Séries de Fonctions

Ce chapitre traite des suites et séries de fonctions, et en particulier des conditions sous lesquelles on peut intervertir les opérations de passage à la limite avec la continuité, l’intégration et la dérivation. Ces résultats sont fondamentaux pour justifier rigoureusement les manipulations sur les Séries Entières, les séries de Fourier et de nombreuses autres constructions analytiques.

1. Suites de fonctions§

1.1 Convergence simple§

$$\forall x \in I, \quad \lim_{n \to +\infty} f_n(x) = f(x)$$

Autrement dit : $\forall x \in I, , \forall \varepsilon > 0, , \exists N \in \mathbb{N}$ (dépendant de $x$ et $\varepsilon$) tel que $n \geq N \implies |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$.

1.2 Convergence uniforme§

$$\sup_{x \in I} |f_n(x) - f(x)| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$

Autrement dit : $\forall \varepsilon > 0, , \exists N \in \mathbb{N}$ (dépendant uniquement de $\varepsilon$) tel que $\forall n \geq N, , \forall x \in I, , |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$.

flowchart TD
    A["Convergence uniforme sur I"] --> B["Convergence simple sur I"]
    A -- "La réciproque est FAUSSE" --> C["Exemple : f_n(x) = xⁿ sur [0,1]<br/>CS vers f(x)=0 si x∈[0,1[, f(1)=1<br/>mais pas CU"]
    B --> D["Pour chaque x fixé,<br/>f_n(x) → f(x)"]
    A --> E["sup|f_n - f| → 0<br/>Contrôle global"]

1.3 Critère pratique de non-uniformité§

2. Théorèmes fondamentaux pour les suites de fonctions§

2.1 Convergence uniforme et continuité§

$$|f(x) - f(a)| \leq |f(x) - f_N(x)| + |f_N(x) - f_N(a)| + |f_N(a) - f(a)| < \varepsilon$$

2.2 Interversion limite-intégrale§

$$\lim_{n \to +\infty} \int_a^b f_n(t) , dt = \int_a^b f(t) , dt = \int_a^b \lim_{n \to +\infty} f_n(t) , dt$$ $$\left|\int_a^b f_n(t) , dt - \int_a^b f(t) , dt\right| \leq \int_a^b |f_n(t) - f(t)| , dt \leq (b-a) \sup_{[a,b]} |f_n - f| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$

2.3 Interversion limite-dérivée§

$$\left(\lim_{n \to +\infty} f_n\right)' = \lim_{n \to +\infty} f_n'$$

3. Séries de fonctions§

3.1 Définitions§

Soit $(f_n)_{n \geq 0}$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb{R}$. On s’intéresse à la série $\sum f_n$, dont la somme partielle est $S_N(x) = \sum_{n=0}^{N} f_n(x)$.

3.2 Hiérarchie des convergences§

flowchart TD
    A["Convergence NORMALE<br/>∑ ‖fₙ‖∞ converge"] ==> B["Convergence UNIFORME<br/>sup|Sₙ - S| → 0"]
    B ==> C["Convergence SIMPLE<br/>∀x, Sₙ(x) → S(x)"]
    A -- "Réciproque FAUSSE" -.-> D["Contre-ex : ∑(-1)ⁿ/n<br/>sur un singleton"]
    B -- "Réciproque FAUSSE" -.-> E["Contre-ex : fₙ = xⁿ/n<br/>sur [0,1]"]

$$\left|\sum_{n=N+1}^{+\infty} f_n(x)\right| \leq \sum_{n=N+1}^{+\infty} |f_n(x)| \leq \sum_{n=N+1}^{+\infty} |f_n|_\infty \xrightarrow[N \to +\infty]{} 0$$

Le majorant est indépendant de $x$, d’où la convergence uniforme.

3.3 Critère de Weierstrass (convergence normale)§

3.4 Condition nécessaire de convergence uniforme§

4. Théorèmes de régularité pour les séries de fonctions§

4.1 Continuité de la somme§

4.2 Intégration terme à terme§

$$\int_a^b \left(\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(t)\right) dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_a^b f_n(t) , dt$$ $$\arctan x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$$

(La validité en $x = 1$ nécessite un argument supplémentaire, par exemple le théorème d’Abel.)

4.3 Dérivation terme à terme§

$$S'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n'(x)$$

5. Théorème de convergence dominée§

$$\lim_{n \to +\infty} \int_I f_n(t) , dt = \int_I f(t) , dt$$

6. Approximation uniforme : théorème de Stone-Weierstrass§

7. Introduction aux séries de Fourier§

Les séries de fonctions trouvent une application majeure dans l’analyse harmonique.

7.1 Coefficients de Fourier§

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction $2\pi$-périodique et intégrable sur $[0, 2\pi]$. Ses coefficients de Fourier sont :

$$a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t) , dt, \quad a_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \cos(nt) , dt, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \sin(nt) , dt$$

La série de Fourier de $f$ est :

$$S_f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} \left(a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)\right)$$

7.2 Convergence§

8. Résumé des théorèmes d’interversion§

Hypothèse sur $f_n$	Type de convergence	Continuité	Intégration	Dérivation
$f_n$ continues	Uniforme	Oui	Oui (segment)	—
$f_n \in \mathcal{C}^1$, $f_n'$ CU	CU des dérivées	Oui	Oui	Oui
$f_n$ continues par morceaux	Dominée (CS)	—	Oui	—

9. Exercices types corrigés§

Exercice 1 : Convergence simple et uniforme§

Solution :

Convergence simple : Pour $x = 0$, $f_n(0) = 0$. Pour $x > 0$ : $f_n(x) = \frac{nx}{1 + n^2 x^2} = \frac{1}{nx + \frac{1}{nx}} \to 0$ quand $n \to +\infty$. Donc $(f_n)$ converge simplement vers $f = 0$.

Convergence uniforme ? : On calcule $|f_n|_\infty$. On dérive : $f_n'(x) = \frac{n(1 - n^2x^2)}{(1 + n^2 x^2)^2}$, qui s’annule en $x_n = 1/n$.

$f_n(x_n) = f_n(1/n) = \frac{n \cdot 1/n}{1 + 1} = \frac{1}{2}$.

Donc $|f_n|_\infty \geq 1/2 \not\to 0$. La convergence n’est pas uniforme sur $[0, +\infty[$.

Sur $[a, +\infty[$ avec $a > 0$ : $\sup_{x \geq a} f_n(x) \leq \frac{1}{na} \to 0$. Donc la convergence est uniforme sur tout $[a, +\infty[$ avec $a > 0$.

Exercice 2 : Convergence normale d’une série§

Solution :

$\left|\frac{\sin(nx)}{n^2}\right|_\infty = \sup_{x \in \mathbb{R}} \frac{|\sin(nx)|}{n^2} = \frac{1}{n^2}$.

Or $\sum \frac{1}{n^2}$ converge (série de Riemann, $p = 2 > 1$). Par le critère de Weierstrass, $\sum \frac{\sin(nx)}{n^2}$ converge normalement (donc uniformément) sur $\mathbb{R}$.

Chaque $f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{n^2}$ est continue, donc la somme $S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Exercice 3 : Intégration terme à terme§

Solution :

Pour $t \in [0, 1[$, on a $\ln(1-t) = -\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{t^n}{n}$.

Donc $\frac{\ln(1-t)}{t} = -\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{t^{n-1}}{n} = -\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n}{n+1}$.

On souhaite intégrer sur $[0, 1]$. Sur $[0, r]$ pour $r < 1$, la convergence est normale :

$$\int_0^r \frac{\ln(1-t)}{t} , dt = -\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{r^{n+1}}{(n+1)^2}$$

On fait tendre $r \to 1^-$ (convergence monotone ou théorème d’Abel) :

$$\int_0^1 \frac{\ln(1-t)}{t} , dt = -\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = -\frac{\pi^2}{6}$$

Exercice 4 : Dérivation terme à terme§

Solution :

Posons $f_n(x) = \frac{(-1)^{n+1}}{n} e^{-nx}$. Chaque $f_n$ est $\mathcal{C}^1$ sur $]0, +\infty[$.

Convergence simple de $\sum f_n$ : pour $x > 0$ fixé, c’est une série alternée dont le terme général tend vers 0 et est décroissant (en module) pour $n$ assez grand. Donc $\sum f_n(x)$ converge.

Convergence uniforme de $\sum f_n'$ : $f_n'(x) = (-1)^n e^{-nx}$. Sur $[a, +\infty[$ avec $a > 0$ :

$$|f_n'(x)| = e^{-nx} \leq e^{-na}$$

Or $\sum e^{-na}$ converge (série géométrique de raison $e^{-a} < 1$). Par Weierstrass, $\sum f_n'$ converge normalement (donc uniformément) sur $[a, +\infty[$.

Par le théorème de dérivation terme à terme, $S$ est $\mathcal{C}^1$ sur $]0, +\infty[$ et :

$$S'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n e^{-nx} = -\sum_{n=1}^{+\infty} (-e^{-x})^n = -\frac{-e^{-x}}{1+e^{-x}} = \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} = \frac{1}{1 + e^x}$$

On reconnaît que $S(x) = \ln(1 + e^{-x}) = \ln\left(\frac{e^x + 1}{e^x}\right) = \ln(1 + e^x) - x$.