Réduction des Endomorphismes

La réduction des endomorphismes est l’un des chapitres centraux de l’algèbre linéaire en Math Spé. L’objectif est de trouver une base dans laquelle la matrice d’un endomorphisme est la plus simple possible (diagonale, triangulaire, etc.). Ce chapitre a de nombreuses applications en analyse (systèmes différentiels, suites récurrentes) et en géométrie.

1. Rappels fondamentaux§

1.1 Endomorphismes§

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n$ ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).

[!abstract] Définition Un endomorphisme de $E$ est une application linéaire $f : E \to E$. L’ensemble des endomorphismes de $E$ est noté $\mathcal{L}(E)$.

On rappelle que $\mathcal{L}(E)$ est une $\mathbb{K}$-algèbre de dimension $n^2$, munie de la composition $\circ$ comme loi interne multiplicative.

1.2 Matrice d’un endomorphisme§

Soit $\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)$ une base de $E$. La matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}$ est :

$$\mathrm{Mat}{\mathcal{B}}(f) = A = (a{ij}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$$

où $f(e_j) = \sum_{i=1}^n a_{ij} e_i$.

[!important] Formule de changement de base Si $\mathcal{B}’$ est une autre base de $E$ et $P = \mathrm{Pass}(\mathcal{B}, \mathcal{B}’)$ la matrice de passage, alors : $$\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}’}(f) = P^{-1} A P$$ Deux matrices $A$ et $B$ sont semblables s’il existe $P$ inversible telle que $B = P^{-1}AP$.

2. Éléments propres§

2.1 Valeurs propres et vecteurs propres§

[!abstract] Définition Soit $f \in \mathcal{L}(E)$.

• Un scalaire $\lambda \in \mathbb{K}$ est une valeur propre de $f$ s’il existe un vecteur $x \neq 0$ tel que $f(x) = \lambda x$.
• Un tel vecteur $x$ est appelé vecteur propre de $f$ associé à $\lambda$.
• L’ensemble $\mathrm{Sp}(f) = {\lambda \in \mathbb{K} \mid \lambda \text{ est valeur propre de } f}$ est le spectre de $f$.

2.2 Sous-espaces propres§

[!abstract] Définition Le sous-espace propre associé à la valeur propre $\lambda$ est : $$E_\lambda = \ker(f - \lambda \mathrm{Id}) = {x \in E \mid f(x) = \lambda x}$$

[!tip] Propriétés fondamentales

1. $\lambda$ est valeur propre de $f$ si et seulement si $E_\lambda \neq {0}$.
2. Des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont linéairement indépendants.
3. La somme des sous-espaces propres est directe : $\bigoplus_{\lambda \in \mathrm{Sp}(f)} E_\lambda \subset E$.

[!example] Exemple Soit $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ de matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 0 & 3 \end{pmatrix}$ dans la base canonique.

• $f(e_1) = 2e_1$ donc $\lambda_1 = 2$ est valeur propre et $e_1 \in E_2$.
• On résout $Ax = 3x$ : on trouve $E_3 = \mathrm{Vect}((1, 1))$.

3. Polynôme caractéristique§

3.1 Définition et propriétés§

[!abstract] Définition Le polynôme caractéristique de $f$ (ou de $A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$) est : $$\chi_f(\lambda) = \det(f - \lambda \mathrm{Id}) = \det(A - \lambda I_n)$$ C’est un polynôme de degré $n$ en $\lambda$, unitaire au signe $(-1)^n$ près.

On écrit souvent :

$$\chi_f(\lambda) = (-1)^n \lambda^n + (-1)^{n-1} \mathrm{tr}(A) \lambda^{n-1} + \cdots + \det(A)$$

[!important] Propriétés

1. $\lambda_0$ est valeur propre de $f$ $\iff$ $\chi_f(\lambda_0) = 0$.
2. Le polynôme caractéristique est un invariant de similitude.
3. $\mathrm{tr}(A) = \sum \lambda_i$ (somme des valeurs propres comptées avec multiplicité).
4. $\det(A) = \prod \lambda_i$ (produit des valeurs propres comptées avec multiplicité).

3.2 Multiplicité algébrique et géométrique§

[!abstract] Définition Soit $\lambda_0$ une valeur propre de $f$.

• La multiplicité algébrique $m_a(\lambda_0)$ est l’ordre de $\lambda_0$ comme racine de $\chi_f$.
• La multiplicité géométrique $m_g(\lambda_0)$ est $\dim E_{\lambda_0}$.

[!important] Inégalité fondamentale Pour toute valeur propre $\lambda_0$ : $$1 \leq m_g(\lambda_0) \leq m_a(\lambda_0)$$

4. Polynôme minimal§

[!abstract] Définition Le polynôme minimal de $f$, noté $\mu_f$, est le polynôme unitaire de plus petit degré tel que $\mu_f(f) = 0$.

[!important] Propriétés du polynôme minimal

1. $\mu_f$ divise tout polynôme annulateur de $f$.
2. $\mu_f$ divise $\chi_f$ (conséquence du théorème de Cayley-Hamilton).
3. $\mu_f$ et $\chi_f$ ont les mêmes racines (mais pas nécessairement les mêmes multiplicités).
4. $f$ est diagonalisable $\iff$ $\mu_f$ est scindé à racines simples.

5. Théorème de Cayley-Hamilton§

[!abstract] Théorème (Cayley-Hamilton) Tout endomorphisme $f$ d’un espace vectoriel de dimension finie annule son polynôme caractéristique : $$\chi_f(f) = 0$$

[!tip] Esquisse de démonstration Sur $\mathbb{C}$ : par trigonalisation, on se ramène au cas triangulaire. Si $T$ est triangulaire supérieure de valeurs diagonales $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$, on vérifie que $(T - \lambda_1 I)(T - \lambda_2 I) \cdots (T - \lambda_n I) = 0$ en montrant que l’image de ce produit partiel est de dimension décroissante.

Sur $\mathbb{R}$ : on plonge dans $\mathbb{C}$ et on utilise le fait que l’identité polynomiale reste valable.

[!example] Application Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 3 \end{pmatrix}$. On a $\chi_A(\lambda) = (\lambda - 1)(\lambda - 3) = \lambda^2 - 4\lambda + 3$.

Par Cayley-Hamilton : $A^2 - 4A + 3I = 0$, donc $A^2 = 4A - 3I$.

Cela permet de calculer toute puissance de $A$ par récurrence.

6. Diagonalisation§

6.1 Condition nécessaire et suffisante§

[!abstract] Théorème $f \in \mathcal{L}(E)$ est diagonalisable si et seulement si :

1. $\chi_f$ est scindé sur $\mathbb{K}$, et
2. Pour chaque valeur propre $\lambda$, on a $m_g(\lambda) = m_a(\lambda)$.

De manière équivalente : $E = \bigoplus_{\lambda \in \mathrm{Sp}(f)} E_\lambda$.

[!tip] Critères alternatifs de diagonalisabilité

• $f$ admet $n$ valeurs propres distinctes $\implies$ $f$ est diagonalisable (réciproque fausse).
• $f$ est diagonalisable $\iff$ $\mu_f$ est scindé à racines simples.
• Si $f^2 = f$ (projecteur) ou $f^2 = \mathrm{Id}$ (involution), alors $f$ est diagonalisable.

6.2 Méthode pratique de diagonalisation§

flowchart TD
    A["Calculer le polynôme caractéristique χ_f(λ)"] --> B{"χ_f est-il scindé sur K ?"}
    B -- Non --> C["f n'est pas diagonalisable sur K"]
    B -- Oui --> D["Factoriser χ_f : trouver les valeurs propres λ₁, ..., λₚ<br/>et leurs multiplicités algébriques m_a(λᵢ)"]
    D --> E["Pour chaque λᵢ, calculer<br/>E_λᵢ = ker(f - λᵢ Id)"]
    E --> F{"Pour tout i,<br/>dim E_λᵢ = m_a(λᵢ) ?"}
    F -- Non --> G["f n'est pas diagonalisable"]
    F -- Oui --> H["f est diagonalisable.<br/>Former une base de chaque E_λᵢ.<br/>La réunion donne une base<br/>de diagonalisation P."]
    H --> I["D = P⁻¹AP est diagonale"]

6.3 Exemple complet de diagonalisation§

[!example] Diagonalisation d’une matrice $3 \times 3$ Soit $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \ 2 & 5 & -2 \ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$.

Étape 1 : Polynôme caractéristique. $$\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I) = -\lambda^3 + 11\lambda^2 - 39\lambda + 45 = -(\lambda - 3)^2(\lambda - 5)$$

Les valeurs propres sont $\lambda_1 = 3$ (multiplicité algébrique 2) et $\lambda_2 = 5$ (multiplicité 1).

Étape 2 : Sous-espaces propres.

$E_3 = \ker(A - 3I)$ : on résout $(A - 3I)x = 0$ : $$A - 3I = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \ 2 & 2 & -2 \ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \implies E_3 = \mathrm{Vect}\left(\begin{pmatrix} 1 \ -1 \ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}\right)$$

Donc $\dim E_3 = 2 = m_a(3)$. De même, $E_5 = \mathrm{Vect}\left(\begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 1 \end{pmatrix}\right)$.

Conclusion : $A$ est diagonalisable. En posant $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ -1 & 0 & 2 \ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, on a $P^{-1}AP = \mathrm{diag}(3, 3, 5)$.

7. Trigonalisation§

7.1 Théorème de trigonalisation sur $\mathbb{C}$§

[!abstract] Théorème Toute matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ est trigonalisable : il existe $P \in GL_n(\mathbb{C})$ telle que $P^{-1}AP$ est triangulaire supérieure.

De manière équivalente : tout endomorphisme d’un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie est trigonalisable.

[!tip] Esquisse de démonstration Par récurrence sur $n = \dim E$.

• Initialisation : pour $n = 1$, toute matrice $1 \times 1$ est triangulaire.
• Hérédité : sur $\mathbb{C}$, $\chi_f$ admet une racine $\lambda_1$ (théorème de d’Alembert). Soit $e_1$ un vecteur propre associé. On complète $(e_1)$ en une base de $E$. Dans cette base, la matrice de $f$ a la forme : $$\begin{pmatrix} \lambda_1 & * \ 0 & B \end{pmatrix}$$ Par hypothèse de récurrence, $B$ est trigonalisable, d’où le résultat.

[!warning] Attention Sur $\mathbb{R}$, une matrice n’est pas toujours trigonalisable. Par exemple, la matrice de rotation $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ pour $\theta \notin {0, \pi}$ n’est pas trigonalisable sur $\mathbb{R}$.

7.2 Trigonalisation sur $\mathbb{R}$§

[!abstract] Théorème Une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est trigonalisable sur $\mathbb{R}$ si et seulement si $\chi_A$ est scindé sur $\mathbb{R}$.

8. Sous-espaces caractéristiques§

[!abstract] Définition Soit $\lambda$ une valeur propre de $f$ de multiplicité algébrique $m_a(\lambda)$. Le sous-espace caractéristique associé à $\lambda$ est : $$F_\lambda = \ker(f - \lambda \mathrm{Id})^{m_a(\lambda)}$$

[!important] Propriétés

1. $E_\lambda \subset F_\lambda$ (tout sous-espace propre est inclus dans le sous-espace caractéristique).
2. $\dim F_\lambda = m_a(\lambda)$.
3. Si $\chi_f$ est scindé, alors $E = \bigoplus_{\lambda \in \mathrm{Sp}(f)} F_\lambda$ (décomposition de Dunford-Jordan).
4. $f$ est diagonalisable $\iff$ pour tout $\lambda$, $E_\lambda = F_\lambda$.

9. Applications§

9.1 Calcul de $A^n$§

Si $A = PDP^{-1}$ avec $D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$, alors :

$$A^n = P D^n P^{-1} = P , \mathrm{diag}(\lambda_1^n, \ldots, \lambda_n^n) , P^{-1}$$

[!example] Exemple : Puissance d’une matrice Avec l’exemple précédent ($A$ diagonalisable en $D = \mathrm{diag}(3, 3, 5)$) : $$A^n = P \begin{pmatrix} 3^n & 0 & 0 \ 0 & 3^n & 0 \ 0 & 0 & 5^n \end{pmatrix} P^{-1}$$

Pour une matrice non diagonalisable mais trigonalisable, on écrit $A = D + N$ avec $D$ diagonale et $N$ nilpotente ($DN = ND$), puis on utilise la formule du binôme :

$$A^n = (D + N)^n = \sum_{k=0}^{p} \binom{n}{k} D^{n-k} N^k$$

où $p$ est l’indice de nilpotence de $N$.

9.2 Résolution de systèmes différentiels linéaires§

On considère le système $X’(t) = AX(t)$ avec $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.

Cas diagonalisable : Si $A = PDP^{-1}$, on pose $Y = P^{-1}X$, alors $Y’ = DY$ et :

$$Y(t) = \begin{pmatrix} c_1 e^{\lambda_1 t} \ \vdots \ c_n e^{\lambda_n t} \end{pmatrix} \implies X(t) = PY(t)$$

[!example] Exemple Soit le système $\begin{cases} x’ = 2x + y \ y’ = 3y \end{cases}$, soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 0 & 3 \end{pmatrix}$.

Valeurs propres : $\lambda_1 = 2$, $\lambda_2 = 3$. $A$ est diagonalisable (2 valeurs propres distinctes en dimension 2).

$E_2 = \mathrm{Vect}(e_1)$, $E_3 = \mathrm{Vect}((1,1)^T)$. On pose $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Solution : $X(t) = c_1 e^{2t} \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} + c_2 e^{3t} \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix}$.

Cas général : on utilise l’exponentielle de matrice $e^{tA} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^k A^k}{k!}$ et la solution est $X(t) = e^{tA} X(0)$.

9.3 Suites récurrentes linéaires§

Soit la suite récurrente $u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n$. On pose $X_n = \begin{pmatrix} u_{n+1} \ u_n \end{pmatrix}$ et $A = \begin{pmatrix} a & b \ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Alors $X_n = A^n X_0$, ce qui ramène au calcul de $A^n$.

[!example] Suite de Fibonacci $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$, avec $u_0 = 0$, $u_1 = 1$.

Matrice compagnon : $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

$\chi_A(\lambda) = \lambda^2 - \lambda - 1$, racines $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ et $\psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$.

On obtient la formule de Binet : $$u_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]$$

10. Résumé des liens entre notions§

flowchart LR
    A["Polynôme caractéristique χ_f"] --> B["Valeurs propres<br/>(racines de χ_f)"]
    B --> C["Sous-espaces propres E_λ"]
    A --> D["Polynôme minimal μ_f"]
    D --> E{"μ_f scindé à<br/>racines simples ?"}
    E -- Oui --> F["f diagonalisable"]
    E -- Non --> G["f non diagonalisable"]
    B --> H["Sous-espaces<br/>caractéristiques F_λ"]
    H --> I["Décomposition<br/>de Dunford"]
    F --> J["Applications :<br/>A^n, syst. diff., suites"]
    G --> K["Trigonalisation<br/>(sur C)"]
    K --> J

11. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Diagonalisation et calcul de puissance§

[!example] Énoncé Soit $A = \begin{pmatrix} 5 & -6 \ 3 & -4 \end{pmatrix}$. Montrer que $A$ est diagonalisable et calculer $A^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Solution :

$\chi_A(\lambda) = (5 - \lambda)(-4 - \lambda) + 18 = \lambda^2 - \lambda - 2 = (\lambda - 2)(\lambda + 1)$.

Valeurs propres : $\lambda_1 = 2$, $\lambda_2 = -1$. Comme elles sont distinctes, $A$ est diagonalisable.

$E_2 = \ker(A - 2I) = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$, $E_{-1} = \ker(A + I) = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix}$.

On pose $P = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \ -1 & 2 \end{pmatrix}$.

$$A^n = P \begin{pmatrix} 2^n & 0 \ 0 & (-1)^n \end{pmatrix} P^{-1} = \begin{pmatrix} 2^{n+1} - (-1)^n & -2^{n+1} + 2(-1)^n \ 2^n - (-1)^n & -2^n + 2(-1)^n \end{pmatrix}$$

Vérification : pour $n = 0$, on obtient bien $I_2$, et pour $n = 1$, on retrouve $A$.

Exercice 2 : Polynôme minimal et diagonalisabilité§

[!example] Énoncé Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \ 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$. Déterminer $\chi_A$, $\mu_A$, et décider si $A$ est diagonalisable.

Solution :

$\chi_A(\lambda) = (2 - \lambda)^2(3 - \lambda)$. Valeurs propres : $\lambda_1 = 2$ ($m_a = 2$), $\lambda_2 = 3$ ($m_a = 1$).

$E_2 = \ker(A - 2I) = \mathrm{Vect}(e_1)$, donc $\dim E_2 = 1 \neq 2 = m_a(2)$.

$A$ n’est pas diagonalisable.

Pour le polynôme minimal, on vérifie : $(A - 2I)(A - 3I) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0$.

Mais $(A - 2I)^2(A - 3I) = 0$. Donc $\mu_A(\lambda) = (\lambda - 2)^2(\lambda - 3) = \chi_A(\lambda)$.

Ici $\mu_A = \chi_A$, ce qui confirme que $A$ n’est pas diagonalisable (car $\mu_A$ n’est pas scindé à racines simples).

Exercice 3 : Système différentiel§

[!example] Énoncé Résoudre le système $\begin{cases} x’(t) = 4x - y \ y’(t) = 2x + y \end{cases}$.

Solution :

Matrice du système : $A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \ 2 & 1 \end{pmatrix}$.

$\chi_A(\lambda) = \lambda^2 - 5\lambda + 6 = (\lambda - 2)(\lambda - 3)$.

$E_2 = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix}$, $E_3 = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix}$.

Solution générale :

$$\begin{pmatrix} x(t) \ y(t) \end{pmatrix} = c_1 e^{2t} \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix} + c_2 e^{3t} \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix}$$

Soit $x(t) = c_1 e^{2t} + c_2 e^{3t}$ et $y(t) = 2c_1 e^{2t} + c_2 e^{3t}$.

Exercice 4 : Cayley-Hamilton et inverse§

[!example] Énoncé Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$. Utiliser Cayley-Hamilton pour exprimer $A^{-1}$ comme polynôme en $A$.

Solution :

$\chi_A(\lambda) = (1 - \lambda)^2(2 - \lambda) = -\lambda^3 + 4\lambda^2 - 5\lambda + 2$.

Par Cayley-Hamilton : $-A^3 + 4A^2 - 5A + 2I = 0$.

Donc $2I = A^3 - 4A^2 + 5A = A(A^2 - 4A + 5I)$.

Ainsi $A^{-1} = \frac{1}{2}(A^2 - 4A + 5I)$.

On vérifie : $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ 0 & 1 & 3 \ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$, d’où :

$$A^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ 0 & 1 & 3 \ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} + \frac{5}{2}I = \begin{pmatrix} 1 & -1 & \frac{1}{2} \ 0 & 1 & -\frac{1}{2} \ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$