Séries de Fonctions
Ce chapitre traite des suites et séries de fonctions, et en particulier des conditions sous lesquelles on peut intervertir les opérations de passage à la limite avec la continuité, l’intégration et la dérivation. Ces résultats sont fondamentaux pour justifier rigoureusement les manipulations sur les Séries Entières, les séries de Fourier et de nombreuses autres constructions analytiques.
1. Suites de fonctions§
1.1 Convergence simple§
[!abstract] Définition Soit $(f_n){n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions de $I \subset \mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ (ou $\mathbb{C}$). On dit que $(f_n)$ converge simplement (CS) vers $f : I \to \mathbb{R}$ si : $$\forall x \in I, \quad \lim{n \to +\infty} f_n(x) = f(x)$$ Autrement dit : $\forall x \in I, , \forall \varepsilon > 0, , \exists N \in \mathbb{N}$ (dépendant de $x$ et $\varepsilon$) tel que $n \geq N \implies |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$.
1.2 Convergence uniforme§
[!abstract] Définition La suite $(f_n)$ converge uniformément (CU) vers $f$ sur $I$ si : $$\sup_{x \in I} |f_n(x) - f(x)| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$ Autrement dit : $\forall \varepsilon > 0, , \exists N \in \mathbb{N}$ (dépendant uniquement de $\varepsilon$) tel que $\forall n \geq N, , \forall x \in I, , |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$.
[!warning] Différence fondamentale
- Convergence simple : le rang $N$ dépend de $x$ et $\varepsilon$.
- Convergence uniforme : le rang $N$ ne dépend que de $\varepsilon$ (uniformité en $x$).
flowchart TD
A["Convergence uniforme sur I"] --> B["Convergence simple sur I"]
A -- "La réciproque est FAUSSE" --> C["Exemple : f_n(x) = xⁿ sur [0,1]<br/>CS vers f(x)=0 si x∈[0,1[, f(1)=1<br/>mais pas CU"]
B --> D["Pour chaque x fixé,<br/>f_n(x) → f(x)"]
A --> E["sup|f_n - f| → 0<br/>Contrôle global"]
[!example] Exemple classique $f_n(x) = x^n$ sur $[0, 1]$.
- CS : $f_n(x) \to 0$ si $x \in [0, 1[$ et $f_n(1) = 1$. La limite simple est $f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \in [0,1[ \ 1 & \text{si } x = 1\end{cases}$.
- Pas CU : $\sup_{[0,1]} |f_n(x) - f(x)| = \sup_{[0,1[} x^n = 1 \not\to 0$.
- De plus, chaque $f_n$ est continue mais la limite $f$ est discontinue : la convergence simple ne préserve pas la continuité.
1.3 Critère pratique de non-uniformité§
[!tip] Méthode Pour montrer que la convergence n’est pas uniforme, il suffit de trouver une suite $(x_n)$ dans $I$ telle que $|f_n(x_n) - f(x_n)| \not\to 0$.
2. Théorèmes fondamentaux pour les suites de fonctions§
2.1 Convergence uniforme et continuité§
[!abstract] Théorème (Double limite) Si $(f_n)$ est une suite de fonctions continues sur $I$ qui converge uniformément vers $f$ sur $I$, alors $f$ est continue sur $I$.
[!tip] Démonstration Soit $a \in I$ et $\varepsilon > 0$.
- Par CU, il existe $N$ tel que pour tout $n \geq N$ et tout $x \in I$ : $|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon/3$.
- Par continuité de $f_N$ en $a$, il existe $\delta > 0$ tel que $|x - a| < \delta \implies |f_N(x) - f_N(a)| < \varepsilon/3$.
- Alors pour $|x - a| < \delta$ : $$|f(x) - f(a)| \leq |f(x) - f_N(x)| + |f_N(x) - f_N(a)| + |f_N(a) - f(a)| < \varepsilon$$
[!warning] La réciproque est fausse La convergence simple d’une suite de fonctions continues vers une fonction continue n’implique pas la convergence uniforme.
2.2 Interversion limite-intégrale§
[!abstract] Théorème Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues sur un segment $[a, b]$ convergeant uniformément vers $f$ sur $[a, b]$. Alors : $$\lim_{n \to +\infty} \int_a^b f_n(t) , dt = \int_a^b f(t) , dt = \int_a^b \lim_{n \to +\infty} f_n(t) , dt$$
[!tip] Démonstration $$\left|\int_a^b f_n(t) , dt - \int_a^b f(t) , dt\right| \leq \int_a^b |f_n(t) - f(t)| , dt \leq (b-a) \sup_{[a,b]} |f_n - f| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$
2.3 Interversion limite-dérivée§
[!abstract] Théorème Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur un intervalle $I$ telle que :
- Il existe $x_0 \in I$ tel que $(f_n(x_0))$ converge.
- $(f_n’)$ converge uniformément sur tout segment de $I$ vers une fonction $g$.
Alors $(f_n)$ converge uniformément sur tout segment de $I$ vers une fonction $f$ de classe $\mathcal{C}^1$, et $f’ = g$. Autrement dit : $$\left(\lim_{n \to +\infty} f_n\right)’ = \lim_{n \to +\infty} f_n’$$
[!warning] Attention L’hypothèse de convergence uniforme porte sur les dérivées $f_n’$, pas sur les $f_n$ elles-mêmes. La convergence (ponctuelle) en un point suffit pour les $f_n$.
3. Séries de fonctions§
3.1 Définitions§
Soit $(f_n){n \geq 0}$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb{R}$. On s’intéresse à la série $\sum f_n$, dont la somme partielle est $S_N(x) = \sum{n=0}^{N} f_n(x)$.
[!abstract] Définitions
- La série $\sum f_n$ converge simplement si $(S_N)$ converge simplement.
- La série $\sum f_n$ converge uniformément sur $I$ si $(S_N)$ converge uniformément sur $I$.
- La série $\sum f_n$ converge normalement sur $I$ si $\sum_{n \geq 0} |f_n|\infty < +\infty$, où $|f_n|\infty = \sup_{x \in I} |f_n(x)|$.
3.2 Hiérarchie des convergences§
flowchart TD
A["Convergence NORMALE<br/>∑ ‖fₙ‖∞ converge"] ==> B["Convergence UNIFORME<br/>sup|Sₙ - S| → 0"]
B ==> C["Convergence SIMPLE<br/>∀x, Sₙ(x) → S(x)"]
A -- "Réciproque FAUSSE" -.-> D["Contre-ex : ∑(-1)ⁿ/n<br/>sur un singleton"]
B -- "Réciproque FAUSSE" -.-> E["Contre-ex : fₙ = xⁿ/n<br/>sur [0,1]"]
[!important] Convergence normale implique convergence uniforme Démonstration : Si $\sum |f_n|\infty$ converge, alors pour tout $x \in I$ et tout $N$ : $$\left|\sum{n=N+1}^{+\infty} f_n(x)\right| \leq \sum_{n=N+1}^{+\infty} |f_n(x)| \leq \sum_{n=N+1}^{+\infty} |f_n|_\infty \xrightarrow[N \to +\infty]{} 0$$ Le majorant est indépendant de $x$, d’où la convergence uniforme.
3.3 Critère de Weierstrass (convergence normale)§
[!abstract] Théorème (Weierstrass) S’il existe une série numérique convergente $\sum a_n$ ($a_n \geq 0$) telle que pour tout $n$ et tout $x \in I$ : $|f_n(x)| \leq a_n$, alors $\sum f_n$ converge normalement (donc uniformément) sur $I$.
[!tip] C’est le critère le plus utilisé en pratique On cherche un majorant $a_n$ de $|f_n|_\infty$ tel que $\sum a_n$ converge.
3.4 Condition nécessaire de convergence uniforme§
[!abstract] Proposition (Critère de Cauchy uniforme) Si $\sum f_n$ converge uniformément sur $I$, alors $|f_n|_\infty \to 0$.
(C’est l’analogue du critère du terme général pour les séries numériques.)
4. Théorèmes de régularité pour les séries de fonctions§
4.1 Continuité de la somme§
[!abstract] Théorème Si les $f_n$ sont continues sur $I$ et si $\sum f_n$ converge uniformément sur $I$ (ou sur tout segment de $I$), alors la somme $S = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n$ est continue sur $I$.
4.2 Intégration terme à terme§
[!abstract] Théorème Si les $f_n$ sont continues sur un segment $[a, b]$ et si $\sum f_n$ converge uniformément sur $[a, b]$, alors : $$\int_a^b \left(\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(t)\right) dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_a^b f_n(t) , dt$$
[!example] Exemple Calculer $\int_0^1 \frac{1}{1+t^2} , dt$ en utilisant le développement en série.
On a $\frac{1}{1+t^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n t^{2n}$ pour $|t| < 1$.
Sur $[0, x]$ pour $x < 1$, la convergence est normale (donc uniforme). On intègre terme à terme : $$\arctan x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$$
(La validité en $x = 1$ nécessite un argument supplémentaire, par exemple le théorème d’Abel.)
4.3 Dérivation terme à terme§
[!abstract] Théorème Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur un intervalle $I$. On suppose que :
- $\sum f_n$ converge simplement en au moins un point de $I$.
- $\sum f_n’$ converge uniformément sur tout segment de $I$.
Alors $\sum f_n$ converge uniformément sur tout segment de $I$ vers une fonction $S$ de classe $\mathcal{C}^1$, et : $$S’(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n’(x)$$
[!warning] Remarque importante L’hypothèse de convergence uniforme porte sur la série des dérivées $\sum f_n’$, pas sur $\sum f_n$ elle-même.
5. Théorème de convergence dominée§
[!abstract] Théorème (Convergence dominée de Lebesgue — énoncé admis) Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues par morceaux sur un intervalle $I$ (éventuellement non borné) telle que :
- $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $I$.
- Il existe $\varphi : I \to \mathbb{R}^+$ intégrable sur $I$ telle que pour tout $n$ et tout $x \in I$ : $|f_n(x)| \leq \varphi(x)$.
Alors $f$ est intégrable sur $I$ et : $$\lim_{n \to +\infty} \int_I f_n(t) , dt = \int_I f(t) , dt$$
[!tip] Utilité Ce théorème est plus puissant que l’interversion sous convergence uniforme, car il ne requiert que la convergence simple (mais avec une hypothèse de domination). Il est indispensable sur les intervalles non bornés.
6. Approximation uniforme : théorème de Stone-Weierstrass§
[!abstract] Théorème (Weierstrass, version classique) Toute fonction continue sur un segment $[a, b]$ est limite uniforme d’une suite de polynômes.
Autrement dit, l’algèbre $\mathbb{R}[X]$ est dense dans $(\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R}), |\cdot|_\infty)$.
[!abstract] Théorème (Stone-Weierstrass, version générale — énoncé admis) Soit $K$ un espace compact et $\mathcal{A}$ une sous-algèbre de $\mathcal{C}(K, \mathbb{R})$ qui :
- Contient les constantes.
- Sépare les points de $K$ : pour tous $x \neq y$ dans $K$, il existe $f \in \mathcal{A}$ telle que $f(x) \neq f(y)$.
Alors $\mathcal{A}$ est dense dans $\mathcal{C}(K, \mathbb{R})$ pour la norme uniforme.
7. Introduction aux séries de Fourier§
Les séries de fonctions trouvent une application majeure dans l’analyse harmonique.
7.1 Coefficients de Fourier§
Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction $2\pi$-périodique et intégrable sur $[0, 2\pi]$. Ses coefficients de Fourier sont :
$$a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t) , dt, \quad a_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \cos(nt) , dt, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \sin(nt) , dt$$
La série de Fourier de $f$ est :
$$S_f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} \left(a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)\right)$$
7.2 Convergence§
[!important] Résultats fondamentaux (admis ici)
- Convergence en norme $L^2$ (Parseval) : $|f|2^2 = a_0^2 + \frac{1}{2}\sum{n=1}^{+\infty}(a_n^2 + b_n^2)$.
- Convergence ponctuelle (Dirichlet) : sous des hypothèses de régularité ($f$ de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux), la série de Fourier converge en tout point.
- Convergence normale : si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$, alors la série de Fourier converge normalement vers $f$.
8. Résumé des théorèmes d’interversion§
| Hypothèse sur $f_n$ | Type de convergence | Continuité | Intégration | Dérivation |
|---|---|---|---|---|
| $f_n$ continues | Uniforme | Oui | Oui (segment) | — |
| $f_n \in \mathcal{C}^1$, $f_n’$ CU | CU des dérivées | Oui | Oui | Oui |
| $f_n$ continues par morceaux | Dominée (CS) | — | Oui | — |
9. Exercices types corrigés§
Exercice 1 : Convergence simple et uniforme§
[!example] Énoncé Étudier la convergence simple et uniforme de $f_n(x) = \frac{nx}{1 + n^2 x^2}$ sur $[0, +\infty[$.
Solution :
Convergence simple : Pour $x = 0$, $f_n(0) = 0$. Pour $x > 0$ : $f_n(x) = \frac{nx}{1 + n^2 x^2} = \frac{1}{nx + \frac{1}{nx}} \to 0$ quand $n \to +\infty$. Donc $(f_n)$ converge simplement vers $f = 0$.
Convergence uniforme ? : On calcule $|f_n|_\infty$. On dérive : $f_n’(x) = \frac{n(1 - n^2x^2)}{(1 + n^2 x^2)^2}$, qui s’annule en $x_n = 1/n$.
$f_n(x_n) = f_n(1/n) = \frac{n \cdot 1/n}{1 + 1} = \frac{1}{2}$.
Donc $|f_n|_\infty \geq 1/2 \not\to 0$. La convergence n’est pas uniforme sur $[0, +\infty[$.
Sur $[a, +\infty[$ avec $a > 0$ : $\sup_{x \geq a} f_n(x) \leq \frac{1}{na} \to 0$. Donc la convergence est uniforme sur tout $[a, +\infty[$ avec $a > 0$.
Exercice 2 : Convergence normale d’une série§
[!example] Énoncé Étudier la convergence de $\sum_{n \geq 1} \frac{\sin(nx)}{n^2}$ sur $\mathbb{R}$.
Solution :
$\left|\frac{\sin(nx)}{n^2}\right|\infty = \sup{x \in \mathbb{R}} \frac{|\sin(nx)|}{n^2} = \frac{1}{n^2}$.
Or $\sum \frac{1}{n^2}$ converge (série de Riemann, $p = 2 > 1$). Par le critère de Weierstrass, $\sum \frac{\sin(nx)}{n^2}$ converge normalement (donc uniformément) sur $\mathbb{R}$.
Chaque $f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{n^2}$ est continue, donc la somme $S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Exercice 3 : Intégration terme à terme§
[!example] Énoncé Calculer $\int_0^1 \ln(1-t) , \frac{dt}{t}$ en utilisant un développement en série.
Solution :
Pour $t \in [0, 1[$, on a $\ln(1-t) = -\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{t^n}{n}$.
Donc $\frac{\ln(1-t)}{t} = -\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{t^{n-1}}{n} = -\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n}{n+1}$.
On souhaite intégrer sur $[0, 1]$. Sur $[0, r]$ pour $r < 1$, la convergence est normale :
$$\int_0^r \frac{\ln(1-t)}{t} , dt = -\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{r^{n+1}}{(n+1)^2}$$
On fait tendre $r \to 1^-$ (convergence monotone ou théorème d’Abel) :
$$\int_0^1 \frac{\ln(1-t)}{t} , dt = -\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = -\frac{\pi^2}{6}$$
Exercice 4 : Dérivation terme à terme§
[!example] Énoncé Soit $S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} e^{-nx}$ pour $x > 0$. Montrer que $S$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et calculer $S’(x)$.
Solution :
Posons $f_n(x) = \frac{(-1)^{n+1}}{n} e^{-nx}$. Chaque $f_n$ est $\mathcal{C}^1$ sur $]0, +\infty[$.
Convergence simple de $\sum f_n$ : pour $x > 0$ fixé, c’est une série alternée dont le terme général tend vers 0 et est décroissant (en module) pour $n$ assez grand. Donc $\sum f_n(x)$ converge.
Convergence uniforme de $\sum f_n’$ : $f_n’(x) = (-1)^n e^{-nx}$. Sur $[a, +\infty[$ avec $a > 0$ :
$$|f_n’(x)| = e^{-nx} \leq e^{-na}$$
Or $\sum e^{-na}$ converge (série géométrique de raison $e^{-a} < 1$). Par Weierstrass, $\sum f_n’$ converge normalement (donc uniformément) sur $[a, +\infty[$.
Par le théorème de dérivation terme à terme, $S$ est $\mathcal{C}^1$ sur $]0, +\infty[$ et :
$$S’(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n e^{-nx} = -\sum_{n=1}^{+\infty} (-e^{-x})^n = -\frac{-e^{-x}}{1+e^{-x}} = \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} = \frac{1}{1 + e^x}$$
On reconnaît que $S(x) = \ln(1 + e^{-x}) = \ln\left(\frac{e^x + 1}{e^x}\right) = \ln(1 + e^x) - x$.