Erreurs Classiques en Mathématiques
Les erreurs en mathématiques ne sont pas aléatoires : la plupart suivent quelques patrons récurrents. Cette note recense les pièges les plus courants — ceux qu’on voit semaine après semaine en copies de prépa, et qui font perdre des points alors que le raisonnement de fond était bon. Connaître l’erreur, c’est déjà l’éviter.
[!tip] Mode d’emploi Avant de rendre une copie ou un DM : relis-la en cherchant activement les erreurs listées ici. C’est plus efficace qu’une relecture passive.
1. Erreurs de logique§
1.1 Confondre implication et équivalence§
L’erreur la plus répandue : démontrer $P \Rightarrow Q$ et en conclure $P \Leftrightarrow Q$.
[!warning] $P \Rightarrow Q$ ne donne pas $Q \Rightarrow P$ Exemple : « si $x = 2$ alors $x^2 = 4$ » est vrai. La réciproque « si $x^2 = 4$ alors $x = 2$ » est fausse ($x = -2$ marche aussi).
Conséquence : si l’énoncé demande une équivalence, on doit prouver les deux sens.
1.2 Négation mal posée§
| Énoncé | Négation correcte | Erreur typique |
|---|---|---|
| $\forall x, P(x)$ | $\exists x, \lnot P(x)$ | « $\forall x, \lnot P(x)$ » (trop fort) |
| $\exists x, P(x)$ | $\forall x, \lnot P(x)$ | « $\exists x, \lnot P(x)$ » (n’est pas une négation) |
| $\forall x,; \exists y,; P(x,y)$ | $\exists x,; \forall y,; \lnot P(x,y)$ | Oublier de renverser les quantificateurs |
| $A$ et $B$ | non $A$ ou non $B$ (De Morgan) | « non $A$ et non $B$ » |
| $A$ ou $B$ | non $A$ et non $B$ (De Morgan) | « non $A$ ou non $B$ » |
1.3 Pétition de principe (raisonnement circulaire)§
Utiliser ce qu’on doit démontrer pour le démontrer. Souvent caché derrière un « il est clair que ».
[!example] Erreur Pour montrer $a^2 + b^2 \geq 2ab$, écrire : « On a $a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$, soit $(a-b)^2 \geq 0$, ce qui est vrai puisque $a^2 + b^2 \geq 2ab$. »
Problème : on suppose ce qu’on cherche à prouver. La bonne preuve part de $(a-b)^2 \geq 0$ et développe.
1.4 Abus du « donc »§
Le mot « donc » sous-entend une déduction logique. L’utiliser à la place d’un saut intuitif est une faute.
[!warning] Phrases suspectes
- « Il est clair que… » → s’il l’était, on n’aurait pas besoin de l’écrire
- « On voit que… » → la copie ne voit pas, elle lit
- « De même… » → écrire au moins la deuxième occurrence pour montrer qu’on sait
1.5 Confondre condition nécessaire et condition suffisante§
- Nécessaire : « pour que $Q$, il faut $P$ » ($Q \Rightarrow P$)
- Suffisante : « pour que $Q$, il suffit que $P$ » ($P \Rightarrow Q$)
« Nécessaire et suffisante » = équivalence.
2. Erreurs algébriques§
2.1 Manipulations interdites§
| Faute | Pourquoi c’est faux |
|---|---|
| $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ | $\sqrt{1+1} = \sqrt{2} \neq 2$ |
| $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ | Manque le double produit $2ab$ |
| $\frac{a + b}{c + d} = \frac{a}{c} + \frac{b}{d}$ | Test : $\frac{1+1}{1+1} = 1 \neq 2$ |
| $\frac{1}{a + b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ | Test : $\frac{1}{2} \neq \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = 2$ |
| $\ln(a + b) = \ln a + \ln b$ | Le logarithme transforme produit ↔ somme, pas somme ↔ somme |
| $e^{a + b} = e^a + e^b$ | C’est $e^a \cdot e^b$ |
| $\sin(a + b) = \sin a + \sin b$ | Formules d’addition non triviales |
| $(a^b)^c = a^{b+c}$ | C’est $a^{bc}$ |
| $a^b \cdot a^c = a^{bc}$ | C’est $a^{b+c}$ |
2.2 Division par zéro§
[!warning] Toujours vérifier que ce par quoi on divise est non nul Erreur célèbre : $$a = b \Rightarrow a^2 = ab \Rightarrow a^2 - b^2 = ab - b^2 \Rightarrow (a+b)(a-b) = b(a-b) \Rightarrow a + b = b$$
Conclusion absurde : si $a = b = 1$, alors $1 + 1 = 1$. L’erreur : on a divisé par $a - b$ qui est nul.
2.3 Simplifications hâtives§
- Simplifier $\sqrt{x^2}$ en $x$ : faux, c’est $|x|$
- Simplifier $\ln(x^2)$ en $2 \ln x$ : valable seulement si $x > 0$ ; sinon $2 \ln |x|$
- Multiplier par un facteur d’expression négative dans une inégalité sans renverser le sens
2.4 Identités remarquables élargies§
$$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$$
Ne pas oublier les doubles produits, et tous les doubles produits.
3. Erreurs en analyse§
3.1 Limite — confondre forme et résultat§
Une « forme indéterminée » n’est pas une valeur de limite :
- $\frac{0}{0}$ : peut valoir n’importe quoi (par exemple, $\lim x/x = 1$, $\lim x^2/x = 0$, $\lim x/x^2 = \infty$)
- $\infty - \infty$ : $(n+1) - n \to 1$, mais $(2n) - n \to \infty$
- $0 \cdot \infty$, $\infty^0$, $1^\infty$, $0^0$ : toutes indéterminées
[!warning] Conclusion hâtive « $\lim x \sin(1/x) = 0$ car c’est $0 \cdot$ (quelque chose) » est faux. Il faut majorer : $|x \sin(1/x)| \leq |x| \to 0$, puis utiliser les gendarmes.
3.2 Dérivée§
| Erreur | Correction |
|---|---|
| $(f \cdot g)’ = f’ \cdot g’$ | $(fg)’ = f’g + fg’$ |
| $(f/g)’ = f’/g’$ | $(f/g)’ = (f’g - fg’)/g^2$ |
| $(f \circ g)’ = f’ \circ g’$ | $(f \circ g)’ = (f’ \circ g) \cdot g’$ |
| $f’(g(x)) = (f \circ g)‘(x)$ | $(f \circ g)‘(x) = f’(g(x)) \cdot g’(x)$ |
3.3 Intégrale§
- $\int f \cdot g = (\int f) \cdot (\int g)$ : faux, l’intégrale n’est pas multiplicative
- $\int \frac{f’}{g}$ ne se simplifie pas seul ; en revanche $\int \frac{f’}{f} = \ln |f|$
- Ne pas oublier la constante d’intégration dans les primitives indéfinies
- Ne pas oublier le dx (vérifier que ce qu’on écrit a un sens)
3.4 Convergence§
| Erreur | Précision |
|---|---|
| « $u_n$ converge car $u_{n+1} - u_n \to 0$ » | Faux : pour $u_n = \ln n$, on a $u_{n+1} - u_n = \ln(1 + 1/n) \to 0$, mais $u_n \to +\infty$ |
| « $\sum u_n$ converge ssi $u_n \to 0$ » | $u_n \to 0$ est nécessaire mais pas suffisant ($\sum 1/n$ diverge) |
| Inverser limite et intégrale sans précaution | Nécessite convergence dominée ou uniforme |
| Dériver une série terme à terme | Nécessite convergence uniforme de la série dérivée |
4. Erreurs en algèbre linéaire§
4.1 Confondre les objets§
- $\dim(\ker f) + \dim(\text{Im } f) = \dim E$ (théorème du rang) — pas $\dim F$
- Une matrice n’est pas une application linéaire ; c’est sa représentation dans une base donnée
- $A B \neq B A$ en général — l’algèbre des matrices n’est pas commutative
4.2 Inversibilité§
| Erreur | Réalité |
|---|---|
| $(A + B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}$ | Faux en général |
| $(AB)^{-1} = A^{-1} B^{-1}$ | Faux : c’est $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ |
| $\det(A + B) = \det A + \det B$ | Faux (le déterminant n’est pas linéaire, mais multi-linéaire en colonnes) |
| $\det(AB) = \det A + \det B$ | C’est $\det A \cdot \det B$ |
| $\det(\lambda A) = \lambda \det A$ | C’est $\lambda^n \det A$ en dimension $n$ |
4.3 Valeurs propres et diagonalisation§
- Une matrice avec polynôme caractéristique scindé n’est pas toujours diagonalisable (il faut simplicité des racines ou que les dimensions des sous-espaces propres égalent les multiplicités)
- Diagonalisable sur $\mathbb{C}$ n’implique pas diagonalisable sur $\mathbb{R}$ (matrice de rotation 2D)
- $0$ valeur propre $\Leftrightarrow$ matrice non inversible
5. Erreurs en arithmétique§
| Erreur | Correction |
|---|---|
| $\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a + b$ | C’est $a \cdot b$ |
| $a \equiv b \pmod n$ et $c \equiv d \pmod n$ ⇒ $a/c \equiv b/d$ | Faux : la division modulaire exige l’inversibilité |
| $a \mid bc$ ⇒ $a \mid b$ ou $a \mid c$ | Vrai seulement si $a$ premier (lemme d’Euclide) |
| $a \mid b$ et $a \mid c$ ⇒ $a \mid \gcd(b, c)$ | OK |
| $\gcd(a, b) = 1$ et $a \mid bc$ ⇒ $a \mid c$ | OK (Gauss) |
6. Erreurs en probabilités§
6.1 Indépendance vs incompatibilité§
- Incompatibles : $A \cap B = \varnothing$ (les deux ne peuvent se réaliser ensemble)
- Indépendants : $P(A \cap B) = P(A) P(B)$ (la connaissance de l’un n’influe pas sur l’autre)
- Deux événements de probabilité non nulle ne peuvent pas être à la fois incompatibles et indépendants
6.2 Variance et indépendance§
- $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ toujours (linéarité)
- $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ seulement si $X$ et $Y$ indépendantes
- $V(aX) = a^2 V(X)$ (pas $aV(X)$)
6.3 Bayes et taux de base§
[!example] Le piège du dépistage Une maladie touche 1 % de la population. Un test a 99 % de fiabilité (sensibilité et spécificité). Si tu es testé positif, quelle est la probabilité que tu sois malade ?
Intuition courante : ~99 %. Réalité : ~50 %, par Bayes.
$$P(M \mid +) = \frac{P(+ \mid M) P(M)}{P(+)} = \frac{0{,}99 \times 0{,}01}{0{,}99 \times 0{,}01 + 0{,}01 \times 0{,}99} = 0{,}5$$
Morale : ignorer le taux de base (1 %) fait perdre tout le sens.
7. Erreurs de récurrence§
| Erreur | Correction |
|---|---|
| Oublier l’initialisation | L’hérédité seule ne suffit pas |
| Faire l’hérédité pour un seul $n$ | Doit marcher pour tout $n \geq n_0$ |
| Confondre $P(n)$ avec « le résultat pour $n$ » | Bien écrire $P(n)$ comme une proposition |
| Récurrence forte sans initialisation suffisante | Si l’hérédité utilise $P(0), \dots, P(n)$, il faut initialiser tous ces cas |
| Récurrence sur $n$ alors que $P(n)$ dépend continûment de $x$ | La récurrence opère sur $\mathbb{N}$, pas $\mathbb{R}$ |
8. Pièges méta§
8.1 Cas particulier $\neq$ démonstration§
Vérifier un résultat pour $n = 1, 2, 3$ ne le démontre pas — c’est une plausibilité, pas une preuve. La conjecture de Pólya tient pour $n < 906,150,257$, puis casse.
8.2 « Sans perte de généralité »§
Cette phrase n’est valable que si on peut vraiment réduire au cas étudié par symétrie ou changement de variable. Vérifier que la généralité n’est pas perdue !
8.3 Hypothèses oubliées§
Lire l’énoncé lentement et noter chaque hypothèse. Une démonstration qui n’utilise pas toutes les hypothèses est suspecte (soit elles sont superflues, soit on a sauté un point).
8.4 Conclusion qui dépasse les hypothèses§
Si l’énoncé demande une propriété sur $\mathbb{R}^+$, ne pas la prouver sur $\mathbb{R}$ tout entier sauf si c’est plus facile et automatique.
8.5 Notation incohérente§
- Réutiliser un nom de variable déjà pris (le $n$ de l’énoncé et un autre $n$ d’indice)
- Mélanger $f$ et $f(x)$ (la fonction et sa valeur en un point)
- Confondre $f(x_n)$ et $(f(x))_n$
9. Erreurs de présentation§
| Erreur | Conseil |
|---|---|
| Page noire d’écritures non hiérarchisées | Aérer, souligner les résultats clés, encadrer la conclusion |
| Conclusion implicite | Toujours finir par « par conséquent… » ou un encadré |
| Hypothèses non rappelées | Au début de la résolution, écrire « Soit $f$ une fonction continue… » |
| Calculs intermédiaires raturés sur la copie | Faire les calculs au brouillon, recopier les étapes propres |
| Pas de dessin en géométrie / analyse | Toujours faire un schéma quand c’est possible |
Comment auto-corriger une copie§
- Relire une fois pour la cohérence logique (les implications sont-elles correctes ?)
- Relire une fois pour la cohérence des hypothèses (chaque hypothèse est-elle utilisée ?)
- Relire une fois pour les calculs (refaire mentalement les passages cruciaux)
- Vérifier sur un cas simple (n = 1, dimension 2) si possible
- Vérifier la conclusion : répond-elle exactement à la question ?
Voir Méthodes de Démonstration et Comment Montrer Que pour les bonnes pratiques.