Espaces Préhilbertiens

Ce chapitre généralise la notion de géométrie euclidienne à la dimension quelconque (y compris infinie). Il établit les fondements de l’analyse fonctionnelle et a des applications majeures en physique, en traitement du signal et en probabilités.

1. Produit scalaire§

1.1 Définitions§

Définition (Produit scalaire réel)

Soit $E$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel. Un produit scalaire sur $E$ est une forme bilinéaire $\langle \cdot, \cdot \rangle : E \times E \to \mathbb{R}$ qui est :

Symétrique : $\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$ pour tous $x, y \in E$ .
Positive : $\langle x, x \rangle \geq 0$ pour tout $x \in E$ .
Définie : $\langle x, x \rangle = 0 \implies x = 0$ .

Définition (Espace préhilbertien / euclidien)

Un espace préhilbertien réel est un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel muni d’un produit scalaire.
Un espace euclidien est un espace préhilbertien réel de dimension finie.
Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien complet (pour la norme induite).

Exemples fondamentaux

$\mathbb{R}^n$ avec $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i$ (produit scalaire canonique).
$\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})$ avec $\langle f, g \rangle = \int_a^b f(t)g(t) , dt$ .
$\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ avec $\langle A, B \rangle = \mathrm{tr}(A^T B)$ (produit de Frobenius).

1.2 Identités remarquables§

Pour tout espace préhilbertien $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ :

|x + y|^2 = |x|^2 + 2\langle x, y \rangle + |y|^2 \quad \text{(développement)}

\langle x, y \rangle = \frac{1}{2}\left(|x+y|^2 - |x|^2 - |y|^2\right) \quad \text{(identité de polarisation)}

|x+y|^2 + |x-y|^2 = 2(|x|^2 + |y|^2) \quad \text{(identité du parallélogramme)}

Remarque

L’identité du parallélogramme caractérise les normes issues d’un produit scalaire : une norme $|\cdot|$ provient d’un produit scalaire si et seulement si elle vérifie l’identité du parallélogramme.

2. Norme et inégalités fondamentales§

2.1 Norme associée§

Définition

La norme associée au produit scalaire est $|x| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$ .

La distance associée est $d(x, y) = |x - y|$ .

2.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz§

Théorème (Cauchy-Schwarz)

Pour tous $x, y \in E$ :

|\langle x, y \rangle| \leq |x| \cdot |y|

avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.

Démonstration

Pour $y \neq 0$ , on considère la fonction $\varphi(t) = |x - ty|^2 = |x|^2 - 2t\langle x, y\rangle + t^2|y|^2 \geq 0$ pour tout $t \in \mathbb{R}$ .

C’est un trinôme en $t$ qui est positif ou nul, donc son discriminant est négatif ou nul :

\Delta = 4\langle x, y\rangle^2 - 4|x|^2|y|^2 \leq 0

D’où $|\langle x, y\rangle| \leq |x| \cdot |y|$ .

Cas d’égalité : $\Delta = 0$ signifie que $\varphi$ s’annule, donc $x = t_0 y$ pour un certain $t_0$ .

2.3 Inégalité triangulaire§

Théorème (Inégalité triangulaire)

Pour tous $x, y \in E$ :

|x + y| \leq |x| + |y|

avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont positivement colinéaires.

3. Orthogonalité§

3.1 Définitions§

Définition

Deux vecteurs $x, y \in E$ sont orthogonaux si $\langle x, y \rangle = 0$ . On note $x \perp y$ .

L’orthogonal d’une partie $A \subset E$ est :

A^\perp = {x \in E \mid \forall a \in A, , \langle x, a \rangle = 0}

Propriétés de l’orthogonal

$A^\perp$ est toujours un sous-espace vectoriel fermé de $E$ .
$A \subset B \implies B^\perp \subset A^\perp$ .
$A \subset (A^\perp)^\perp$ .
$A^\perp = (\mathrm{Vect}(A))^\perp$ .

3.2 Théorème de Pythagore§

Théorème (Pythagore)

Si $x \perp y$ , alors $|x + y|^2 = |x|^2 + |y|^2$ .

Plus généralement, si $x_1, \ldots, x_p$ sont deux à deux orthogonaux :

\left|\sum_{i=1}^p x_i\right|^2 = \sum_{i=1}^p |x_i|^2

3.3 Supplémentaire orthogonal en dimension finie§

Théorème

Soit $E$ un espace euclidien et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ . Alors :

E = F \oplus F^\perp \quad \text{et} \quad \dim F^\perp = \dim E - \dim F

En dimension infinie

Ce résultat ne se généralise pas directement en dimension infinie pour les espaces préhilbertiens quelconques. Il faut la complétude (espaces de Hilbert) pour obtenir $\overline{F} \oplus F^\perp = E$ .

4. Projection orthogonale§

4.1 En dimension finie§

Définition

Soit $F$ un sous-espace vectoriel d’un espace euclidien $E$ . La projection orthogonale sur $F$ est l’unique application linéaire $p_F : E \to E$ telle que :

\forall x \in E, \quad x = p_F(x) + (x - p_F(x)) \quad \text{avec } p_F(x) \in F \text{ et } x - p_F(x) \in F^\perp

Caractérisation de la projection orthogonale

Le projeté orthogonal $p_F(x)$ est l’unique élément de $F$ qui minimise la distance de $x$ à $F$ :

|x - p_F(x)| = \inf_{y \in F} |x - y| = d(x, F)

4.2 Théorème de projection sur un convexe fermé§

Théorème (Projection sur un convexe fermé)

Soit $H$ un espace de Hilbert réel et $C$ un convexe fermé non vide de $H$ . Pour tout $x \in H$ , il existe un unique $p_C(x) \in C$ tel que :

|x - p_C(x)| = \inf_{y \in C} |x - y| = d(x, C)

De plus, $p_C(x)$ est caractérisé par :

p_C(x) \in C \quad \text{et} \quad \forall y \in C, \quad \langle x - p_C(x), y - p_C(x) \rangle \leq 0

5. Bases orthonormales et procédé de Gram-Schmidt§

5.1 Familles orthonormales§

Définition

Une famille $(e_1, \ldots, e_p)$ de $E$ est orthonormale (ou orthonormée) si :

\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = j \ 0 & \text{si } i \neq j \end{cases}

Propriété

Toute famille orthonormale est libre. En particulier, dans un espace euclidien de dimension $n$ , une famille orthonormale de $n$ vecteurs est une base.

5.2 Coordonnées dans une base orthonormale§

Si $\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)$ est une base orthonormale (BON), alors pour tout $x \in E$ :

x = \sum_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle , e_i

et $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i$ où $x_i = \langle x, e_i \rangle$ .

5.3 Procédé de Gram-Schmidt§

Théorème (Gram-Schmidt)

Soit $(v_1, \ldots, v_p)$ une famille libre de $E$ . Il existe une unique famille orthonormale $(e_1, \ldots, e_p)$ telle que :

Pour tout $k \in {1, \ldots, p}$ : $\mathrm{Vect}(e_1, \ldots, e_k) = \mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_k)$ .
Pour tout $k$ : $\langle e_k, v_k \rangle > 0$ .

Algorithme :

\tilde{e}_1 = v_1, \quad e_1 = \frac{\tilde{e}_1}{|\tilde{e}_1|}

Pour $k \geq 2$ :

\tilde{e}_k = v_k - \sum_{i=1}^{k-1} \langle v_k, e_i \rangle , e_i, \quad e_k = \frac{\tilde{e}_k}{|\tilde{e}_k|}

Exemple

Orthonormaliser $(v_1, v_2, v_3) = ((1,1,0), (1,0,1), (0,1,1))$ dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique.

$e_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)$ .

$\tilde{e}_2 = (1,0,1) - \langle (1,0,1), e_1 \rangle e_1 = (1,0,1) - \frac{1}{2}(1,1,0) = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1)$ .

$e_2 = \frac{1}{\sqrt{3/2}}(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1) = \frac{1}{\sqrt{6}}(1, -1, 2)$ .

$\tilde{e}_3 = (0,1,1) - \langle (0,1,1), e_1\rangle e_1 - \langle (0,1,1), e_2 \rangle e_2 = \frac{1}{3}(-1, 1, 1)$ (après calcul).

$e_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}(-1, 1, 1)$ .

6. Adjoint d’un endomorphisme§

Définition

Soit $E$ un espace euclidien et $f \in \mathcal{L}(E)$ . L’adjoint de $f$ , noté $f^*$ , est l’unique endomorphisme de $E$ tel que :

\forall x, y \in E, \quad \langle f(x), y \rangle = \langle x, f^*(y) \rangle

Propriétés

L’adjoint existe et est unique (théorème de Riesz en dimension finie).
$(f^*)^* = f$ .
$(f \circ g)^* = g^* \circ f^*$ .
En BON, la matrice de $f^*$ est la transposée de la matrice de $f$ : $\mathrm{Mat}(f^*) = \mathrm{Mat}(f)^T$ .

7. Endomorphismes symétriques et théorème spectral§

7.1 Endomorphismes symétriques§

Définition

Un endomorphisme $f$ d’un espace euclidien $E$ est symétrique (ou autoadjoint) si $f^* = f$ , c’est-à-dire :

\forall x, y \in E, \quad \langle f(x), y \rangle = \langle x, f(y) \rangle

En BON, cela correspond aux matrices symétriques : $A^T = A$ .

Propriétés des endomorphismes symétriques

Les valeurs propres d’un endomorphisme symétrique sont réelles.
Les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

Démonstration (valeurs propres réelles)

Soit $\lambda$ valeur propre complexe de $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ , et $X \in \mathbb{C}^n \setminus {0}$ un vecteur propre. Alors $AX = \lambda X$ implique :

\overline{X}^T A X = \lambda \overline{X}^T X

Or $\overline{X}^T A X = \overline{X}^T A^T X = \overline{AX}^T X = \overline{\lambda} , \overline{X}^T X$ . Comme $\overline{X}^T X = \sum |x_i|^2 > 0$ , on a $\lambda = \overline{\lambda}$ , donc $\lambda \in \mathbb{R}$ .

7.2 Théorème spectral§

Théorème spectral (version euclidienne)

Tout endomorphisme symétrique d’un espace euclidien est diagonalisable en base orthonormale.

De manière équivalente : pour toute matrice symétrique réelle $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ , il existe une matrice orthogonale $P \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ telle que :

P^T A P = P^{-1} A P = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)

où $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ sont les valeurs propres de $A$ (réelles).

Esquisse de démonstration

Par récurrence sur $n = \dim E$ .

$A$ a au moins une valeur propre réelle $\lambda_1$ (car $\chi_A$ est de degré $n$ et les valeurs propres complexes sont réelles par la propriété ci-dessus).
Soit $e_1$ un vecteur propre unitaire associé à $\lambda_1$ . Alors $F = (e_1)^\perp$ est stable par $f$ (car $f$ est symétrique : si $\langle x, e_1 \rangle = 0$ , alors $\langle f(x), e_1 \rangle = \langle x, f(e_1) \rangle = \lambda_1 \langle x, e_1 \rangle = 0$ ).
La restriction $f|_F$ est un endomorphisme symétrique de l’espace euclidien $F$ de dimension $n-1$ . On conclut par hypothèse de récurrence.

flowchart TD
    A["Matrice symétrique A = Aᵀ"] --> B["Valeurs propres toutes réelles"]
    B --> C["Sous-espaces propres<br/>deux à deux orthogonaux"]
    C --> D["Appliquer Gram-Schmidt<br/>dans chaque sous-espace propre"]
    D --> E["Obtenir une BON<br/>de diagonalisation"]
    E --> F["P orthogonale : P⁻¹ = Pᵀ<br/>D = PᵀAP diagonale"]

8. Endomorphismes orthogonaux§

Définition

Un endomorphisme $f$ d’un espace euclidien est orthogonal si $f$ conserve le produit scalaire :

\forall x, y \in E, \quad \langle f(x), f(y) \rangle = \langle x, y \rangle

De manière équivalente : $f^* \circ f = f \circ f^* = \mathrm{Id}$ .

Caractérisations des endomorphismes orthogonaux

Les propriétés suivantes sont équivalentes :

$f$ est orthogonal.
$f$ conserve la norme : $|f(x)| = |x|$ pour tout $x$ .
$f$ envoie toute BON sur une BON.
La matrice de $f$ en BON est orthogonale : $A^T A = I_n$ (i.e. $A^{-1} = A^T$ ).

Propriétés

$\det(f) = \pm 1$ (car $\det(A^T A) = \det(A)^2 = 1$ ).
Les valeurs propres réelles sont $\pm 1$ .
Le groupe orthogonal $\mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ est l’ensemble des matrices orthogonales.
$SO_n(\mathbb{R}) = {A \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R}) \mid \det A = 1}$ est le groupe spécial orthogonal (rotations).

Classification en petite dimension§

En dimension 2 : toute matrice de $\mathcal{O}_2(\mathbb{R})$ est soit :

Une rotation : $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ ( $\det = 1$ ).
Une réflexion : $S_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix}$ ( $\det = -1$ ).

En dimension 3 : toute matrice de $SO_3(\mathbb{R})$ est une rotation d’axe et d’angle $\theta$ . Le théorème d’Euler garantit qu’il existe toujours un axe (vecteur propre pour $\lambda = 1$ ).

9. Formes bilinéaires et quadratiques§

9.1 Formes bilinéaires symétriques§

Définition

Une forme bilinéaire symétrique sur $E$ est une application $\varphi : E \times E \to \mathbb{R}$ bilinéaire et symétrique. Elle est représentée dans une base $\mathcal{B}$ par une matrice symétrique $S$ telle que :

\varphi(x, y) = X^T S Y

où $X, Y$ sont les vecteurs-colonnes de coordonnées.

9.2 Formes quadratiques§

Définition

La forme quadratique associée à $\varphi$ est $q(x) = \varphi(x, x)$ .

On retrouve $\varphi$ par polarisation : $\varphi(x, y) = \frac{1}{2}[q(x+y) - q(x) - q(y)]$ .

9.3 Classification : loi d’inertie de Sylvester§

Théorème (Sylvester)

Soit $q$ une forme quadratique sur un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $E$ de dimension $n$ . Il existe une base $(e_1, \ldots, e_n)$ de $E$ dans laquelle :

q(x) = \sum_{i=1}^{p} x_i^2 - \sum_{i=p+1}^{p+q_-} x_i^2

Le couple $(p, q_-)$ est appelé la signature de $q$ . Il ne dépend pas de la base choisie.

Conséquences

$q$ est positive $\iff$ $q_- = 0$ (signature $(p, 0)$ ).
$q$ est définie positive $\iff$ signature $(n, 0)$ $\iff$ $q$ est un produit scalaire.
$q$ est non dégénérée $\iff$ $p + q_- = n$ (pas de composante nulle).
Le rang de $q$ est $p + q_-$ .

Méthode pratique : réduction de Gauss

Pour trouver la signature, on procède par complétion du carré (algorithme de Gauss) :

On cherche un terme carré $x_i^2$ dans $q$ .
On complète le carré en $x_i$ .
On itère sur les variables restantes.
Si aucun carré n’apparaît, on utilise l’identité $2xy = (x+y)^2 - x^2 - y^2$ .

10. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Orthonormalisation et projection§

Énoncé

Dans $\mathbb{R}^3$ euclidien canonique, soit $F = \mathrm{Vect}((1, 1, 0), (1, 0, 1))$ .

Déterminer une BON de $F$ .
Calculer la projection orthogonale de $v = (1, 2, 3)$ sur $F$ .

Solution :

1. On applique Gram-Schmidt à $(v_1, v_2) = ((1,1,0), (1,0,1))$ .

$e_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0)$ .

$\tilde{e}_2 = v_2 - \langle v_2, e_1 \rangle e_1 = (1,0,1) - \frac{1}{2}(1,1,0) = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1)$ .

$|\tilde{e}_2| = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ . Donc $e_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1, -1, 2)$ .

2. $p_F(v) = \langle v, e_1 \rangle e_1 + \langle v, e_2 \rangle e_2$ .

$\langle v, e_1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(1 + 2) = \frac{3}{\sqrt{2}}$ .

$\langle v, e_2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{6}}(1 - 2 + 6) = \frac{5}{\sqrt{6}}$ .

p_F(v) = \frac{3}{2}(1,1,0) + \frac{5}{6}(1,-1,2) = \left(\frac{3}{2} + \frac{5}{6}, \frac{3}{2} - \frac{5}{6}, \frac{10}{6}\right) = \left(\frac{7}{3}, \frac{2}{3}, \frac{5}{3}\right)

Vérification : $v - p_F(v) = (-\frac{4}{3}, \frac{4}{3}, \frac{4}{3})$ , et on vérifie que ce vecteur est orthogonal à $v_1$ et $v_2$ .

Exercice 2 : Diagonalisation en BON d’une matrice symétrique§

Énoncé

Diagonaliser en base orthonormale la matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \end{pmatrix}$ .

Solution :

$\chi_A(\lambda) = (2 - \lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda - 1)(\lambda - 3)$ .

$E_1 = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix}$ , $E_3 = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix}$ .

Les sous-espaces propres sont orthogonaux (vérifié : $\langle (1,-1), (1,1) \rangle = 0$ ).

On normalise : $e_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -1)$ , $e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)$ .

P = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \ -1 & 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{O}_2(\mathbb{R}), \quad P^T A P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 3 \end{pmatrix}

Exercice 3 : Endomorphismes orthogonaux§

Énoncé

Soit $A \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ . Montrer que $\det(A) = \pm 1$ et que si $\lambda$ est valeur propre réelle de $A$ , alors $\lambda = \pm 1$ .

Solution :

$A^T A = I_n$ , donc $\det(A^T)\det(A) = \det(I_n) = 1$ . Comme $\det(A^T) = \det(A)$ , on a $\det(A)^2 = 1$ , d’où $\det(A) = \pm 1$ .

Soit $\lambda \in \mathbb{R}$ une valeur propre de $A$ , et $x \neq 0$ tel que $Ax = \lambda x$ . Alors :

|x|^2 = x^T x = x^T A^T A x = (Ax)^T(Ax) = \lambda^2 x^T x = \lambda^2 |x|^2

Comme $|x|^2 > 0$ , on a $\lambda^2 = 1$ , donc $\lambda = \pm 1$ .

Exercice 4 : Signature d’une forme quadratique§

Énoncé

Déterminer la signature de $q(x, y, z) = x^2 + 2xy + 2xz + 2y^2 + 2yz + z^2$ sur $\mathbb{R}^3$ .

Solution :

On procède par complétion du carré (méthode de Gauss).

$q = (x + y + z)^2 - y^2 - z^2 - 2yz + 2y^2 + 2yz + z^2$

$= (x + y + z)^2 + y^2$

En posant $u = x + y + z$ , $v = y$ , $w = z$ , on obtient $q = u^2 + v^2$ .

La signature est $(2, 0)$ et le rang est $2$ . La forme quadratique est positive mais non définie (car le rang est inférieur à $n = 3$ ).

Le noyau est ${(x,y,z) \mid x + y + z = 0 \text{ et } y = 0} = \mathrm{Vect}((1, 0, -1))$ .

Espaces Préhilbertiens

1. Produit scalaire§

1.1 Définitions§

1.2 Identités remarquables§

2. Norme et inégalités fondamentales§

2.1 Norme associée§

2.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz§

2.3 Inégalité triangulaire§

3. Orthogonalité§

3.1 Définitions§

3.2 Théorème de Pythagore§

3.3 Supplémentaire orthogonal en dimension finie§

4. Projection orthogonale§

4.1 En dimension finie§

4.2 Théorème de projection sur un convexe fermé§

5. Bases orthonormales et procédé de Gram-Schmidt§

5.1 Familles orthonormales§

5.2 Coordonnées dans une base orthonormale§

5.3 Procédé de Gram-Schmidt§

6. Adjoint d’un endomorphisme§

7. Endomorphismes symétriques et théorème spectral§

7.1 Endomorphismes symétriques§

7.2 Théorème spectral§

8. Endomorphismes orthogonaux§

Classification en petite dimension§

9. Formes bilinéaires et quadratiques§

9.1 Formes bilinéaires symétriques§

9.2 Formes quadratiques§

9.3 Classification : loi d’inertie de Sylvester§

10. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Orthonormalisation et projection§

Exercice 2 : Diagonalisation en BON d’une matrice symétrique§

Exercice 3 : Endomorphismes orthogonaux§

Exercice 4 : Signature d’une forme quadratique§

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