Topologie des espaces métriques (Math Spé / MP)

Introduction§

La topologie fournit le cadre rigoureux pour parler de « proximité », de convergence et de continuité, au-delà de $\mathbb{R}$. En prépa, on travaille dans les espaces métriques, qui généralisent $\mathbb{R}^n$ muni de ses normes. Ce chapitre est fondamental : il sous-tend l’analyse fonctionnelle, les équations différentielles, et la théorie de l’intégration.

1. Espaces métriques§

1.1 Distance§

1.2 Exemples fondamentaux§

Espace	Distance	Notation
$\mathbb{R}^n$ euclidien	$d_2(x,y) = \sqrt{\sum (x_i - y_i)^2}$	$({\mathbb{R}^n}, d_2)$
$\mathbb{R}^n$ norme sup	$d_\infty(x,y) = \max_i |x_i - y_i|$	$({\mathbb{R}^n}, d_\infty)$
$\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})$	$d_\infty(f,g) = \sup_{t \in [a,b]} |f(t) - g(t)|$	Convergence uniforme
$\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})$	$d_1(f,g) = \int_a^b |f(t) - g(t)|,dt$	Convergence en moyenne

1.3 Distance discrète§

2. Boules, voisinages, ouverts, fermés§

2.1 Boules§

2.2 Ouverts§

2.3 Fermés§

2.4 Adhérence, intérieur, frontière§

$$\overline{A} = {x \in E : \forall r > 0,, B(x, r) \cap A \neq \varnothing}$$

• L’intérieur $\mathring{A}$ est le plus grand ouvert contenu dans $A$.
• La frontière $\partial A = \overline{A} \setminus \mathring{A}$.
• $A$ est dense dans $E$ si $\overline{A} = E$.

3. Suites dans un espace métrique§

3.1 Convergence§

$$\forall \varepsilon > 0,, \exists N \in \mathbb{N},, \forall n \geq N, \quad d(x_n, \ell) < \varepsilon$$

3.2 Valeurs d’adhérence§

3.3 Caractérisation séquentielle des fermés§

Preuve.

$(\Rightarrow)$ Soit $(x_n) \subset F$ avec $x_n \to \ell$. Si $\ell \notin F$, alors $\ell \in E \setminus F$ qui est ouvert, donc il existe $r > 0$ avec $B(\ell, r) \subset E \setminus F$. Mais $x_n \to \ell$ implique $x_n \in B(\ell, r)$ pour $n$ assez grand, contradiction avec $x_n \in F$.

$(\Leftarrow)$ Montrons que $E \setminus F$ est ouvert. Si $x \in E \setminus F$ et qu’il n’existe pas de boule $B(x, r) \subset E \setminus F$, alors pour tout $n$, il existe $x_n \in B(x, 1/n) \cap F$. Alors $x_n \to x$ et $x_n \in F$, donc $x \in F$ par hypothèse, contradiction. $\blacksquare$

3.4 Caractérisation séquentielle de l’adhérence§

4. Continuité§

4.1 Définition§

$$\forall \varepsilon > 0,, \exists \delta > 0,, \forall x \in E, \quad d_E(x, a) < \delta \implies d_F(f(x), f(a)) < \varepsilon$$

4.2 Caractérisation séquentielle§

4.3 Caractérisation topologique§

5. Continuité uniforme et fonctions lipschitziennes§

5.1 Continuité uniforme§

$$\forall \varepsilon > 0,, \exists \delta > 0,, \forall x, y \in E, \quad d_E(x, y) < \delta \implies d_F(f(x), f(y)) < \varepsilon$$

5.2 Fonctions lipschitziennes§

$$\forall x, y \in E, \quad d_F(f(x), f(y)) \leq k,d_E(x, y)$$ $$\text{lipschitzienne} \implies \text{uniformément continue} \implies \text{continue}$$

Les réciproques sont fausses en général. Exemple : $\sqrt{x}$ est uniformément continue sur $[0, +\infty[$ mais pas lipschitzienne.

6. Compacité§

6.1 Définition par recouvrement ouvert§

6.2 Caractérisation séquentielle (Bolzano-Weierstrass)§

6.3 Théorème de Heine-Borel§

$$K \text{ compact} \iff K \text{ fermé et borné}$$

6.4 Propriétés des compacts§

Conséquences immédiates :

Esquisse de preuve du théorème de Heine. Par l’absurde. Si $f$ n’est pas uniformément continue, il existe $\varepsilon_0 > 0$ et des suites $(x_n), (y_n)$ dans $K$ avec $d(x_n, y_n) < 1/n$ mais $d(f(x_n), f(y_n)) \geq \varepsilon_0$. Par compacité (Bolzano-Weierstrass), on extrait une sous-suite $x_{\varphi(n)} \to \ell$. Alors $y_{\varphi(n)} \to \ell$ aussi (car $d(x_{\varphi(n)}, y_{\varphi(n)}) \to 0$). Par continuité de $f$ en $\ell$ : $f(x_{\varphi(n)}) \to f(\ell)$ et $f(y_{\varphi(n)}) \to f(\ell)$, donc $d(f(x_{\varphi(n)}), f(y_{\varphi(n)})) \to 0$. Contradiction avec $\geq \varepsilon_0$. $\blacksquare$

7. Connexité par arcs§

8. Complétude§

8.1 Suites de Cauchy§

$$\forall \varepsilon > 0,, \exists N \in \mathbb{N},, \forall m, n \geq N, \quad d(x_m, x_n) < \varepsilon$$

8.2 Espaces complets§

8.3 Théorème du point fixe de Banach§

$$\forall x, y \in E, \quad d(f(x), f(y)) \leq k,d(x, y)$$

Alors :

1. $f$ admet un unique point fixe $\ell \in E$ : $f(\ell) = \ell$.
2. Pour tout $x_0 \in E$, la suite $x_{n+1} = f(x_n)$ converge vers $\ell$.
3. Estimation d’erreur : $d(x_n, \ell) \leq \dfrac{k^n}{1 - k},d(x_0, x_1)$.

Preuve.

Existence et convergence. Montrons que $(x_n)$ est de Cauchy. On a $d(x_{n+1}, x_n) \leq k,d(x_n, x_{n-1}) \leq \cdots \leq k^n,d(x_1, x_0)$. Pour $m > n$ :

$$d(x_m, x_n) \leq \sum_{j=n}^{m-1} d(x_{j+1}, x_j) \leq d(x_1, x_0)\sum_{j=n}^{m-1} k^j \leq \frac{k^n}{1-k},d(x_1, x_0) \to 0$$

Comme $E$ est complet, $(x_n)$ converge vers un $\ell \in E$.

Point fixe. Par continuité de $f$ (elle est lipschitzienne) : $f(\ell) = f(\lim x_n) = \lim f(x_n) = \lim x_{n+1} = \ell$.

Unicité. Si $f(\ell) = \ell$ et $f(\ell') = \ell'$, alors $d(\ell, \ell') = d(f(\ell), f(\ell')) \leq k,d(\ell, \ell')$, ce qui impose $d(\ell, \ell') = 0$ car $k < 1$. $\blacksquare$

9. Relations entre les propriétés topologiques§

flowchart TD
    A["Compact"] --> B["Complet"]
    A --> C["Fermé et borné\n(dans R^n : équivalent)"]
    A --> D["Toute suite admet\nune sous-suite convergente"]
    A --> E["Toute fonction continue\nest bornée et atteint ses bornes"]
    A --> F["Continue ⟹\nuniformément continue\n(Heine)"]
    B --> G["Toute suite de Cauchy\nconverge"]
    H["Fermé dans\nun espace complet"] --> B
    I["Connexe\npar arcs"] --> J["f continue ⟹\nf(E) intervalle\n(TVI)"]

    style A fill:#4a90d9,color:#fff
    style B fill:#e6a817,color:#fff
    style I fill:#5cb85c,color:#fff

10. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Ouverts et fermés§

Solution.

$A$ est ouvert. Soit $(x_0, y_0) \in A$, donc $r_0 = \sqrt{x_0^2 + y_0^2} < 1$. Posons $\varepsilon = 1 - r_0 > 0$. Pour tout $(x,y) \in B((x_0,y_0), \varepsilon)$ :

$$\sqrt{x^2 + y^2} \leq \sqrt{x_0^2 + y_0^2} + \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < r_0 + \varepsilon = 1$$

(par l’inégalité triangulaire), donc $(x,y) \in A$. Ainsi $B((x_0,y_0), \varepsilon) \subset A$.

$B$ est fermé. On montre que $\mathbb{R}^2 \setminus B = {(x,y) : x^2 + y^2 > 1}$ est ouvert par un argument similaire. Alternativement : $B = f^{-1}(]-\infty, 1])$ où $f(x,y) = x^2 + y^2$ est continue, et $]-\infty, 1]$ est fermé, donc $B$ est fermé.

Exercice 2 : Caractérisation séquentielle§

Solution.

$\mathbb{Q}$ n’est pas ouvert. Pour tout $q \in \mathbb{Q}$ et tout $r > 0$, l’intervalle $]q-r, q+r[$ contient des irrationnels (densité de $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$), donc $B(q, r) \not\subset \mathbb{Q}$.

$\mathbb{Q}$ n’est pas fermé. Il existe des suites de rationnels qui convergent vers un irrationnel (par exemple $q_n$ les troncatures décimales de $\sqrt{2}$ : $1, 1.4, 1.41, \ldots$). Donc $\mathbb{Q}$ ne contient pas toutes ses valeurs d’adhérence.

Exercice 3 : Complétude§

Solution.

Soit $(f_n)$ une suite de Cauchy pour $|\cdot|_\infty$.

Étape 1 : Pour chaque $t \in [0,1]$, $(f_n(t))$ est de Cauchy dans $\mathbb{R}$ (car $|f_n(t) - f_m(t)| \leq |f_n - f_m|_\infty$). Comme $\mathbb{R}$ est complet, $f_n(t)$ converge. On pose $f(t) = \lim_n f_n(t)$.

Étape 2 : Montrons que $f_n \to f$ uniformément. Soit $\varepsilon > 0$. Il existe $N$ tel que pour $m, n \geq N$ : $|f_n - f_m|_\infty < \varepsilon$. En faisant $m \to +\infty$ dans $|f_n(t) - f_m(t)| < \varepsilon$ (pour tout $t$), on obtient $|f_n(t) - f(t)| \leq \varepsilon$ pour tout $t$ et tout $n \geq N$. Donc $|f_n - f|_\infty \leq \varepsilon$.

Étape 3 : $f$ est continue car elle est limite uniforme de fonctions continues. $\blacksquare$

Exercice 4 : Théorème du point fixe§

Solution.

$[0,1]$ est fermé dans $\mathbb{R}$ complet, donc complet. $f$ est $k$-lipschitzienne avec $k < 1$ (par le théorème des accroissements finis : $|f(x) - f(y)| \leq k|x-y|$), et $f([0,1]) \subset [0,1]$.

Par le théorème du point fixe de Banach, $f$ admet un unique point fixe dans $[0,1]$.

De plus, pour tout $x_0 \in [0,1]$, la suite $x_{n+1} = f(x_n)$ converge vers ce point fixe avec $|x_n - \ell| \leq \dfrac{k^n}{1-k}|f(x_0) - x_0|$.

Exercice 5 : Compacité et continuité§

Solution.

Comme $f(x) \to +\infty$ quand $|x| \to +\infty$, il existe $R > 0$ tel que $f(x) \geq f(0)$ pour tout $|x| \geq R$.

Le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$ est donc le même que le minimum de $f$ sur $[-R, R]$.

Or $[-R, R]$ est compact (fermé borné dans $\mathbb{R}$) et $f$ est continue, donc par le théorème des bornes atteintes, $f$ atteint son minimum sur $[-R, R]$, disons en $a \in [-R, R]$.

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : si $|x| \leq R$, $f(x) \geq f(a)$ par définition. Si $|x| > R$, $f(x) \geq f(0) \geq f(a)$. Donc $a$ est un minimum global. $\blacksquare$

Exercice 6 : Application de Heine§

Solution.

Sur $[0, 1]$ : $[0,1]$ est compact et $f$ y est continue, donc uniformément continue par le théorème de Heine.

Sur $[1, +\infty[$ : pour $x, y \geq 1$, $|\sqrt{x} - \sqrt{y}| = \dfrac{|x-y|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \leq \dfrac{|x-y|}{2}$, donc $f$ est $\frac{1}{2}$-lipschitzienne sur $[1, +\infty[$, a fortiori uniformément continue.

Recollement : soit $\varepsilon > 0$. Il existe $\delta_1 > 0$ tel que pour $x, y \in [0,1]$ avec $|x-y| < \delta_1$, $|\sqrt{x}-\sqrt{y}| < \varepsilon$. Sur $[1, +\infty[$, $\delta_2 = 2\varepsilon$ convient. Posons $\delta = \min(\delta_1, \delta_2, 1)$.

Pour $x, y \in [0, +\infty[$ avec $|x-y| < \delta$ : si les deux sont dans $[0,1]$ ou les deux dans $[1, +\infty[$, c’est traité. Si l’un est dans $[0,1]$ et l’autre dans $[1, +\infty[$, alors $|x-y| < 1$ force les deux dans $[0, 2]$ qui est compact, et on conclut de même. $\blacksquare$

Résumé des implications§

Propriété	Implique
Compact	Complet, fermé, borné, séquentiellement compact
Complet + borné (dim. finie)	Compact (si fermé)
Lipschitzienne	Uniformément continue
Uniformément continue	Continue
Continue sur compact	Uniformément continue (Heine)
Continue sur compact vers $\mathbb{R}$	Bornée et atteint ses bornes
Contraction sur espace complet	Unique point fixe

Voir aussi : Fonctions de Plusieurs Variables, Probabilités Prépa, Intégrales Généralisées