Réduction des Endomorphismes

La réduction des endomorphismes est l’un des chapitres centraux de l’algèbre linéaire en Math Spé. L’objectif est de trouver une base dans laquelle la matrice d’un endomorphisme est la plus simple possible (diagonale, triangulaire, etc.). Ce chapitre a de nombreuses applications en analyse (systèmes différentiels, suites récurrentes) et en géométrie.

1. Rappels fondamentaux§

1.1 Endomorphismes§

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n$ ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).

On rappelle que $\mathcal{L}(E)$ est une $\mathbb{K}$-algèbre de dimension $n^2$, munie de la composition $\circ$ comme loi interne multiplicative.

1.2 Matrice d’un endomorphisme§

Soit $\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)$ une base de $E$. La matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}$ est :

$$\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) = A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$$

où $f(e_j) = \sum_{i=1}^n a_{ij} e_i$.

$$\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = P^{-1} A P$$

Deux matrices $A$ et $B$ sont semblables s’il existe $P$ inversible telle que $B = P^{-1}AP$.

2. Éléments propres§

2.1 Valeurs propres et vecteurs propres§

2.2 Sous-espaces propres§

$$E_\lambda = \ker(f - \lambda \mathrm{Id}) = {x \in E \mid f(x) = \lambda x}$$

3. Polynôme caractéristique§

3.1 Définition et propriétés§

$$\chi_f(\lambda) = \det(f - \lambda \mathrm{Id}) = \det(A - \lambda I_n)$$

C’est un polynôme de degré $n$ en $\lambda$, unitaire au signe $(-1)^n$ près.

On écrit souvent :

$$\chi_f(\lambda) = (-1)^n \lambda^n + (-1)^{n-1} \mathrm{tr}(A) \lambda^{n-1} + \cdots + \det(A)$$

3.2 Multiplicité algébrique et géométrique§

$$1 \leq m_g(\lambda_0) \leq m_a(\lambda_0)$$

4. Polynôme minimal§

5. Théorème de Cayley-Hamilton§

$$\chi_f(f) = 0$$

6. Diagonalisation§

6.1 Condition nécessaire et suffisante§

6.2 Méthode pratique de diagonalisation§

flowchart TD
    A["Calculer le polynôme caractéristique χ_f(λ)"] --> B{"χ_f est-il scindé sur K ?"}
    B -- Non --> C["f n'est pas diagonalisable sur K"]
    B -- Oui --> D["Factoriser χ_f : trouver les valeurs propres λ₁, ..., λₚ<br/>et leurs multiplicités algébriques m_a(λᵢ)"]
    D --> E["Pour chaque λᵢ, calculer<br/>E_λᵢ = ker(f - λᵢ Id)"]
    E --> F{"Pour tout i,<br/>dim E_λᵢ = m_a(λᵢ) ?"}
    F -- Non --> G["f n'est pas diagonalisable"]
    F -- Oui --> H["f est diagonalisable.<br/>Former une base de chaque E_λᵢ.<br/>La réunion donne une base<br/>de diagonalisation P."]
    H --> I["D = P⁻¹AP est diagonale"]

6.3 Exemple complet de diagonalisation§

$$\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I) = -\lambda^3 + 11\lambda^2 - 39\lambda + 45 = -(\lambda - 3)^2(\lambda - 5)$$

Les valeurs propres sont $\lambda_1 = 3$ (multiplicité algébrique 2) et $\lambda_2 = 5$ (multiplicité 1).

Étape 2 : Sous-espaces propres.

$E_3 = \ker(A - 3I)$ : on résout $(A - 3I)x = 0$ :

$$A - 3I = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \ 2 & 2 & -2 \ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \implies E_3 = \mathrm{Vect}\left(\begin{pmatrix} 1 \ -1 \ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}\right)$$

Donc $\dim E_3 = 2 = m_a(3)$. De même, $E_5 = \mathrm{Vect}\left(\begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 1 \end{pmatrix}\right)$.

Conclusion : $A$ est diagonalisable. En posant $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ -1 & 0 & 2 \ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, on a $P^{-1}AP = \mathrm{diag}(3, 3, 5)$.

7. Trigonalisation§

7.1 Théorème de trigonalisation sur $\mathbb{C}$§

$$\begin{pmatrix} \lambda_1 & * \ 0 & B \end{pmatrix}$$

Par hypothèse de récurrence, $B$ est trigonalisable, d’où le résultat.

7.2 Trigonalisation sur $\mathbb{R}$§

8. Sous-espaces caractéristiques§

$$F_\lambda = \ker(f - \lambda \mathrm{Id})^{m_a(\lambda)}$$

9. Applications§

9.1 Calcul de $A^n$§

Si $A = PDP^{-1}$ avec $D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$, alors :

$$A^n = P D^n P^{-1} = P , \mathrm{diag}(\lambda_1^n, \ldots, \lambda_n^n) , P^{-1}$$ $$A^n = P \begin{pmatrix} 3^n & 0 & 0 \ 0 & 3^n & 0 \ 0 & 0 & 5^n \end{pmatrix} P^{-1}$$

Pour une matrice non diagonalisable mais trigonalisable, on écrit $A = D + N$ avec $D$ diagonale et $N$ nilpotente ($DN = ND$), puis on utilise la formule du binôme :

$$A^n = (D + N)^n = \sum_{k=0}^{p} \binom{n}{k} D^{n-k} N^k$$

où $p$ est l’indice de nilpotence de $N$.

9.2 Résolution de systèmes différentiels linéaires§

On considère le système $X'(t) = AX(t)$ avec $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.

Cas diagonalisable : Si $A = PDP^{-1}$, on pose $Y = P^{-1}X$, alors $Y' = DY$ et :

$$Y(t) = \begin{pmatrix} c_1 e^{\lambda_1 t} \ \vdots \ c_n e^{\lambda_n t} \end{pmatrix} \implies X(t) = PY(t)$$

Cas général : on utilise l’exponentielle de matrice $e^{tA} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^k A^k}{k!}$ et la solution est $X(t) = e^{tA} X(0)$.

9.3 Suites récurrentes linéaires§

Soit la suite récurrente $u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n$. On pose $X_n = \begin{pmatrix} u_{n+1} \ u_n \end{pmatrix}$ et $A = \begin{pmatrix} a & b \ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Alors $X_n = A^n X_0$, ce qui ramène au calcul de $A^n$.

$$u_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]$$

10. Résumé des liens entre notions§

flowchart LR
    A["Polynôme caractéristique χ_f"] --> B["Valeurs propres<br/>(racines de χ_f)"]
    B --> C["Sous-espaces propres E_λ"]
    A --> D["Polynôme minimal μ_f"]
    D --> E{"μ_f scindé à<br/>racines simples ?"}
    E -- Oui --> F["f diagonalisable"]
    E -- Non --> G["f non diagonalisable"]
    B --> H["Sous-espaces<br/>caractéristiques F_λ"]
    H --> I["Décomposition<br/>de Dunford"]
    F --> J["Applications :<br/>A^n, syst. diff., suites"]
    G --> K["Trigonalisation<br/>(sur C)"]
    K --> J

11. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Diagonalisation et calcul de puissance§

Solution :

$\chi_A(\lambda) = (5 - \lambda)(-4 - \lambda) + 18 = \lambda^2 - \lambda - 2 = (\lambda - 2)(\lambda + 1)$.

Valeurs propres : $\lambda_1 = 2$, $\lambda_2 = -1$. Comme elles sont distinctes, $A$ est diagonalisable.

$E_2 = \ker(A - 2I) = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$, $E_{-1} = \ker(A + I) = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix}$.

On pose $P = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \ -1 & 2 \end{pmatrix}$.

$$A^n = P \begin{pmatrix} 2^n & 0 \ 0 & (-1)^n \end{pmatrix} P^{-1} = \begin{pmatrix} 2^{n+1} - (-1)^n & -2^{n+1} + 2(-1)^n \ 2^n - (-1)^n & -2^n + 2(-1)^n \end{pmatrix}$$

Vérification : pour $n = 0$, on obtient bien $I_2$, et pour $n = 1$, on retrouve $A$.

Exercice 2 : Polynôme minimal et diagonalisabilité§

Solution :

$\chi_A(\lambda) = (2 - \lambda)^2(3 - \lambda)$. Valeurs propres : $\lambda_1 = 2$ ($m_a = 2$), $\lambda_2 = 3$ ($m_a = 1$).

$E_2 = \ker(A - 2I) = \mathrm{Vect}(e_1)$, donc $\dim E_2 = 1 \neq 2 = m_a(2)$.

$A$ n’est pas diagonalisable.

Pour le polynôme minimal, on vérifie : $(A - 2I)(A - 3I) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0$.

Mais $(A - 2I)^2(A - 3I) = 0$. Donc $\mu_A(\lambda) = (\lambda - 2)^2(\lambda - 3) = \chi_A(\lambda)$.

Ici $\mu_A = \chi_A$, ce qui confirme que $A$ n’est pas diagonalisable (car $\mu_A$ n’est pas scindé à racines simples).

Exercice 3 : Système différentiel§

Solution :

Matrice du système : $A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \ 2 & 1 \end{pmatrix}$.

$\chi_A(\lambda) = \lambda^2 - 5\lambda + 6 = (\lambda - 2)(\lambda - 3)$.

$E_2 = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix}$, $E_3 = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix}$.

Solution générale :

$$\begin{pmatrix} x(t) \ y(t) \end{pmatrix} = c_1 e^{2t} \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix} + c_2 e^{3t} \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix}$$

Soit $x(t) = c_1 e^{2t} + c_2 e^{3t}$ et $y(t) = 2c_1 e^{2t} + c_2 e^{3t}$.

Exercice 4 : Cayley-Hamilton et inverse§

Solution :

$\chi_A(\lambda) = (1 - \lambda)^2(2 - \lambda) = -\lambda^3 + 4\lambda^2 - 5\lambda + 2$.

Par Cayley-Hamilton : $-A^3 + 4A^2 - 5A + 2I = 0$.

Donc $2I = A^3 - 4A^2 + 5A = A(A^2 - 4A + 5I)$.

Ainsi $A^{-1} = \frac{1}{2}(A^2 - 4A + 5I)$.

On vérifie : $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ 0 & 1 & 3 \ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$, d’où :

$$A^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ 0 & 1 & 3 \ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} + \frac{5}{2}I = \begin{pmatrix} 1 & -1 & \frac{1}{2} \ 0 & 1 & -\frac{1}{2} \ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$