Géométrie Plane (Seconde – Première)
[!tip] Fil conducteur La géométrie plane couvre les repères, les vecteurs, les équations de droites et le produit scalaire. Ces outils se généralisent ensuite à la troisième dimension en Terminale.
Partie I : Géométrie plane§
1. Repère du plan et coordonnées (Seconde)§
1.1 Repère cartésien§
[!important] Définition : Repère du plan Un repère du plan est constitué d’un point $O$ (origine) et de deux vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$ non colinéaires.
- Si $\vec{i}$ et $\vec{j}$ sont orthogonaux : repère orthogonal.
- Si de plus $|\vec{i}| = |\vec{j}| = 1$ : repère orthonormé (ou orthonormal).
On note le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ou $(O; \vec{i}, \vec{j})$.
Tout point $M$ du plan est repéré par ses coordonnées $(x, y)$ :
$$\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j}$$
- $x$ est l’abscisse de $M$.
- $y$ est l’ordonnée de $M$.
1.2 Distance entre deux points§
[!important] Formule : Distance Dans un repère orthonormé, la distance entre $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ est : $$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$
1.3 Milieu d’un segment§
[!important] Formule : Milieu Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées : $$I\left(\frac{x_A + x_B}{2};;;\frac{y_A + y_B}{2}\right)$$
[!example] Exemple Soient $A(1, 3)$ et $B(5, 7)$.
$AB = \sqrt{(5-1)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
Milieu $I = \left(\frac{1+5}{2}, \frac{3+7}{2}\right) = (3, 5)$
2. Vecteurs (Seconde)§
2.1 Définition§
[!important] Définition : Vecteur Un vecteur $\vec{u}$ est caractérisé par :
- une direction (la droite qui le porte)
- un sens (l’une des deux orientations de cette droite)
- une norme (sa longueur) $|\vec{u}|$
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour représentant tout bipoint $(C, D)$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme.
2.2 Coordonnées d’un vecteur§
Si $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ :
$$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \ y_B - y_A \end{pmatrix}$$
2.3 Opérations sur les vecteurs§
Addition : Si $\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} x’ \ y’ \end{pmatrix}$ :
$$\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} x + x’ \ y + y’ \end{pmatrix}$$
Multiplication par un scalaire : Pour $k \in \mathbb{R}$ :
$$k\vec{u} = \begin{pmatrix} kx \ ky \end{pmatrix}$$
Relation de Chasles : Pour tous points $A$, $B$, $C$ :
$$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$$
Norme : Dans un repère orthonormé :
$$|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}$$
2.4 Colinéarité§
[!important] Définition : Colinéarité Deux vecteurs $\vec{u}(x, y)$ et $\vec{v}(x’, y’)$ sont colinéaires si et seulement si : $$xy’ - x’y = 0$$ Ce nombre $xy’ - x’y$ est appelé le déterminant de $(\vec{u}, \vec{v})$.
[!tip] Applications de la colinéarité
- Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés $\iff$ $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
- Deux droites sont parallèles $\iff$ leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
[!example] Exemple $A(1,2)$, $B(3,5)$, $C(7,11)$. $\overrightarrow{AB} = (2,3)$ et $\overrightarrow{AC} = (6,9)$. $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 2 \times 9 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0$. Les vecteurs sont colinéaires, donc $A$, $B$, $C$ sont alignés.
3. Équations de droites (Seconde)§
3.1 Équation réduite§
[!important] Définition : Équation réduite Toute droite non verticale du plan admet une équation de la forme : $$y = mx + p$$
- $m$ est le coefficient directeur (pente).
- $p$ est l’ordonnée à l’origine.
- Un vecteur directeur est $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \ m \end{pmatrix}$.
Une droite verticale a une équation de la forme $x = c$.
3.2 Équation cartésienne§
[!important] Définition : Équation cartésienne Toute droite du plan admet une équation de la forme : $$ax + by + c = 0 \quad (a \text{ et } b \text{ non tous deux nuls})$$
- Un vecteur directeur est $\vec{u} = \begin{pmatrix} -b \ a \end{pmatrix}$.
- Un vecteur normal est $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix}$.
3.3 Déterminer l’équation d’une droite§
Connaissant un point $A(x_A, y_A)$ et le coefficient directeur $m$ :
$$y - y_A = m(x - x_A)$$
Connaissant deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ avec $x_A \neq x_B$ :
$$m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$
[!example] Exemple Droite passant par $A(1,3)$ et $B(4,9)$.
$m = \frac{9-3}{4-1} = \frac{6}{3} = 2$
$y - 3 = 2(x-1) \implies y = 2x + 1$
Sous forme cartésienne : $2x - y + 1 = 0$.
3.4 Positions relatives de deux droites§
[!important] Droites parallèles et perpendiculaires Soient $(d_1) : y = m_1 x + p_1$ et $(d_2) : y = m_2 x + p_2$.
- $(d_1) \parallel (d_2) \iff m_1 = m_2$
- Si de plus $p_1 = p_2$ : droites confondues.
- Si $p_1 \neq p_2$ : droites strictement parallèles.
- $(d_1) \perp (d_2) \iff m_1 \times m_2 = -1$
Sous forme cartésienne $(a_1 x + b_1 y + c_1 = 0)$ et $(a_2 x + b_2 y + c_2 = 0)$ :
- Parallèles $\iff a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0$ (vecteurs directeurs colinéaires)
- Perpendiculaires $\iff a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0$ (vecteurs normaux orthogonaux)
4. Produit scalaire (Première)§
4.1 Définition§
[!important] Définition : Produit scalaire Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le nombre réel : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \times |\vec{v}| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})$$
Si $\vec{u} = \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} x’ \ y’ \end{pmatrix}$ dans un repère orthonormé : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx’ + yy’$$
4.2 Autres expressions§
[!tip] Formules alternatives
Avec le projeté orthogonal : Si $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $(OA)$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \times OH’$ (avec le signe de $\overrightarrow{OH’}$)
Formules de polarisation : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(|\vec{u}+\vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2\right)$$ $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - |\vec{u}-\vec{v}|^2\right)$$
4.3 Propriétés§
Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ et tout réel $k$ :
- Symétrie : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$
- Bilinéarité : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$
- $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$
- $\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2$ (on note aussi $\vec{u}^2$)
4.4 Orthogonalité§
[!important] Critère d’orthogonalité Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$$ Notation : $\vec{u} \perp \vec{v}$.
4.5 Angle entre deux vecteurs§
[!important] Formule de l’angle $$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \times |\vec{v}|}$$
[!example] Exemple $\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix}$
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 1 + 1 \times 2 = 5$
$|\vec{u}| = \sqrt{10}$, $|\vec{v}| = \sqrt{5}$
$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{5}{\sqrt{10} \times \sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
Donc l’angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est $\frac{\pi}{4}$ (soit $45°$).
4.6 Projeté orthogonal§
[!important] Projeté orthogonal Le projeté orthogonal $H$ du point $M$ sur la droite $(AB)$ est le point de $(AB)$ tel que $\overrightarrow{HM} \perp \overrightarrow{AB}$.
Le vecteur $\overrightarrow{AH}$ est la projection de $\overrightarrow{AM}$ sur $\overrightarrow{AB}$ : $$\overrightarrow{AH} = \frac{\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|^2},\overrightarrow{AB}$$
4.7 Équation de cercle§
Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $\Omega(a,b)$ et de rayon $r$ a pour équation :
$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$
Forme développée : $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0$.