Glossaire des Symboles Mathématiques

Les mathématiques ont leur alphabet : un système de symboles concis qui condense en quelques signes ce qu’il faudrait des phrases pour exprimer. Cette note recense les symboles courants, leur lecture orale (importante en colle), leur signification, et un exemple d’usage.

[!tip] Comment lire les maths à voix haute En colle, en oral, ou simplement pour ne pas se tromper en relisant son cours, savoir lire les formules en français est essentiel. Cette note te donne la prononciation conventionnelle de chaque symbole.

Logique§

Symbole	Lecture	Signification	Exemple
$\forall$	« pour tout »	Quantificateur universel	$\forall x \in \mathbb{R},; x^2 \geq 0$
$\exists$	« il existe »	Quantificateur existentiel	$\exists n \in \mathbb{N},; n > 1000$
$\exists!$	« il existe un unique »	Existence et unicité	$\exists! x,; x + 1 = 2$
$\Rightarrow$	« implique »	Implication logique	$x > 1 \Rightarrow x^2 > 1$
$\Leftarrow$	« est impliqué par » / « si »	Implication réciproque	rarement écrit, on retourne $\Rightarrow$
$\Leftrightarrow$	« si et seulement si » / « équivaut à »	Équivalence	$x^2 = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$
$\lnot$ ou $\neg$	« non »	Négation	$\lnot(x > 0) \equiv x \leq 0$
$\land$	« et »	Conjonction	$P \land Q$ : $P$ et $Q$ vraies
$\lor$	« ou » (inclusif)	Disjonction	$P \lor Q$ : au moins une vraie
$\equiv$	« équivalent »	Équivalence sémantique (ou congruence)	$P \equiv Q$
$\vdash$	« démontre » / « thèse »	Déduction syntaxique	$\Gamma \vdash \varphi$
$\models$	« satisfait »	Vérité sémantique	$\mathcal{M} \models \varphi$
$\Box$, $\blacksquare$, CQFD	« ce qu’il fallait démontrer »	Fin de démonstration	« … donc $f$ est continue. $\blacksquare$ »

[!warning] Pièges courants

$P \Rightarrow Q$ et $Q \Rightarrow P$ ne sont pas équivalents — la première dit « si $P$ alors $Q$ », la seconde dit l’inverse

$\Rightarrow$ n’est pas synonyme de « donc » : on peut écrire « $P \Rightarrow Q$ est vraie » indépendamment de la vérité de $P$

L’ordre $\forall x,; \exists y$ vs $\exists y,; \forall x$ change radicalement le sens

Ensembles§

Symbole	Lecture	Signification	Exemple
$\in$	« appartient à »	Élément d’un ensemble	$3 \in \mathbb{N}$
$\notin$	« n’appartient pas à »	Non-appartenance	$-1 \notin \mathbb{N}$
$\subset$	« est inclus dans »	Inclusion (large ou stricte selon convention)	$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$
$\subseteq$	« est inclus ou égal »	Inclusion large	$A \subseteq A$ toujours
$\subsetneq$	« est strictement inclus »	Inclusion stricte	$\mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z}$
$\supset$	« contient »	Inclusion inverse	$\mathbb{Z} \supset \mathbb{N}$
$\cup$	« union »	Union ensembliste	$A \cup B$
$\cap$	« inter » / « intersection »	Intersection	$A \cap B$
$\setminus$	« privé de »	Différence	$A \setminus B = {x \in A : x \notin B}$
$\complement A$, $\overline{A}$, $A^c$	« complémentaire de A »	Complémentaire	$\complement_{\mathbb{R}}\mathbb{Q}$ = irrationnels
$\varnothing$, $\emptyset$	« ensemble vide »	Ensemble sans élément	$A \cap \overline{A} = \varnothing$
$	A	$, $\text{card}(A)$	« cardinal de A »
$\mathcal{P}(A)$	« parties de A »	Ensemble des parties	$
$A \times B$	« A croix B »	Produit cartésien	$\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$
${x : P(x)}$	« l’ensemble des x tels que P(x) »	Notation par compréhension	${n \in \mathbb{N} : n^2 < 100}$

Ensembles numériques§

Symbole	Lecture	Définition
$\mathbb{N}$	« N »	Entiers naturels : ${0, 1, 2, \dots}$
$\mathbb{Z}$	« Z »	Entiers relatifs : ${\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots}$
$\mathbb{D}$	« D »	Nombres décimaux
$\mathbb{Q}$	« Q »	Rationnels : ${p/q : p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}^*}$
$\mathbb{R}$	« R »	Réels
$\mathbb{C}$	« C »	Complexes : ${a + ib : a, b \in \mathbb{R}}$
$\mathbb{H}$	« H » (Hamilton)	Quaternions
$\mathbb{R}^, \mathbb{R}^+, \mathbb{R}^_+$	« R étoile, R plus, R étoile plus »	Privé de 0, positifs, strictement positifs
$\mathbb{F}_q$	« corps fini à q éléments »	Corps fini
$\mathbb{K}$ ou $K$	« K »	Corps quelconque (souvent $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$)

Opérations et relations§

Symbole	Lecture	Signification
$=$	« égal »	Égalité
$\neq$	« différent »	Inégalité
$\leq$	« inférieur ou égal »	Inégalité large
$<$	« strictement inférieur »	Inégalité stricte
$\geq, >$	« supérieur ou égal, strictement supérieur »	—
$\approx$	« environ »	Approximation numérique
$\sim$	« équivalent »	Asymptotique : $u_n \sim v_n$ ssi $u_n/v_n \to 1$
$\propto$	« proportionnel »	Proportionnalité
$\equiv \pmod n$	« congru modulo n »	$a \equiv b \pmod n$ ssi $n \mid (a-b)$
$\mid$	« divise »	$a \mid b$ ssi $\exists k,; b = ka$
$\nmid$	« ne divise pas »	—
$\gcd$, $\pgcd$, $\wedge$	« pgcd »	Plus grand commun diviseur
$\text{lcm}$, $\ppcm$, $\vee$	« ppcm »	Plus petit commun multiple
$\circ$	« rond »	Composition : $(f \circ g)(x) = f(g(x))$
$\cdot$	« point »	Produit (souvent omis)
$\otimes$	« tenseur »	Produit tensoriel
$\oplus$	« somme directe »	$E = F \oplus G$
$\perp$	« orthogonal »	$u \perp v$ : $\langle u, v \rangle = 0$
$\parallel$	« parallèle »	Droites parallèles

Sommes, produits, limites§

Symbole	Lecture	Signification
$\sum_{k=1}^n a_k$	« somme de k égal 1 à n de a indice k »	$a_1 + a_2 + \cdots + a_n$
$\prod_{k=1}^n a_k$	« produit de k égal 1 à n de a indice k »	$a_1 \cdot a_2 \cdots a_n$
$\int_a^b f(x), dx$	« intégrale de a à b de f(x) dx »	Intégrale définie
$\iint, \iiint$	« double / triple intégrale »	Intégrale multiple
$\oint$	« intégrale curviligne fermée »	Intégrale sur courbe fermée
$\lim_{n \to +\infty}$	« limite quand n tend vers plus l’infini »	—
$\liminf$, $\limsup$	« limite inférieure / supérieure »	Limites d’adhérence
$\to$, $\rightarrow$	« tend vers », « flèche »	$u_n \to \ell$
$\mapsto$	« est associé à »	$x \mapsto f(x)$ : définition d’application

Calcul différentiel et intégral§

Symbole	Lecture	Signification
$f’(x)$, $\frac{df}{dx}$	« f prime de x », « d f sur d x »	Dérivée
$f”$, $f^{(n)}$	« f seconde », « f n-ième »	Dérivées successives
$\partial f / \partial x$	« d rond f sur d rond x »	Dérivée partielle
$\nabla f$	« nabla f » / « gradient de f »	Gradient
$\Delta f$	« delta f » / « laplacien de f »	Laplacien $\sum \partial^2 f / \partial x_i^2$
$\text{div}, \text{rot}, \text{curl}$	« divergence, rotationnel »	Opérateurs vectoriels
$df$	« différentielle de f »	—
$o(f)$, $O(f)$	« petit o de f », « grand O de f »	Notations de Landau (négligeable / dominé)

Algèbre linéaire§

Symbole	Lecture	Signification
$\dim E$	« dimension de E »	—
$\text{rg}(f)$	« rang de f »	$\dim(\text{Im } f)$
$\ker f$	« noyau de f »	${x : f(x) = 0}$
$\text{Im } f$	« image de f »	${f(x) : x \in E}$
$\text{Vect}(v_1, \dots, v_k)$	« espace engendré par »	Sous-espace engendré
$\mathcal{L}(E, F)$	« les applications linéaires de E dans F »	—
$\mathcal{L}(E) = \mathcal{L}(E, E)$	« endomorphismes de E »	—
$\text{GL}_n(K)$	« groupe linéaire »	Matrices inversibles
$\text{tr}(A)$	« trace de A »	Somme des éléments diagonaux
$\det(A)$, $	A	$
$A^T$, $A^t$, $,^tA$	« transposée de A »	—
$A^{-1}$	« A à la moins un »	Matrice inverse
$A^*$, $\bar{A}^T$	« adjointe » / « hermitienne »	Conjuguée transposée
$I_n$, $\text{Id}$	« identité »	Matrice identité
$\langle u, v \rangle$, $u \cdot v$	« produit scalaire »	—
$\|u\|$	« norme de u »	—

Probabilités§

Symbole	Lecture	Signification
$\Omega$	« oméga »	Univers (ensemble des issues)
$\mathcal{A}$	« tribu, sigma-algèbre »	Famille des événements
$P(A)$, $\mathbb{P}(A)$	« P de A », « probabilité de A »	—
$P(A \mid B)$	« P de A sachant B »	Probabilité conditionnelle
$E(X)$, $\mathbb{E}(X)$	« espérance de X »	—
$V(X)$, $\text{Var}(X)$	« variance de X »	—
$\sigma(X)$	« écart-type de X »	—
$\text{cov}(X, Y)$	« covariance »	—
$X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$	« X suit une loi normale »	—
$X \perp!!!\perp Y$	« X et Y indépendantes »	Notation pour l’indépendance
$X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X$	« convergence en loi »	—
$X_n \xrightarrow{P} X$	« convergence en probabilité »	—
$X_n \xrightarrow{p.s.} X$	« convergence presque sûre »	—

Lettres grecques courantes§

Lettre	Nom	Usage typique
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$	alpha, bêta, gamma	Coefficients, angles
$\delta$, $\Delta$	delta	Petite variation, opérateur Laplacien (capitale)
$\varepsilon$, $\epsilon$	epsilon	Petite quantité positive (épsilon-delta)
$\zeta$	zêta	Fonction zêta de Riemann
$\eta$	êta	Variable auxiliaire
$\theta$, $\Theta$	thêta	Angle, paramètre statistique
$\iota$	iota	Rare
$\kappa$	kappa	Courbure, constante
$\lambda$, $\Lambda$	lambda	Valeur propre, paramètre Poisson
$\mu$	mu	Moyenne, mesure
$\nu$	nu	Mesure, fréquence
$\xi$, $\Xi$	ksi, xi	Variable auxiliaire
$\pi$, $\Pi$	pi	Constante 3.14, produit (capitale)
$\rho$	rho	Densité, coefficient de corrélation
$\sigma$, $\Sigma$	sigma	Écart-type, somme (capitale)
$\tau$	tau	Temps, période
$\varphi$, $\phi$, $\Phi$	phi	Indicatrice d’Euler, angle, fonction
$\chi$	khi	Loi du khi-2, polynôme caractéristique
$\psi$, $\Psi$	psi	Fonction d’onde, fonction quelconque
$\omega$, $\Omega$	oméga	Pulsation, univers (capitale)

Quelques notations spéciales§

Symbole	Lecture	Signification
$\binom{n}{k}$	« combinaison de k parmi n » / « k parmi n »	$\frac{n!}{k!(n-k)!}$
$n!$	« factorielle n »	$n \cdot (n-1) \cdots 1$
$\lfloor x \rfloor$	« partie entière de x » / « plancher de x »	Plus grand entier $\leq x$
$\lceil x \rceil$	« plafond de x »	Plus petit entier $\geq x$
$\lfloor x \rceil$	« entier le plus proche »	—
${x}$	« partie fractionnaire »	$x - \lfloor x \rfloor$
$	x	$
$\overline{z}$	« conjugué de z »	Conjugué complexe
$\text{Re}(z), \text{Im}(z)$	« partie réelle, imaginaire »	—
$\arg(z)$	« argument de z »	Angle
$\delta_{ij}$	« delta de Kronecker »	1 si $i = j$, 0 sinon
$\mathbb{1}_A(x)$, $\chi_A(x)$	« fonction indicatrice de A »	1 si $x \in A$, 0 sinon
$\sup$, $\inf$	« sup, inf »	Borne supérieure/inférieure
$\max$, $\min$	« max, min »	Maximum, minimum
$\arg\max$, $\arg\min$	« arg-max, arg-min »	Argument qui maximise/minimise

Conventions typographiques§

Caractères droits pour les fonctions standards : $\sin$, $\cos$, $\log$, $\det$, $\ker$, $\dim$
Lettres calligraphiques $\mathcal{A}, \mathcal{B}, \dots$ pour les familles/catégories
Lettres ajourées (blackboard) $\mathbb{N}, \mathbb{R}, \dots$ pour les ensembles numériques de référence
Lettres gothiques $\mathfrak{g}, \mathfrak{h}, \dots$ en algèbre avancée (algèbres de Lie, idéaux)
Indices pour les éléments d’une suite/famille : $u_n$, $a_{ij}$
Exposants pour les puissances ou itérations : $x^n$, $f^{(n)}$, $A^T$ (transposée — l’exposant peut avoir un autre sens)

—The Gardener