Comment Montrer Que…

Face à une question d’exercice, le blocage initial vient rarement du manque de connaissance — il vient de ne pas savoir par quel bout commencer. Cette note est un index pratique : pour chaque type de question fréquente, elle indique la(les) méthode(s) standard à essayer. C’est un réflexe à acquérir, pas une vérité absolue : parfois la méthode standard ne marche pas, mais c’est presque toujours par là qu’il faut commencer.

Sommaire des questions classiques§

• Analyse — fonctions
• Analyse — suites et séries
• Analyse — intégrales
• Algèbre linéaire
• Arithmétique
• Probabilités
• Ensembles et applications

Analyse — fonctions§

Montrer qu’une fonction est continue en $a$§

Méthodes possibles :

1. Composition : si $f$ est continue en $a$ et $g$ continue en $f(a)$, alors $g \circ f$ continue en $a$
2. Somme/produit/quotient de fonctions continues (attention au dénominateur)
3. Définition $\varepsilon$-$\delta$ : $\forall \varepsilon > 0,; \exists \delta > 0,; |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(a)| < \varepsilon$ (rare en pratique)
4. Caractérisation séquentielle : pour toute suite $(x_n) \to a$, $f(x_n) \to f(a)$
5. Limite à droite = limite à gauche = $f(a)$ (utile aux raccords)

Montrer qu’une fonction est dérivable§

1. Théorèmes généraux : somme, produit, composition, quotient de fonctions dérivables
2. Définition : $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ existe et est finie
3. Prolongement : si $f$ est définie par morceaux, vérifier le raccord (limite des dérivées à gauche/droite)

Montrer qu’une fonction est de classe $\mathcal{C}^k$ ou $\mathcal{C}^\infty$§

Récurrence sur l’ordre de dérivation, ou théorèmes généraux. Pour $\mathcal{C}^\infty$, souvent par identification avec une fonction connue (exponentielle, polynôme, série entière sur son disque ouvert).

Montrer qu’une fonction est bijective§

1. Stricte monotonie sur un intervalle + théorème de la bijection (TVI + monotonie)
2. Construction explicite de la réciproque
3. Injectivité et surjectivité séparément :
   • Injectivité : $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$ (souvent par stricte monotonie)
   • Surjectivité : pour tout $y$ dans l’arrivée, exhiber $x$ tel que $f(x) = y$ (souvent par TVI)

Montrer qu’une équation $f(x) = 0$ admet une solution§

1. TVI : si $f$ continue et change de signe
2. Théorème de la bijection + valeur cible dans l’image

Montrer qu’une équation $f(x) = 0$ admet une unique solution§

TVI + stricte monotonie (assurée par étude du signe de $f'$).

Montrer qu’une fonction est paire / impaire / périodique§

Calcul direct : $f(-x) = f(x)$ / $f(-x) = -f(x)$ / $f(x+T) = f(x)$. Vérifier d’abord que le domaine est symétrique (ou stable par translation).

Montrer une inégalité $f(x) \geq g(x)$§

1. Étudier $h = f - g$ : montrer $h \geq 0$ via tableau de variations + valeur minimum positive
2. Récurrence si l’inégalité dépend d’un entier $n$
3. Inégalité connue : Cauchy-Schwarz, Bernoulli, AM-GM, convexité
4. Encadrement : montrer $f \geq h \geq g$ pour une fonction intermédiaire $h$

Montrer qu’une limite existe§

1. Calcul direct par opérations sur les limites
2. Encadrement (théorème des gendarmes)
3. Suite monotone bornée (pour les suites)
4. Critère de Cauchy (analyse plus fine)

Analyse — suites et séries§

Montrer qu’une suite converge§

1. Suite monotone et bornée ⇒ convergente
2. Suites adjacentes ($u_n$ croît, $v_n$ décroît, $v_n - u_n \to 0$)
3. Encadrement par deux suites de même limite
4. Convergence dans $\mathbb{R}$ d’une suite de Cauchy (rare au niveau prépa)
5. Identification avec une suite connue (géométrique, arithmético-géométrique, série télescopique)

Montrer qu’une suite diverge§

1. Limite infinie : minoration/majoration par une suite divergente
2. Deux sous-suites de limites différentes
3. Critère négatif : $u_n$ non bornée, ou non monotone et non bornée

Montrer qu’une série $\sum u_n$ converge§

1. Convergence absolue ($\sum |u_n|$ converge) ⇒ convergence
2. Comparaison avec une série de référence ($\sum 1/n^\alpha$, géométrique, $\sum 1/n!$)
3. Critère de d’Alembert : $u_{n+1}/u_n \to \ell < 1$ ⇒ converge
4. Critère de Cauchy : $\sqrt[n]{|u_n|} \to \ell < 1$ ⇒ converge
5. Séries alternées : $u_n = (-1)^n a_n$ avec $a_n$ décroissante vers 0 ⇒ converge
6. Équivalent : si $u_n \sim v_n$ et signes constants, mêmes natures

Montrer une convergence uniforme§

1. Majoration uniforme : $\sup_{x} |f_n(x) - f(x)| \to 0$
2. Critère de Weierstrass pour les séries : $|u_n(x)| \leq a_n$ avec $\sum a_n$ convergente
3. Cauchy uniforme

Analyse — intégrales§

Montrer qu’une intégrale converge (intégrale impropre)§

1. Comparaison avec $\int 1/x^\alpha$
2. Équivalent à l’infini (signes constants)
3. Critère de Riemann : en $+\infty$, $\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^\alpha}$ converge ssi $\alpha > 1$ ; en $0$, $\int_0^1 \frac{dx}{x^\alpha}$ converge ssi $\alpha < 1$
4. Convergence absolue ⇒ convergence

Montrer qu’une fonction est intégrable sur $I$§

Sur $[a, b]$ fermé borné : continue ou continue par morceaux suffit. Sur intervalle non borné : convergence de l’intégrale (cf. ci-dessus).

Calculer une intégrale§

1. Primitive directe (formulaire)
2. Intégration par parties (IPP) : $\int u'v = [uv] - \int uv'$
3. Changement de variable
4. Décomposition en éléments simples (fractions rationnelles)
5. Linéarisation trigonométrique
6. Symétries (fonction paire/impaire)
7. Astuces : différentiation sous l’intégrale, équations différentielles vérifiées par l’intégrale

Algèbre linéaire§

Montrer qu’un ensemble $F$ est un sous-espace vectoriel§

Trois conditions :

1. $F \subset E$ et $F \neq \varnothing$ (souvent : $0_E \in F$)
2. Stable par addition : $u, v \in F \Rightarrow u + v \in F$
3. Stable par multiplication par scalaire : $u \in F,; \lambda \in K \Rightarrow \lambda u \in F$

Variante condensée : $F \neq \varnothing$ et $\forall u, v \in F,; \forall \lambda \in K,; u + \lambda v \in F$.

Montrer qu’une famille est libre§

1. Définition : $\sum \lambda_i x_i = 0 \Rightarrow \lambda_i = 0$ pour tout $i$
2. Matrice associée de rang égal au nombre de vecteurs (cas concret en dim. finie)
3. Wronskien pour des fonctions (cas particulier des $\mathcal{C}^\infty$)
4. Échelle : famille échelonnée en degré (polynômes) ou en valuation est libre

Montrer qu’une famille est génératrice§

Montrer que tout vecteur de $E$ s’écrit comme combinaison linéaire de la famille. En dim. finie : suffisant d’avoir $\dim E$ vecteurs libres.

Montrer qu’une famille est une base§

1. Libre et génératrice
2. En dimension finie : libre et cardinal = dim, ou génératrice et cardinal = dim

Montrer qu’une application est linéaire§

$f(u + \lambda v) = f(u) + \lambda f(v)$ pour tous $u, v \in E$ et $\lambda \in K$.

Calculer un rang, un noyau, une image§

• $\ker f = {x \in E : f(x) = 0}$ — résoudre le système $f(x) = 0$
• $\text{Im } f = {f(x) : x \in E}$ — image des vecteurs d’une base
• Théorème du rang : $\dim E = \dim \ker f + \text{rg}(f)$

Montrer qu’une matrice est diagonalisable§

1. Polynôme caractéristique scindé à racines simples ⇒ diagonalisable
2. Polynôme caractéristique scindé + dimension des sous-espaces propres = ordre de multiplicité
3. Polynôme annulateur scindé à racines simples
4. Symétrique réelle (théorème spectral)

Arithmétique§

Montrer que $a \mid b$§

1. Définition : exhiber $k$ tel que $b = ka$
2. Bézout : $\gcd(a, c) = 1$ et $a \mid bc$ ⇒ $a \mid b$ (théorème de Gauss)
3. Congruences : $b \equiv 0 \pmod a$

Montrer que $\gcd(a, b) = d$§

1. $d \mid a$ et $d \mid b$
2. Pour tout diviseur commun $c$, $c \mid d$
3. Algorithme d’Euclide

Montrer que $a$ et $b$ sont premiers entre eux§

1. $\gcd(a, b) = 1$ (Euclide)
2. Bézout : exhiber $u, v$ tels que $au + bv = 1$
3. Pas de diviseur premier commun

Montrer qu’un entier est premier§

Vérifier qu’aucun premier $\leq \sqrt{n}$ ne divise $n$.

Montrer une congruence $a \equiv b \pmod n$§

1. $n \mid (a - b)$
2. Petit théorème de Fermat (si $n$ premier)
3. Théorème d’Euler
4. Théorème des restes chinois pour décomposer modulo des facteurs premiers entre eux

Probabilités§

Montrer que deux événements sont indépendants§

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ (définition).

Montrer une formule de probabilité totale§

Identifier un système complet d’événements $(B_i)$ (partition de $\Omega$) et appliquer :

$$P(A) = \sum_i P(A \mid B_i) \cdot P(B_i)$$

Montrer qu’une variable aléatoire suit une certaine loi§

1. Identifier la situation (Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson, normale)
2. Calculer la loi : $P(X = k)$ pour $k$ dans le support
3. Vérifier que c’est bien la loi en question

Calculer espérance et variance§

1. Définition : $E(X) = \sum k \cdot P(X = k)$ ; $V(X) = E((X-E(X))^2)$
2. Formule de König-Huygens : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$
3. Linéarité de l’espérance : $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ même non indépendantes
4. Pour variances : indépendance requise, $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$ ssi indépendantes

Ensembles et applications§

Montrer que $A = B$ (ensembles)§

Double inclusion : $A \subset B$ et $B \subset A$.

Montrer qu’une application est injective§

$f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$. (Toujours partir de $f(x) = f(y)$.)

Montrer qu’une application est surjective§

Pour tout $y$ dans l’arrivée, construire $x$ tel que $f(x) = y$ (souvent par résolution d’équation).

Montrer qu’une application est bijective§

1. Injective et surjective
2. Réciproque explicite $g$ telle que $f \circ g = \text{id}$ et $g \circ f = \text{id}$
3. En dim. finie : injectivité ssi surjectivité ssi bijectivité (pour endomorphisme)

Conseils méta§

Pour les méthodes générales, voir Méthodes de Démonstration. Pour les preuves modèles à imiter, voir Démonstrations Classiques.