0) \implies x = 0$$
Équivalent : la matrice $M$ est inversible ($\det M \neq 0$).
Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive (donc en particulier non dégénérée).
Formes quadratiques§
Définition§
[!abstract] Définition Une forme quadratique sur $E$ est une application $q : E \to K$ telle qu’il existe une forme bilinéaire symétrique $\varphi$ avec : $$q(x) = \varphi(x, x)$$ On dit que $\varphi$ est la forme polaire de $q$.
Formules de polarisation§
On retrouve $\varphi$ à partir de $q$ :
[!important] Identité de polarisation $$\varphi(x, y) = \frac{1}{2}\left[q(x+y) - q(x) - q(y)\right]$$
Ou de manière équivalente : $$\varphi(x, y) = \frac{1}{4}\left[q(x+y) - q(x-y)\right]$$
Expression matricielle§
Si $M$ est la matrice de $\varphi$ dans une base, alors :
$$q(x) = X^T M X = \sum_{i,j} m_{ij} x_i x_j$$
[!example] Exemple $q(x, y, z) = x^2 + 2xy - 3z^2$.
Matrice associée : $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}$
Noyau et rang§
[!abstract] Définitions
- Le noyau (ou radical) de $q$ : $\ker q = {x \in E : \forall y \in E, , \varphi(x,y) = 0}$
- Le rang de $q$ : $\text{rg}(q) = \text{rg}(M) = \dim E - \dim \ker q$
- $q$ est non dégénérée si $\ker q = {0}$
Réduction des formes quadratiques§
L’objectif§
Trouver une base dans laquelle $q$ s’écrit sous forme diagonale :
$$q(x) = \lambda_1 x_1^2 + \lambda_2 x_2^2 + \cdots + \lambda_n x_n^2$$
C’est-à-dire trouver $P$ inversible telle que $P^T M P$ soit diagonale.
Méthode de Gauss§
[!abstract] Théorème Toute forme quadratique sur un espace de dimension finie peut être réduite en somme de carrés par changement de base (algorithme de Gauss).
flowchart TD
A["q(x₁, ..., xₙ) = forme quadratique"] --> B{"Existe-t-il un<br/>terme en xᵢ² ?"}
B -->|Oui| C["Compléter le carré<br/>en xᵢ"]
B -->|Non| D{"Existe-t-il un terme<br/>croisé xᵢxⱼ ?"}
D -->|Oui| E["Poser u = xᵢ+xⱼ<br/>et v = xᵢ-xⱼ<br/>pour faire apparaître<br/>des carrés"]
D -->|Non| F["q = 0"]
C --> G["Éliminer les termes<br/>croisés avec xᵢ"]
G --> H["Recommencer avec<br/>les variables restantes"]
E --> H
style C fill:#C8E6C9
style E fill:#BBDEFB
[!example] Exemple — Méthode de Gauss $q(x, y) = x^2 + 4xy + 3y^2$
Étape 1 : Compléter le carré en $x$ : $q = (x + 2y)^2 - 4y^2 + 3y^2 = (x + 2y)^2 - y^2$
Changement : $u = x + 2y$, $v = y$
Forme réduite : $q = u^2 - v^2$
Signature (théorème de Sylvester)§
[!abstract] Théorème d’inertie de Sylvester Soit $q$ une forme quadratique réelle de rang $r$ sur un espace de dimension $n$. Si on écrit $q$ comme somme de carrés : $$q = x_1^2 + \cdots + x_p^2 - x_{p+1}^2 - \cdots - x_r^2$$
alors le couple $(p, r-p)$ ne dépend pas du choix de la base. Il s’appelle la signature de $q$.
- $p$ = nombre de carrés positifs (indice positif)
- $r - p$ = nombre de carrés négatifs (indice négatif)
- $n - r$ = dimension du noyau
Classification§
| Signature $(p, q)$ | Nom | Condition |
|---|---|---|
| $(n, 0)$ | Définie positive | $q(x) > 0$ pour $x \neq 0$ |
| $(0, n)$ | Définie négative | $q(x) < 0$ pour $x \neq 0$ |
| $(p, 0)$ avec $p < n$ | Positive | $q(x) \geq 0$ pour tout $x$ |
| $(p, q)$ avec $p, q \geq 1$ | Indéfinie | $q$ prend des valeurs $>0$ et $<0$ |
[!tip] Critère de positivité par les mineurs $q$ est définie positive ssi tous les mineurs principaux de $M$ sont strictement positifs : $$m_{11} > 0, \quad \begin{vmatrix} m_{11} & m_{12} \ m_{21} & m_{22} \end{vmatrix} > 0, \quad \ldots, \quad \det M > 0$$
Application : classification des coniques§
Une conique dans $\mathbb{R}^2$ est l’ensemble des points $(x, y)$ vérifiant :
$$ax^2 + 2bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$$
La nature de la conique dépend de la forme quadratique $q(x, y) = ax^2 + 2bxy + cy^2$ :
| Discriminant $\Delta = b^2 - ac$ | Type |
|---|---|
| $\Delta < 0$ (signature $(2,0)$ ou $(0,2)$) | Ellipse (ou cercle, ou vide) |
| $\Delta = 0$ (forme dégénérée) | Parabole (ou droites parallèles) |
| $\Delta > 0$ (signature $(1,1)$) | Hyperbole (ou droites sécantes) |
flowchart TD
A["ax² + 2bxy + cy² + dx + ey + f = 0"] --> B["Calculer Δ = b² - ac"]
B --> C{"Signe de Δ ?"}
C -->|"Δ < 0"| D["Ellipse"]
C -->|"Δ = 0"| E["Parabole"]
C -->|"Δ > 0"| F["Hyperbole"]
style D fill:#C8E6C9
style E fill:#FFF9C4
style F fill:#FFCDD2
Formes bilinéaires et dualité§
Forme linéaire associée§
Toute forme bilinéaire $\varphi$ définit une application linéaire :
$$\Phi : E \to E^*, \quad x \mapsto \varphi(x, \cdot)$$
- Si $\varphi$ est non dégénérée, $\Phi$ est un isomorphisme $E \cong E^*$.
- Pour un produit scalaire, c’est le théorème de représentation de Riesz.
Orthogonalité§
Pour une forme bilinéaire symétrique (pas nécessairement définie positive) :
$$x \perp y \iff \varphi(x, y) = 0$$
[!warning] Attention Si $\varphi$ n’est pas définie positive, un vecteur non nul peut être orthogonal à lui-même (vecteur isotrope : $q(x) = 0$ avec $x \neq 0$).
Exercices types§
[!example] Exercice 1 — Réduction de Gauss Réduire $q(x, y, z) = 2xy + 2xz + 2yz$.
Solution : Pas de carré pur. On pose $u = x+y$, $v = x-y$ : $2xy = \frac{u^2 - v^2}{2}$, puis on complète avec $z$.
Résultat : $q = \frac{1}{2}(x+y+z)^2 - \frac{1}{2}(x-y)^2 - z^2 + \ldots$
Signature $(1, 2)$ → forme indéfinie.
[!example] Exercice 2 — Signature Déterminer la signature de $q(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + 2xy$.
Solution : $q = (x+y)^2 + y^2 + 3z^2$. Signature $(3, 0)$ → définie positive.
[!example] Exercice 3 — Conique Identifier la conique $x^2 - 2xy + y^2 - 2x + 1 = 0$.
Solution : $\Delta = (-1)^2 - 1 \cdot 1 = 0$ → parabole. En fait : $(x - y)^2 = 2x - 1$, c’est bien une parabole.
À retenir§
[!important] Les points clés
- Polarisation : on retrouve $\varphi$ à partir de $q$, et réciproquement
- Gauss : toute forme quadratique se réduit en somme de carrés
- Sylvester : la signature $(p, q)$ est un invariant (ne dépend pas de la base)
- Définie positive ⟺ tous les mineurs principaux $> 0$
- Congruence $P^T M P$ (formes quadratiques) ≠ similitude $P^{-1}MP$ (endomorphismes)