Erreurs Classiques en Mathématiques

Les erreurs en mathématiques ne sont pas aléatoires : la plupart suivent quelques patrons récurrents. Cette note recense les pièges les plus courants — ceux qu’on voit semaine après semaine en copies de prépa, et qui font perdre des points alors que le raisonnement de fond était bon. Connaître l’erreur, c’est déjà l’éviter.

1. Erreurs de logique§

1.1 Confondre implication et équivalence§

L’erreur la plus répandue : démontrer $P \Rightarrow Q$ et en conclure $P \Leftrightarrow Q$.

Conséquence : si l’énoncé demande une équivalence, on doit prouver les deux sens.

1.2 Négation mal posée§

Énoncé	Négation correcte	Erreur typique
$\forall x, P(x)$	$\exists x, \lnot P(x)$	« $\forall x, \lnot P(x)$ » (trop fort)
$\exists x, P(x)$	$\forall x, \lnot P(x)$	« $\exists x, \lnot P(x)$ » (n’est pas une négation)
$\forall x,; \exists y,; P(x,y)$	$\exists x,; \forall y,; \lnot P(x,y)$	Oublier de renverser les quantificateurs
$A$ et $B$	non $A$ ou non $B$ (De Morgan)	« non $A$ et non $B$ »
$A$ ou $B$	non $A$ et non $B$ (De Morgan)	« non $A$ ou non $B$ »

1.3 Pétition de principe (raisonnement circulaire)§

Utiliser ce qu’on doit démontrer pour le démontrer. Souvent caché derrière un « il est clair que ».

1.4 Abus du « donc »§

Le mot « donc » sous-entend une déduction logique. L’utiliser à la place d’un saut intuitif est une faute.

1.5 Confondre condition nécessaire et condition suffisante§

• Nécessaire : « pour que $Q$, il faut $P$ » ($Q \Rightarrow P$)
• Suffisante : « pour que $Q$, il suffit que $P$ » ($P \Rightarrow Q$)

« Nécessaire et suffisante » = équivalence.

2. Erreurs algébriques§

2.1 Manipulations interdites§

Faute	Pourquoi c’est faux
$\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$	$\sqrt{1+1} = \sqrt{2} \neq 2$
$(a + b)^2 = a^2 + b^2$	Manque le double produit $2ab$
$\frac{a + b}{c + d} = \frac{a}{c} + \frac{b}{d}$	Test : $\frac{1+1}{1+1} = 1 \neq 2$
$\frac{1}{a + b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$	Test : $\frac{1}{2} \neq \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = 2$
$\ln(a + b) = \ln a + \ln b$	Le logarithme transforme produit ↔ somme, pas somme ↔ somme
$e^{a + b} = e^a + e^b$	C’est $e^a \cdot e^b$
$\sin(a + b) = \sin a + \sin b$	Formules d’addition non triviales
$(a^b)^c = a^{b+c}$	C’est $a^{bc}$
$a^b \cdot a^c = a^{bc}$	C’est $a^{b+c}$

2.2 Division par zéro§

$$a = b \Rightarrow a^2 = ab \Rightarrow a^2 - b^2 = ab - b^2 \Rightarrow (a+b)(a-b) = b(a-b) \Rightarrow a + b = b$$

Conclusion absurde : si $a = b = 1$, alors $1 + 1 = 1$. L’erreur : on a divisé par $a - b$ qui est nul.

2.3 Simplifications hâtives§

• Simplifier $\sqrt{x^2}$ en $x$ : faux, c’est $|x|$
• Simplifier $\ln(x^2)$ en $2 \ln x$ : valable seulement si $x > 0$ ; sinon $2 \ln |x|$
• Multiplier par un facteur d’expression négative dans une inégalité sans renverser le sens

2.4 Identités remarquables élargies§

$$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$$

Ne pas oublier les doubles produits, et tous les doubles produits.

3. Erreurs en analyse§

3.1 Limite — confondre forme et résultat§

Une « forme indéterminée » n’est pas une valeur de limite :

• $\frac{0}{0}$ : peut valoir n’importe quoi (par exemple, $\lim x/x = 1$, $\lim x^2/x = 0$, $\lim x/x^2 = \infty$)
• $\infty - \infty$ : $(n+1) - n \to 1$, mais $(2n) - n \to \infty$
• $0 \cdot \infty$, $\infty^0$, $1^\infty$, $0^0$ : toutes indéterminées

3.2 Dérivée§

Erreur	Correction
$(f \cdot g)' = f' \cdot g'$	$(fg)' = f'g + fg'$
$(f/g)' = f'/g'$	$(f/g)' = (f'g - fg')/g^2$
$(f \circ g)' = f' \circ g'$	$(f \circ g)' = (f' \circ g) \cdot g'$
$f'(g(x)) = (f \circ g)'(x)$	$(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

3.3 Intégrale§

• $\int f \cdot g = (\int f) \cdot (\int g)$ : faux, l’intégrale n’est pas multiplicative
• $\int \frac{f'}{g}$ ne se simplifie pas seul ; en revanche $\int \frac{f'}{f} = \ln |f|$
• Ne pas oublier la constante d’intégration dans les primitives indéfinies
• Ne pas oublier le dx (vérifier que ce qu’on écrit a un sens)

3.4 Convergence§

Erreur	Précision
« $u_n$ converge car $u_{n+1} - u_n \to 0$ »	Faux : pour $u_n = \ln n$, on a $u_{n+1} - u_n = \ln(1 + 1/n) \to 0$, mais $u_n \to +\infty$
« $\sum u_n$ converge ssi $u_n \to 0$ »	$u_n \to 0$ est nécessaire mais pas suffisant ($\sum 1/n$ diverge)
Inverser limite et intégrale sans précaution	Nécessite convergence dominée ou uniforme
Dériver une série terme à terme	Nécessite convergence uniforme de la série dérivée

4. Erreurs en algèbre linéaire§

4.1 Confondre les objets§

• $\dim(\ker f) + \dim(\text{Im } f) = \dim E$ (théorème du rang) — pas $\dim F$
• Une matrice n’est pas une application linéaire ; c’est sa représentation dans une base donnée
• $A B \neq B A$ en général — l’algèbre des matrices n’est pas commutative

4.2 Inversibilité§

Erreur	Réalité
$(A + B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}$	Faux en général
$(AB)^{-1} = A^{-1} B^{-1}$	Faux : c’est $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$
$\det(A + B) = \det A + \det B$	Faux (le déterminant n’est pas linéaire, mais multi-linéaire en colonnes)
$\det(AB) = \det A + \det B$	C’est $\det A \cdot \det B$
$\det(\lambda A) = \lambda \det A$	C’est $\lambda^n \det A$ en dimension $n$

4.3 Valeurs propres et diagonalisation§

• Une matrice avec polynôme caractéristique scindé n’est pas toujours diagonalisable (il faut simplicité des racines ou que les dimensions des sous-espaces propres égalent les multiplicités)
• Diagonalisable sur $\mathbb{C}$ n’implique pas diagonalisable sur $\mathbb{R}$ (matrice de rotation 2D)
• $0$ valeur propre $\Leftrightarrow$ matrice non inversible

5. Erreurs en arithmétique§

Erreur	Correction
$\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a + b$	C’est $a \cdot b$
$a \equiv b \pmod n$ et $c \equiv d \pmod n$ ⇒ $a/c \equiv b/d$	Faux : la division modulaire exige l’inversibilité
$a \mid bc$ ⇒ $a \mid b$ ou $a \mid c$	Vrai seulement si $a$ premier (lemme d’Euclide)
$a \mid b$ et $a \mid c$ ⇒ $a \mid \gcd(b, c)$	OK
$\gcd(a, b) = 1$ et $a \mid bc$ ⇒ $a \mid c$	OK (Gauss)

6. Erreurs en probabilités§

6.1 Indépendance vs incompatibilité§

• Incompatibles : $A \cap B = \varnothing$ (les deux ne peuvent se réaliser ensemble)
• Indépendants : $P(A \cap B) = P(A) P(B)$ (la connaissance de l’un n’influe pas sur l’autre)
• Deux événements de probabilité non nulle ne peuvent pas être à la fois incompatibles et indépendants

6.2 Variance et indépendance§

• $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ toujours (linéarité)
• $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ seulement si $X$ et $Y$ indépendantes
• $V(aX) = a^2 V(X)$ (pas $aV(X)$)

6.3 Bayes et taux de base§

$$P(M \mid +) = \frac{P(+ \mid M) P(M)}{P(+)} = \frac{0{,}99 \times 0{,}01}{0{,}99 \times 0{,}01 + 0{,}01 \times 0{,}99} = 0{,}5$$

Morale : ignorer le taux de base (1 %) fait perdre tout le sens.

7. Erreurs de récurrence§

Erreur	Correction
Oublier l’initialisation	L’hérédité seule ne suffit pas
Faire l’hérédité pour un seul $n$	Doit marcher pour tout $n \geq n_0$
Confondre $P(n)$ avec « le résultat pour $n$ »	Bien écrire $P(n)$ comme une proposition
Récurrence forte sans initialisation suffisante	Si l’hérédité utilise $P(0), \dots, P(n)$, il faut initialiser tous ces cas
Récurrence sur $n$ alors que $P(n)$ dépend continûment de $x$	La récurrence opère sur $\mathbb{N}$, pas $\mathbb{R}$

8. Pièges méta§

8.1 Cas particulier $\neq$ démonstration§

Vérifier un résultat pour $n = 1, 2, 3$ ne le démontre pas — c’est une plausibilité, pas une preuve. La conjecture de Pólya tient pour $n < 906,150,257$, puis casse.

8.2 « Sans perte de généralité »§

Cette phrase n’est valable que si on peut vraiment réduire au cas étudié par symétrie ou changement de variable. Vérifier que la généralité n’est pas perdue !

8.3 Hypothèses oubliées§

Lire l’énoncé lentement et noter chaque hypothèse. Une démonstration qui n’utilise pas toutes les hypothèses est suspecte (soit elles sont superflues, soit on a sauté un point).

8.4 Conclusion qui dépasse les hypothèses§

Si l’énoncé demande une propriété sur $\mathbb{R}^+$, ne pas la prouver sur $\mathbb{R}$ tout entier sauf si c’est plus facile et automatique.

8.5 Notation incohérente§

• Réutiliser un nom de variable déjà pris (le $n$ de l’énoncé et un autre $n$ d’indice)
• Mélanger $f$ et $f(x)$ (la fonction et sa valeur en un point)
• Confondre $f(x_n)$ et $(f(x))_n$

9. Erreurs de présentation§

Erreur	Conseil
Page noire d’écritures non hiérarchisées	Aérer, souligner les résultats clés, encadrer la conclusion
Conclusion implicite	Toujours finir par « par conséquent… » ou un encadré
Hypothèses non rappelées	Au début de la résolution, écrire « Soit $f$ une fonction continue… »
Calculs intermédiaires raturés sur la copie	Faire les calculs au brouillon, recopier les étapes propres
Pas de dessin en géométrie / analyse	Toujours faire un schéma quand c’est possible

Comment auto-corriger une copie§

1. Relire une fois pour la cohérence logique (les implications sont-elles correctes ?)
2. Relire une fois pour la cohérence des hypothèses (chaque hypothèse est-elle utilisée ?)
3. Relire une fois pour les calculs (refaire mentalement les passages cruciaux)
4. Vérifier sur un cas simple (n = 1, dimension 2) si possible
5. Vérifier la conclusion : répond-elle exactement à la question ?

Voir Méthodes de Démonstration et Comment Montrer Que pour les bonnes pratiques.