Intégrales Généralisées

Motivation§

En analyse classique, l’intégrale de Riemann est définie pour des fonctions bornées sur des segments $[a,b]$. Or, de nombreux problèmes exigent d’intégrer :

• sur des intervalles non bornés : $\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2},dx$
• des fonctions non bornées au voisinage d’un point : $\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}},dx$

On parle alors d’intégrales généralisées (ou impropres). La question centrale est : l’intégrale a-t-elle un sens ? Autrement dit, converge-t-elle ?

1. Définitions fondamentales§

1.1 Intégrale sur un intervalle semi-ouvert $[a, +\infty[$§

[!abstract] Définition Soit $f : [a, +\infty[ \to \mathbb{R}$ (ou $\mathbb{C}$) continue par morceaux. On dit que l’intégrale $\displaystyle\int_a^{+\infty} f(t),dt$ converge si la limite $$\lim_{x \to +\infty} \int_a^x f(t),dt$$ existe et est finie. Dans ce cas, on note cette limite $\displaystyle\int_a^{+\infty} f(t),dt$. Si la limite n’existe pas ou est infinie, on dit que l’intégrale diverge.

1.2 Intégrale au voisinage d’une singularité§

[!abstract] Définition Soit $f : ,]a, b] \to \mathbb{R}$ continue par morceaux, non définie (ou non bornée) en $a$. On dit que $\displaystyle\int_a^b f(t),dt$ converge si $$\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(t),dt$$ existe et est finie.

1.3 Cas de deux singularités§

Si $f$ présente des problèmes aux deux bornes, on découpe :

$$\int_a^b f(t),dt = \int_a^c f(t),dt + \int_c^b f(t),dt$$

pour un $c \in ,]a,b[$ quelconque. L’intégrale converge si et seulement si les deux intégrales convergent.

[!warning] Attention Le choix de $c$ n’influence pas la convergence ni la valeur, mais il faut bien que les deux morceaux convergent. On ne peut pas compenser une divergence par l’autre.

2. Intégrales de référence§

2.1 Intégrales de Riemann§

[!important] Intégrales de Riemann en $+\infty$ $$\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha} \quad \text{converge} \iff \alpha > 1$$ Lorsque $\alpha > 1$, on a $\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha} = \frac{1}{\alpha - 1}$.

Preuve. Pour $\alpha \neq 1$ : $$\int_1^x \frac{dt}{t^\alpha} = \left[\frac{t^{1-\alpha}}{1-\alpha}\right]_1^x = \frac{x^{1-\alpha} - 1}{1-\alpha}$$

• Si $\alpha > 1$ : $1 - \alpha < 0$ donc $x^{1-\alpha} \to 0$ quand $x \to +\infty$, et la limite vaut $\dfrac{1}{\alpha - 1}$.
• Si $\alpha < 1$ : $x^{1-\alpha} \to +\infty$, divergence.
• Si $\alpha = 1$ : $\displaystyle\int_1^x \frac{dt}{t} = \ln x \to +\infty$, divergence. $\blacksquare$

2.2 Intégrales de Riemann en $0$§

[!important] Intégrales de Riemann en $0$ $$\int_0^1 \frac{dt}{t^\alpha} \quad \text{converge} \iff \alpha < 1$$

2.3 Intégrale exponentielle§

$$\int_0^{+\infty} e^{-t},dt = 1$$

Plus généralement, pour $\lambda > 0$ : $$\int_0^{+\infty} e^{-\lambda t},dt = \frac{1}{\lambda}$$

2.4 Intégrale de Dirichlet§

[!abstract] Théorème (Intégrale de Dirichlet) $$\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t},dt = \frac{\pi}{2}$$ Cette intégrale est semi-convergente : elle converge, mais pas absolument.

3. Critères de convergence§

3.1 Fonctions positives : comparaison§

[!abstract] Théorème (Comparaison) Soient $f, g : [a, +\infty[ \to \mathbb{R}$ continues par morceaux avec $0 \leq f(t) \leq g(t)$ pour tout $t \geq a$.

1. Si $\displaystyle\int_a^{+\infty} g(t),dt$ converge, alors $\displaystyle\int_a^{+\infty} f(t),dt$ converge.
2. Si $\displaystyle\int_a^{+\infty} f(t),dt$ diverge, alors $\displaystyle\int_a^{+\infty} g(t),dt$ diverge.

[!tip] Principe Pour les fonctions positives, plus la fonction est « petite », plus l’intégrale a de chances de converger.

3.2 Comparaison par équivalents§

[!abstract] Théorème (Équivalents) Soient $f, g : [a, +\infty[ \to \mathbb{R}+^*$ continues par morceaux. Si $f(t) \sim{t \to +\infty} g(t)$, alors : $$\int_a^{+\infty} f(t),dt \text{ converge} \iff \int_a^{+\infty} g(t),dt \text{ converge}$$

[!example] Exemple Étudier la nature de $\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{dt}{\sqrt{t^3 + t}}$.

Pour $t \to +\infty$ : $\sqrt{t^3 + t} \sim \sqrt{t^3} = t^{3/2}$, donc $\dfrac{1}{\sqrt{t^3+t}} \sim \dfrac{1}{t^{3/2}}$.

Or $\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^{3/2}}$ converge (Riemann avec $\alpha = 3/2 > 1$).

Donc $\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{dt}{\sqrt{t^3+t}}$ converge.

3.3 Convergence absolue§

[!abstract] Définition On dit que $\displaystyle\int_a^{+\infty} f(t),dt$ converge absolument si $\displaystyle\int_a^{+\infty} |f(t)|,dt$ converge.

[!abstract] Théorème La convergence absolue entraîne la convergence.

Si $\displaystyle\int_a^{+\infty} |f(t)|,dt$ converge, alors $\displaystyle\int_a^{+\infty} f(t),dt$ converge et $$\left|\int_a^{+\infty} f(t),dt\right| \leq \int_a^{+\infty} |f(t)|,dt$$

Esquisse de preuve. On utilise le critère de Cauchy. Pour $b’ > b \geq a$ : $$\left|\int_b^{b’} f(t),dt\right| \leq \int_b^{b’} |f(t)|,dt$$ La convergence de l’intégrale de $|f|$ assure que le membre de droite tend vers $0$, ce qui donne la condition de Cauchy pour $f$. $\blacksquare$

[!warning] Réciproque fausse L’intégrale $\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t},dt$ converge mais pas absolument. On parle d’intégrale semi-convergente.

3.4 Règle d’Abel§

[!abstract] Théorème (Règle d’Abel) Soient $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ décroissante tendant vers $0$ en $+\infty$, et $g$ continue par morceaux dont la primitive $G(x) = \int_a^x g(t),dt$ est bornée. Alors $\displaystyle\int_a^{+\infty} f(t),g(t),dt$ converge.

[!example] Application L’intégrale $\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t},dt$ converge par la règle d’Abel avec $f(t) = 1/t$ et $g(t) = \sin t$ (dont la primitive $-\cos t$ est bornée).

4. Stratégie de détermination de la nature d’une intégrale§

flowchart TD
    A["∫ f(t) dt : déterminer la nature"] --> B{"f ≥ 0 au voisinage\nde la borne problématique ?"}
    B -- Oui --> C{"Chercher un équivalent\nf(t) ~ C/t^α"}
    C -- "α > 1 (en +∞)\nou α < 1 (en 0)" --> D["CONVERGE"]
    C -- "α ≤ 1 (en +∞)\nou α ≥ 1 (en 0)" --> E["DIVERGE"]
    C -- "Pas d'équivalent simple" --> F["Comparaison directe\n0 ≤ f ≤ g ou f ≥ g ≥ 0"]
    F --> D
    F --> E
    B -- Non --> G{"Convergence absolue ?\nÉtudier ∫|f(t)|dt"}
    G -- "∫|f| converge" --> H["CONVERGE\n(absolument)"]
    G -- "∫|f| diverge" --> I{"Règle d'Abel ?\nf = u·v avec u→0\net primitive de v bornée"}
    I -- Oui --> J["CONVERGE\n(semi-convergente)"]
    I -- "Non / pas applicable" --> K["Calcul direct\nou autre méthode"]

5. Calcul pratique§

5.1 Intégration par parties§

[!abstract] Théorème (IPP pour les intégrales généralisées) Si $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a, +\infty[$ et si $[uv]a^{+\infty}$ (i.e., $\lim{x \to +\infty} u(x)v(x) - u(a)v(a)$) existe, alors : $$\int_a^{+\infty} u’v,dt \text{ converge} \iff \int_a^{+\infty} uv’,dt \text{ converge}$$ et dans ce cas $\displaystyle\int_a^{+\infty} u’v,dt = [uv]_a^{+\infty} - \int_a^{+\infty} uv’,dt$.

[!example] Exemple Calculer $I = \displaystyle\int_0^{+\infty} t,e^{-t},dt$.

IPP avec $u = t$, $v’ = e^{-t}$, donc $u’ = 1$, $v = -e^{-t}$ : $$I = \left[-te^{-t}\right]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} e^{-t},dt = 0 + 1 = 1$$

5.2 Changement de variable§

[!abstract] Théorème Soit $\varphi : [\alpha, \beta[ \to [a, b[$ un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme. Alors : $$\int_a^{b} f(t),dt = \int_\alpha^{\beta} f(\varphi(u)),\varphi’(u),du$$ (les deux intégrales ont même nature).

[!example] Exemple Calculer $\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t^2},dt$ (intégrale de Gauss) : on admet que sa valeur est $\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$.

Changement utile : $t = \sqrt{u}$, $dt = \dfrac{du}{2\sqrt{u}}$, transforme $\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t^2},dt$ en $\displaystyle\frac{1}{2}\int_0^{+\infty} \frac{e^{-u}}{\sqrt{u}},du = \frac{1}{2},\Gamma!\left(\frac{1}{2}\right)$.

6. Fonctions définies par des intégrales à paramètre§

6.1 Continuité sous le signe intégral§

[!abstract] Théorème (Continuité sous $\int$) Soit $f : I \times [a, +\infty[ \to \mathbb{R}$ où $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$. On pose $F(x) = \displaystyle\int_a^{+\infty} f(x, t),dt$. Si :

1. Pour tout $x \in I$, $t \mapsto f(x,t)$ est continue par morceaux et l’intégrale converge,
2. Pour tout $t$, $x \mapsto f(x,t)$ est continue sur $I$,
3. Hypothèse de domination : il existe $\varphi : [a, +\infty[ \to \mathbb{R}_+$ telle que $\displaystyle\int_a^{+\infty} \varphi(t),dt$ converge et $|f(x,t)| \leq \varphi(t)$ pour tous $x \in I$, $t \geq a$,

alors $F$ est continue sur $I$.

6.2 Dérivation sous le signe intégral§

[!abstract] Théorème (Leibniz) Sous des hypothèses analogues (avec domination de $\dfrac{\partial f}{\partial x}$) :

1. Pour tout $x \in I$, $t \mapsto f(x,t)$ est continue par morceaux et l’intégrale converge,
2. $f$ admet une dérivée partielle $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)$ continue,
3. Il existe $\psi \geq 0$ intégrable telle que $\left|\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)\right| \leq \psi(t)$,

alors $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ et : $$F’(x) = \int_a^{+\infty} \frac{\partial f}{\partial x}(x, t),dt$$

[!tip] En pratique On dérive sous le signe intégral, puis on vérifie a posteriori l’hypothèse de domination.

7. La fonction Gamma§

[!abstract] Définition Pour $s > 0$ (ou $\operatorname{Re}(s) > 0$), on définit la fonction Gamma : $$\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} t^{s-1},e^{-t},dt$$

7.1 Convergence§

L’intégrande $f(t) = t^{s-1}e^{-t}$ pose problème :

• En $0^+$ : $f(t) \sim t^{s-1}$, donc l’intégrale converge en $0$ ssi $s - 1 > -1$, i.e., $s > 0$.
• En $+\infty$ : $e^{-t}$ l’emporte sur toute puissance, donc convergence pour tout $s$.

Bilan : $\Gamma(s)$ est définie et convergente pour $s > 0$.

7.2 Propriétés fondamentales§

[!important] Relation fonctionnelle $$\Gamma(s+1) = s,\Gamma(s) \quad \text{pour tout } s > 0$$

Preuve. IPP avec $u = t^s$, $v’ = e^{-t}$ : $$\Gamma(s+1) = \int_0^{+\infty} t^s e^{-t},dt = \left[-t^s e^{-t}\right]_0^{+\infty} + s\int_0^{+\infty} t^{s-1} e^{-t},dt = s,\Gamma(s) \quad \blacksquare$$

[!important] Valeurs remarquables

• $\Gamma(1) = 1$
• $\Gamma(n+1) = n!$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ (la fonction Gamma prolonge la factorielle)
• $\Gamma!\left(\dfrac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$

7.3 Régularité§

Par application itérée du théorème de dérivation sous le signe intégral, $\Gamma$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $]0, +\infty[$ et :

$$\Gamma^{(k)}(s) = \int_0^{+\infty} (\ln t)^k,t^{s-1},e^{-t},dt$$

8. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Nature d’une intégrale (fonctions positives)§

[!example] Énoncé Déterminer la nature de $\displaystyle I = \int_2^{+\infty} \frac{dt}{t,\ln^2 t}$.

Solution.

La fonction $f(t) = \dfrac{1}{t,\ln^2 t}$ est positive et continue sur $[2, +\infty[$.

On calcule directement une primitive. Posons $u = \ln t$, $du = dt/t$ :

$$\int_2^x \frac{dt}{t,\ln^2 t} = \int_{\ln 2}^{\ln x} \frac{du}{u^2} = \left[-\frac{1}{u}\right]_{\ln 2}^{\ln x} = \frac{1}{\ln 2} - \frac{1}{\ln x}$$

Quand $x \to +\infty$ : $\dfrac{1}{\ln x} \to 0$, donc $I = \dfrac{1}{\ln 2}$. L’intégrale converge.

Exercice 2 : Convergence absolue vs semi-convergence§

[!example] Énoncé Montrer que $\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t},dt$ converge mais pas absolument.

Solution.

Convergence : IPP avec $u(t) = 1/t$, $v’(t) = \sin t$, donc $u’(t) = -1/t^2$, $v(t) = -\cos t$ :

$$\int_1^x \frac{\sin t}{t},dt = \left[-\frac{\cos t}{t}\right]_1^x - \int_1^x \frac{\cos t}{t^2},dt$$

• $\left[-\cos t / t\right]_1^x = -\cos x / x + \cos 1 \to \cos 1$ quand $x \to +\infty$.
• $|\cos t / t^2| \leq 1/t^2$ et $\int_1^{+\infty} dt/t^2$ converge, donc $\int_1^{+\infty} \cos t / t^2,dt$ converge absolument.

Donc $\int_1^{+\infty} \sin t / t,dt$ converge.

Non convergence absolue : On minore sur chaque intervalle $[k\pi, (k+1)\pi]$ :

$$\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin t|}{t},dt \geq \frac{1}{(k+1)\pi}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin t|,dt = \frac{2}{(k+1)\pi}$$

Or $\displaystyle\sum_{k \geq 1} \frac{2}{(k+1)\pi}$ diverge (série harmonique), donc $\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{|\sin t|}{t},dt$ diverge.

Exercice 3 : Dérivation sous le signe intégral§

[!example] Énoncé Soit $F(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-xt},\frac{\sin t}{t},dt$ pour $x > 0$. Calculer $F’(x)$ et en déduire $F(x)$.

Solution.

On dérive sous le signe intégral (hypothèse de domination vérifiable pour $x \geq x_0 > 0$) :

$$F’(x) = -\int_0^{+\infty} e^{-xt},\sin t,dt$$

On calcule cette intégrale par double IPP (ou par partie imaginaire de $\int_0^{+\infty} e^{-(x-i)t},dt$) :

$$\int_0^{+\infty} e^{-xt}\sin t,dt = \frac{1}{x^2 + 1}$$

Donc $F’(x) = -\dfrac{1}{x^2 + 1}$, ce qui donne $F(x) = -\arctan(x) + C$.

Quand $x \to +\infty$, par convergence dominée $F(x) \to 0$, donc $C = \pi/2$.

$$\boxed{F(x) = \frac{\pi}{2} - \arctan(x)}$$

En particulier, $F(0^+) = \pi/2$, ce qui redonne $\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t},dt = \frac{\pi}{2}$.

Exercice 4 : Fonction Gamma§

[!example] Énoncé Montrer que $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$.

Solution.

$$\Gamma!\left(\frac{1}{2}\right) = \int_0^{+\infty} t^{-1/2},e^{-t},dt$$

Changement de variable $t = u^2$, $dt = 2u,du$ :

$$\Gamma!\left(\frac{1}{2}\right) = \int_0^{+\infty} \frac{1}{u},e^{-u^2},2u,du = 2\int_0^{+\infty} e^{-u^2},du = 2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \sqrt{\pi}$$

en utilisant l’intégrale de Gauss $\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-u^2},du = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$. $\blacksquare$

Exercice 5 : Intégrale avec singularité en $0$§

[!example] Énoncé Nature et calcul de $\displaystyle\int_0^1 \frac{\ln t}{1-t},dt$.

Solution.

En $0^+$ : $\ln t / (1-t) \sim \ln t$ qui est intégrable en $0$ (car $\int_0^1 |\ln t|,dt$ converge : on a $|t^\varepsilon \ln t| \to 0$ pour tout $\varepsilon > 0$).

En $1^-$ : $\dfrac{\ln t}{1-t} \to -1$ (par le taux d’accroissement de $\ln$ en $1$), donc pas de problème.

L’intégrale converge. Pour la calculer, on développe $\dfrac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{+\infty} t^n$ et on intègre terme à terme (convergence dominée) :

$$\int_0^1 \frac{\ln t}{1-t},dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_0^1 t^n \ln t,dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \left(-\frac{1}{(n+1)^2}\right) = -\frac{\pi^2}{6}$$

où l’on a utilisé $\displaystyle\int_0^1 t^n \ln t,dt = -\frac{1}{(n+1)^2}$ (IPP). $\blacksquare$

Résumé des intégrales de référence§

Voir aussi : Fonctions de Plusieurs Variables, Probabilités Prépa