La géométrie plane couvre les repères, les vecteurs, les équations de droites et le produit scalaire. Ces outils se généralisent ensuite à la troisième dimension en Terminale.
Partie I : Géométrie plane§
1. Repère du plan et coordonnées (Seconde)§
1.1 Repère cartésien§
Définition : Repère du plan Un repère du plan est constitué d’un point O O O i ⃗ \vec{i} i j ⃗ \vec{j} j
Si i ⃗ \vec{i} i j ⃗ \vec{j} j orthogonal .
Si de plus ∣ i ⃗ ∣ = ∣ j ⃗ ∣ = 1 |\vec{i}| = |\vec{j}| = 1 ∣ i ∣ = ∣ j ∣ = 1 orthonormé (ou orthonormal).
On note le repère ( O , i ⃗ , j ⃗ ) (O, \vec{i}, \vec{j}) ( O , i , j ) ( O ; i ⃗ , j ⃗ ) (O; \vec{i}, \vec{j}) ( O ; i , j )
Tout point M M M coordonnées ( x , y ) (x, y) ( x , y )
O M → = x i ⃗ + y j ⃗ \overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} O M = x i + y j
x x x abscisse de M M M y y y ordonnée de M M M
1.2 Distance entre deux points§
Dans un repère orthonormé, la distance entre A ( x A , y A ) A(x_A, y_A) A ( x A , y A ) B ( x B , y B ) B(x_B, y_B) B ( x B , y B )
A B = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} A B = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 1.3 Milieu d’un segment§
Le milieu I I I [ A B ] [AB] [ A B ]
I ( x A + x B 2 ; ; ; y A + y B 2 ) I\left(\frac{x_A + x_B}{2};;;\frac{y_A + y_B}{2}\right) I ( 2 x A + x B ;;; 2 y A + y B ) Soient A ( 1 , 3 ) A(1, 3) A ( 1 , 3 ) B ( 5 , 7 ) B(5, 7) B ( 5 , 7 )
A B = ( 5 − 1 ) 2 + ( 7 − 3 ) 2 = 16 + 16 = 32 = 4 2 AB = \sqrt{(5-1)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} A B = ( 5 − 1 ) 2 + ( 7 − 3 ) 2 = 16 + 16 = 32 = 4 2
Milieu I = ( 1 + 5 2 , 3 + 7 2 ) = ( 3 , 5 ) I = \left(\frac{1+5}{2}, \frac{3+7}{2}\right) = (3, 5) I = ( 2 1 + 5 , 2 3 + 7 ) = ( 3 , 5 )
2. Vecteurs (Seconde)§
2.1 Définition§
Un vecteur u ⃗ \vec{u} u
une direction (la droite qui le porte)
un sens (l’une des deux orientations de cette droite)
une norme (sa longueur) ∣ u ⃗ ∣ |\vec{u}| ∣ u ∣
Le vecteur A B → \overrightarrow{AB} A B ( C , D ) (C, D) ( C , D ) A B D C ABDC A B D C
2.2 Coordonnées d’un vecteur§
Si A ( x A , y A ) A(x_A, y_A) A ( x A , y A ) B ( x B , y B ) B(x_B, y_B) B ( x B , y B )
A B → = ( x B − x A y B − y A ) \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \ y_B - y_A \end{pmatrix} A B = ( x B − x A y B − y A ) 2.3 Opérations sur les vecteurs§
Addition : Si u ⃗ = ( x y ) \vec{u} = \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} u = ( x y ) v ⃗ = ( x ′ y ′ ) \vec{v} = \begin{pmatrix} x' \ y' \end{pmatrix} v = ( x ′ y ′ )
u ⃗ + v ⃗ = ( x + x ′ y + y ′ ) \vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} x + x' \ y + y' \end{pmatrix} u + v = ( x + x ′ y + y ′ ) Multiplication par un scalaire : Pour k ∈ R k \in \mathbb{R} k ∈ R
k u ⃗ = ( k x k y ) k\vec{u} = \begin{pmatrix} kx \ ky \end{pmatrix} k u = ( k x k y ) Relation de Chasles : Pour tous points A A A B B B C C C
A C → = A B → + B C → \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} A C = A B + B C Norme : Dans un repère orthonormé :
∣ u ⃗ ∣ = x 2 + y 2 |\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2} ∣ u ∣ = x 2 + y 2 2.4 Colinéarité§
Deux vecteurs u ⃗ ( x , y ) \vec{u}(x, y) u ( x , y ) v ⃗ ( x ′ , y ′ ) \vec{v}(x', y') v ( x ′ , y ′ ) colinéaires si et seulement si :
x y ′ − x ′ y = 0 xy' - x'y = 0 x y ′ − x ′ y = 0
Ce nombre x y ′ − x ′ y xy' - x'y x y ′ − x ′ y déterminant de ( u ⃗ , v ⃗ ) (\vec{u}, \vec{v}) ( u , v )
Applications de la colinéarité
Trois points A A A B B B C C C alignés ⟺ \iff ⟺ A B → \overrightarrow{AB} A B A C → \overrightarrow{AC} A C
Deux droites sont parallèles ⟺ \iff ⟺
A ( 1 , 2 ) A(1,2) A ( 1 , 2 ) B ( 3 , 5 ) B(3,5) B ( 3 , 5 ) C ( 7 , 11 ) C(7,11) C ( 7 , 11 ) A B → = ( 2 , 3 ) \overrightarrow{AB} = (2,3) A B = ( 2 , 3 ) A C → = ( 6 , 9 ) \overrightarrow{AC} = (6,9) A C = ( 6 , 9 ) det ( A B → , A C → ) = 2 × 9 − 3 × 6 = 18 − 18 = 0 \det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 2 \times 9 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0 det ( A B , A C ) = 2 × 9 − 3 × 6 = 18 − 18 = 0 A A A B B B C C C alignés .
3. Équations de droites (Seconde)§
3.1 Équation réduite§
Définition : Équation réduite Toute droite non verticale du plan admet une équation de la forme :
y = m x + p y = mx + p y = m x + p
m m m coefficient directeur (pente).p p p ordonnée à l’origine .Un vecteur directeur est u ⃗ = ( 1 m ) \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \ m \end{pmatrix} u = ( 1 m )
Une droite verticale a une équation de la forme x = c x = c x = c
3.2 Équation cartésienne§
Définition : Équation cartésienne Toute droite du plan admet une équation de la forme :
a x + b y + c = 0 ( a et b non tous deux nuls ) ax + by + c = 0 \quad (a \text{ et } b \text{ non tous deux nuls}) a x + b y + c = 0 ( a et b non tous deux nuls )
Un vecteur directeur est u ⃗ = ( − b a ) \vec{u} = \begin{pmatrix} -b \ a \end{pmatrix} u = ( − b a )
Un vecteur normal est n ⃗ = ( a b ) \vec{n} = \begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix} n = ( a b )
3.3 Déterminer l’équation d’une droite§
Connaissant un point A ( x A , y A ) A(x_A, y_A) A ( x A , y A ) m m m
y − y A = m ( x − x A ) y - y_A = m(x - x_A) y − y A = m ( x − x A ) Connaissant deux points A ( x A , y A ) A(x_A, y_A) A ( x A , y A ) B ( x B , y B ) B(x_B, y_B) B ( x B , y B ) x A ≠ x B x_A \neq x_B x A = x B
m = y B − y A x B − x A m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} m = x B − x A y B − y A Droite passant par A ( 1 , 3 ) A(1,3) A ( 1 , 3 ) B ( 4 , 9 ) B(4,9) B ( 4 , 9 )
m = 9 − 3 4 − 1 = 6 3 = 2 m = \frac{9-3}{4-1} = \frac{6}{3} = 2 m = 4 − 1 9 − 3 = 3 6 = 2
y − 3 = 2 ( x − 1 ) ⟹ y = 2 x + 1 y - 3 = 2(x-1) \implies y = 2x + 1 y − 3 = 2 ( x − 1 ) ⟹ y = 2 x + 1
Sous forme cartésienne : 2 x − y + 1 = 0 2x - y + 1 = 0 2 x − y + 1 = 0
3.4 Positions relatives de deux droites§
Droites parallèles et perpendiculaires Soient ( d 1 ) : y = m 1 x + p 1 (d_1) : y = m_1 x + p_1 ( d 1 ) : y = m 1 x + p 1 ( d 2 ) : y = m 2 x + p 2 (d_2) : y = m_2 x + p_2 ( d 2 ) : y = m 2 x + p 2
( d 1 ) ∥ ( d 2 ) ⟺ m 1 = m 2 (d_1) \parallel (d_2) \iff m_1 = m_2 ( d 1 ) ∥ ( d 2 ) ⟺ m 1 = m 2
Si de plus p 1 = p 2 p_1 = p_2 p 1 = p 2
Si p 1 ≠ p 2 p_1 \neq p_2 p 1 = p 2
( d 1 ) ⊥ ( d 2 ) ⟺ m 1 × m 2 = − 1 (d_1) \perp (d_2) \iff m_1 \times m_2 = -1 ( d 1 ) ⊥ ( d 2 ) ⟺ m 1 × m 2 = − 1
Sous forme cartésienne ( a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 ) (a_1 x + b_1 y + c_1 = 0) ( a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 ) ( a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 ) (a_2 x + b_2 y + c_2 = 0) ( a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 )
Parallèles ⟺ a 1 b 2 − a 2 b 1 = 0 \iff a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0 ⟺ a 1 b 2 − a 2 b 1 = 0
Perpendiculaires ⟺ a 1 a 2 + b 1 b 2 = 0 \iff a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0 ⟺ a 1 a 2 + b 1 b 2 = 0
4. Produit scalaire (Première)§
4.1 Définition§
Définition : Produit scalaire Le produit scalaire de deux vecteurs u ⃗ \vec{u} u v ⃗ \vec{v} v
u ⃗ ⋅ v ⃗ = ∣ u ⃗ ∣ × ∣ v ⃗ ∣ × cos ( u ⃗ , v ⃗ ) \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \times |\vec{v}| \times \cos(\vec{u}, \vec{v}) u ⋅ v = ∣ u ∣ × ∣ v ∣ × cos ( u , v )
Si u ⃗ = ( x y ) \vec{u} = \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} u = ( x y ) v ⃗ = ( x ′ y ′ ) \vec{v} = \begin{pmatrix} x' \ y' \end{pmatrix} v = ( x ′ y ′ )
u ⃗ ⋅ v ⃗ = x x ′ + y y ′ \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' u ⋅ v = x x ′ + y y ′ 4.2 Autres expressions§
Avec le projeté orthogonal : Si H H H B B B ( O A ) (OA) ( O A ) u ⃗ ⋅ v ⃗ = ∣ u ⃗ ∣ × O H ′ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \times OH' u ⋅ v = ∣ u ∣ × O H ′ O H ′ → \overrightarrow{OH'} O H ′
Formules de polarisation :
u ⃗ ⋅ v ⃗ = 1 2 ( ∣ u ⃗ + v ⃗ ∣ 2 − ∣ u ⃗ ∣ 2 − ∣ v ⃗ ∣ 2 ) \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(|\vec{u}+\vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2\right) u ⋅ v = 2 1 ( ∣ u + v ∣ 2 − ∣ u ∣ 2 − ∣ v ∣ 2 )
u ⃗ ⋅ v ⃗ = 1 2 ( ∣ u ⃗ ∣ 2 + ∣ v ⃗ ∣ 2 − ∣ u ⃗ − v ⃗ ∣ 2 ) \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - |\vec{u}-\vec{v}|^2\right) u ⋅ v = 2 1 ( ∣ u ∣ 2 + ∣ v ∣ 2 − ∣ u − v ∣ 2 ) 4.3 Propriétés§
Pour tous vecteurs u ⃗ \vec{u} u v ⃗ \vec{v} v w ⃗ \vec{w} w k k k
Symétrie : u ⃗ ⋅ v ⃗ = v ⃗ ⋅ u ⃗ \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} u ⋅ v = v ⋅ u Bilinéarité : u ⃗ ⋅ ( v ⃗ + w ⃗ ) = u ⃗ ⋅ v ⃗ + u ⃗ ⋅ w ⃗ \vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} u ⋅ ( v + w ) = u ⋅ v + u ⋅ w ( k u ⃗ ) ⋅ v ⃗ = k ( u ⃗ ⋅ v ⃗ ) (k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v}) ( k u ) ⋅ v = k ( u ⋅ v ) u ⃗ ⋅ u ⃗ = ∣ u ⃗ ∣ 2 \vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2 u ⋅ u = ∣ u ∣ 2 u ⃗ 2 \vec{u}^2 u 2
4.4 Orthogonalité§
Deux vecteurs u ⃗ \vec{u} u v ⃗ \vec{v} v orthogonaux si et seulement si :
u ⃗ ⋅ v ⃗ = 0 \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 u ⋅ v = 0
Notation : u ⃗ ⊥ v ⃗ \vec{u} \perp \vec{v} u ⊥ v
4.5 Angle entre deux vecteurs§
cos ( u ⃗ , v ⃗ ) = u ⃗ ⋅ v ⃗ ∣ u ⃗ ∣ × ∣ v ⃗ ∣ \cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \times |\vec{v}|} cos ( u , v ) = ∣ u ∣ × ∣ v ∣ u ⋅ v u ⃗ = ( 3 1 ) \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \ 1 \end{pmatrix} u = ( 3 1 ) v ⃗ = ( 1 2 ) \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix} v = ( 1 2 )
u ⃗ ⋅ v ⃗ = 3 × 1 + 1 × 2 = 5 \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 1 + 1 \times 2 = 5 u ⋅ v = 3 × 1 + 1 × 2 = 5
∣ u ⃗ ∣ = 10 |\vec{u}| = \sqrt{10} ∣ u ∣ = 10 ∣ v ⃗ ∣ = 5 |\vec{v}| = \sqrt{5} ∣ v ∣ = 5
cos ( u ⃗ , v ⃗ ) = 5 10 × 5 = 5 50 = 5 5 2 = 1 2 \cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{5}{\sqrt{10} \times \sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} cos ( u , v ) = 10 × 5 5 = 50 5 = 5 2 5 = 2 1
Donc l’angle entre u ⃗ \vec{u} u v ⃗ \vec{v} v π 4 \frac{\pi}{4} 4 π 45 ° 45° 45°
4.6 Projeté orthogonal§
Le projeté orthogonal H H H M M M ( A B ) (AB) ( A B ) ( A B ) (AB) ( A B ) H M → ⊥ A B → \overrightarrow{HM} \perp \overrightarrow{AB} H M ⊥ A B
Le vecteur A H → \overrightarrow{AH} A H A M → \overrightarrow{AM} A M A B → \overrightarrow{AB} A B
A H → = A M → ⋅ A B → ∣ A B → ∣ 2 , A B → \overrightarrow{AH} = \frac{\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|^2},\overrightarrow{AB} A H = ∣ A B ∣ 2 A M ⋅ A B , A B 4.7 Équation de cercle§
Dans un repère orthonormé, le cercle de centre Ω ( a , b ) \Omega(a,b) Ω ( a , b ) r r r
( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Forme développée : x 2 + y 2 − 2 a x − 2 b y + a 2 + b 2 − r 2 = 0 x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0 x 2 + y 2 − 2 a x − 2 b y + a 2 + b 2 − r 2 = 0
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