Topologie des espaces métriques (Math Spé / MP)

Introduction§

La topologie fournit le cadre rigoureux pour parler de « proximité », de convergence et de continuité, au-delà de $\mathbb{R}$. En prépa, on travaille dans les espaces métriques, qui généralisent $\mathbb{R}^n$ muni de ses normes. Ce chapitre est fondamental : il sous-tend l’analyse fonctionnelle, les équations différentielles, et la théorie de l’intégration.

1. Espaces métriques§

1.1 Distance§

[!abstract] Définition Soit $E$ un ensemble. Une distance (ou métrique) sur $E$ est une application $d : E \times E \to \mathbb{R}_+$ vérifiant pour tous $x, y, z \in E$ :

1. Séparation : $d(x, y) = 0 \iff x = y$
2. Symétrie : $d(x, y) = d(y, x)$
3. Inégalité triangulaire : $d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$

Le couple $(E, d)$ est un espace métrique.

1.2 Exemples fondamentaux§

[!tip] Remarque Tout espace vectoriel normé $(E, |\cdot|)$ est un espace métrique pour $d(x,y) = |x - y|$. Mais il existe des espaces métriques qui ne proviennent pas d’une norme (par exemple la distance discrète).

1.3 Distance discrète§

[!example] Exemple La distance discrète sur un ensemble $E$ quelconque : $d(x,y) = 0$ si $x = y$, $d(x,y) = 1$ sinon. Elle vérifie les trois axiomes. Tout sous-ensemble est à la fois ouvert et fermé.

2. Boules, voisinages, ouverts, fermés§

2.1 Boules§

[!abstract] Définition

• Boule ouverte : $B(a, r) = {x \in E : d(x, a) < r}$
• Boule fermée : $\overline{B}(a, r) = {x \in E : d(x, a) \leq r}$
• Sphère : $S(a, r) = {x \in E : d(x, a) = r}$

2.2 Ouverts§

[!abstract] Définition $U \subset E$ est un ouvert si pour tout $x \in U$, il existe $r > 0$ tel que $B(x, r) \subset U$.

[!abstract] Propriétés des ouverts

1. $\varnothing$ et $E$ sont ouverts.
2. Toute union (même infinie) d’ouverts est un ouvert.
3. Toute intersection finie d’ouverts est un ouvert.
4. Les boules ouvertes sont des ouverts.

[!warning] Attention Une intersection infinie d’ouverts n’est pas nécessairement ouverte. Exemple : $\displaystyle\bigcap_{n=1}^{+\infty} \left]-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right[ = {0}$, qui n’est pas ouvert dans $\mathbb{R}$.

2.3 Fermés§

[!abstract] Définition $F \subset E$ est un fermé si $E \setminus F$ est un ouvert.

[!abstract] Propriétés des fermés

1. $\varnothing$ et $E$ sont fermés.
2. Toute intersection (même infinie) de fermés est un fermé.
3. Toute union finie de fermés est un fermé.

2.4 Adhérence, intérieur, frontière§

[!abstract] Définitions

• L’adhérence $\overline{A}$ est le plus petit fermé contenant $A$ : $$\overline{A} = {x \in E : \forall r > 0,, B(x, r) \cap A \neq \varnothing}$$
• L’intérieur $\mathring{A}$ est le plus grand ouvert contenu dans $A$.
• La frontière $\partial A = \overline{A} \setminus \mathring{A}$.
• $A$ est dense dans $E$ si $\overline{A} = E$.

[!example] Exemples dans $\mathbb{R}$

• $\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}$ (les rationnels sont denses dans $\mathbb{R}$)
• $\mathring{\mathbb{Q}} = \varnothing$
• $\overline{]0,1[} = [0,1]$, $\partial,]0,1[ = {0, 1}$

3. Suites dans un espace métrique§

3.1 Convergence§

[!abstract] Définition $(x_n)$ converge vers $\ell \in E$ si $d(x_n, \ell) \to 0$, i.e. : $$\forall \varepsilon > 0,, \exists N \in \mathbb{N},, \forall n \geq N, \quad d(x_n, \ell) < \varepsilon$$

[!important] Unicité de la limite Dans un espace métrique, la limite est unique (conséquence de la séparation).

3.2 Valeurs d’adhérence§

[!abstract] Définition $\ell$ est une valeur d’adhérence de $(x_n)$ s’il existe une sous-suite $(x_{\varphi(n)})$ convergeant vers $\ell$.

3.3 Caractérisation séquentielle des fermés§

[!abstract] Théorème $F \subset E$ est fermé si et seulement si toute suite d’éléments de $F$ qui converge dans $E$ a sa limite dans $F$.

Preuve.

$(\Rightarrow)$ Soit $(x_n) \subset F$ avec $x_n \to \ell$. Si $\ell \notin F$, alors $\ell \in E \setminus F$ qui est ouvert, donc il existe $r > 0$ avec $B(\ell, r) \subset E \setminus F$. Mais $x_n \to \ell$ implique $x_n \in B(\ell, r)$ pour $n$ assez grand, contradiction avec $x_n \in F$.

$(\Leftarrow)$ Montrons que $E \setminus F$ est ouvert. Si $x \in E \setminus F$ et qu’il n’existe pas de boule $B(x, r) \subset E \setminus F$, alors pour tout $n$, il existe $x_n \in B(x, 1/n) \cap F$. Alors $x_n \to x$ et $x_n \in F$, donc $x \in F$ par hypothèse, contradiction. $\blacksquare$

3.4 Caractérisation séquentielle de l’adhérence§

[!abstract] Proposition $x \in \overline{A}$ si et seulement s’il existe une suite $(a_n) \subset A$ telle que $a_n \to x$.

4. Continuité§

4.1 Définition§

[!abstract] Définition Soient $(E, d_E)$ et $(F, d_F)$ deux espaces métriques. $f : E \to F$ est continue en $a \in E$ si : $$\forall \varepsilon > 0,, \exists \delta > 0,, \forall x \in E, \quad d_E(x, a) < \delta \implies d_F(f(x), f(a)) < \varepsilon$$

4.2 Caractérisation séquentielle§

[!abstract] Théorème $f : E \to F$ est continue en $a$ si et seulement si pour toute suite $(x_n)$ convergeant vers $a$ dans $E$, la suite $(f(x_n))$ converge vers $f(a)$ dans $F$.

[!tip] Utilité La caractérisation séquentielle est souvent plus facile à utiliser que la définition $\varepsilon$-$\delta$. Elle est aussi très utile pour montrer qu’une fonction n’est pas continue (il suffit d’exhiber une suite).

4.3 Caractérisation topologique§

[!abstract] Théorème $f : E \to F$ est continue (sur tout $E$) si et seulement si l’image réciproque de tout ouvert de $F$ est un ouvert de $E$.

Équivalemment : l’image réciproque de tout fermé est un fermé.

5. Continuité uniforme et fonctions lipschitziennes§

5.1 Continuité uniforme§

[!abstract] Définition $f : E \to F$ est uniformément continue si : $$\forall \varepsilon > 0,, \exists \delta > 0,, \forall x, y \in E, \quad d_E(x, y) < \delta \implies d_F(f(x), f(y)) < \varepsilon$$

[!warning] Différence avec la continuité simple La continuité simple dit : « pour chaque $a$, il existe $\delta$ (qui peut dépendre de $a$) ». La continuité uniforme dit : « il existe $\delta$ qui marche pour tous les $a$ en même temps ».

5.2 Fonctions lipschitziennes§

[!abstract] Définition $f : E \to F$ est $k$-lipschitzienne (avec $k \geq 0$) si : $$\forall x, y \in E, \quad d_F(f(x), f(y)) \leq k,d_E(x, y)$$

[!important] Implications $$\text{lipschitzienne} \implies \text{uniformément continue} \implies \text{continue}$$ Les réciproques sont fausses en général. Exemple : $\sqrt{x}$ est uniformément continue sur $[0, +\infty[$ mais pas lipschitzienne.

6. Compacité§

6.1 Définition par recouvrement ouvert§

[!abstract] Définition $(E, d)$ est compact si de tout recouvrement ouvert de $E$, on peut extraire un sous-recouvrement fini.

Formellement : si $E \subset \bigcup_{i \in I} U_i$ avec les $U_i$ ouverts, alors il existe $i_1, \ldots, i_n$ tels que $E \subset U_{i_1} \cup \cdots \cup U_{i_n}$.

6.2 Caractérisation séquentielle (Bolzano-Weierstrass)§

[!abstract] Théorème (Bolzano-Weierstrass) Dans un espace métrique, $K$ est compact si et seulement si toute suite d’éléments de $K$ admet une sous-suite convergente (vers un élément de $K$).

[!tip] En pratique C’est cette caractérisation séquentielle qu’on utilise le plus souvent en prépa.

6.3 Théorème de Heine-Borel§

[!abstract] Théorème (Heine-Borel) Dans $\mathbb{R}^n$ (muni d’une norme quelconque) : $$K \text{ compact} \iff K \text{ fermé et borné}$$

[!warning] Spécificité de la dimension finie Ce théorème est faux en dimension infinie. Par exemple, dans $\ell^2$, la boule unité fermée est fermée et bornée mais pas compacte.

6.4 Propriétés des compacts§

[!abstract] Théorème (Image continue d’un compact) Si $f : E \to F$ est continue et $K \subset E$ est compact, alors $f(K)$ est compact.

Conséquences immédiates :

[!important] Théorème des bornes atteintes Si $f : K \to \mathbb{R}$ est continue et $K$ est compact non vide, alors $f$ est bornée et atteint ses bornes. Il existe $a, b \in K$ tels que $f(a) = \min_K f$ et $f(b) = \max_K f$.

[!abstract] Théorème de Heine Si $f : K \to F$ est continue et $K$ est compact, alors $f$ est uniformément continue.

Esquisse de preuve du théorème de Heine. Par l’absurde. Si $f$ n’est pas uniformément continue, il existe $\varepsilon_0 > 0$ et des suites $(x_n), (y_n)$ dans $K$ avec $d(x_n, y_n) < 1/n$ mais $d(f(x_n), f(y_n)) \geq \varepsilon_0$. Par compacité (Bolzano-Weierstrass), on extrait une sous-suite $x_{\varphi(n)} \to \ell$. Alors $y_{\varphi(n)} \to \ell$ aussi (car $d(x_{\varphi(n)}, y_{\varphi(n)}) \to 0$). Par continuité de $f$ en $\ell$ : $f(x_{\varphi(n)}) \to f(\ell)$ et $f(y_{\varphi(n)}) \to f(\ell)$, donc $d(f(x_{\varphi(n)}), f(y_{\varphi(n)})) \to 0$. Contradiction avec $\geq \varepsilon_0$. $\blacksquare$

7. Connexité par arcs§

[!abstract] Définition $(E, d)$ est connexe par arcs si pour tous $x, y \in E$, il existe un chemin continu $\gamma : [0, 1] \to E$ tel que $\gamma(0) = x$ et $\gamma(1) = y$.

[!important] Propriétés

• Un ouvert connexe par arcs de $\mathbb{R}^n$ est simplement appelé domaine.
• Les convexes sont connexes par arcs (chemin : le segment $[x, y]$).
• L’image continue d’un connexe par arcs est connexe par arcs.
• Théorème des valeurs intermédiaires (généralisé) : si $f : E \to \mathbb{R}$ est continue et $E$ connexe par arcs, alors $f(E)$ est un intervalle.

8. Complétude§

8.1 Suites de Cauchy§

[!abstract] Définition Une suite $(x_n)$ dans $(E, d)$ est une suite de Cauchy si : $$\forall \varepsilon > 0,, \exists N \in \mathbb{N},, \forall m, n \geq N, \quad d(x_m, x_n) < \varepsilon$$

[!important] Propriétés

• Toute suite convergente est de Cauchy.
• La réciproque est fausse en général (mais vraie dans les espaces complets).
• Toute suite de Cauchy est bornée.
• Si une suite de Cauchy admet une valeur d’adhérence, alors elle converge.

8.2 Espaces complets§

[!abstract] Définition Un espace métrique $(E, d)$ est complet si toute suite de Cauchy dans $E$ converge dans $E$.

[!example] Exemples

• $(\mathbb{R}, |\cdot|)$ est complet (propriété fondamentale de $\mathbb{R}$).
• $(\mathbb{R}^n, |\cdot|)$ est complet (pour toute norme).
• $(\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R}), d_\infty)$ est complet : une suite de Cauchy pour la norme sup converge uniformément.
• $(\mathbb{Q}, |\cdot|)$ n’est pas complet.

[!important] Propriétés

• Un compact est complet (et borné).
• Un sous-espace fermé d’un espace complet est complet.
• Un sous-espace complet d’un espace métrique est fermé.

8.3 Théorème du point fixe de Banach§

[!abstract] Théorème (Point fixe de Banach / Contraction) Soit $(E, d)$ un espace métrique complet et $f : E \to E$ une application contractante, i.e., il existe $k \in [0, 1[$ tel que : $$\forall x, y \in E, \quad d(f(x), f(y)) \leq k,d(x, y)$$ Alors :

1. $f$ admet un unique point fixe $\ell \in E$ : $f(\ell) = \ell$.
2. Pour tout $x_0 \in E$, la suite $x_{n+1} = f(x_n)$ converge vers $\ell$.
3. Estimation d’erreur : $d(x_n, \ell) \leq \dfrac{k^n}{1 - k},d(x_0, x_1)$.

Preuve.

Existence et convergence. Montrons que $(x_n)$ est de Cauchy. On a $d(x_{n+1}, x_n) \leq k,d(x_n, x_{n-1}) \leq \cdots \leq k^n,d(x_1, x_0)$. Pour $m > n$ :

$$d(x_m, x_n) \leq \sum_{j=n}^{m-1} d(x_{j+1}, x_j) \leq d(x_1, x_0)\sum_{j=n}^{m-1} k^j \leq \frac{k^n}{1-k},d(x_1, x_0) \to 0$$

Comme $E$ est complet, $(x_n)$ converge vers un $\ell \in E$.

Point fixe. Par continuité de $f$ (elle est lipschitzienne) : $f(\ell) = f(\lim x_n) = \lim f(x_n) = \lim x_{n+1} = \ell$.

Unicité. Si $f(\ell) = \ell$ et $f(\ell’) = \ell’$, alors $d(\ell, \ell’) = d(f(\ell), f(\ell’)) \leq k,d(\ell, \ell’)$, ce qui impose $d(\ell, \ell’) = 0$ car $k < 1$. $\blacksquare$

[!example] Application : méthode de Newton simplifiée Pour résoudre $g(x) = 0$, on réécrit sous la forme $x = \varphi(x)$ avec $|\varphi’(x)| < 1$ sur un intervalle contenant la racine, puis on itère $x_{n+1} = \varphi(x_n)$.

Exemple : résoudre $x = \cos(x)$. On pose $\varphi(x) = \cos(x)$. On a $|\varphi’(x)| = |\sin(x)| \leq \sin(1) \approx 0.84 < 1$ sur $[0, 1]$. Le théorème de Banach garantit l’existence d’un unique point fixe et la convergence de la suite itérée.

9. Relations entre les propriétés topologiques§

flowchart TD
    A["Compact"] --> B["Complet"]
    A --> C["Fermé et borné\n(dans R^n : équivalent)"]
    A --> D["Toute suite admet\nune sous-suite convergente"]
    A --> E["Toute fonction continue\nest bornée et atteint ses bornes"]
    A --> F["Continue ⟹\nuniformément continue\n(Heine)"]
    B --> G["Toute suite de Cauchy\nconverge"]
    H["Fermé dans\nun espace complet"] --> B
    I["Connexe\npar arcs"] --> J["f continue ⟹\nf(E) intervalle\n(TVI)"]

    style A fill:#4a90d9,color:#fff
    style B fill:#e6a817,color:#fff
    style I fill:#5cb85c,color:#fff

10. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Ouverts et fermés§

[!example] Énoncé Dans $(\mathbb{R}^2, d_2)$, montrer que $A = {(x, y) : x^2 + y^2 < 1}$ est ouvert et que $B = {(x,y) : x^2 + y^2 \leq 1}$ est fermé.

Solution.

$A$ est ouvert. Soit $(x_0, y_0) \in A$, donc $r_0 = \sqrt{x_0^2 + y_0^2} < 1$. Posons $\varepsilon = 1 - r_0 > 0$. Pour tout $(x,y) \in B((x_0,y_0), \varepsilon)$ :

$$\sqrt{x^2 + y^2} \leq \sqrt{x_0^2 + y_0^2} + \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < r_0 + \varepsilon = 1$$

(par l’inégalité triangulaire), donc $(x,y) \in A$. Ainsi $B((x_0,y_0), \varepsilon) \subset A$.

$B$ est fermé. On montre que $\mathbb{R}^2 \setminus B = {(x,y) : x^2 + y^2 > 1}$ est ouvert par un argument similaire. Alternativement : $B = f^{-1}(]-\infty, 1])$ où $f(x,y) = x^2 + y^2$ est continue, et $]-\infty, 1]$ est fermé, donc $B$ est fermé.

Exercice 2 : Caractérisation séquentielle§

[!example] Énoncé Montrer que $\mathbb{Q}$ n’est ni ouvert ni fermé dans $\mathbb{R}$.

Solution.

$\mathbb{Q}$ n’est pas ouvert. Pour tout $q \in \mathbb{Q}$ et tout $r > 0$, l’intervalle $]q-r, q+r[$ contient des irrationnels (densité de $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$), donc $B(q, r) \not\subset \mathbb{Q}$.

$\mathbb{Q}$ n’est pas fermé. Il existe des suites de rationnels qui convergent vers un irrationnel (par exemple $q_n$ les troncatures décimales de $\sqrt{2}$ : $1, 1.4, 1.41, \ldots$). Donc $\mathbb{Q}$ ne contient pas toutes ses valeurs d’adhérence.

Exercice 3 : Complétude§

[!example] Énoncé Montrer que $(\mathcal{C}([0,1], \mathbb{R}), |\cdot|_\infty)$ est complet.

Solution.

Soit $(f_n)$ une suite de Cauchy pour $|\cdot|_\infty$.

Étape 1 : Pour chaque $t \in [0,1]$, $(f_n(t))$ est de Cauchy dans $\mathbb{R}$ (car $|f_n(t) - f_m(t)| \leq |f_n - f_m|_\infty$). Comme $\mathbb{R}$ est complet, $f_n(t)$ converge. On pose $f(t) = \lim_n f_n(t)$.

Étape 2 : Montrons que $f_n \to f$ uniformément. Soit $\varepsilon > 0$. Il existe $N$ tel que pour $m, n \geq N$ : $|f_n - f_m|\infty < \varepsilon$. En faisant $m \to +\infty$ dans $|f_n(t) - f_m(t)| < \varepsilon$ (pour tout $t$), on obtient $|f_n(t) - f(t)| \leq \varepsilon$ pour tout $t$ et tout $n \geq N$. Donc $|f_n - f|\infty \leq \varepsilon$.

Étape 3 : $f$ est continue car elle est limite uniforme de fonctions continues. $\blacksquare$

Exercice 4 : Théorème du point fixe§

[!example] Énoncé Soit $f : [0,1] \to [0,1]$ de classe $\mathcal{C}^1$ avec $|f’(x)| \leq k < 1$ pour tout $x \in [0,1]$. Montrer que $f$ admet un unique point fixe.

Solution.

$[0,1]$ est fermé dans $\mathbb{R}$ complet, donc complet. $f$ est $k$-lipschitzienne avec $k < 1$ (par le théorème des accroissements finis : $|f(x) - f(y)| \leq k|x-y|$), et $f([0,1]) \subset [0,1]$.

Par le théorème du point fixe de Banach, $f$ admet un unique point fixe dans $[0,1]$.

De plus, pour tout $x_0 \in [0,1]$, la suite $x_{n+1} = f(x_n)$ converge vers ce point fixe avec $|x_n - \ell| \leq \dfrac{k^n}{1-k}|f(x_0) - x_0|$.

Exercice 5 : Compacité et continuité§

[!example] Énoncé Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue telle que $\lim_{|x| \to +\infty} f(x) = +\infty$. Montrer que $f$ atteint son minimum.

Solution.

Comme $f(x) \to +\infty$ quand $|x| \to +\infty$, il existe $R > 0$ tel que $f(x) \geq f(0)$ pour tout $|x| \geq R$.

Le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$ est donc le même que le minimum de $f$ sur $[-R, R]$.

Or $[-R, R]$ est compact (fermé borné dans $\mathbb{R}$) et $f$ est continue, donc par le théorème des bornes atteintes, $f$ atteint son minimum sur $[-R, R]$, disons en $a \in [-R, R]$.

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : si $|x| \leq R$, $f(x) \geq f(a)$ par définition. Si $|x| > R$, $f(x) \geq f(0) \geq f(a)$. Donc $a$ est un minimum global. $\blacksquare$

Exercice 6 : Application de Heine§

[!example] Énoncé Montrer que $f(x) = \sqrt{x}$ est uniformément continue sur $[0, +\infty[$.

Solution.

Sur $[0, 1]$ : $[0,1]$ est compact et $f$ y est continue, donc uniformément continue par le théorème de Heine.

Sur $[1, +\infty[$ : pour $x, y \geq 1$, $|\sqrt{x} - \sqrt{y}| = \dfrac{|x-y|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \leq \dfrac{|x-y|}{2}$, donc $f$ est $\frac{1}{2}$-lipschitzienne sur $[1, +\infty[$, a fortiori uniformément continue.

Recollement : soit $\varepsilon > 0$. Il existe $\delta_1 > 0$ tel que pour $x, y \in [0,1]$ avec $|x-y| < \delta_1$, $|\sqrt{x}-\sqrt{y}| < \varepsilon$. Sur $[1, +\infty[$, $\delta_2 = 2\varepsilon$ convient. Posons $\delta = \min(\delta_1, \delta_2, 1)$.

Pour $x, y \in [0, +\infty[$ avec $|x-y| < \delta$ : si les deux sont dans $[0,1]$ ou les deux dans $[1, +\infty[$, c’est traité. Si l’un est dans $[0,1]$ et l’autre dans $[1, +\infty[$, alors $|x-y| < 1$ force les deux dans $[0, 2]$ qui est compact, et on conclut de même. $\blacksquare$

Résumé des implications§

Voir aussi : Fonctions de Plusieurs Variables, Probabilités Prépa, Intégrales Généralisées