Méthodes de Démonstration

Une démonstration mathématique est une chaîne d’arguments rigoureuse qui mène d’hypothèses à une conclusion. Au-delà du contenu, la forme d’une démonstration suit quelques patrons classiques qu’il faut savoir reconnaître et reproduire. Cette note recense les méthodes les plus utiles avec un exemple emblématique pour chacune.

Pourquoi connaître ces méthodes

Face à une question « démontrer que… », identifier la méthode adaptée est déjà la moitié du travail. Une démonstration n’a pas à être inventée de zéro : elle suit presque toujours un patron connu, qu’il s’agit d’adapter à la situation.

Vue d’ensemble§

flowchart TB
    Methode["Méthodes de démonstration"]
    Methode --> Direct["Directe<br/>déduction"]
    Methode --> Contrap["Contraposée"]
    Methode --> Absurde["Par l'absurde"]
    Methode --> Rec["Récurrence"]
    Methode --> AS["Analyse-synthèse"]
    Methode --> DI["Double inclusion<br/>ou implication"]
    Methode --> DC["Disjonction<br/>de cas"]
    Methode --> CE["Contre-exemple"]
    Methode --> Tiroir["Principe<br/>des tiroirs"]
    Methode --> Equi["Par équivalence"]

1. Démonstration directe§

Principe : enchaîner des implications $A_0 \Rightarrow A_1 \Rightarrow \cdots \Rightarrow A_n$ depuis l’hypothèse jusqu’à la conclusion. C’est la méthode la plus simple.

La somme de deux nombres pairs est paire

Soit $a = 2k$ et $b = 2k'$ deux entiers pairs. Alors $a + b = 2k + 2k' = 2(k + k')$ , qui est pair par définition.

Quand l’utiliser : quand on voit clairement les étapes intermédiaires. C’est le cas par défaut.

2. Contraposée§

Principe

$(P \Rightarrow Q)$ est logiquement équivalent à $(\lnot Q \Rightarrow \lnot P)$ .

Au lieu de prouver « $P$ implique $Q$ », on prouve « non $Q$ implique non $P$ ».

Quand l’utiliser : quand la négation de $Q$ donne plus d’information à manipuler que $P$ .

n^2

est pair, alors

n

est pair

Contraposée : si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair.

Si $n = 2k + 1$ , alors $n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ , qui est impair. CQFD.

Tentative directe : on ne sait pas grand-chose de la racine carrée d’un nombre pair. La contraposée est plus naturelle.

3. Par l’absurde (raisonnement apagogique)§

Principe

Pour démontrer $P$ , on suppose $\lnot P$ et on déduit une contradiction (absurdité).

Quand l’utiliser : quand l’hypothèse $\lnot P$ est riche en conséquences manipulables, surtout pour des résultats de non-existence ou d’infinité.

L’infinité des nombres premiers (Euclide)

Supposons qu’il existe un nombre fini de premiers $p_1, p_2, \dots, p_n$ . Posons $N = p_1 p_2 \cdots p_n + 1$ . $N$ admet un diviseur premier $p$ (car $N \geq 2$ ). Or $p$ serait dans la liste : $p = p_i$ pour un $i$ . Alors $p \mid p_1 \cdots p_n$ , et comme $p \mid N$ , on aurait $p \mid 1$ — absurde.

\sqrt{2}

est irrationnel

Supposons $\sqrt{2} = p/q$ avec $p, q$ entiers, $\gcd(p, q) = 1$ . Alors $p^2 = 2q^2$ , donc $p^2$ pair, donc $p$ pair (cf. exemple 2). Écrire $p = 2k$ . Alors $4k^2 = 2q^2$ , donc $q^2 = 2k^2$ , donc $q$ pair. Mais alors $2 \mid \gcd(p, q)$ — contradiction.

4. Récurrence§

Principe (récurrence simple)

Pour prouver $\forall n \in \mathbb{N},; P(n)$ :

Initialisation : montrer $P(n_0)$ pour un certain $n_0$ (souvent $0$ ou $1$ )
Hérédité : pour tout $n \geq n_0$ , supposer $P(n)$ et montrer $P(n+1)$
Conclusion : par récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$

Somme des

n

premiers entiers

Montrer que pour tout $n \geq 1$ , $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ .

Initialisation : pour $n = 1$ , somme = $1 = \frac{1 \cdot 2}{2}$ . OK.

Hérédité : supposons $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ . Alors

\sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}

CQFD.

Variantes§

Variante	Quand
Récurrence forte	On suppose $P(k)$ pour tout $k \leq n$ , et on montre $P(n+1)$ . Utile quand $P(n+1)$ dépend de plusieurs prédécesseurs (Fibonacci, factorisation en premiers).
Récurrence à deux pas	Initialisation sur deux valeurs ( $P(0)$ et $P(1)$ ), hérédité de ${P(n), P(n+1)} \to P(n+2)$ .
Récurrence finie	Sur ${0, 1, \dots, N}$ avec un $N$ fixé.
Récurrence descendante	$P(N) \Rightarrow P(N-1) \Rightarrow \cdots$ — rare mais utile.

Pièges de la récurrence

Bien identifier $P(n)$ et l’écrire explicitement
L’initialisation est essentielle — sans elle, l’hérédité ne sert à rien
L’hérédité doit fonctionner pour tout $n \geq n_0$ , pas juste pour un cas particulier

5. Analyse-synthèse§

Principe

Pour prouver qu’un objet existe et le caractériser :

Analyse : supposer le problème résolu, déduire les conditions nécessaires sur l’objet
Synthèse : construire l’objet à partir des conditions trouvées et vérifier qu’il convient

Quand l’utiliser : recherche d’existence + unicité, identification d’inconnues, équations fonctionnelles.

Existence d’une décomposition pair + impair

Montrer que toute fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ s’écrit de façon unique $f = p + i$ avec $p$ paire et $i$ impaire.

Analyse : Si $f = p + i$ , alors $f(-x) = p(-x) + i(-x) = p(x) - i(x)$ . Donc $p(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ et $i(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$ .

Synthèse : Posons $p(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}$ et $i(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}$ . On vérifie : $p$ est paire, $i$ est impaire, et $p + i = f$ . CQFD.

6. Double inclusion / double implication§

6.1 Égalité d’ensembles§

Pour montrer $A = B$ , on montre $A \subset B$ et $B \subset A$ .

A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)

Sens ⊂ : Soit $x \in A \cap (B \cup C)$ . Alors $x \in A$ et ( $x \in B$ ou $x \in C$ ). Donc ( $x \in A \cap B$ ) ou ( $x \in A \cap C$ ), soit $x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$ .

Sens ⊃ : Soit $x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$ . Alors $x \in A \cap B$ ou $x \in A \cap C$ . Dans les deux cas $x \in A$ et $x \in B \cup C$ , donc $x \in A \cap (B \cup C)$ .

6.2 Équivalence ( $\Leftrightarrow$ )§

Pour montrer $P \Leftrightarrow Q$ , on montre $P \Rightarrow Q$ et $Q \Rightarrow P$ .

7. Disjonction de cas§

Principe

Décomposer l’ensemble des situations possibles en cas exhaustifs et mutuellement exclusifs, traiter chacun.

Quand l’utiliser : quand l’objet à étudier a plusieurs régimes (positif/négatif, pair/impair, $n \leq k$ / $n > k$ ).

Inégalité avec valeur absolue

Montrer que $|x + y| \leq |x| + |y|$ .

Cas 1 : $x \geq 0$ et $y \geq 0$ . Alors $|x+y| = x+y = |x|+|y|$ . Cas 2 : $x < 0$ et $y < 0$ . Alors $|x+y| = -(x+y) = (-x)+(-y) = |x|+|y|$ . Cas 3 : signes opposés, par exemple $x \geq 0 > y$ . Alors $|x+y| = \max(x, -y) - 0 \leq x + (-y) = |x| + |y|$ .

8. Contre-exemple§

Pour réfuter une assertion universelle $\forall x,; P(x)$ , un seul contre-exemple suffit. Inversement, aucun nombre fini d’exemples ne prouve une propriété universelle.

La conjecture de Pólya (1919)

Pólya conjecture que pour tout $n \geq 2$ , plus de la moitié des entiers $\leq n$ ont un nombre impair de facteurs premiers (comptés avec multiplicité).

Vérifiée numériquement jusqu’à $n = 906,150,256$ … avant qu’Haselgrove ne trouve en 1958 que $n = 906,150,257$ est un contre-exemple.

Morale : les vérifications numériques ne sont pas des démonstrations.

9. Principe des tiroirs (pigeonhole)§

Principe

Si on range $n+1$ objets dans $n$ tiroirs, au moins un tiroir contient au moins 2 objets.

Trivial dans l’énoncé, redoutable en applications combinatoires.

Cheveux des Parisiens

Paris a ~10 millions d’habitants. Personne n’a plus de ~150 000 cheveux. Si on associe à chaque Parisien son nombre de cheveux, on range 10⁷ personnes dans 1{,}5 × 10⁵ tiroirs. Au moins deux Parisiens ont exactement le même nombre de cheveux.

Voir Combinatoire Avancée pour plus d’applications.

10. Démonstration par récurrence transfinie / Zorn§

(Hors programme, mais à mentionner.) Pour des structures infinies non dénombrables, on utilise l’axiome du choix ou ses équivalents (lemme de Zorn, théorème de Zermelo). Apparaît en algèbre (existence d’une base de tout espace vectoriel), en topologie (théorème de Tychonoff), en logique.

11. Démonstration constructive vs non constructive§

Type	Principe	Exemple
Constructive	On exhibe explicitement l’objet	« Voici un nombre premier > 10⁹ : … »
Non constructive	On prouve l’existence sans la construction	« Il existe deux irrationnels $a, b$ tels que $a^b$ rationnel : si $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ est rationnel, prendre $a = b = \sqrt{2}$ ; sinon prendre $a = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ et $b = \sqrt{2}$ . »

La méthode probabiliste d’Erdős est l’exemple type d’une démonstration non constructive : on prouve qu’un objet existe en montrant que sa probabilité est non nulle, sans le construire.

12. Conseils pratiques§

Choix de la méthode

Conclusion négative ou non-existence → souvent absurde ou contraposée
Conclusion sur tout entier $n$ → récurrence
Existence + unicité → analyse-synthèse
Égalité d’ensembles → double inclusion
Disposition de cas claire → disjonction
Contre-exemple potentiel → tester sur petits cas avant de chercher une preuve

Pièges à éviter

Confondre $\Rightarrow$ et $\Leftrightarrow$ : une équivalence est strictement plus forte
Quantificateurs implicites : « pour tout $x$ » sous-entendu est dangereux
« On voit que » : sauf cas trivial, à proscrire — c’est l’aveu d’un saut logique
Récurrence avec hérédité prouvée pour $n = 5$ seulement : ne marche pas
Absurde où la « contradiction » est circulaire : on suppose $\lnot P$ , on déduit $\lnot P$ , on dit « contradiction » — non, c’est juste répéter l’hypothèse

Pour les preuves canoniques à connaître, voir Démonstrations Classiques. Pour des recettes par type de question, voir Comment Montrer Que.

Méthodes de Démonstration

Vue d’ensemble§

1. Démonstration directe§

2. Contraposée§

3. Par l’absurde (raisonnement apagogique)§

4. Récurrence§

Variantes§

5. Analyse-synthèse§

6. Double inclusion / double implication§

6.1 Égalité d’ensembles§

6.2 Équivalence (⇔\Leftrightarrow⇔)§

7. Disjonction de cas§

8. Contre-exemple§

9. Principe des tiroirs (pigeonhole)§

10. Démonstration par récurrence transfinie / Zorn§

11. Démonstration constructive vs non constructive§

12. Conseils pratiques§

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6.2 Équivalence ( $\Leftrightarrow$ )§