Démonstrations Classiques

Certaines preuves traversent les siècles non pas par utilité, mais par élégance. Elles sont des modèles de raisonnement et fonctionnent comme des étalons : si tu les connais, tu reconnais leur structure dans des dizaines d’autres preuves. Cette note rassemble les démonstrations canoniques que tout étudiant en mathématiques devrait avoir vues.

1. Irrationalité de $\sqrt{2}$§

Origine : pythagoriciens (Ve s. av. J.-C.) — légende rapportée par Pappus : Hippase, qui aurait divulgué la découverte, aurait été noyé en représailles.

Méthode : par l’absurde + descente infinie.

[!example] $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ Supposons $\sqrt{2} = p/q$ avec $p, q \in \mathbb{Z}$, $q > 0$, $\gcd(p, q) = 1$.

Alors $2 q^2 = p^2$, donc $p^2$ est pair. Or si $p$ est impair, $p^2$ l’est aussi. Donc $p$ est pair : écrivons $p = 2k$.

Substituant : $2q^2 = 4k^2$, donc $q^2 = 2k^2$. Par le même argument, $q$ est pair.

Mais $p$ et $q$ tous les deux pairs contredit $\gcd(p, q) = 1$. CQFD.

Importance : premier exemple historique d’une grandeur incommensurable — choc philosophique chez les pythagoriciens, qui pensaient que tout est nombre (entier ou rationnel).

2. Infinité des nombres premiers (Euclide, Éléments IX-20)§

Méthode : par l’absurde.

[!example] Il existe une infinité de nombres premiers Supposons que les nombres premiers soient en nombre fini : $p_1 < p_2 < \cdots < p_n$.

Posons $N = p_1 p_2 \cdots p_n + 1$. Alors $N \geq 2$, donc $N$ admet au moins un diviseur premier $p$.

Si $p = p_i$ pour un $i$, alors $p \mid p_1 \cdots p_n$. Combiné à $p \mid N$, cela donne $p \mid (N - p_1 \cdots p_n) = 1$ — absurde.

Donc $p$ n’est aucun des $p_i$, ce qui contredit la finitude supposée.

Importance : démonstration de pure beauté, 5 lignes pour un résultat fondamental. Modèle de raisonnement par l’absurde.

3. Théorème de Pythagore — preuve par découpage§

Origine : connu de plusieurs civilisations (babylonienne, chinoise, indienne) avant Pythagore. Plus de 350 preuves connues.

[!example] Dans un triangle rectangle d’hypoténuse $c$ et de cathètes $a, b$ : $a^2 + b^2 = c^2$

Preuve par découpage chinois (Zhou Bi Suan Jing, ~Ier s.) :

On dispose 4 triangles rectangles identiques dans un carré de côté $a+b$, de deux façons :

• Configuration 1 : les triangles laissent au milieu deux carrés, de côtés $a$ et $b$. Aire centrale : $a^2 + b^2$.
• Configuration 2 : les triangles laissent au milieu un seul carré de côté $c$. Aire centrale : $c^2$.

Comme l’aire totale est la même ($(a+b)^2$) et les 4 triangles aussi ($2ab$), on a $a^2 + b^2 = c^2$.

Importance : exemple-clé du raisonnement visuel en géométrie. La preuve d’Euclide (Éléments I-47) est différente, plus algébrique.

4. Somme des $n$ premiers entiers : $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$§

Origine : anecdote du jeune Gauss à 7 ans à qui le maître ordonne d’additionner les nombres de 1 à 100 — Gauss donne instantanément 5 050.

[!example] Preuve sans récurrence (méthode de Gauss) Écrivons la somme dans les deux sens : $$S = 1 + 2 + 3 + \cdots + (n-1) + n$$ $$S = n + (n-1) + (n-2) + \cdots + 2 + 1$$

En additionnant terme à terme : chaque colonne fait $n+1$, et il y a $n$ colonnes. $$2S = n(n+1) \quad \Rightarrow \quad S = \frac{n(n+1)}{2}$$

Importance : montre qu’une preuve directe peut être plus élégante qu’une récurrence.

5. La somme des inverses des carrés (problème de Bâle, Euler 1735)§

Énoncé : Pour quelle valeur $L$ a-t-on $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = L$ ?

Posé en 1644 par Pietro Mengoli, résolu en 1735 par Euler (28 ans), qui devient célèbre pour ce résultat.

[!example] Esquisse de la preuve d’Euler Euler note que la fonction $\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$ a pour zéros $x = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots$ et vaut $1$ en $0$.

Il « factorise » comme un polynôme infini : $$\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^{\infty}\left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)$$

Par développement en série, le coefficient de $x^2$ dans le membre de gauche est $-\pi^2/6$ (vient du DL de $\sin$).

Dans le membre de droite, le coefficient de $x^2$ est $-\sum_{n=1}^\infty 1/n^2$.

Par identification : $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.

Importance : ouvre la voie à la théorie des fonctions zêta. Démonstration formellement non rigoureuse (par les standards modernes) mais profonde. Plusieurs preuves rigoureuses existent aujourd’hui.

6. Identité d’Euler : $e^{i\pi} + 1 = 0$§

[!quote] Richard Feynman « La formule la plus remarquable de toutes les mathématiques. »

Relie cinq constantes fondamentales : $0, 1, e, i, \pi$, et trois opérations : addition, multiplication, exponentiation.

[!example] Preuve Par définition de l’exponentielle complexe : $$e^{ix} = \cos x + i \sin x$$ (Formule d’Euler générale, prouvée par les séries de Taylor.)

En particulier pour $x = \pi$ : $$e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + 0 \cdot i = -1$$ Donc $e^{i\pi} + 1 = 0$.

Importance : l’identité résume l’unité profonde de l’analyse, de la trigonométrie et de l’algèbre.

7. Cantor — $\mathbb{R}$ n’est pas dénombrable (argument diagonal, 1891)§

[!example] L’argument diagonal de Cantor Supposons par l’absurde que $[0, 1]$ soit dénombrable. On peut donc lister tous ses éléments : $$x_1 = 0{,}a_{1,1} a_{1,2} a_{1,3} a_{1,4} \dots$$ $$x_2 = 0{,}a_{2,1} a_{2,2} a_{2,3} a_{2,4} \dots$$ $$x_3 = 0{,}a_{3,1} a_{3,2} a_{3,3} a_{3,4} \dots$$ $$\vdots$$

Construisons $y = 0{,}b_1 b_2 b_3 b_4 \dots$ où $b_n \neq a_{n,n}$ (par exemple, $b_n = 5$ si $a_{n,n} \neq 5$, sinon $b_n = 6$).

Alors $y \in [0, 1]$ mais $y \neq x_n$ pour tout $n$ (ils diffèrent en position $n$). Contradiction avec l’exhaustivité de la liste.

Importance : ouvre la théorie des infinis de cardinaux différents. $|\mathbb{N}| < |\mathbb{R}|$ ; les rationnels sont dénombrables, les réels non. Choc philosophique au XIXe siècle.

8. Le paradoxe de Banach-Tarski (1924)§

Énoncé : on peut découper une boule en un nombre fini de morceaux et les réassembler (par rotations et translations) en deux boules de même volume que l’originale.

Conséquence de l’axiome du choix appliqué à des ensembles non mesurables. Démonstration techniquement avancée, mais énoncé qui défie toute intuition.

Importance : illustre les limites de notre intuition géométrique et le rôle subtil de l’axiome du choix.

9. Théorème fondamental de l’algèbre (Gauss, 1799)§

Énoncé : tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine complexe.

Méthode classique : par l’absurde, en utilisant l’analyse complexe (théorème de Liouville).

[!example] Esquisse Soit $P(z) = a_n z^n + \cdots + a_0$ non constant. Supposons que $P$ n’admette aucune racine. Alors $1/P$ est entière (holomorphe sur $\mathbb{C}$).

Pour $|z|$ grand, $|P(z)| \to \infty$ (terme dominant), donc $1/P \to 0$. En particulier $1/P$ est bornée.

Par le théorème de Liouville, toute fonction entière bornée est constante. Donc $P$ est constante — contradiction.

Importance : explique pourquoi $\mathbb{C}$ est « algébriquement clos », ce que $\mathbb{R}$ n’est pas ($x^2 + 1$ n’a pas de racine réelle).

10. Théorème de Pythagore appliqué — non-cubabilité de la sphère§

Plus généralement, beaucoup de résultats d’impossibilité célèbres :

• Quadrature du cercle impossible à la règle et au compas (Lindemann, 1882 : $\pi$ transcendant)
• Trisection de l’angle impossible en général (Wantzel, 1837)
• Duplication du cube impossible (Wantzel, 1837)
• Les équations polynomiales de degré $\geq 5$ n’ont pas de formule par radicaux (Abel-Ruffini, 1824 ; Galois)

Tous démontrés par des méthodes algébriques abstraites — théorie de Galois, transcendance.

11. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)§

Énoncé : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $f(a) \cdot f(b) < 0$, alors $f$ s’annule sur $]a, b[$.

[!example] Preuve par dichotomie Sans perte de généralité $f(a) < 0 < f(b)$. Posons $a_0 = a,; b_0 = b$.

À chaque étape, on regarde $m_n = (a_n + b_n)/2$ :

• si $f(m_n) > 0$, on pose $a_{n+1} = a_n,; b_{n+1} = m_n$
• si $f(m_n) < 0$, on pose $a_{n+1} = m_n,; b_{n+1} = b_n$
• si $f(m_n) = 0$, on a fini

Les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes (la première croît, la seconde décroît, $b_n - a_n \to 0$). Elles convergent vers une limite commune $c$. Par continuité, $f(c) = \lim f(a_n) \leq 0$ et $f(c) = \lim f(b_n) \geq 0$, donc $f(c) = 0$.

Importance : illustre le pouvoir de la complétude de $\mathbb{R}$. Sans complétude (sur $\mathbb{Q}$), le TVI est faux ($x^2 - 2$ change de signe sans s’annuler dans $\mathbb{Q}$).

12. Lemme de Bézout§

Énoncé : $\gcd(a, b) = d$ ssi il existe $u, v \in \mathbb{Z}$ tels que $au + bv = d$.

Preuve constructive par algorithme d’Euclide étendu — qu’on peut tracer en quelques lignes.

Importance : pierre angulaire de l’arithmétique. Permet de prouver le théorème de Gauss, l’unicité de la décomposition en premiers, et de construire concrètement les inverses modulaires (utilisés en RSA).

13. Théorème d’Euler pour les polyèdres§

Énoncé : Pour tout polyèdre convexe, $V - E + F = 2$ (sommets - arêtes + faces).

Importance : premier invariant topologique identifié — annonce la naissance de la topologie. Généralisable aux surfaces : $V - E + F = 2 - 2g$ où $g$ est le « genre » (nombre de trous).

Pourquoi connaître ces démonstrations§

Au-delà des théorèmes eux-mêmes, ces preuves sont des patrons :

• L’argument diagonal de Cantor sert dans la démonstration de l’indécidabilité (Gödel, Turing).
• La preuve d’Euclide sur les premiers sert de modèle pour montrer qu’une famille est infinie.
• Le découpage de Pythagore est l’archétype de la preuve géométrique visuelle.
• L’analyse-synthèse pair/impair se rencontre dans toute décomposition canonique.

Maîtriser ces classiques, c’est se constituer une bibliothèque mentale d’astuces réutilisables.