Intégrales Généralisées

Motivation§

En analyse classique, l’intégrale de Riemann est définie pour des fonctions bornées sur des segments $[a,b]$. Or, de nombreux problèmes exigent d’intégrer :

• sur des intervalles non bornés : $\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2},dx$
• des fonctions non bornées au voisinage d’un point : $\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}},dx$

On parle alors d’intégrales généralisées (ou impropres). La question centrale est : l’intégrale a-t-elle un sens ? Autrement dit, converge-t-elle ?

1. Définitions fondamentales§

1.1 Intégrale sur un intervalle semi-ouvert $[a, +\infty[$§

$$\lim_{x \to +\infty} \int_a^x f(t),dt$$

existe et est finie. Dans ce cas, on note cette limite $\displaystyle\int_a^{+\infty} f(t),dt$. Si la limite n’existe pas ou est infinie, on dit que l’intégrale diverge.

1.2 Intégrale au voisinage d’une singularité§

$$\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(t),dt$$

existe et est finie.

1.3 Cas de deux singularités§

Si $f$ présente des problèmes aux deux bornes, on découpe :

$$\int_a^b f(t),dt = \int_a^c f(t),dt + \int_c^b f(t),dt$$

pour un $c \in ,]a,b[$ quelconque. L’intégrale converge si et seulement si les deux intégrales convergent.

2. Intégrales de référence§

2.1 Intégrales de Riemann§

$$\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha} \quad \text{converge} \iff \alpha > 1$$

Lorsque $\alpha > 1$, on a $\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha} = \frac{1}{\alpha - 1}$.

Preuve. Pour $\alpha \neq 1$ :

$$\int_1^x \frac{dt}{t^\alpha} = \left[\frac{t^{1-\alpha}}{1-\alpha}\right]_1^x = \frac{x^{1-\alpha} - 1}{1-\alpha}$$

• Si $\alpha > 1$ : $1 - \alpha < 0$ donc $x^{1-\alpha} \to 0$ quand $x \to +\infty$, et la limite vaut $\dfrac{1}{\alpha - 1}$.
• Si $\alpha < 1$ : $x^{1-\alpha} \to +\infty$, divergence.
• Si $\alpha = 1$ : $\displaystyle\int_1^x \frac{dt}{t} = \ln x \to +\infty$, divergence. $\blacksquare$

2.2 Intégrales de Riemann en $0$§

$$\int_0^1 \frac{dt}{t^\alpha} \quad \text{converge} \iff \alpha < 1$$

2.3 Intégrale exponentielle§

$$\int_0^{+\infty} e^{-t},dt = 1$$

Plus généralement, pour $\lambda > 0$ :

$$\int_0^{+\infty} e^{-\lambda t},dt = \frac{1}{\lambda}$$

2.4 Intégrale de Dirichlet§

$$\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t},dt = \frac{\pi}{2}$$

Cette intégrale est semi-convergente : elle converge, mais pas absolument.

3. Critères de convergence§

3.1 Fonctions positives : comparaison§

3.2 Comparaison par équivalents§

$$\int_a^{+\infty} f(t),dt \text{ converge} \iff \int_a^{+\infty} g(t),dt \text{ converge}$$

3.3 Convergence absolue§

$$\left|\int_a^{+\infty} f(t),dt\right| \leq \int_a^{+\infty} |f(t)|,dt$$

Esquisse de preuve. On utilise le critère de Cauchy. Pour $b' > b \geq a$ :

$$\left|\int_b^{b'} f(t),dt\right| \leq \int_b^{b'} |f(t)|,dt$$

La convergence de l’intégrale de $|f|$ assure que le membre de droite tend vers $0$, ce qui donne la condition de Cauchy pour $f$. $\blacksquare$

3.4 Règle d’Abel§

4. Stratégie de détermination de la nature d’une intégrale§

flowchart TD
    A["∫ f(t) dt : déterminer la nature"] --> B{"f ≥ 0 au voisinage\nde la borne problématique ?"}
    B -- Oui --> C{"Chercher un équivalent\nf(t) ~ C/t^α"}
    C -- "α > 1 (en +∞)\nou α < 1 (en 0)" --> D["CONVERGE"]
    C -- "α ≤ 1 (en +∞)\nou α ≥ 1 (en 0)" --> E["DIVERGE"]
    C -- "Pas d'équivalent simple" --> F["Comparaison directe\n0 ≤ f ≤ g ou f ≥ g ≥ 0"]
    F --> D
    F --> E
    B -- Non --> G{"Convergence absolue ?\nÉtudier ∫|f(t)|dt"}
    G -- "∫|f| converge" --> H["CONVERGE\n(absolument)"]
    G -- "∫|f| diverge" --> I{"Règle d'Abel ?\nf = u·v avec u→0\net primitive de v bornée"}
    I -- Oui --> J["CONVERGE\n(semi-convergente)"]
    I -- "Non / pas applicable" --> K["Calcul direct\nou autre méthode"]

5. Calcul pratique§

5.1 Intégration par parties§

$$\int_a^{+\infty} u'v,dt \text{ converge} \iff \int_a^{+\infty} uv',dt \text{ converge}$$

et dans ce cas $\displaystyle\int_a^{+\infty} u'v,dt = [uv]_a^{+\infty} - \int_a^{+\infty} uv',dt$.

$$I = \left[-te^{-t}\right]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} e^{-t},dt = 0 + 1 = 1$$

5.2 Changement de variable§

$$\int_a^{b} f(t),dt = \int_\alpha^{\beta} f(\varphi(u)),\varphi'(u),du$$

(les deux intégrales ont même nature).

6. Fonctions définies par des intégrales à paramètre§

6.1 Continuité sous le signe intégral§

6.2 Dérivation sous le signe intégral§

$$F'(x) = \int_a^{+\infty} \frac{\partial f}{\partial x}(x, t),dt$$

7. La fonction Gamma§

$$\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} t^{s-1},e^{-t},dt$$

7.1 Convergence§

L’intégrande $f(t) = t^{s-1}e^{-t}$ pose problème :

• En $0^+$ : $f(t) \sim t^{s-1}$, donc l’intégrale converge en $0$ ssi $s - 1 > -1$, i.e., $s > 0$.
• En $+\infty$ : $e^{-t}$ l’emporte sur toute puissance, donc convergence pour tout $s$.

Bilan : $\Gamma(s)$ est définie et convergente pour $s > 0$.

7.2 Propriétés fondamentales§

$$\Gamma(s+1) = s,\Gamma(s) \quad \text{pour tout } s > 0$$

Preuve. IPP avec $u = t^s$, $v' = e^{-t}$ :

$$\Gamma(s+1) = \int_0^{+\infty} t^s e^{-t},dt = \left[-t^s e^{-t}\right]_0^{+\infty} + s\int_0^{+\infty} t^{s-1} e^{-t},dt = s,\Gamma(s) \quad \blacksquare$$

7.3 Régularité§

Par application itérée du théorème de dérivation sous le signe intégral, $\Gamma$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $]0, +\infty[$ et :

$$\Gamma^{(k)}(s) = \int_0^{+\infty} (\ln t)^k,t^{s-1},e^{-t},dt$$

8. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Nature d’une intégrale (fonctions positives)§

Solution.

La fonction $f(t) = \dfrac{1}{t,\ln^2 t}$ est positive et continue sur $[2, +\infty[$.

On calcule directement une primitive. Posons $u = \ln t$, $du = dt/t$ :

$$\int_2^x \frac{dt}{t,\ln^2 t} = \int_{\ln 2}^{\ln x} \frac{du}{u^2} = \left[-\frac{1}{u}\right]_{\ln 2}^{\ln x} = \frac{1}{\ln 2} - \frac{1}{\ln x}$$

Quand $x \to +\infty$ : $\dfrac{1}{\ln x} \to 0$, donc $I = \dfrac{1}{\ln 2}$. L’intégrale converge.

Exercice 2 : Convergence absolue vs semi-convergence§

Solution.

Convergence : IPP avec $u(t) = 1/t$, $v'(t) = \sin t$, donc $u'(t) = -1/t^2$, $v(t) = -\cos t$ :

$$\int_1^x \frac{\sin t}{t},dt = \left[-\frac{\cos t}{t}\right]_1^x - \int_1^x \frac{\cos t}{t^2},dt$$

• $\left[-\cos t / t\right]_1^x = -\cos x / x + \cos 1 \to \cos 1$ quand $x \to +\infty$.
• $|\cos t / t^2| \leq 1/t^2$ et $\int_1^{+\infty} dt/t^2$ converge, donc $\int_1^{+\infty} \cos t / t^2,dt$ converge absolument.

Donc $\int_1^{+\infty} \sin t / t,dt$ converge.

Non convergence absolue : On minore sur chaque intervalle $[k\pi, (k+1)\pi]$ :

$$\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin t|}{t},dt \geq \frac{1}{(k+1)\pi}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin t|,dt = \frac{2}{(k+1)\pi}$$

Or $\displaystyle\sum_{k \geq 1} \frac{2}{(k+1)\pi}$ diverge (série harmonique), donc $\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{|\sin t|}{t},dt$ diverge.

Exercice 3 : Dérivation sous le signe intégral§

Solution.

On dérive sous le signe intégral (hypothèse de domination vérifiable pour $x \geq x_0 > 0$) :

$$F'(x) = -\int_0^{+\infty} e^{-xt},\sin t,dt$$

On calcule cette intégrale par double IPP (ou par partie imaginaire de $\int_0^{+\infty} e^{-(x-i)t},dt$) :

$$\int_0^{+\infty} e^{-xt}\sin t,dt = \frac{1}{x^2 + 1}$$

Donc $F'(x) = -\dfrac{1}{x^2 + 1}$, ce qui donne $F(x) = -\arctan(x) + C$.

Quand $x \to +\infty$, par convergence dominée $F(x) \to 0$, donc $C = \pi/2$.

$$\boxed{F(x) = \frac{\pi}{2} - \arctan(x)}$$

En particulier, $F(0^+) = \pi/2$, ce qui redonne $\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t},dt = \frac{\pi}{2}$.

Exercice 4 : Fonction Gamma§

Solution.

$$\Gamma!\left(\frac{1}{2}\right) = \int_0^{+\infty} t^{-1/2},e^{-t},dt$$

Changement de variable $t = u^2$, $dt = 2u,du$ :

$$\Gamma!\left(\frac{1}{2}\right) = \int_0^{+\infty} \frac{1}{u},e^{-u^2},2u,du = 2\int_0^{+\infty} e^{-u^2},du = 2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \sqrt{\pi}$$

en utilisant l’intégrale de Gauss $\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-u^2},du = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$. $\blacksquare$

Exercice 5 : Intégrale avec singularité en $0$§

Solution.

En $0^+$ : $\ln t / (1-t) \sim \ln t$ qui est intégrable en $0$ (car $\int_0^1 |\ln t|,dt$ converge : on a $|t^\varepsilon \ln t| \to 0$ pour tout $\varepsilon > 0$).

En $1^-$ : $\dfrac{\ln t}{1-t} \to -1$ (par le taux d’accroissement de $\ln$ en $1$), donc pas de problème.

L’intégrale converge. Pour la calculer, on développe $\dfrac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{+\infty} t^n$ et on intègre terme à terme (convergence dominée) :

$$\int_0^1 \frac{\ln t}{1-t},dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_0^1 t^n \ln t,dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \left(-\frac{1}{(n+1)^2}\right) = -\frac{\pi^2}{6}$$

où l’on a utilisé $\displaystyle\int_0^1 t^n \ln t,dt = -\frac{1}{(n+1)^2}$ (IPP). $\blacksquare$

Résumé des intégrales de référence§

Intégrale	Converge ssi	Valeur
$\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha}$	$\alpha > 1$	$\dfrac{1}{\alpha - 1}$
$\displaystyle\int_0^1 \frac{dt}{t^\alpha}$	$\alpha < 1$	$\dfrac{1}{1 - \alpha}$
$\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-\lambda t},dt$	$\lambda > 0$	$\dfrac{1}{\lambda}$
$\displaystyle\int_0^{+\infty} t^{s-1} e^{-t},dt$	$s > 0$	$\Gamma(s)$
$\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t},dt$	toujours (semi-cv)	$\dfrac{\pi}{2}$
$\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t^2},dt$	toujours	$\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$

Voir aussi : Fonctions de Plusieurs Variables, Probabilités Prépa