Espaces Préhilbertiens

Ce chapitre généralise la notion de géométrie euclidienne à la dimension quelconque (y compris infinie). Il établit les fondements de l’analyse fonctionnelle et a des applications majeures en physique, en traitement du signal et en probabilités.

1. Produit scalaire§

1.1 Définitions§

[!abstract] Définition (Produit scalaire réel) Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel. Un produit scalaire sur $E$ est une forme bilinéaire $\langle \cdot, \cdot \rangle : E \times E \to \mathbb{R}$ qui est :

1. Symétrique : $\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$ pour tous $x, y \in E$.
2. Positive : $\langle x, x \rangle \geq 0$ pour tout $x \in E$.
3. Définie : $\langle x, x \rangle = 0 \implies x = 0$.

[!abstract] Définition (Espace préhilbertien / euclidien)

• Un espace préhilbertien réel est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel muni d’un produit scalaire.
• Un espace euclidien est un espace préhilbertien réel de dimension finie.
• Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien complet (pour la norme induite).

[!example] Exemples fondamentaux

1. $\mathbb{R}^n$ avec $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i$ (produit scalaire canonique).
2. $\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})$ avec $\langle f, g \rangle = \int_a^b f(t)g(t) , dt$.
3. $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ avec $\langle A, B \rangle = \mathrm{tr}(A^T B)$ (produit de Frobenius).

1.2 Identités remarquables§

Pour tout espace préhilbertien $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ :

$$|x + y|^2 = |x|^2 + 2\langle x, y \rangle + |y|^2 \quad \text{(développement)}$$

$$\langle x, y \rangle = \frac{1}{2}\left(|x+y|^2 - |x|^2 - |y|^2\right) \quad \text{(identité de polarisation)}$$

$$|x+y|^2 + |x-y|^2 = 2(|x|^2 + |y|^2) \quad \text{(identité du parallélogramme)}$$

[!tip] Remarque L’identité du parallélogramme caractérise les normes issues d’un produit scalaire : une norme $|\cdot|$ provient d’un produit scalaire si et seulement si elle vérifie l’identité du parallélogramme.

2. Norme et inégalités fondamentales§

2.1 Norme associée§

[!abstract] Définition La norme associée au produit scalaire est $|x| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$.

La distance associée est $d(x, y) = |x - y|$.

2.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz§

[!abstract] Théorème (Cauchy-Schwarz) Pour tous $x, y \in E$ : $$|\langle x, y \rangle| \leq |x| \cdot |y|$$ avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.

[!tip] Démonstration Pour $y \neq 0$, on considère la fonction $\varphi(t) = |x - ty|^2 = |x|^2 - 2t\langle x, y\rangle + t^2|y|^2 \geq 0$ pour tout $t \in \mathbb{R}$.

C’est un trinôme en $t$ qui est positif ou nul, donc son discriminant est négatif ou nul : $$\Delta = 4\langle x, y\rangle^2 - 4|x|^2|y|^2 \leq 0$$

D’où $|\langle x, y\rangle| \leq |x| \cdot |y|$.

Cas d’égalité : $\Delta = 0$ signifie que $\varphi$ s’annule, donc $x = t_0 y$ pour un certain $t_0$.

2.3 Inégalité triangulaire§

[!abstract] Théorème (Inégalité triangulaire) Pour tous $x, y \in E$ : $$|x + y| \leq |x| + |y|$$ avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont positivement colinéaires.

3. Orthogonalité§

3.1 Définitions§

[!abstract] Définition Deux vecteurs $x, y \in E$ sont orthogonaux si $\langle x, y \rangle = 0$. On note $x \perp y$.

L’orthogonal d’une partie $A \subset E$ est : $$A^\perp = {x \in E \mid \forall a \in A, , \langle x, a \rangle = 0}$$

[!important] Propriétés de l’orthogonal

1. $A^\perp$ est toujours un sous-espace vectoriel fermé de $E$.
2. $A \subset B \implies B^\perp \subset A^\perp$.
3. $A \subset (A^\perp)^\perp$.
4. $A^\perp = (\mathrm{Vect}(A))^\perp$.

3.2 Théorème de Pythagore§

[!abstract] Théorème (Pythagore) Si $x \perp y$, alors $|x + y|^2 = |x|^2 + |y|^2$.

Plus généralement, si $x_1, \ldots, x_p$ sont deux à deux orthogonaux : $$\left|\sum_{i=1}^p x_i\right|^2 = \sum_{i=1}^p |x_i|^2$$

3.3 Supplémentaire orthogonal en dimension finie§

[!abstract] Théorème Soit $E$ un espace euclidien et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Alors : $$E = F \oplus F^\perp \quad \text{et} \quad \dim F^\perp = \dim E - \dim F$$

[!warning] En dimension infinie Ce résultat ne se généralise pas directement en dimension infinie pour les espaces préhilbertiens quelconques. Il faut la complétude (espaces de Hilbert) pour obtenir $\overline{F} \oplus F^\perp = E$.

4. Projection orthogonale§

4.1 En dimension finie§

[!abstract] Définition Soit $F$ un sous-espace vectoriel d’un espace euclidien $E$. La projection orthogonale sur $F$ est l’unique application linéaire $p_F : E \to E$ telle que : $$\forall x \in E, \quad x = p_F(x) + (x - p_F(x)) \quad \text{avec } p_F(x) \in F \text{ et } x - p_F(x) \in F^\perp$$

[!important] Caractérisation de la projection orthogonale Le projeté orthogonal $p_F(x)$ est l’unique élément de $F$ qui minimise la distance de $x$ à $F$ : $$|x - p_F(x)| = \inf_{y \in F} |x - y| = d(x, F)$$

4.2 Théorème de projection sur un convexe fermé§

[!abstract] Théorème (Projection sur un convexe fermé) Soit $H$ un espace de Hilbert réel et $C$ un convexe fermé non vide de $H$. Pour tout $x \in H$, il existe un unique $p_C(x) \in C$ tel que : $$|x - p_C(x)| = \inf_{y \in C} |x - y| = d(x, C)$$

De plus, $p_C(x)$ est caractérisé par : $$p_C(x) \in C \quad \text{et} \quad \forall y \in C, \quad \langle x - p_C(x), y - p_C(x) \rangle \leq 0$$

5. Bases orthonormales et procédé de Gram-Schmidt§

5.1 Familles orthonormales§

[!abstract] Définition Une famille $(e_1, \ldots, e_p)$ de $E$ est orthonormale (ou orthonormée) si : $$\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = j \ 0 & \text{si } i \neq j \end{cases}$$

[!important] Propriété Toute famille orthonormale est libre. En particulier, dans un espace euclidien de dimension $n$, une famille orthonormale de $n$ vecteurs est une base.

5.2 Coordonnées dans une base orthonormale§

Si $\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)$ est une base orthonormale (BON), alors pour tout $x \in E$ :

$$x = \sum_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle , e_i$$

et $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i$ où $x_i = \langle x, e_i \rangle$.

5.3 Procédé de Gram-Schmidt§

[!abstract] Théorème (Gram-Schmidt) Soit $(v_1, \ldots, v_p)$ une famille libre de $E$. Il existe une unique famille orthonormale $(e_1, \ldots, e_p)$ telle que :

1. Pour tout $k \in {1, \ldots, p}$ : $\mathrm{Vect}(e_1, \ldots, e_k) = \mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_k)$.
2. Pour tout $k$ : $\langle e_k, v_k \rangle > 0$.

Algorithme :

$$\tilde{e}_1 = v_1, \quad e_1 = \frac{\tilde{e}_1}{|\tilde{e}_1|}$$

Pour $k \geq 2$ :

$$\tilde{e}k = v_k - \sum{i=1}^{k-1} \langle v_k, e_i \rangle , e_i, \quad e_k = \frac{\tilde{e}_k}{|\tilde{e}_k|}$$

[!example] Exemple Orthonormaliser $(v_1, v_2, v_3) = ((1,1,0), (1,0,1), (0,1,1))$ dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique.

$e_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)$.

$\tilde{e}_2 = (1,0,1) - \langle (1,0,1), e_1 \rangle e_1 = (1,0,1) - \frac{1}{2}(1,1,0) = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1)$.

$e_2 = \frac{1}{\sqrt{3/2}}(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1) = \frac{1}{\sqrt{6}}(1, -1, 2)$.

$\tilde{e}_3 = (0,1,1) - \langle (0,1,1), e_1\rangle e_1 - \langle (0,1,1), e_2 \rangle e_2 = \frac{1}{3}(-1, 1, 1)$ (après calcul).

$e_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}(-1, 1, 1)$.

6. Adjoint d’un endomorphisme§

[!abstract] Définition Soit $E$ un espace euclidien et $f \in \mathcal{L}(E)$. L’adjoint de $f$, noté $f^$, est l’unique endomorphisme de $E$ tel que : $$\forall x, y \in E, \quad \langle f(x), y \rangle = \langle x, f^(y) \rangle$$

[!important] Propriétés

1. L’adjoint existe et est unique (théorème de Riesz en dimension finie).
2. $(f^)^ = f$.
3. $(f \circ g)^* = g^* \circ f^*$.
4. En BON, la matrice de $f^$ est la transposée de la matrice de $f$ : $\mathrm{Mat}(f^) = \mathrm{Mat}(f)^T$.

7. Endomorphismes symétriques et théorème spectral§

7.1 Endomorphismes symétriques§

[!abstract] Définition Un endomorphisme $f$ d’un espace euclidien $E$ est symétrique (ou autoadjoint) si $f^* = f$, c’est-à-dire : $$\forall x, y \in E, \quad \langle f(x), y \rangle = \langle x, f(y) \rangle$$

En BON, cela correspond aux matrices symétriques : $A^T = A$.

[!important] Propriétés des endomorphismes symétriques

1. Les valeurs propres d’un endomorphisme symétrique sont réelles.
2. Les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

[!tip] Démonstration (valeurs propres réelles) Soit $\lambda$ valeur propre complexe de $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$, et $X \in \mathbb{C}^n \setminus {0}$ un vecteur propre. Alors $AX = \lambda X$ implique : $$\overline{X}^T A X = \lambda \overline{X}^T X$$ Or $\overline{X}^T A X = \overline{X}^T A^T X = \overline{AX}^T X = \overline{\lambda} , \overline{X}^T X$. Comme $\overline{X}^T X = \sum |x_i|^2 > 0$, on a $\lambda = \overline{\lambda}$, donc $\lambda \in \mathbb{R}$.

7.2 Théorème spectral§

[!abstract] Théorème spectral (version euclidienne) Tout endomorphisme symétrique d’un espace euclidien est diagonalisable en base orthonormale.

De manière équivalente : pour toute matrice symétrique réelle $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$, il existe une matrice orthogonale $P \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ telle que : $$P^T A P = P^{-1} A P = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$$ où $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ sont les valeurs propres de $A$ (réelles).

[!tip] Esquisse de démonstration Par récurrence sur $n = \dim E$.

1. $A$ a au moins une valeur propre réelle $\lambda_1$ (car $\chi_A$ est de degré $n$ et les valeurs propres complexes sont réelles par la propriété ci-dessus).
2. Soit $e_1$ un vecteur propre unitaire associé à $\lambda_1$. Alors $F = (e_1)^\perp$ est stable par $f$ (car $f$ est symétrique : si $\langle x, e_1 \rangle = 0$, alors $\langle f(x), e_1 \rangle = \langle x, f(e_1) \rangle = \lambda_1 \langle x, e_1 \rangle = 0$).
3. La restriction $f|_F$ est un endomorphisme symétrique de l’espace euclidien $F$ de dimension $n-1$. On conclut par hypothèse de récurrence.

flowchart TD
    A["Matrice symétrique A = Aᵀ"] --> B["Valeurs propres toutes réelles"]
    B --> C["Sous-espaces propres<br/>deux à deux orthogonaux"]
    C --> D["Appliquer Gram-Schmidt<br/>dans chaque sous-espace propre"]
    D --> E["Obtenir une BON<br/>de diagonalisation"]
    E --> F["P orthogonale : P⁻¹ = Pᵀ<br/>D = PᵀAP diagonale"]

8. Endomorphismes orthogonaux§

[!abstract] Définition Un endomorphisme $f$ d’un espace euclidien est orthogonal si $f$ conserve le produit scalaire : $$\forall x, y \in E, \quad \langle f(x), f(y) \rangle = \langle x, y \rangle$$

De manière équivalente : $f^* \circ f = f \circ f^* = \mathrm{Id}$.

[!important] Caractérisations des endomorphismes orthogonaux Les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. $f$ est orthogonal.
2. $f$ conserve la norme : $|f(x)| = |x|$ pour tout $x$.
3. $f$ envoie toute BON sur une BON.
4. La matrice de $f$ en BON est orthogonale : $A^T A = I_n$ (i.e. $A^{-1} = A^T$).

[!important] Propriétés

• $\det(f) = \pm 1$ (car $\det(A^T A) = \det(A)^2 = 1$).
• Les valeurs propres réelles sont $\pm 1$.
• Le groupe orthogonal $\mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ est l’ensemble des matrices orthogonales.
• $SO_n(\mathbb{R}) = {A \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R}) \mid \det A = 1}$ est le groupe spécial orthogonal (rotations).

Classification en petite dimension§

En dimension 2 : toute matrice de $\mathcal{O}_2(\mathbb{R})$ est soit :

• Une rotation : $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ ($\det = 1$).
• Une réflexion : $S_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix}$ ($\det = -1$).

En dimension 3 : toute matrice de $SO_3(\mathbb{R})$ est une rotation d’axe et d’angle $\theta$. Le théorème d’Euler garantit qu’il existe toujours un axe (vecteur propre pour $\lambda = 1$).

9. Formes bilinéaires et quadratiques§

9.1 Formes bilinéaires symétriques§

[!abstract] Définition Une forme bilinéaire symétrique sur $E$ est une application $\varphi : E \times E \to \mathbb{R}$ bilinéaire et symétrique. Elle est représentée dans une base $\mathcal{B}$ par une matrice symétrique $S$ telle que : $$\varphi(x, y) = X^T S Y$$ où $X, Y$ sont les vecteurs-colonnes de coordonnées.

9.2 Formes quadratiques§

[!abstract] Définition La forme quadratique associée à $\varphi$ est $q(x) = \varphi(x, x)$.

On retrouve $\varphi$ par polarisation : $\varphi(x, y) = \frac{1}{2}[q(x+y) - q(x) - q(y)]$.

9.3 Classification : loi d’inertie de Sylvester§

[!abstract] Théorème (Sylvester) Soit $q$ une forme quadratique sur un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E$ de dimension $n$. Il existe une base $(e_1, \ldots, e_n)$ de $E$ dans laquelle : $$q(x) = \sum_{i=1}^{p} x_i^2 - \sum_{i=p+1}^{p+q_-} x_i^2$$

Le couple $(p, q_-)$ est appelé la signature de $q$. Il ne dépend pas de la base choisie.

[!important] Conséquences

• $q$ est positive $\iff$ $q_- = 0$ (signature $(p, 0)$).
• $q$ est définie positive $\iff$ signature $(n, 0)$ $\iff$ $q$ est un produit scalaire.
• $q$ est non dégénérée $\iff$ $p + q_- = n$ (pas de composante nulle).
• Le rang de $q$ est $p + q_-$.

[!tip] Méthode pratique : réduction de Gauss Pour trouver la signature, on procède par complétion du carré (algorithme de Gauss) :

1. On cherche un terme carré $x_i^2$ dans $q$.
2. On complète le carré en $x_i$.
3. On itère sur les variables restantes.
4. Si aucun carré n’apparaît, on utilise l’identité $2xy = (x+y)^2 - x^2 - y^2$.

10. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Orthonormalisation et projection§

[!example] Énoncé Dans $\mathbb{R}^3$ euclidien canonique, soit $F = \mathrm{Vect}((1, 1, 0), (1, 0, 1))$.

1. Déterminer une BON de $F$.
2. Calculer la projection orthogonale de $v = (1, 2, 3)$ sur $F$.

Solution :

1. On applique Gram-Schmidt à $(v_1, v_2) = ((1,1,0), (1,0,1))$.

$e_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0)$.

$\tilde{e}_2 = v_2 - \langle v_2, e_1 \rangle e_1 = (1,0,1) - \frac{1}{2}(1,1,0) = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1)$.

$|\tilde{e}_2| = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{3}{2}}$. Donc $e_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1, -1, 2)$.

2. $p_F(v) = \langle v, e_1 \rangle e_1 + \langle v, e_2 \rangle e_2$.

$\langle v, e_1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(1 + 2) = \frac{3}{\sqrt{2}}$.

$\langle v, e_2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{6}}(1 - 2 + 6) = \frac{5}{\sqrt{6}}$.

$$p_F(v) = \frac{3}{2}(1,1,0) + \frac{5}{6}(1,-1,2) = \left(\frac{3}{2} + \frac{5}{6}, \frac{3}{2} - \frac{5}{6}, \frac{10}{6}\right) = \left(\frac{7}{3}, \frac{2}{3}, \frac{5}{3}\right)$$

Vérification : $v - p_F(v) = (-\frac{4}{3}, \frac{4}{3}, \frac{4}{3})$, et on vérifie que ce vecteur est orthogonal à $v_1$ et $v_2$.

Exercice 2 : Diagonalisation en BON d’une matrice symétrique§

[!example] Énoncé Diagonaliser en base orthonormale la matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \end{pmatrix}$.

Solution :

$\chi_A(\lambda) = (2 - \lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda - 1)(\lambda - 3)$.

$E_1 = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix}$, $E_3 = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix}$.

Les sous-espaces propres sont orthogonaux (vérifié : $\langle (1,-1), (1,1) \rangle = 0$).

On normalise : $e_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -1)$, $e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)$.

$$P = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \ -1 & 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{O}_2(\mathbb{R}), \quad P^T A P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 3 \end{pmatrix}$$

Exercice 3 : Endomorphismes orthogonaux§

[!example] Énoncé Soit $A \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $\det(A) = \pm 1$ et que si $\lambda$ est valeur propre réelle de $A$, alors $\lambda = \pm 1$.

Solution :

$A^T A = I_n$, donc $\det(A^T)\det(A) = \det(I_n) = 1$. Comme $\det(A^T) = \det(A)$, on a $\det(A)^2 = 1$, d’où $\det(A) = \pm 1$.

Soit $\lambda \in \mathbb{R}$ une valeur propre de $A$, et $x \neq 0$ tel que $Ax = \lambda x$. Alors :

$$|x|^2 = x^T x = x^T A^T A x = (Ax)^T(Ax) = \lambda^2 x^T x = \lambda^2 |x|^2$$

Comme $|x|^2 > 0$, on a $\lambda^2 = 1$, donc $\lambda = \pm 1$.

Exercice 4 : Signature d’une forme quadratique§

[!example] Énoncé Déterminer la signature de $q(x, y, z) = x^2 + 2xy + 2xz + 2y^2 + 2yz + z^2$ sur $\mathbb{R}^3$.

Solution :

On procède par complétion du carré (méthode de Gauss).

$q = (x + y + z)^2 - y^2 - z^2 - 2yz + 2y^2 + 2yz + z^2$

$= (x + y + z)^2 + y^2$

En posant $u = x + y + z$, $v = y$, $w = z$, on obtient $q = u^2 + v^2$.

La signature est $(2, 0)$ et le rang est $2$. La forme quadratique est positive mais non définie (car le rang est inférieur à $n = 3$).

Le noyau est ${(x,y,z) \mid x + y + z = 0 \text{ et } y = 0} = \mathrm{Vect}((1, 0, -1))$.